On the distribution of traces of Frobenius for families of elliptic curves and the Lang-Trotter conjecture on average
我们得到分布结果的轨迹Frobenius的各种家庭的椭圆曲线的朗-特罗特猜想，极值素数，和中心极限定理。这包括一些概括和界限有关的工作沙-Shparlinski平均朗-特罗特猜想单参数家庭的椭圆曲线和工作的各个作者的跟踪Frobenius素数的同余类。对于模形式也得到了一些结果。
2021-09-13 math.NT
Bounds for the Lang-Trotter conjectures
对于定义在有理数上的非CM椭圆曲线$E$，Lang和Trotter对素数$p\leq x$的数量进行了非常深入的猜测，其中$a_p(E)$是固定整数（并且对于该素数，$p$上的弗罗贝纽斯场是固定的虚二次域）。根据GRH，我们使用一个平滑版本的Chebotarev密度定理，以提高最知名的朗-特罗特上界的Murty，Murty和Saradha，Cojocaru和大卫。
2015-08-31 math.NT
On the Lang-Trotter conjecture for two elliptic curves
继郎和特罗特，我们描述了一个概率模型，预测素数分布$p$与给定的Frobenius迹在$p$为两个固定的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$。此外，我们提出了明确的欧拉产品表示的常数在预测的渐近公式，并详细描述了这个常数的通用组件。一个新的特点是，在某些情况下，决定普适常数的$\ell$ -因子的$\ell$ -adic极限不稳定，这与单个椭圆曲线的朗-特罗特猜想不同。我们还证明了猜想平均超过一个家庭的椭圆曲线以下工作的大卫，Koukoulopoulos，史密斯。
2017-11-11 math.NT
Distribution of Farey Fractions in Residue Classes and Lang--Trotter Conjectures on Average
证明了$T$阶Farey分数的集合，即集合$\{α/β\in \Q : \gcd(α, β) = 1, 1 \le α, β\le T\}$，对于任何固定的$\eps>0$，在$T \ge p^{1/2 +\eps}$提供的素数$p$模的剩余类中是均匀分布的.我们应用此获得的上界的郎-特罗特曲率的Frobenius迹和Frobenius字段“平均”的一个参数的家庭的椭圆曲线。
2007-05-25 math.NT
On the Constants of the Lang-Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文通过检验 20 条 CM 椭圆曲线，验证 Wan–Xi 所得显式常数等于原 Lang-Trotter 常数，并确立相关猜想关于 r 的等价性。
2024-06-13 math.NT
Lang-Trotter phenomena and unlikely intersections
通过证明Lang-Trotter猜想对于椭圆曲线对的 implication，获得了曲线在A_3中的Zilber-Pink猜想的新情况，且不依赖边界交集假设，适用于潜在紧致曲线。
2026-06-25 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with Klein-$4$ reduced automorphism group
本文将平均 Lang-Trotter 猜想推广到约化自同构群包含 Klein 4-群的亏格 2 曲线族，并证明了相应的平均渐近结果。
2025-08-29 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture for products of non-CM elliptic curves
受Lang-Trotter关于定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的具有固定Frobenius迹的素数的密度的工作以及随后Cojocaru-Davis-Silverberg-Stange对一般阿贝尔簇的推广的启发，我们研究了与$\mathbb{Q}$上的非CM椭圆曲线的乘积同构的阿贝尔曲面的类似问题.我们制定相应的几何渐近，提供上界，并明确计算（当椭圆曲线位于一个薄集外）的算术显着常数出现在渐近。这使我们能够提供计算证据的猜想。
2020-06-19 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with $S_3$ reduced automorphism group
Graduate School of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息科学研究院）
本文研究了 genus-2 曲线的 Lang-Trotter 猜想，针对具有 S₃ 简化自同构群的曲线族，推导了与 Lang-Trotter 猜想平均情况相关的结果。
2026-10-12 math.NT
The Square Sieve and a Lang-Trotter Question for Generic Abelian Varieties
设$A$是$\mathbb{Q}$上的一个$g$维阿贝尔簇，它的阿德拉伽罗瓦表示在$\text{GSp}_{2g} \widehat{\mathbb{Z}}$中有开象.研究了$p$的模素数$A$的约化的自同态代数$\text{End}(A_p) \otimes \mathbb{Q} = \mathbb{Q}( π_p )$，在该约化是普通的和简单的.我们获得条件和无条件的渐近上界的素数在这个“Frobenius场”是一个指定的数域，当$A$是二维的，在Frobenius场包含一个指定的实二次数域。这些调查继续调查的变种的Lang-Trotter猜想的椭圆曲线。
2017-03-02 math.NT
A Chebotarev variant of the Brun-Titchmarsh theorem and bounds for the Lang-Trotter conjectures
利用作者最近证明的Hecke L-函数的无对数零密度估计和零排斥现象，改进了Lagarias，Montgomery和Odlyzko证明的Brun-Titchmarsh定理的Chebotarev变体.我们的结果对Lang和Trotter关于Frobenius迹在椭圆曲线和全纯尖点模形式上的分布的两个定理的最佳无条件界产生了改进.对于正定积分二元二次型所表示的素数的素数分布也得到了新的结果。
2016-12-07 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture for the elliptic curve $y^2=x^3+Dx$
设$E$是$\mathbb{Q}.$上的一条椭圆曲线。对于一个固定的整数$r,$，定义素数计数函数为$π_{E,r}(x):=\sum_{p\leq x,p\nmid Δ_E,a_p=r}1$ . Lang-Trotter猜想预测$$π_{E,r}(x)=C_{E,r}\cdot \frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x}+o(\frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x})$$为$x\longrightarrow \infty,$，其中$C_{E,r}$是特定的非负常数。Hardy-Littlewood猜想给出了一个类似于上述的关于$ax^2+bx+c$形式的素数个数的渐近公式。建立了椭圆曲线$y^2=x^3+Dx.$的Hardy-Littlewood猜想与Lang-Trotter猜想之间的关系。证明了Hardy-Littlewood猜想蕴含着$y^2=x^3+Dx.$的Lang-Trotter猜想。相反，如果Lang-Trotter猜想对某些具有正常数$C_{E,2r},$的$D$和$2r$成立（对于$y^2=x^3+Dx, p\nmid D, a_p$总是偶数），则多项式$x^2+r^2$表示无穷多个素数。对于素数$p$，如果$a_p=2r$，则$p$必然是$x^2+r^2$的形式。固定$r$和$D$，并假设Hardy-Littlewood猜想成立，我们得…
2021-08-13 math.NT
On the Lang--Trotter conjecture for Siegel modular forms
Indian Institute of Technology Jammu（印度技术学院贾姆谢浦尔分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
对于亏格2的尖点Siegel模特征形式，证明了与其相关的Galois表示相容系的adelic开像定理，推广了Ribet和Momose关于椭圆模形式的结果，并据此研究了Hecke特征值a_p的分布，得到了固定a∈C时集合{p≤x: a_p=a}大小的上界，类似于椭圆曲线的Lang--Trotter猜想。
2026-04-30 math.NT
Applications of the square sieve to a conjecture of Lang and Trotter for a pair of elliptic curves over the rationals
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。设$p$是$E$的好约化素数.然后，对于素数$p \neq \ell$，与$p$相关联的Frobenius自同构（直到共轭为止是唯一的）作用于$E$的$\ell$ -adic Tate模。Frobenius自同构的特征多项式具有有理整数系数，并且与$\ell$无关。它的分裂场称为$E$在$p$的Frobenius场。令$E_1$和$E_2$是在$\mathbb{Q}$上定义的两条椭圆曲线，它们在$\overline{\mathbb{Q}}$上是非同构的，并且在$\overline{\mathbb{Q}}$上也没有复数乘法。与著名的单椭圆曲线的朗-特罗特猜想类似，自然要考虑计算素数$p \leq x$个数的函数的渐近行为，使得$E_1$和$E_2$在$p$处的弗罗贝纽斯场重合。在这个简短的说明中，使用Heath-Brown平方筛，我们提供了条件（基于广义黎曼假设）和无条件上界。
2018-06-14 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture on Average
对于$\ratq$上的椭圆曲线$E$和整数$r$，令$π_E^r(x)$是良好约化的素数$p\le x$的数目，使得$E/\fie_p$的Frobenius态射的迹等于$r$。我们考虑的数量$π_E^r(x)$平均在某些集合的椭圆曲线。更具体地说，我们建立以下：如果$A,B>x^{1/2+ε}$和$AB>x^{3/2+ε}$，那么在所有椭圆曲线$E$：$y^2=x^3+ax+b$与$a,b\in \intz$，$|a|\le A$和$|b|\le B$上的$π_E^r(x)$的算术平均值是$\sim C_r\sqrt{x}/\log x$，其中$C_r$是依赖于$r$的常数。这改进了C. David和F.帕帕拉迪此外，我们建立了一个“几乎所有”的结果$π_E^r(x)$。
2006-09-04 math.NT
A Lang-Trotter Problem for Non-Geometric Quadratic Inductions
Department of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
针对非几何二次诱导表示，证明当权重对非有理时素数计数为亚多项式增长，当权重对为有理非整数时仅有有限多个，主要方法为刚性定理与Pila-Wilkie计数。
2026-09-09 math.NT
Motivic Serre group and Sato--Tate conjecture
本文涉及代数佐藤-泰特和佐藤-泰特代数，根据塞尔的原始motivic制定，着眼于明确的计算佐藤-泰特集团。我们建立在代数框架的佐藤-泰特猜想在以前的论文中介绍，其中使用德利涅的动机类别的绝对霍奇周期，并限于动机的奇数重量。在这里，我们允许一般的重量和其他一些动机范畴，特别是安德烈的动机范畴的动机循环，此外，一些结果也是新的奇重量的情况下。本文由两个部分组成，在第一部分中，我们的工作在强兼容的家庭的$l$ -进表示与纯，理性，极化霍奇结构的框架，而在第二部分中，我们使用的语言的动机。
2023-02-25 math.AG math.NT
Lang--Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文研究CM椭圆曲线上的兰-特劳特猜想，给出无条件估计和条件渐进行为，并总结经典剩余结果及互易律。
2025-11-24 math.AG math.NT
The Explicit Sato-Tate Conjecture and Densities Pertaining to Lehmer-Type Questions
设$f(z)=\sum_{n=1}^\infty a(n)q^n\in S^{\text{new}}_ k (Γ_0(N))$是一个新形式，它具有无平方级$N$，且没有复数乘法.对于质数$p$，将$θ_p\in[0,π]$定义为$a(p)=2p^{( k -1)/2}\cos θ_p $的角度。设$I\subset[0,π]$为闭子区间，$dμ_{ST}=\frac{2}π\sin^2θdθ$为$I$的Sato-Tate测度。假设$f$的对称幂$L$ -函数满足一定的解析性质（所有这些性质都来自Langlands函性和广义黎曼假设），我们证明了如果$x$足够大，则\[ \left|\#\{p\leq x:θ_p\in I\} -μ_{ST}(I)\int_2^x\frac{dt}{\log t}\right|\ll\frac{x^{3/4}\log(N k x)}{\log x} \]具有隐含常数$3.34$ .通过让$I$是一个短的间隔为中心的$\fracπ{2}$和计数素数使用一个光滑的截止，我们计算的密度的正整数$n$的$a(n)\neq0$。特别是，如果$τ$是Ramanujan tau函数，然后在上述假设下，我们证明，\[ \lim_{x\to\infty}\frac{\#\{n\leq x:τ(n)\neq0\}}{x}>1-1.54\times10^{-13}. \]…
2016-09-28 math.NT
Sato-Tate theorem for families and low-lying zeros of automorphic $L$-functions
我们考虑由朗兰兹函性原理产生的数域上的某些自守表示族。设$G$是数域$F$上的一个可约群，该数域在无穷远处允许离散级数表示.设$^{L}G=\hat G \rtimes \mathrm{Gal}(\bar F/F)$是相关的$L$ -群，$r:{}^L G\to \mathrm{GL}(d,\mathbb{C})$是不可约的连续同态且不通过$\mathrm{Gal}(\bar F/F)$因式分解.正在考虑的家庭由离散自守表示的$G(\mathbb{A}_F)$给定的重量和水平，我们让重量或水平增长到无穷大。我们建立了一个定量的Plancherel和定量的Sato-Tate等分布定理，这些家庭的Satake参数。这概括了早期的结果在这个问题上，特别是Sarnak [Progr.数学70（1987），321- 331.]和Serre [J.Amer.Math.Soc.10（1997），no.1，75- 102.]。作为应用，我们研究了相关的$L$ -函数族$L(s,π,r)$的低位零点的分布，从函性原理假设这些$L$ -函数是自守的.我们发现，1-能级密度的分布与酉系综，辛系综和正交系综之一的本征值的1-能级密度的分布相吻合，符合Katz Sarnak理论。我们提供了一个标准的基础上Frobenius-舒尔指标来确定这种对称类型。如果$r$与它的对偶$r^\vee$不同构，则对称类型为…
2014-11-15 math.LO math.NT math.RT
Bounds for Serre's open image theorem
设E是有理数域上的椭圆曲线，不需要复乘. Q的绝对伽罗瓦群作用在E的扭点群上，这个作用可以用伽罗瓦表示rho_E表示：Gal（Qbar/Q）\to GL_2（Zhat）. Serre的一个著名定理指出，在GL_2（Zhat）中rho_E的象是开的，因而有有限指标.利用E的基本不变式给出了该指数的第一广义界。例如，指数可以由E的j-不变量的对数高度的多项式函数来界定。作为我们的界限的应用，我们解决了一个悬而未决的问题所产生的Lang-Trotter猜想常数的平均。
2011-02-23 math.NT
Average Frobenius distribution for elliptic curves defined over finite Galois extensions of the rationals
设$K$是一个固定的数域，假设是$\mathbb Q$上的伽罗瓦。设$r$和$f$是固定整数，其中$f$为正。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑了Frobenius迹等于$r$的$K$的$f$素理想的次数的计数问题.除了在$f=2$的情况下，我们表明，“平均”的数量，这样的素理想的范数小于或等于$x$满足一个渐近恒等式，是按照标准的数学。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
2012-10-17 math.NT
Supersingular reduction and strongly special intersections in powers of the modular curve
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文基于Daworrpap和Dawpap的工作，在假设弱化Lang-Trotter猜想下，证明了Y(1)^n中的两个Zilber-Pink型陈述。
2026-06-25 math.AG math.NT
