On the Lang-Trotter conjecture for two elliptic curves
继郎和特罗特，我们描述了一个概率模型，预测素数分布$p$与给定的Frobenius迹在$p$为两个固定的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$。此外，我们提出了明确的欧拉产品表示的常数在预测的渐近公式，并详细描述了这个常数的通用组件。一个新的特点是，在某些情况下，决定普适常数的$\ell$ -因子的$\ell$ -adic极限不稳定，这与单个椭圆曲线的朗-特罗特猜想不同。我们还证明了猜想平均超过一个家庭的椭圆曲线以下工作的大卫，Koukoulopoulos，史密斯。
2017-11-11 math.NT
Distribution of Farey Fractions in Residue Classes and Lang--Trotter Conjectures on Average
证明了$T$阶Farey分数的集合，即集合$\{α/β\in \Q : \gcd(α, β) = 1, 1 \le α, β\le T\}$，对于任何固定的$\eps>0$，在$T \ge p^{1/2 +\eps}$提供的素数$p$模的剩余类中是均匀分布的.我们应用此获得的上界的郎-特罗特曲率的Frobenius迹和Frobenius字段“平均”的一个参数的家庭的椭圆曲线。
2007-05-25 math.NT
On the Constants of the Lang-Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文通过检验 20 条 CM 椭圆曲线，验证 Wan–Xi 所得显式常数等于原 Lang-Trotter 常数，并确立相关猜想关于 r 的等价性。
2024-06-13 math.NT
Lang-Trotter phenomena and unlikely intersections
通过证明Lang-Trotter猜想对于椭圆曲线对的 implication，获得了曲线在A_3中的Zilber-Pink猜想的新情况，且不依赖边界交集假设，适用于潜在紧致曲线。
2026-06-25 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with Klein-$4$ reduced automorphism group
本文将平均 Lang-Trotter 猜想推广到约化自同构群包含 Klein 4-群的亏格 2 曲线族，并证明了相应的平均渐近结果。
2025-08-29 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture for products of non-CM elliptic curves
受Lang-Trotter关于定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的具有固定Frobenius迹的素数的密度的工作以及随后Cojocaru-Davis-Silverberg-Stange对一般阿贝尔簇的推广的启发，我们研究了与$\mathbb{Q}$上的非CM椭圆曲线的乘积同构的阿贝尔曲面的类似问题.我们制定相应的几何渐近，提供上界，并明确计算（当椭圆曲线位于一个薄集外）的算术显着常数出现在渐近。这使我们能够提供计算证据的猜想。
2020-06-19 math.NT
On the Lang-Trotter conjecture for a class of non-generic abelian surfaces
针对一类与非CM椭圆曲线乘积Q-同源的非一般阿贝尔曲面，提出其Chebotarev-Sato-Tate分布的一致误差项猜想，并据此给出广义Lang-Trotter猜想的直接证明。
2022-11-18 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with $S_3$ reduced automorphism group
Graduate School of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息科学研究院）
本文研究了 genus-2 曲线的 Lang-Trotter 猜想，针对具有 S₃ 简化自同构群的曲线族，推导了与 Lang-Trotter 猜想平均情况相关的结果。
2026-10-12 math.NT
A Chebotarev variant of the Brun-Titchmarsh theorem and bounds for the Lang-Trotter conjectures
利用作者最近证明的Hecke L-函数的无对数零密度估计和零排斥现象，改进了Lagarias，Montgomery和Odlyzko证明的Brun-Titchmarsh定理的Chebotarev变体.我们的结果对Lang和Trotter关于Frobenius迹在椭圆曲线和全纯尖点模形式上的分布的两个定理的最佳无条件界产生了改进.对于正定积分二元二次型所表示的素数的素数分布也得到了新的结果。
2016-12-07 math.NT
A refined version of the Lang-Trotter Conjecture
设$E$为有理数上定义的椭圆曲线，$r$为固定整数。Lang和Trotter利用与$E$的除域和Sato-Tate分布的Chebotarev定理一致的概率模型，给出了直到$x$的素数个数的渐近公式，其中Frobenius迹等于$r$，其中$r$是{ \it固定}整数。然而，如本文所示，对于误差项具有一致界的区间$|r|\le 2\sqrt{x}$中的{ \it all} $r$，这种渐近估计不成立，因为这种估计与Chebotarev密度定理以及Sato-Tate猜想相矛盾。本文的目的是将Lang-Trotter猜想改进为一个渐近公式，该公式对区间$|r|\le 2\sqrt{x}$中的任意整数$r$具有一致误差项.我们证明了我们的改进与Chebotarev定理为一个固定的部门领域的一致性，并与Sato-Tate猜想。我们还提出了数值证据的改进猜想。
2008-10-26 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture for the elliptic curve $y^2=x^3+Dx$
设$E$是$\mathbb{Q}.$上的一条椭圆曲线。对于一个固定的整数$r,$，定义素数计数函数为$π_{E,r}(x):=\sum_{p\leq x,p\nmid Δ_E,a_p=r}1$ . Lang-Trotter猜想预测$$π_{E,r}(x)=C_{E,r}\cdot \frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x}+o(\frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x})$$为$x\longrightarrow \infty,$，其中$C_{E,r}$是特定的非负常数。Hardy-Littlewood猜想给出了一个类似于上述的关于$ax^2+bx+c$形式的素数个数的渐近公式。建立了椭圆曲线$y^2=x^3+Dx.$的Hardy-Littlewood猜想与Lang-Trotter猜想之间的关系。证明了Hardy-Littlewood猜想蕴含着$y^2=x^3+Dx.$的Lang-Trotter猜想。相反，如果Lang-Trotter猜想对某些具有正常数$C_{E,2r},$的$D$和$2r$成立（对于$y^2=x^3+Dx, p\nmid D, a_p$总是偶数），则多项式$x^2+r^2$表示无穷多个素数。对于素数$p$，如果$a_p=2r$，则$p$必然是$x^2+r^2$的形式。固定$r$和$D$，并假设Hardy-Littlewood猜想成立，我们得…
2021-08-13 math.NT
On the Lang--Trotter conjecture for Siegel modular forms
Indian Institute of Technology Jammu（印度技术学院贾姆谢浦尔分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
对于亏格2的尖点Siegel模特征形式，证明了与其相关的Galois表示相容系的adelic开像定理，推广了Ribet和Momose关于椭圆模形式的结果，并据此研究了Hecke特征值a_p的分布，得到了固定a∈C时集合{p≤x: a_p=a}大小的上界，类似于椭圆曲线的Lang--Trotter猜想。
2026-04-30 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture on Average
对于$\ratq$上的椭圆曲线$E$和整数$r$，令$π_E^r(x)$是良好约化的素数$p\le x$的数目，使得$E/\fie_p$的Frobenius态射的迹等于$r$。我们考虑的数量$π_E^r(x)$平均在某些集合的椭圆曲线。更具体地说，我们建立以下：如果$A,B>x^{1/2+ε}$和$AB>x^{3/2+ε}$，那么在所有椭圆曲线$E$：$y^2=x^3+ax+b$与$a,b\in \intz$，$|a|\le A$和$|b|\le B$上的$π_E^r(x)$的算术平均值是$\sim C_r\sqrt{x}/\log x$，其中$C_r$是依赖于$r$的常数。这改进了C. David和F.帕帕拉迪此外，我们建立了一个“几乎所有”的结果$π_E^r(x)$。
2006-09-04 math.NT
On the Lang-Trotter and Sato-Tate Conjectures on Average for Polynomial Families of Elliptic Curves
我们表明，减少模素数$p\le x$的椭圆曲线$$ Y^2 = X^3 + f(a)X + g(b), $$的行为所预测的Lang-Trotter和Sato-Tate结构，平均超过整数$a \in [-A,A]$和$b \in [-B,B]$的$A$和$B$合理小相比，$x$，只要$f(T), g(T) \in \Z[T]$不是另一个多项式的权力$\Q$。对于$f(T) = g(T) = T$，这类结果是E. Fouvry和M. R. Murty并由其他作者进一步扩展。我们的技术与E. Fouvry和M. R. Murty这似乎不工作的情况下，一般多项式$f$和$g$。
2012-03-29 math.AG math.NT
Théorème de Chebotarev et complexité de Littlewood
Chebotarev密度定理在广义黎曼假设和Artin猜想下的有效形式（cf. Iwaniec and Kowalski's解析数论，5.13）涉及有限群$G$的子集$D$的数值不变量，我们称之为$D$的Littlewood复杂度。我们详细研究了这个不变量。利用这项研究，和一个新的应用程序的大筛，我们给出了改进版本的两个标准问题有关Chebotarev：第一个总理的限制在一个Frobenian集，和渐近的一组素数与给定的Frobenius在一个无限的伽罗瓦扩展。然后，我们给出了具体的应用，在数论中的各种问题，如第一原根模一个素数$\ell$，因式分解的整数多项式模素数，朗-特罗特猜想及其推广，和塞尔的一致性猜想。
2013-08-05 math.NT
A Lang-Trotter Problem for Non-Geometric Quadratic Inductions
Department of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
针对非几何二次诱导表示，证明当权重对非有理时素数计数为亚多项式增长，当权重对为有理非整数时仅有有限多个，主要方法为刚性定理与Pila-Wilkie计数。
2026-09-09 math.NT
Lang--Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文研究CM椭圆曲线上的兰-特劳特猜想，给出无条件估计和条件渐进行为，并总结经典剩余结果及互易律。
2025-11-24 math.AG math.NT
Let $E$ be an elliptic curve defined over $\mathbb{Q}$. In 1976, Lang and Trotter conjectured an asymptotic formula for the number $π_{E,r}(X)$ of primes $p \leq X$ of good reduction for which the Frobenius trace at $p$ associated to $E$ is equal to a given fixed integer $r$. We investigate elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$ that have a missing Frobenius trace, i.e. for which the counting function $π_{E,r}(X)$ remains bounded as $X \rightarrow \infty$, for some $r \in \mathbb{Z}$. In particular, we classify all elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}(t)$ that have a missing Frobenius trace.
2021-08-19 math.NT
Average Frobenius distribution for the degree two primes of a number field
设$K$为数字字段，$r$为整数。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑Frobenius迹等于$r$的$K$的二次素理想的个数问题.在$K$的某些限制下，我们证明了“平均”这样的素理想的范数小于或等于$x$的数量满足一个渐近恒等式，这是按照标准的代数。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
2013-07-05 math.NT
Average Frobenius distribution for elliptic curves defined over finite Galois extensions of the rationals
设$K$是一个固定的数域，假设是$\mathbb Q$上的伽罗瓦。设$r$和$f$是固定整数，其中$f$为正。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑了Frobenius迹等于$r$的$K$的$f$素理想的次数的计数问题.除了在$f=2$的情况下，我们表明，“平均”的数量，这样的素理想的范数小于或等于$x$满足一个渐近恒等式，是按照标准的数学。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
2012-10-17 math.NT
Arithmetic properties of the Frobenius traces defined by a rational abelian variety (with two appendices by J-P. Serre)
令$A$是$\mathbb{Q}$上维数为$g$的阿贝尔簇，使得其相关联的绝对伽罗瓦表示$ρ_A$的像在$\operatorname{GSp}_{2g}(\hat{\mathbb{Z}})$中是开的。本文研究了在$ρ_A$下，在$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$中的Frobenius在$p$上的迹$a_{1, p}$的算法，模变素数$p$ .特别是，我们得到的计数函数$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的上界，我们证明了一个Erdös-Kac型定理的数量的素因子的$a_{1, p}$。我们还提出了一个关于$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的渐近行为的猜想，它推广了S. Lang和H. Trotter从1976年开始研究椭圆曲线。
2016-04-21 math.NT
Supersingular reduction and strongly special intersections in powers of the modular curve
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文基于Daworrpap和Dawpap的工作，在假设弱化Lang-Trotter猜想下，证明了Y(1)^n中的两个Zilber-Pink型陈述。
2026-06-25 math.AG math.NT
Square-free discriminants of Frobenius rings
设$E$是$\Q$上的椭圆曲线。众所周知，$E_p$的自同态环，$E$模普通约化的素数$p$的约化，是由Frobenius元素$π_p$生成的二次虚域$Q(π_p)$的阶。当曲线有复数乘法（CM）时，这总是一个固定的字段，因为素数变化。然而，当曲线没有CM时，我们所知甚少，不仅关于阶，而且关于可能出现为改变素数的自同态代数的域。自同态环与Frobenius元的特征多项式的判别式$a_p^2-4p$的运算密切相关。在本文中，我们感兴趣的功能$π_{E,r,h}(x)$计数的素数$p$的数量$x$，使$a_p^2-4p$是无平方和在同余类$r$模$h$。本文给出了在有理数上定义的椭圆曲线上求平均时$π_{E,r,h}(x)$的精确渐近性，并讨论了这个结果与Lang-Trotter猜想以及与曲线模$p$有关的其它问题的关系.
2008-05-06 math.NT
Infinitely many primes with a fixed Frobenius field for an elliptic curve over $\mathbb{Q}$
Concordia University（康科迪亚大学）；Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
该研究针对有理数域上特定非复乘椭圆曲线与虚二次域，证明存在无穷多素数使得椭圆曲线在该素数处的弗罗贝尼乌斯域等于给定虚二次域，建立了相关计数函数的下界与上界，方法涉及复乘理论等。
2026-08-19 math.NT
On the acyclicity of reductions of elliptic curves modulo primes in arithmetic progressions
本文研究椭圆曲线模素数约化群的循环性，刻画了使同余于 $a\bmod n$ 的几乎所有素数对应约化群均非循环的等差数列，并回答了 Akbal 与 Güloğlu 的问题。
2023-08-21 math.NT
