Distribution of Farey Fractions in Residue Classes and Lang--Trotter Conjectures on Average
证明了$T$阶Farey分数的集合，即集合$\{α/β\in \Q : \gcd(α, β) = 1, 1 \le α, β\le T\}$，对于任何固定的$\eps>0$，在$T \ge p^{1/2 +\eps}$提供的素数$p$模的剩余类中是均匀分布的.我们应用此获得的上界的郎-特罗特曲率的Frobenius迹和Frobenius字段“平均”的一个参数的家庭的椭圆曲线。
2007-05-25 math.NT
On the Constants of the Lang-Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文通过检验 20 条 CM 椭圆曲线，验证 Wan–Xi 所得显式常数等于原 Lang-Trotter 常数，并确立相关猜想关于 r 的等价性。
2024-06-13 math.NT
Lang-Trotter phenomena and unlikely intersections
通过证明Lang-Trotter猜想对于椭圆曲线对的 implication，获得了曲线在A_3中的Zilber-Pink猜想的新情况，且不依赖边界交集假设，适用于潜在紧致曲线。
2026-06-25 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with Klein-$4$ reduced automorphism group
本文将平均 Lang-Trotter 猜想推广到约化自同构群包含 Klein 4-群的亏格 2 曲线族，并证明了相应的平均渐近结果。
2025-08-29 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture for products of non-CM elliptic curves
受Lang-Trotter关于定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的具有固定Frobenius迹的素数的密度的工作以及随后Cojocaru-Davis-Silverberg-Stange对一般阿贝尔簇的推广的启发，我们研究了与$\mathbb{Q}$上的非CM椭圆曲线的乘积同构的阿贝尔曲面的类似问题.我们制定相应的几何渐近，提供上界，并明确计算（当椭圆曲线位于一个薄集外）的算术显着常数出现在渐近。这使我们能够提供计算证据的猜想。
2020-06-19 math.NT
On the Lang-Trotter conjecture for a class of non-generic abelian surfaces
针对一类与非CM椭圆曲线乘积Q-同源的非一般阿贝尔曲面，提出其Chebotarev-Sato-Tate分布的一致误差项猜想，并据此给出广义Lang-Trotter猜想的直接证明。
2022-11-18 math.NT
The Lang-Trotter conjecture on average for genus-$2$ curves with $S_3$ reduced automorphism group
Graduate School of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息科学研究院）
本文研究了 genus-2 曲线的 Lang-Trotter 猜想，针对具有 S₃ 简化自同构群的曲线族，推导了与 Lang-Trotter 猜想平均情况相关的结果。
2026-10-12 math.NT
The Square Sieve and a Lang-Trotter Question for Generic Abelian Varieties
设$A$是$\mathbb{Q}$上的一个$g$维阿贝尔簇，它的阿德拉伽罗瓦表示在$\text{GSp}_{2g} \widehat{\mathbb{Z}}$中有开象.研究了$p$的模素数$A$的约化的自同态代数$\text{End}(A_p) \otimes \mathbb{Q} = \mathbb{Q}( π_p )$，在该约化是普通的和简单的.我们获得条件和无条件的渐近上界的素数在这个“Frobenius场”是一个指定的数域，当$A$是二维的，在Frobenius场包含一个指定的实二次数域。这些调查继续调查的变种的Lang-Trotter猜想的椭圆曲线。
2017-03-02 math.NT
A Chebotarev variant of the Brun-Titchmarsh theorem and bounds for the Lang-Trotter conjectures
利用作者最近证明的Hecke L-函数的无对数零密度估计和零排斥现象，改进了Lagarias，Montgomery和Odlyzko证明的Brun-Titchmarsh定理的Chebotarev变体.我们的结果对Lang和Trotter关于Frobenius迹在椭圆曲线和全纯尖点模形式上的分布的两个定理的最佳无条件界产生了改进.对于正定积分二元二次型所表示的素数的素数分布也得到了新的结果。
2016-12-07 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture for the elliptic curve $y^2=x^3+Dx$
设$E$是$\mathbb{Q}.$上的一条椭圆曲线。对于一个固定的整数$r,$，定义素数计数函数为$π_{E,r}(x):=\sum_{p\leq x,p\nmid Δ_E,a_p=r}1$ . Lang-Trotter猜想预测$$π_{E,r}(x)=C_{E,r}\cdot \frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x}+o(\frac{\sqrt{x}}{{\rm log}x})$$为$x\longrightarrow \infty,$，其中$C_{E,r}$是特定的非负常数。Hardy-Littlewood猜想给出了一个类似于上述的关于$ax^2+bx+c$形式的素数个数的渐近公式。建立了椭圆曲线$y^2=x^3+Dx.$的Hardy-Littlewood猜想与Lang-Trotter猜想之间的关系。证明了Hardy-Littlewood猜想蕴含着$y^2=x^3+Dx.$的Lang-Trotter猜想。相反，如果Lang-Trotter猜想对某些具有正常数$C_{E,2r},$的$D$和$2r$成立（对于$y^2=x^3+Dx, p\nmid D, a_p$总是偶数），则多项式$x^2+r^2$表示无穷多个素数。对于素数$p$，如果$a_p=2r$，则$p$必然是$x^2+r^2$的形式。固定$r$和$D$，并假设Hardy-Littlewood猜想成立，我们得…
2021-08-13 math.NT
On the Lang--Trotter conjecture for Siegel modular forms
Indian Institute of Technology Jammu（印度技术学院贾姆谢浦尔分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
对于亏格2的尖点Siegel模特征形式，证明了与其相关的Galois表示相容系的adelic开像定理，推广了Ribet和Momose关于椭圆模形式的结果，并据此研究了Hecke特征值a_p的分布，得到了固定a∈C时集合{p≤x: a_p=a}大小的上界，类似于椭圆曲线的Lang--Trotter猜想。
2026-04-30 math.NT
Applications of the square sieve to a conjecture of Lang and Trotter for a pair of elliptic curves over the rationals
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。设$p$是$E$的好约化素数.然后，对于素数$p \neq \ell$，与$p$相关联的Frobenius自同构（直到共轭为止是唯一的）作用于$E$的$\ell$ -adic Tate模。Frobenius自同构的特征多项式具有有理整数系数，并且与$\ell$无关。它的分裂场称为$E$在$p$的Frobenius场。令$E_1$和$E_2$是在$\mathbb{Q}$上定义的两条椭圆曲线，它们在$\overline{\mathbb{Q}}$上是非同构的，并且在$\overline{\mathbb{Q}}$上也没有复数乘法。与著名的单椭圆曲线的朗-特罗特猜想类似，自然要考虑计算素数$p \leq x$个数的函数的渐近行为，使得$E_1$和$E_2$在$p$处的弗罗贝纽斯场重合。在这个简短的说明中，使用Heath-Brown平方筛，我们提供了条件（基于广义黎曼假设）和无条件上界。
2018-06-14 math.NT
The Lang-Trotter Conjecture on Average
对于$\ratq$上的椭圆曲线$E$和整数$r$，令$π_E^r(x)$是良好约化的素数$p\le x$的数目，使得$E/\fie_p$的Frobenius态射的迹等于$r$。我们考虑的数量$π_E^r(x)$平均在某些集合的椭圆曲线。更具体地说，我们建立以下：如果$A,B>x^{1/2+ε}$和$AB>x^{3/2+ε}$，那么在所有椭圆曲线$E$：$y^2=x^3+ax+b$与$a,b\in \intz$，$|a|\le A$和$|b|\le B$上的$π_E^r(x)$的算术平均值是$\sim C_r\sqrt{x}/\log x$，其中$C_r$是依赖于$r$的常数。这改进了C. David和F.帕帕拉迪此外，我们建立了一个“几乎所有”的结果$π_E^r(x)$。
2006-09-04 math.NT
On the Lang-Trotter and Sato-Tate Conjectures on Average for Polynomial Families of Elliptic Curves
我们表明，减少模素数$p\le x$的椭圆曲线$$ Y^2 = X^3 + f(a)X + g(b), $$的行为所预测的Lang-Trotter和Sato-Tate结构，平均超过整数$a \in [-A,A]$和$b \in [-B,B]$的$A$和$B$合理小相比，$x$，只要$f(T), g(T) \in \Z[T]$不是另一个多项式的权力$\Q$。对于$f(T) = g(T) = T$，这类结果是E. Fouvry和M. R. Murty并由其他作者进一步扩展。我们的技术与E. Fouvry和M. R. Murty这似乎不工作的情况下，一般多项式$f$和$g$。
2012-03-29 math.AG math.NT
A Lang-Trotter Problem for Non-Geometric Quadratic Inductions
Department of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
针对非几何二次诱导表示，证明当权重对非有理时素数计数为亚多项式增长，当权重对为有理非整数时仅有有限多个，主要方法为刚性定理与Pila-Wilkie计数。
2026-09-09 math.NT
Lang--Trotter Conjecture for CM Elliptic Curves
本文研究CM椭圆曲线上的兰-特劳特猜想，给出无条件估计和条件渐进行为，并总结经典剩余结果及互易律。
2025-11-24 math.AG math.NT
On the refined local Langlands conjecture for discrete $L$-parameters of inner forms of quasi-split disconnected real reductive groups
本文针对准分裂不连通实可约群的内形式，构造了离散L-参数对应的不可约离散系列表示包，并证明了这些包满足能斯特字符恒等式，从而验证了精细局部朗兰兹对应猜想。
2026-05-07 math.NT math.RT
Elliptic aliquot cycles of fixed length
Silverman和Stange定义了长度为L的整除循环的概念，用于定义在有理数上的固定椭圆曲线E，并推测了计数这种整除循环的函数的数量级。在本说明中，我们结合Lang-Trotter和Koblitz的渐近性，通过指定适当的常数，将他们的猜想改进为精确的渐近公式。我们给出了一个判定该常数为正的判据，并给出了一些数值证据。
2012-12-05 math.NT
Modular forms and an explicit Chebotarev variant of the Brun-Titchmarsh theorem
我们证明了一个明确的Chebotarev变种的Brun-Titchmarsh定理。这导致了全纯尖点新形式的系数的最著名的无条件上界朝向朗和特罗特的代数的明确版本。特别地，我们证明了$$\lim_{x \to \infty} \frac{\#\{1 \leq n \leq x \mid τ(n) \neq 0\}}{x} > 1-1.15 \times 10^{-12},$$，其中$τ(n)$是Ramanujan的τ-函数。这是第一个已知的正整数$n$的比例，使$τ(n) \neq 0$正无条件下界。
2022-08-22 math.NT
The Sato-Tate law for Drinfeld modules
我们证明了一个类似的Sato-Tate猜想Drinfeld模。引用Drinfeld，J. K. Yu证明了Drinfeld模满足某些Sato-Tate定律，但没有描述实际的定律。更准确地说，对于域L上定义的Drinfeld模，他构造了L的Weil群的连续表示ρ_ \infty：W_L \to D^*，并将其转化为一个可除代数，该代数对Sato-Tate定律进行了编码。当Drinfeld模具有类属特征且L是可仿射生成的时，我们将描述这个表示的象，直到可仿射性。作为应用，我们给出了Lang-Trotter猜想的Drinfeld模模拟的改进的上界.
2011-10-18 math.NT
A refined Poisson summation formula for certain Braverman-Kazhdan spaces
布雷弗曼和卡日丹介绍了推广傅里叶变换和泊松求和公式的有影响力的公式。它们的结构应该意味着相当一般的朗兰兹$L$ -函数具有亚纯延拓和函数方程，正如朗兰兹的泛函猜想所预言的那样。为了证明他们的理论，布雷弗曼和卡日丹在后来的一篇论文中考虑了与所谓的加倍方法有关的设置，并在对所涉及的函数的限制性假设下证明了相应的泊松求和公式。在本文中，我们考虑了一个特殊的情况下，设置后的文件，并证明了一个改进的泊松求和公式，消除了限制性假设的位置。前引书在此过程中，我们提供了我们构造的施瓦兹空间的解析控制;这种解析控制在布雷弗曼和卡日丹的工作中被证明是成立的（在一个稍微不同的环境中）。
2017-11-07 math.NT math.RT
A Refined Lifting Theorem for Supersingular Galois Representations
设$p\geq 5$是素数，$\mathbb{F}$是特征$p$的有限域，$\barχ$是模$p$割圆特征标.令$\barρ:\operatorname{G}_{\mathbb{Q}}\rightarrow \operatorname{GL}_2(\mathbb{F})$是伽罗瓦表示，使得局部表示$\barρ_{\restriction \operatorname{G}_{\mathbb{Q}_p}}$是平坦的且不可约的。此外，假设$\operatorname{det}\barρ=\barχ$ .著名的Khare和Wintenberger定理断言，如果$\barρ$满足某些自然条件，则在其傅立叶系数域中存在归一化的Hecke-eigencuspform $f=\sum_{n\geq 1} a_n q^n$和素数$\mathfrak{p}|p$，使得相关的$\mathfrak{p}$表示$ρ_{f,\mathfrak{p}}$提升$\barρ$。在这篇手稿中，我们证明了这个定理的一个改进版本，即，人们可以控制$p$ -th傅立叶系数$f$的估值。从$p$ -adic Langlands程序的角度来看，主要结果是有趣的。
2021-06-11 math.NT
Théorème de Chebotarev et complexité de Littlewood
Chebotarev密度定理在广义黎曼假设和Artin猜想下的有效形式（cf. Iwaniec and Kowalski's解析数论，5.13）涉及有限群$G$的子集$D$的数值不变量，我们称之为$D$的Littlewood复杂度。我们详细研究了这个不变量。利用这项研究，和一个新的应用程序的大筛，我们给出了改进版本的两个标准问题有关Chebotarev：第一个总理的限制在一个Frobenian集，和渐近的一组素数与给定的Frobenius在一个无限的伽罗瓦扩展。然后，我们给出了具体的应用，在数论中的各种问题，如第一原根模一个素数$\ell$，因式分解的整数多项式模素数，朗-特罗特猜想及其推广，和塞尔的一致性猜想。
2013-08-05 math.NT
Supersingular reduction and strongly special intersections in powers of the modular curve
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文基于Daworrpap和Dawpap的工作，在假设弱化Lang-Trotter猜想下，证明了Y(1)^n中的两个Zilber-Pink型陈述。
2026-06-25 math.AG math.NT
A refinement of Lang's formula for the sum of powers of integers
本研究对W. Lang提出的含两类Stirling数的整数幂和显式公式做了小幅改进，证明其为幂和与两类对称函数间已知关系的特例，并给出该通用关系的若干应用。
2023-05-08 math.NT
A specialisation theorem for Lang-Néron groups
本文证明了无限域上高维极化光滑射影簇的函数域阿贝尔簇的Lang-Néron群特化同态在稠密超平面截面上为单射，证实了相关猜想并为Néron特化定理提供新视角。
2024-10-08 math.AG math.NT
