仿射单项曲线
Affine monomial curves
摘要：
从计算的角度讨论了仿射单项曲线的一些研究问题。
英文摘要：
We discuss some research problems on affine monomial curves, from the perspective of computation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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具有唯一相关单阶商基的有限仿射点集
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一类单项曲线的相伴分次环的最小自由分解
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本文利用标准基理论给出了仿射四维空间中一类仿射单项式曲线的相伴分次环的显式极小自由分解。由此，我们给出了这些族的最小分次自由分解，并计算了切锥的Hilbert函数。
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On the reduction numbers and the Castelnuovo-Mumford regularity of projective monomial curves
本文给出了射影单项曲线的约化数和Castelnuovo-Mumford正则性的显式公式。
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单项曲线和某些单纯半群环上Eisenbud-Goto猜想的组合证明
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我们将给出任意单项曲线的Eisenbud-Goto猜想的一个纯组合证明。此外，我们将证明该猜想对某些单纯仿射半群环成立。
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关于几乎Gorenstein单项曲线的类型
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证明了几乎Gorenstein单项曲线$\mathcal C \subseteq \mathbb{A}^4$的Cohen-Macaulay型至多为$3$，并对一般情况作了一些考虑.
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仿射空间中的符号Blowup代数与某些单项曲线的不变量
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设$k$是任意域，本文的目的是给出正整数族$\mathcal{A} = \{d_1,\ldots,d_n\}$，使得仿射单项曲线$\mathcal C = \{(t^{d_1},\ldots,\,t^{d_n}) \ | \ t \in k\} \subset \mathbb{A}_k^n$的复曲面理想$I_{\mathcal A}$或其射影闭包${\mathcal C^{\star}} \subset \mathbb{P}_k^n$的复曲面理想$I_{\mathcal A^{\star}}$是完全交.更准确地说，我们刻画了$I_{\mathcal A}$和$I_{\mathcal A^{\star}}$的完全相交性质，当：（a）$\mathcal{A}$是一个广义算术序列，（b）$\mathcal{A} \setminus \{d_n\}$是一个广义算术序列和$d_n \in \mathbb{Z}^+$，（c）$\mathcal{A}$由$(p,q)$ -Fibonacci序列的某些项组成，和（d）$\mathcal{A}$由$(p,q)$ -Lucas序列的某些项组成。本文中的结果是Bermejo等人[J. Symb. Comput. 42（2007）]、Bermejo和Garc 'ifa-Marco [J. Symb. Comput.（2014），出现]和一些新的结果，关于复…
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等差数列定义的${\mathbb A}^3$中单项曲线的符号Blowup代数
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本文考虑${\mathbb A}_k^3$中由$t \rightarrow (t^{2q +1}, t^{2q +1 + m}, t^{2q +1 +2 m})$参数化的单项曲线，其中$gcd( 2q+1,m)=1$ .这些单项曲线的符号爆破代数是Gorenstein（\cite{goto-nis-shim}，\cite{goto-nis-shim-2}）。我们给出了这些曲线的符号爆破代数的Gorenstein性质的一个简单证明。
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一类单项曲线的显式极小分解
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为了研究可光滑性问题，我们构造了与$AS$数值半群（即由等差数列生成的）相关联的代数体单项曲线的坐标环的最小自由分解，它独立于\cite{gss2}的结果而获得，并配备了所有涉及映射的显式描述.
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Buchsbaum性、Macaulay化与单项式曲线的Castelnuovo-Mumford正则度
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Indian Institute of Technology Patna（印度巴特那理工学院）
本文构造了无限类非光滑非Cohen-Macaulay的k-Buchsbaum射影单项式曲线，给出其Macaulay化的生成元，并探讨正则度与k-Buchsbaum性的联系。
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一类单式曲线的Rees代数
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Gorenstein多项式曲线切锥的极小自由分解
Minimal Free Resolutions of the Tangent Cones of Gorenstein Monomial Curves
研究了仿射四维空间中Gorenstein单项曲线切锥的最小自由分解。给出了切锥有5个极小生成元的非完全相交Gorenstein单项曲线的切锥的显式极小自由分解，并证明了可能的Betti序列是$(1,5,6,2)$和$(1,5,5,1)$ .并计算了这些族的切锥的Hilbert函数。
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$\mathbb{A}^4(\mathbbmss{k}) $中单项曲线的一个不可缺少的分类
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关于单项式曲线的完全交射影闭包
On complete intersection projective closures of monomial curves
University of Ioannina（约阿尼纳大学）
研究四维仿射空间中单项式曲线射影闭包的完全交性质，给出其定义理想为完全交的刻画，还探讨其是否算术科恩 - 麦考利。
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一类仿射单项曲线的最小自由分解
Minimal free resolutions for certain affine monomial curve
给定一个任意域k和一个正整数m_0<.的等差数列。<m_n，我们考虑由X_0=t^{m_0}，.参数化的仿射单项曲线，X_n=t^{m_n}。本文猜想其坐标环的贝蒂数完全由n和m_0模n的值决定。我们首先表明，定义理想的单项曲线可以写为一个和两个行列式理想。利用这一事实，我们描述了以下三种情况下坐标环的最小自由分解：当m_0为1模n（行列式）时，当m_0为n模n（几乎行列式）时，当m_0为2模n且n=4（余维为4的Gorenstein）时.
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关于Gorenstein单项曲线的一个注记
A note on Gorenstein monomial curves
设$k$为任意字段。本文证明了：若一个互质正整数序列${\bf a}=(a_1,a_2,a_3,a_4)$在${\mathbb A}_k^4$中定义了一条Gorenstein非完全交单项曲线${\mathcal C}({\bf a})$，则存在两个向量${\bf u}$和${\bf v}$，使得对几乎所有$t\geq 0$，${\mathcal C}({\bf a}+t{\bf u})$和${\mathcal C}({\bf a}+t{\bf v})$也是Gorenstein非完全交仿射单项曲线.
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关于定义空间单项曲线的理想的稳定Harbourne猜想
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对于定义了一条空间单项曲线的$k[x, y, z]$中的理想$\mathfrak{p}$，我们证明了对于某个正整数$n$，$\mathfrak{p}^{(2 n - 1)} \subseteq \mathfrak{m} \mathfrak{p}^{n}$是最大理想$(x, y, z)$，其中$\mathfrak{m}$.此外，确定最小的这种$n$。事实证明，Grifo、Huneke和Mukundan的一个主张有一个反例，该主张指出，如果$k$是一个特征场，则$\mathfrak{p}^{(3)} \subseteq \mathfrak{m} \mathfrak{p}^2$不是$3$;然而，稳定的Harbourne猜想对空间单项式曲线成立。
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${\mathbb A}^3$中某些单项曲线的回复性和Castelnuovo-Mumford正则性
Resurgence and Castelnuovo-Mumford regularity of certain monomial curves in ${\mathbb A}^3$
设${\mathfrak p}$是由$(x^{2q +1}, x^{2q +1 + m}, x^{2q +1 +2 m})$参数化的仿射空间${\mathbb A}_k^3$中单项曲线${\mathcal C}(2q+1, 2q+1+m, 2q+1+2m)$的定义理想，其中$gcd( 2q+1,m)=1$。本文计算了${\mathfrak p}$的复活性、${\mathfrak p}$的Waldscherk常数和${\mathfrak p}$的符号幂的Castelnuovo-Mumford正则性.
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仿射半群环K[C]上C-分次模的注记
Notes on C-graded modules over an affine semigroup ring K[C]
设$C \subset {\bf N}^d$是仿射半群，$R=K[C]$是它的半群环.本文是关于“$C$ -分次”$R$ -模，特别是单项式理想的各种结果的集合.例如，我们证明如下：如果$R$是正规的，并且$I$是根单项理想（即，$R/I$是Stanley-Reisner环的推广），则$R/I$的序贯Cohen-Macaulay性质是与$I$相关的胞腔复形的“几何实现”的拓扑性质.此外，我们可以给出这个结果的一个无平方模/可构造层版本。
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关于单项曲线切锥的重数
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设$Λ$是一个数值半群，$\mathcal{C}\subseteq \mathbb{A}^n$是与$Λ$相关联的单项式曲线奇点，$\mathcal{T}$是它的切锥.本文利用$\mathcal{T}$方程的余维数和最大次数给出了当$\mathcal{T}$不是完全交时$Λ$中最小正整数的一个精确上界.这个结果的一个特例解决了J.Herzog和D.耐力。
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射影 Cohen-Macaulay 单项式曲线及其仿射图
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本文研究射影单项式曲线与其仿射图的坐标环 Betti 数相等的条件，提出了一种无需 Gröbner 基的组合判据作为充分条件，并据此发现了无限族满足该性质的曲线，进而改进了 Vu 关于移位曲线族 Betti 数相等最小 $j$ 值的上界。
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单项式曲线与局部线性分解
Monomial curves and locally linear resolution
本研究构造了诺特环中四元素对应的长度3、5的自由模复形并给出正合性判据，将其用于刻画光滑二次曲面上单项式曲线的Hartshorne–Rao模的极小自由分解，还提供了具任意高次数合冲的线性生成模实例。
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关于单项曲线切锥的Hilbert函数
On the Hilbert function of the tangent cone of a monomial curve
本文研究了$\gr_{\mathfrak{m}}(R)$的Hilbert函数，当$R$是数值半群环或等价地是单项曲线的坐标环时.特别地，我们证明了一个充分条件的数值半群环，以获得一个非减Hilbert函数，而不作任何假设，其嵌入维数;此外，我们显示了这个新的条件如何允许改进已知的结果，这个问题。为此，我们使用半群的某些不变量，特别是关于它的\Apery -集。
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2维仿射半群环的Cohen-Macaulay性质
The Cohen-Macaulay Property of Affine Semigroup Rings in Dimension 2
设$k$是一个字段，并且$x,y$在$k$上不确定。让$R=k[x^a,x^{p_1}y^{s_1},\ldots,x^{p_t}y^{s_t},y^b] \subseteq k[x,y]$。我们计算了$(x^a,y^b)$的Hilbert多项式。这个理想的多重性提供了环是Cohen-Macaulay的部分判据。接下来，我们证明了一个简单的数值准则$R$是科恩-麦考利的情况下，当$t=2$。我们还提供了一个简单的算法，确定单项$k$ -基的$R/(x^a,y^b)$。最后，这些简单的结果专门用于$\mathbb{P}^3$中的投射单项曲线的情况。
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关于由胶合得到的单项曲线
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利用胶合的概念，研究了与仿射单项曲线相关联的切锥的算术性质。特别是，我们刻画了Cohen-Macaulay和Gorenstein性质的切锥的一些家庭的单式曲线得到的胶合。此外，我们提供了新的单式曲线族的非减希尔伯特函数。
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单项曲线的贝蒂数的周期性
Periodicity of betti numbers of monomial curves
设$K$为任意域。设$\a = (a_1< ... <a_n)$是正整数序列。令$C(\a)$是由$t\to (t^{a_1}, ..., t^{a_n})$参数化的${\mathbb A}^n$中的仿射单项曲线。令PDMATHAMR是$K[x_1, ..., x_n]$中PDMATHAMO的定义理想。对于每个正整数$j$，令$\a+j$为序列$(a_1 + j, ..., a_n+j)$。本文证明了Herzog和Srinivasan的猜想，即在周期为$a_n -a_1$的$j$中，$I(\a + j)$的贝蒂数最终是周期的.当$j$足够大时，我们描述了$\PP^n$中$C(\a+j)$闭包的betti表。
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单项式代数曲线与代数体曲线及其在基环上的Lipschitz饱和
Monomial algebraic and algebroid curves and their Lipschitz saturation over the ground ring
本文在基环R满足温和条件时，利用数值半群Γ=⟨γ₁,…,γₙ⟩显式描述了子代数A⊆R[[t^{γ₁},…,t^{γₙ}]]在R上的Lipschitz饱和A^*_{B,R}。
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与单次曲线相关联的超几何系统的斜率
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我们通过D-模限制计算与单项曲线相关的不规则超几何系统的斜率。
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由等差数列定义的单项曲线的最小分次自由分解
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令$\mm=(m_0,...,m_n)$为算术序列，即，一个没有公因子的整数序列$m_0<...<m_n$，它最小地生成数值半群$\sum_{i=0}^{n}m_i\N$，并且使得对于所有$i\in\{1,...,n-1\}$都有$m_i-m_{i-1}=m_{i+1}-m_i$。由$X_0=t^{m_0},...,X_n=t^{m_n}$参数化定义的仿射单项曲线的齐次坐标环$Γ_\mm$是分次$R$ -模，其中$R$是具有通过设置$°{X_i}:=m_i$获得的分次的多项式环$k[X_0,...,X_n]$。本文构造了$Γ_\mm$的一个显式极小分次自由归结，并证明了它的Betti数只依赖于$m_0$模$n$的值.作为结果，我们证明了Herzog和Srinivasan猜想的Betti数的最终周期性的半群环的平移下的单项式曲线定义的等差数列。
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单项曲线的提升
Liftings of a monomial curve
我们研究一个操作，我们称之为提升，从一个单项曲线创建非同构的单项曲线。我们的主要结果是，即使原始曲线的切锥不是Cohen-Macaulay，但除100%之外，所有单式曲线的提升都有Cohen-Macaulay切锥。这意味着切锥的Betti序列在这种运算下最终是常数。此外，所有提升有Cohen-Macaulay切锥时，原始的单项曲线有一个Cohen-Macaulay切锥。在这种情况下，所有Betti序列都只是原始曲线的Betti序列。
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关于$\mathbb{A}^{4}(K)$中单项曲线切锥的Cohen-Macaulay性
On the Cohen-Macaulayness of tangent cones of monomial curves in $\mathbb{A}^{4}(K)$
本文给出了四维仿射空间中单项曲线的切锥为Cohen-Macaulay的充要条件。我们特别研究的情况下，$C$是Gorenstein非完全相交单项曲线。
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几乎Gorenstein型单项曲线在$\mathbb{A}^5$中的有界性
On the boundedness of the type of an almost Gorenstein monomial curve in $\mathbb{A}^5$
证明了几乎Gorenstein单项曲线$\mathcal{C} \subseteq \mathbb{A}^5$的Cohen-Macaulay型是有界的.
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非光滑单项曲线的Buchsbaumness和Castelnuovo-Mumford正则性
Buchsbaumness and Castelnuovo-Mumford regularity of non-smooth monomial curves
投影单项式曲线对应于由两个变量的相同次数的单项式生成的环。这样的环总是有有限的Macaulayification。我们展示了如何通过它们的有限Macaulayfication来刻画这些环的Buchsbaum性和Castelnuovo-Mumford正则性，并且我们使用这种方法来研究Buchsbaum性和估计大类非光滑单项式曲线的Castelnuovo-Mumford正则性。
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Gorenstein 单项式曲线的关联分次环的 Cohen-Macaulay 性
Cohen-Macaulayness of associated graded rings of Gorenstein monomial curves
本文研究 4 维空间中 Gorenstein 非完全交单项式曲线的切锥 Cohen-Macaulay 性，利用定义理想的极小生成元集给出判定准则，并刻画了相应理想极小生成元个数的可能取值。
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${\mathbb P}^3$中某些单项曲线的符号爆破代数和不变量
Symbolic blowup algebras and invariants associated to certain monomial curves in ${\mathbb P}^3$
本文明确地描述了曲线${\mathcal C}(q,m)$在参数为$( x^{d+2m}, x^{d+m} y^m, x^{d} y^{2m}, y^{d+2m})$的${\mathbb P}^3$中的符号幂，其中$q,m$是正整数，$d=2q+1$和$\gcd(d,m)=1$ .这些曲线的定义理想是集合论完全相交。我们证明了符号爆破代数是Noether和Gorenstein的。给出了定义曲线${\mathcal C}(q,m)$的素理想${\mathfrak p}:={\mathfrak p}_{ { \mathcal C}(q,m) }$的再生和Waldschleman常数的显式表达式.我们还给出了一个公式的Castelnuovo-Mumford正则性的符号权力${\mathfrak p}^{(n)}$所有$n \geq 1$。
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关于Gorenstein多项式曲线切锥的贝蒂数
On the Betti numbers of the tangent cones for Gorenstein Monomial Curves
研究仿射四维空间中Gorenstein单项曲线切锥的贝蒂数.若$C_S$是切锥为Cohen-Macaulay的非完全相交Gorenstein单项曲线，则可能的Betti序列为（1，5，5，1），（1，5，6，2）和（1，6，8，3）.
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4-生成的非Cohen-Macaulay切锥的伪对称多项式曲线
4-Generated Pseudo Symmetric Monomial Curves with not Cohen-Macaulay Tangent Cones
本文计算了原点不是Cohen-Macaulay切锥的4-生成伪对称半群的环面理想的标准基。由于切锥不是Cohen-Macaulay锥，不能保证局部环的Hilbert函数的非减性.因此，使用这些标准基，希尔伯特函数被显式地计算，作为希尔伯特函数的表征的一步。另外，当满足$k(α_2+1)<(k-1)α_1+(k+1)α_{21}+α_3$的最小整数为$1$时，证明了局部环的Hilbert函数是非减的.
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一类多项式曲线的Ratliff-Rush闭包与幂的积分闭包
Results on the Ratliff-Rush Closure and the Integral Closedness of Powers of Certain Monomial Curves
从\cite{Ayy2}出发，我们计算对应于等差数列的单项曲线的定义理想P的Groebner基，然后给出P的初始理想的幂的生成元的优美描述。本文的第一个结果给出了由二元多项式环中的Ratliff-Rush理想生成多元多项式环中的Ratliff-Rush理想的无限族的方法。第二个结果是证明了inP的所有幂都是Ratliff-Rush。证明是将本文的第一个结果与推论（12）结合应用于\cite{Ayy4}中。这将\cite{Ayy1}（或\cite{Ayy11}）的工作推广到等差数列的情况。最后，我们应用\cite{Ayy3}的主要结果给出了InP的任意幂的积分闭性的充要条件.
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三维空间中的行列式理想与单项曲线
Determinantal ideals and monomial curves in the three-dimensional space
我们证明了在仿射或射影三维空间中的每一条单项曲线的定义理想可以由三个二项方程集理论上定义，其中两个集理论上定义了一个由具有单项元素的$2\times 3$矩阵的2-未成年人生成的行列式理想。
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仿射空间的Hilbert点格式在单项式理想处的余切空间
The cotangent space at a monomial ideal of the Hilbert scheme of points of an affine space
设k是一个代数闭域。我们研究对应于k[x_1，.，.]的单项理想I的点t的余切空间x_r]仿射r空间n个点的Hilbert方案中（因此k[x_1，.，x_r]/I = I = n的长度）。由于t位于A^r_k的n个不同点所支持的子概型所对应的轨迹的闭包中，我们知道余切空间的k维总是>= r*n，并且t是非奇异的当且仅当维数等于r*n。我们构造了一个大小为r*n的余切向量的显式线性无关集S，然后探讨了I上S是或不是余切空间的基的条件.特别是，我们给了一个条件，我充分S是一个基础（相当于，t是非奇异的），适用于每一个单项式理想的情况下，r = 2个变量，和特点，这样的理想时，r = 3。我们还给出了一个容易检查的条件，充分的I S不是一个基础。
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完全交单项曲线及其切锥的Cohen-Macaulay性
Complete intersection monomial curves and the Cohen-Macaulayness of their tangent cones
设$C({\bf n})$是四维仿射空间中的一条完全交单项曲线。本文研究了单项曲线$C({\bf n}+w{\bf v})$的完全交性，其中$w>0$是整数，${\bf v} \in \mathbb{N}^{4}$是整数.我们还研究了$C({\bf n}+w{\bf v})$的切锥的Cohen-Macaulay性。
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P^n中集合论完全相交多项式曲线的生成
Producing Set Theoretic Complete Intersection Monomial Curves in P^n
本文从$\mathbb{P}^{n}$中的一条集合论完全交单项式曲线出发，给出了$\mathbb{P}^{n+1}$中集合论完全交单项式曲线的无穷多个例子。在大多数情况下，我们的结果不能得到通过半群粘合技术，我们可以明确区分哪些情况下是新的。
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单项空间曲线的乘子理想
Multiplier ideals of monomial space curves
本文的目的是在Howald关于单项式理想的乘子理想的公式的基础上，给出一个关于单项式空间曲线的乘子理想的公式。这是通过构造仿射空间的复曲面爆破来实现的，使得单式曲线的对数分辨率可以以良好控制的方式从该复曲面品种构造。
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几乎等差数列定义的$\mathbb{A}^{4}$中多项式曲线的最小分次自由分解
Minimal Graded Free Resolution for Monomial Curves in $\mathbb{A}^{4}$ defined by almost arithmetic sequences
令$\mm=(m_0,m_1,m_2,n)$是几乎算术序列，即，正整数序列与${\rm gcd}(m_0,m_1,m_2,n) = 1$，使得$m_0<m_1<m_2$形成等差数列，$n$是任意的，它们极小地生成数值半群$Γ= m_0\N + m_1\N + m_2\N + n\N$。让$k$成为一个字段。由$X_0=t^{m_0},X_{1}=t^{m_1},X_2=t^{m_3},Y=t^{n}$参数化定义的仿射单项曲线的齐次坐标环$k[Γ]$是分次$R$ -模，其中$R$是具有分次$°{X_i}:=m_i, °{Y}:=n$的多项式环$k[X_0,X_1,X_3, Y]$。本文构造了$k[Γ]$的最小分次自由分解。
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${\mathbb A}^n$中单项曲线对于$n\geq 4$的马尔可夫复杂性的无界性
Unboundedness of Markov complexity of monomial curves in ${\mathbb A}^n$ for $n\geq 4$
计算马尔可夫基的复杂性是一个非常具有挑战性的问题;没有公式是已知的一般和有很少的类环面理想的马尔可夫复杂性已计算。$\mathbb{A}^3$中的单项曲线$C$的马尔可夫复杂度为$m(C)$ 2或3。如果单项曲线完全相交，则为2，否则为3。我们的主要结果表明，在$\mathbb{A}^4$中不存在$d\in \mathbb{N}$使得$m(C)\leq d$对所有单项曲线$C$都是$m(C)\leq d$.即使我们限制为完全相交，结果也是一样的。我们将这个结果推广到$\mathbb{A}^n, n\geq 4$中的所有单项曲线。
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Gorenstein单项曲线的切锥方程
Equations defining tangent cones of Gorenstein monomial curves
设$C$是四维仿射空间中的Gorenstein非完全交单项曲线.本文研究了$C$的切锥的生成元的最小数目.将特别注意$C$在原点具有Cohen-Macaulay切锥的情况。
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关于伪对称单式曲线
On Pseudo Symmetric Monomial Curves
本文研究了与$4$生成的伪对称数值半群相关的单项曲线、环面理想和单项代数。即确定了这些环面理想的必不可少的二项式，给出了这些单项代数具有强必不可少的极小分次自由分解的一个刻划。我们还刻画了这些单项曲线在原点的切锥是Cohen-Macaulay的。
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基于Gröbner基的射影单项曲线的Cohen-Macaulay准则
Cohen-Macaulay criteria for projective monomial curves via Gröbner bases
我们证明了新的特征的基础上的Gröbner基地的Cohen-Macaulay性质的射影单项曲线。
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单项曲线的Castelnuovo-Mumford正则度的新的界及其在和集中的应用
New bounds on Castelnuovo--Mumford regularity of monomial curves and application to sumsets
本文在特定条件下给出了单项曲线正则度的更优界，通过研究Apery集和Frobenius数，提出新的判别准则，并提供算法用于检查Cohen-Macaulay和Buchsbaum性质，同时应用于和集结构研究。
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某些完全交单项式曲线的迷你通用形变的显式基
The miniversal deformation of certain complete intersection monomial curves
本文针对由自由半群定义的完全交单项式曲线，通过一般分解结果显式构造其迷你通用形变基，并据此估计相应曲线族模空间的维数。
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一类仿射曲线的射影闭包的导子模及其Poincaré级数
Derivation module and its Poincaré series of the projective closure of certain affine curves
本文的目的是计算某些仿射单项曲线的射影闭包的导子模的Poincaré级数。
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