The Lang-Trotter Conjecture for the elliptic curve $y^2=x^3+Dx$
设$E$是$\mathbb{Q}.$上的一条椭圆曲线。对于一个固定的整数$r,$，定义素数计数函数为$π_{E,r}(x):=\sum_{p\leq x,p\nmid Δ_E,a_p=r}1$ . Lang-Trotter猜想预测$$π_{E,r}(x)=C_{E,r}\cdot \frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x}+o(\frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x})$$为$x\longrightarrow \infty,$，其中$C_{E,r}$是特定的非负常数。Hardy-Littlewood猜想给出了一个类似于上述的关于$ax^2+bx+c$形式的素数个数的渐近公式。建立了椭圆曲线$y^2=x^3+Dx.$的Hardy-Littlewood猜想与Lang-Trotter猜想之间的关系。证明了Hardy-Littlewood猜想蕴含着$y^2=x^3+Dx.$的Lang-Trotter猜想。相反，如果Lang-Trotter猜想对某些具有正常数$C_{E,2r},$的$D$和$2r$成立（对于$y^2=x^3+Dx, p\nmid D, a_p$总是偶数），则多项式$x^2+r^2$表示无穷多个素数。对于素数$p$，如果$a_p=2r$，则$p$必然是$x^2+r^2$的形式。固定$r$和$D$，并假设Hardy-Littlewood猜想成立，我们得…
2021-08-13 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture on Average
对于$\ratq$上的椭圆曲线$E$和整数$r$，令$π_E^r(x)$是良好约化的素数$p\le x$的数目，使得$E/\fie_p$的Frobenius态射的迹等于$r$。我们考虑的数量$π_E^r(x)$平均在某些集合的椭圆曲线。更具体地说，我们建立以下：如果$A,B>x^{1/2+ε}$和$AB>x^{3/2+ε}$，那么在所有椭圆曲线$E$：$y^2=x^3+ax+b$与$a,b\in \intz$，$|a|\le A$和$|b|\le B$上的$π_E^r(x)$的算术平均值是$\sim C_r\sqrt{x}/\log x$，其中$C_r$是依赖于$r$的常数。这改进了C. David和F.帕帕拉迪此外，我们建立了一个“几乎所有”的结果$π_E^r(x)$。
2006-09-04 math.NT
On the Lang-Trotter and Sato-Tate Conjectures on Average for Polynomial Families of Elliptic Curves
我们表明，减少模素数$p\le x$的椭圆曲线$$ Y^2 = X^3 + f(a)X + g(b), $$的行为所预测的Lang-Trotter和Sato-Tate结构，平均超过整数$a \in [-A,A]$和$b \in [-B,B]$的$A$和$B$合理小相比，$x$，只要$f(T), g(T) \in \Z[T]$不是另一个多项式的权力$\Q$。对于$f(T) = g(T) = T$，这类结果是E. Fouvry和M. R. Murty并由其他作者进一步扩展。我们的技术与E. Fouvry和M. R. Murty这似乎不工作的情况下，一般多项式$f$和$g$。
2012-03-29 math.AG math.NT
Distribution of Farey Fractions in Residue Classes and Lang--Trotter Conjectures on Average
证明了$T$阶Farey分数的集合，即集合$\{α/β\in \Q : \gcd(α, β) = 1, 1 \le α, β\le T\}$，对于任何固定的$\eps>0$，在$T \ge p^{1/2 +\eps}$提供的素数$p$模的剩余类中是均匀分布的.我们应用此获得的上界的郎-特罗特曲率的Frobenius迹和Frobenius字段“平均”的一个参数的家庭的椭圆曲线。
2007-05-25 math.NT
Bounds for the Lang-Trotter conjectures
对于定义在有理数上的非CM椭圆曲线$E$，Lang和Trotter对素数$p\leq x$的数量进行了非常深入的猜测，其中$a_p(E)$是固定整数（并且对于该素数，$p$上的弗罗贝纽斯场是固定的虚二次域）。根据GRH，我们使用一个平滑版本的Chebotarev密度定理，以提高最知名的朗-特罗特上界的Murty，Murty和Saradha，Cojocaru和大卫。
2015-08-31 math.NT
Deformations of Galois Representations and the Theorems of Sato-Tate, Lang-Trotter and others
我们构造无限分歧伽罗瓦表示$ρ$，使$a_l (ρ)$的分布相反的语句的Sato-Tate，朗-特罗特等。利用类似的方法，我们变形的剩余伽罗瓦表示的数域，并获得一个无限分歧表示非常大的形象，推广了Ramakrishna的结果。
2011-03-23 math.NT
On the Lang--Trotter conjecture for Siegel modular forms
Indian Institute of Technology Jammu（印度技术学院贾姆谢浦尔分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
对于亏格2的尖点Siegel模特征形式，证明了与其相关的Galois表示相容系的adelic开像定理，推广了Ribet和Momose关于椭圆模形式的结果，并据此研究了Hecke特征值a_p的分布，得到了固定a∈C时集合{p≤x: a_p=a}大小的上界，类似于椭圆曲线的Lang--Trotter猜想。
2026-04-30 math.NT
Lang-Trotter phenomena and unlikely intersections
通过证明Lang-Trotter猜想对于椭圆曲线对的 implication，获得了曲线在A_3中的Zilber-Pink猜想的新情况，且不依赖边界交集假设，适用于潜在紧致曲线。
2026-06-25 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with Klein-$4$ reduced automorphism group
本文将平均 Lang-Trotter 猜想推广到约化自同构群包含 Klein 4-群的亏格 2 曲线族，并证明了相应的平均渐近结果。
2025-08-29 math.NT
Averages of elliptic curve constants
我们计算的平均值超过椭圆曲线的常数出现在朗-特罗特猜想，Koblitz猜想，和循环猜想。所得到的结果证实了这些定理与最近由不同作者得到的相应的“平均定理”的一致性。
2007-11-21 math.NT
On the Lang-Trotter conjecture for a class of non-generic abelian surfaces
针对一类与非CM椭圆曲线乘积Q-同源的非一般阿贝尔曲面，提出其Chebotarev-Sato-Tate分布的一致误差项猜想，并据此给出广义Lang-Trotter猜想的直接证明。
2022-11-18 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with $S_3$ reduced automorphism group
Graduate School of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息科学研究院）
本文研究了 genus-2 曲线的 Lang-Trotter 猜想，针对具有 S₃ 简化自同构群的曲线族，推导了与 Lang-Trotter 猜想平均情况相关的结果。
2026-10-12 math.NT
Lang--Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文研究CM椭圆曲线上的兰-特劳特猜想，给出无条件估计和条件渐进行为，并总结经典剩余结果及互易律。
2025-11-24 math.AG math.NT
The Square Sieve and a Lang-Trotter Question for Generic Abelian Varieties
设$A$是$\mathbb{Q}$上的一个$g$维阿贝尔簇，它的阿德拉伽罗瓦表示在$\text{GSp}_{2g} \widehat{\mathbb{Z}}$中有开象.研究了$p$的模素数$A$的约化的自同态代数$\text{End}(A_p) \otimes \mathbb{Q} = \mathbb{Q}( π_p )$，在该约化是普通的和简单的.我们获得条件和无条件的渐近上界的素数在这个“Frobenius场”是一个指定的数域，当$A$是二维的，在Frobenius场包含一个指定的实二次数域。这些调查继续调查的变种的Lang-Trotter猜想的椭圆曲线。
2017-03-02 math.NT
A Chebotarev variant of the Brun-Titchmarsh theorem and bounds for the Lang-Trotter conjectures
利用作者最近证明的Hecke L-函数的无对数零密度估计和零排斥现象，改进了Lagarias，Montgomery和Odlyzko证明的Brun-Titchmarsh定理的Chebotarev变体.我们的结果对Lang和Trotter关于Frobenius迹在椭圆曲线和全纯尖点模形式上的分布的两个定理的最佳无条件界产生了改进.对于正定积分二元二次型所表示的素数的素数分布也得到了新的结果。
2016-12-07 math.NT
A refined version of the Lang-Trotter Conjecture
设$E$为有理数上定义的椭圆曲线，$r$为固定整数。Lang和Trotter利用与$E$的除域和Sato-Tate分布的Chebotarev定理一致的概率模型，给出了直到$x$的素数个数的渐近公式，其中Frobenius迹等于$r$，其中$r$是{ \it固定}整数。然而，如本文所示，对于误差项具有一致界的区间$|r|\le 2\sqrt{x}$中的{ \it all} $r$，这种渐近估计不成立，因为这种估计与Chebotarev密度定理以及Sato-Tate猜想相矛盾。本文的目的是将Lang-Trotter猜想改进为一个渐近公式，该公式对区间$|r|\le 2\sqrt{x}$中的任意整数$r$具有一致误差项.我们证明了我们的改进与Chebotarev定理为一个固定的部门领域的一致性，并与Sato-Tate猜想。我们还提出了数值证据的改进猜想。
2008-10-26 math.NT
Elliptic curves with missing Frobenius traces
令$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。1976年，Lang和Trotter猜想了良好归约的素数$p \leq X$的数量$π_{E,r}(X)$的渐近公式，其中与$E$相关的$p$处的Frobenius迹等于给定的固定整数$r$。我们研究椭圆曲线$E$在$\mathbb{Q}$有一个失踪的Frobenius跟踪，即计数函数$π_{E,r}(X)$保持有界为$X \rightarrow \infty$，对于一些$r \in \mathbb{Z}$。特别是，我们分类所有椭圆曲线$E$在$\mathbb{Q}(t)$有一个失踪的Frobenius跟踪。
2021-08-19 math.NT
Elliptic aliquot cycles of fixed length
Silverman和Stange定义了长度为L的整除循环的概念，用于定义在有理数上的固定椭圆曲线E，并推测了计数这种整除循环的函数的数量级。在本说明中，我们结合Lang-Trotter和Koblitz的渐近性，通过指定适当的常数，将他们的猜想改进为精确的渐近公式。我们给出了一个判定该常数为正的判据，并给出了一些数值证据。
2012-12-05 math.NT
Primitive divisors of sequences associated to elliptic curves
本文研究椭圆曲线上点序列坐标分母的素因子存在性，证明素数阶挠点情形下大 $n$ 时必有素因子，并揭示其与 Lang-Trotter 猜想的关联。
2019-06-03 math.NT
A Lang-Trotter Problem for Non-Geometric Quadratic Inductions
Department of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
针对非几何二次诱导表示，证明当权重对非有理时素数计数为亚多项式增长，当权重对为有理非整数时仅有有限多个，主要方法为刚性定理与Pila-Wilkie计数。
2026-09-09 math.NT
Average Frobenius distribution for elliptic curves defined over finite Galois extensions of the rationals
设$K$是一个固定的数域，假设是$\mathbb Q$上的伽罗瓦。设$r$和$f$是固定整数，其中$f$为正。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑了Frobenius迹等于$r$的$K$的$f$素理想的次数的计数问题.除了在$f=2$的情况下，我们表明，“平均”的数量，这样的素理想的范数小于或等于$x$满足一个渐近恒等式，是按照标准的数学。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
2012-10-17 math.NT
Sums of Euler products and statistics of elliptic curves
我们提出了几个结果相关的统计椭圆曲线在有限域$\mathbb{F}_p$作为推论的一般定理的平均欧拉产品，我们证明。在这个一般的框架中，我们可以重新证明已知的结果，如平均朗-特罗特猜想，平均Koblitz猜想，和垂直的Sato-Tate猜想，即使是很短的时间间隔，以前的方法无法访问。我们还计算统计的新问题，如问题的友好对和整除周期，首先介绍了西尔弗曼和斯坦格。我们的技术是相当灵活的，应该很容易适用于广泛的类似问题。我们的结果的出发点是一个定理的Gekeler给出了一个重新解释的杜林定理的欧拉产品涉及随机矩阵，从而直接连接（垂直）水平分布和垂直分布。我们的主要技术结果表明，在一定条件下，加权平均的欧拉产品是渐近的欧拉产品的平均因素。
2016-09-26 math.NT
Prescribed Complex Multiplication in Reductions of Elliptic Curves
Concordia University（康科迪亚大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
该研究针对有理数域上特定非复乘椭圆曲线与虚二次域，证明存在无穷多素数使得椭圆曲线在该素数处的弗罗贝尼乌斯域等于给定虚二次域，建立了相关计数函数的下界与上界，方法涉及复乘理论等。
2026-11-10 math.NT
A statistical view on the conjecture of Lang about the canonical height on elliptic curves
我们采用一个统计的观点对朗猜想预测的一个下界的非挠有理点的椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$上的典范高度。更具体地说，我们证明了在家庭的所有椭圆曲线定义在$\mathbb{Q}$和具有正秩，有一个密度为1的曲线族，满足一个强形式的郎猜想。
2019-02-22 math.NT
On the acyclicity of reductions of elliptic curves modulo primes in arithmetic progressions
本文研究椭圆曲线模素数约化群的循环性，刻画了使同余于 $a\bmod n$ 的几乎所有素数对应约化群均非循环的等差数列，并回答了 Akbal 与 Güloğlu 的问题。
2023-08-21 math.NT
Proof of Serge Lang's Heights Conjecture and an almost optimal Bound for the Torsion of Elliptic Curves
本文主要讨论了SergeLang的Heights猜想的完全有效证明。作为一个补充结果，作者给出了关于椭圆曲线挠率界的Mazur-Merel定理的一个新的证明，并改进了已知结果，给出了一个关于基域阶的小多项式界.（已提交）
2018-09-08 math.NT
Lang's Conjecture and Sharp Height Estimates for the elliptic curves $y^{2}=x^{3}+ax$
对于由方程$E_{a}: y^{2}=x^{3}+ax$给出的椭圆曲线，我们建立了Lang猜想关于非挠点的标准高度的下界的最佳可能版本，以及标准高度和对数高度之差的最佳可能上界和下界.
2013-07-17 math.NT
Lang's conjecture and sharp height estimates for the elliptic curves $y^{2}=x^{3}+b$
对于$E_{b}: y^{2}=x^{3}+b$，我们建立了郎猜想的一个下界的典范高度的非挠点以及上限和下界之间的差异的典范和对数的高度。在许多情况下，我们的结果实际上是最好的。
2016-05-20 math.NT
Square-free discriminants of Frobenius rings
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线。众所周知，$E_p$的自同态环，$E$模普通约化的素数$p$的约化，是由Frobenius元素$π_p$生成的二次虚域$Q(π_p)$的阶。当曲线有复数乘法（CM）时，这总是一个固定的字段，因为素数变化。然而，当曲线没有CM时，我们所知甚少，不仅关于阶，而且关于可能出现为改变素数的自同态代数的域。自同态环与Frobenius元的特征多项式的判别式$a_p^2-4p$的运算密切相关。在本文中，我们感兴趣的功能$π_{E,r,h}(x)$计数的素数$p$的数量$x$，使$a_p^2-4p$是无平方和在同余类$r$模$h$。本文给出了在有理数上定义的椭圆曲线上求平均时$π_{E,r,h}(x)$的精确渐近性，并讨论了这个结果与Lang-Trotter猜想以及与曲线模$p$有关的其它问题的关系.
2008-05-06 math.NT
Supersingular reduction and strongly special intersections in powers of the modular curve
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文基于Daworrpap和Dawpap的工作，在假设弱化Lang-Trotter猜想下，证明了Y(1)^n中的两个Zilber-Pink型陈述。
2026-06-25 math.AG math.NT
Arithmetic properties of the Frobenius traces defined by a rational abelian variety (with two appendices by J-P. Serre)
令$A$是$\mathbb{Q}$上维数为$g$的阿贝尔簇，使得其相关联的绝对伽罗瓦表示$ρ_A$的像在$\operatorname{GSp}_{2g}(\hat{\mathbb{Z}})$中是开的。本文研究了在$ρ_A$下，在$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$中的Frobenius在$p$上的迹$a_{1, p}$的算法，模变素数$p$ .特别是，我们得到的计数函数$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的上界，我们证明了一个Erdös-Kac型定理的数量的素因子的$a_{1, p}$。我们还提出了一个关于$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的渐近行为的猜想，它推广了S. Lang和H. Trotter从1976年开始研究椭圆曲线。
2016-04-21 math.NT
Bounded ranks and Diophantine error terms
证明了Lang关于丢番图逼近中误差项的猜想蕴涵了Honda关于数域上椭圆曲线秩的猜想.我们还表明，即使是一个非常弱的版本的郎的错误项猜想将足以推导出的秩的有界性的二次扭曲的椭圆曲线在数域上。这可以被看作是秩的有界性不依赖于椭圆曲线上的概率几何的证据。
2018-06-29 math.NT
Computing all S-integral points on elliptic curves
本文综合了Siegel-Baker-Coates方法和Lang-Zagier方法的优点，计算了有理函数上Weierstrass标准形的椭圆曲线上的S-整点。这样我们就能克服q-adic椭圆型中线性型没有明确下界的问题。我们提出了一个有效的算法来确定所有的S-整点的曲线。
1997-11-26 math.NT
Integral points on elliptic curves and explicit valuations of division polynomials
假定椭圆曲线上无挠点高度的Lang限制下界，证明了存在一个绝对常数C，使得对任意椭圆曲线E/Q和E（Q）中的无挠点P，至多存在一个整数倍[n]P，使得n > C.该证明是一个修改的证明英格拉姆给一个无条件的，但不统一的约束。新的成分是一个明确的公式集合的序列的估值的司多项式。对于非奇异约化的P，这样的序列在大多数情况下已经得到了很好的描述，但是对于奇异约化的P，我们定义了一类新的序列，称为椭圆troublemaker序列，它度量了Neron局部高是二次的失败。作为Lang和Hall猜想的一个推论，我们得到了具有两个大整数倍的整数点的h（P）/h（E）的一致上界.
2014-12-29 math.NT
Non-dense sets of subvarieties in a power of an elliptic curve
设V是嵌入在椭圆曲线的幂中的代数簇，两者都定义在代数数上。我们证明了V的代数点集是有界的高度和满足一定的代数条件是V的非稠密子集。这一结果在Pink-Zilber猜想和Mordel-Lang加Bogomolov定理的背景下有影响。
2009-05-19 math.NT
Elliptic curves over function fields with a large set of integral points
我们构造了$\mathbb{F}_q(t)$上的等平凡和非等平凡椭圆曲线，其中具有任意大的可分整点集。作为这个构造的应用，我们证明了在$\mathbb_{F}_q(t)$上存在等平凡的对数一般型簇，且该簇具有可分整点的Zapriki稠密集.这提供了一个反例，自然翻译的朗-沃伊塔猜想的功能领域的设置。我们还表明，我们的主要结果提供了一个明确的和任意大的一组线性无关点的椭圆曲线的例子。
2012-11-04 math.NT
The uniform primality conjecture for elliptic curves
一个椭圆整除序列，产生的一个点的形象的一个合理的isotropic，具有一致有界的素数项。这个结果适用于有理数，假设郎猜想，并在有理函数域，无条件。在后一种情况下，得到了素数项的指数的一致界。这些技术的锐化版本显示，导致明确的结果，所有的不可约项可以计算。
2007-12-17 math.NT
Experimental investigations on Lehmer's conjecture for elliptic curves
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Leiden University（莱顿大学）；Utrecht University（乌得勒支大学）；University of Vermont（佛蒙特大学）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出计算椭圆曲线上固定次数数域中最小典范高度非挠点的方法，并基于收集的数据实验研究 Lehmer 与 Lang 猜想。
2025-10-10 math.NT
About the Proof of Lang's Height Conjecture
这是一个非正式的文件，介绍历史的结果，围绕最近的文件，作者对朗的猜想和扭转的椭圆曲线。本文还讨论了证明的几个方面。
2017-09-12 math.NT
Ray class fields generated by torsion points of certain elliptic curves
我们首先规范化的导数Weierstrass $\wp'$ -函数出现在Weierstrass方程，从而导致解析参数化的椭圆曲线的Dedekind $η$ -功能。利用$\wp'$的这种正规化，我们将椭圆曲线与一个给定的虚二次域$K$相联系，然后通过邻接该椭圆曲线的$K$扭点，生成$K$上的束类域的无限族.进一步利用$\wp'$的正规化奇异值作为该椭圆曲线的Weierstrass方程的$y$坐标，构造了虚二次域的射线类不变量，这是利用Siegel-Ramachandra不变量构造$K$上束类域的Lang-Schertz猜想的部分结果.
2010-07-14 math.NT
Linear $x$-coordinate relations of triples on elliptic curves
本文分类了复数域上椭圆曲线 E^3 中 x-坐标满足线性方程的椭圆曲线平移，并借此建立有限秩子群秩与线性相关三元组之间的联系，融合复解析技巧与一致 Mordell-Lang 猜想成果。
2023-10-26 math.NT
Divisibility sequences related to abelian varieties isogenous to a power of an elliptic curve
本文研究定义在数域上、经同源映射到椭圆曲线幂的阿贝尔簇中秩为1的点所诱导的整除序列，并揭示其与椭圆整除序列的联系。
2025-07-24 math.NT
On Jacquet-Langlands isogeny over function fields
本文给出了超椭圆Drinfeld模曲线的Jacobian到$\mathcal{D}$ -椭圆层的超椭圆模曲线的Jacobian的一个显式等价关系。等距的核是尖形因子群的一个子群，通过检查从尖形因子群到分量群的典型映射而构造。
2011-03-30 math.NT
Uniformization of modular elliptic curves via p-adic periods
朗兰兹纲领预言，在数域K上具有整数Hecke特征值的权为2的新形式f一般应具有一条在K上的相应的椭圆曲线E_f。在我们以前的文章中，我们在Darmon和Greenberg的工作基础上，在一定的假设下，把一个p-adic格与f联系起来，并隐式地证明了这个格与E_f的p-adic Tate格是可同构的。本文详细地提出了这一猜想，并讨论了如何利用它直接从f计算关于几何E_f的显式Weierstrass方程。我们为此开发算法，并实现它们，以便进行广泛的系统计算，其中我们计算魏尔斯特拉斯方程的数百个椭圆曲线，一些具有巨大的高度，在几十个领域。我们获得的数据提供了压倒性的支持量的猜想，并进一步表明，该猜想提供了一个有效的工具，建立数据库的椭圆曲线在数域上。
2015-01-14 math.NT
Explicit height bounds and the explicit Mordell-Lang Conjecture
本文综述了丢番图几何中的一些里程碑式的定理和最近的一些成果。在椭圆情形下，我们证明了挠反常点的一些新的界，并阐明了几个高度界对有效Mordell-Lang猜想的意义。我们还明确约束的Neron-Tate高度的有理点的曲线族的增加属。
2016-09-15 math.NT
Patterns on elliptic curves beyond Bremner's conjecture
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文基于Bremner猜想，研究椭圆曲线上的更一般模式，通过结合Nevanlinna理论和统一的Mordell-Lang定理，获得与秩相关的统一界。
2026-05-14 math.NT
Heights and regulators of number fields and elliptic curves
比较了数域上的不变量与数域上的阿贝尔簇不变量之间的一般不等式。在数域方面，我们注意到只有有限个非CM数域具有有界调节子。在阿贝尔方面，假设Lang和Silverman的高度猜想，我们得到了数域上具有稠密有理点的阿贝尔簇集合上的调节器的Northcott性质。这相当于说，CM领域的算术是类似的，相对于这里考虑的不变量，算术的阿贝尔簇在一个数字领域有一个非Zebriki密集的Mordell-Weil群。
2016-10-06 math.NT
Almost all quadratic twists of an elliptic curve have no integral points
本文证明了在短 Weierstrass 形式下，椭圆曲线的几乎所有二次扭曲都没有整点，在部分 2-挠群情况下条件依赖于 Hall-Lang 猜想的弱形式，核心方法是通过 Mordell 对应与二元四次型约化理论转化问题，并利用特征和估计的抵消性质完成证明。
2024-01-09 math.NT
On Larsen's conjecture on the ranks of Elliptic Curves
本文针对定义在有理数域上的椭圆曲线，在Galois群的有限生成子群由某些无限元素族生成的情形下，证明了关于Mordell-Weil群秩为无限的Larsen猜想。
2024-11-21 math.NT
Finiteness theorems on elliptical billiards and a variant of the Dynamical Mordell-Lang Conjecture
我们提供了一些定理，主要是有限性，某些模式在椭圆台球，有关的周期性轨迹。例如，如果两个运动员在给定位置击球，并且方向在$(0,π)$中形成固定角度，则两个轨迹都是周期性的情况只有20%。另一个例子是台球杆的有限性，它把一个给定的球送入另一个球，使这个球最终落入一个洞。这些结果起源于马宁-芒福德猜想的“相对”情况，并构成算术内容如何影响混沌行为（台球）的实例。我们还将通过一个动态莫德尔-朗猜想的变体来解释这些陈述。反过来，这包括的情况下，有些令人惊讶的是，可以处理（只有）完全不同的方法相比，前者;在这里，我们将提供一个明确的例子有关的丢番图方程在代数环面。
2021-07-18 math.AG math.DS math.NT
The intersection of a curve with a union of translated codimension 2 subgroups in a power of an elliptic curve
设C是椭圆曲线的幂的代数曲线，两者都定义在代数数上。证明了满足一定条件的C的代数点集是有限集。这一结果与Pink-Zilber猜想和曲线的Mordel-Lang加Bogomolov定理有关。
2008-06-03 math.AG math.NT
Combinatorial Aspects of Elliptic Curves II: Relationship between Elliptic Curves and Chip-Firing Games on Graphs
设q是素数的幂，E是定义在F_q上的椭圆曲线.在“椭圆曲线的组合方面“[17]中，本文作者研究了一个多项式序列，该多项式序列用参数q和N_1 = #E（F_q）表示N_k，即在域扩张F_{q^k}上E上的点数。这些多项式的整数系数交替的符号，和轮图的生成树的组合解释。在这篇续集中，我们将进一步探讨这种联系的后果。特别是，我们强调之间的关系椭圆曲线和芯片发射游戏的图通过比较的群体结构。作为一个尾声，我们构造了一个循环有理语言，其zeta函数是对偶的椭圆曲线。
2007-10-02 math.CO math.NT
A Computationally Surveyable Proof of the Group Properties of an Elliptic Curve
我们提出了一个基本的证明组属性的椭圆曲线被称为“曲线25519”，作为一个组件的一个全面的证明的正确性的硬件实现相关的Diffie-Hellman密钥协商算法。整个证明已经形式化，并与ACL 2机械验证，并在这个意义上，所有的步骤，需要机械支持的方式，他们可以很容易地复制在任何合适的程序设计语言的计算调查。
2017-05-03 cs.CR math.NT
Perfect powers in elliptic divisibility sequences
本文研究椭圆可除序列中完全幂的有限性问题，通过构造全实域上的Frey曲线并结合模性与降阶论证，在三个附加假设下给出肯定回答，且在Langlands纲领标准猜想下可放宽假设得到相同结论。
2023-12-14 math.NT
