Primality proving using elliptic curves with complex multiplication by imaginary quadratic fields of class number three
本文将Abatzoglou等人的复乘椭圆曲线素性证明框架推广到类数为三的虚二次域，利用2分裂的类数三虚二次域得到更高效的素性证明算法，并给出基于Q(√-23)和Q(√-31)的两个特殊整数序列及计算结果。
2024-08-09 math.NT
Deterministic elliptic curve primality proving for a special sequence of numbers
我们给出了一个确定性算法，非常迅速地证明了在一定的序列中的整数N的素性或复合性，使用椭圆曲线E/Q与Q（sqrt（-7））的整数环的复乘。该算法在环Z/NZ上使用O（log N）的算术运算，这意味着位复杂度在log N中是准二次的。值得注意的是，经典的“N-1”或“N+1”素性测试都不适用于我们序列中的整数。我们将讨论如何应用该算法，结合筛分技术，有效地搜索非常大的素数。这使我们能够证明几个整数的素数超过100，000个十进制数字，其中最大的有超过一百万位在其二进制表示。在它被发现的时候，它是最大的已被证明的素数N，对于它，N-1或N+1的部分因式分解是未知的。
2015-03-16 math.NT
Dual Elliptic Primes and Applications to Cyclotomy Primality Proving
两个有理素数p，q称为对偶椭圆的，如果存在一条E mod p的椭圆曲线，它有q个点.它们被引入作为一种有趣的手段，结合椭圆曲线和割圆素性证明算法的优势。通过将环的伽罗瓦论中用于分圆素性检验的一些概念推广到椭圆曲线上，得到了一个新的算法，该算法具有启发式的三次运行时间，并能在二次时间内生成可验证的证书。在Agrawal、Kayal和Saxena等人的突破解决了素性检验的复杂性理论问题之后，可实现的素性证明算法的实用性问题仍然受到人们的关注。
2007-09-26 math.NT math.RA
The Uniform Primality Conjecture for the Twisted Fermat Cubic
在扭曲的费马三次函数上，一个椭圆整除序列作为单个有理点的倍数的乘子序列而出现。我们证明了序列中素项的个数是一致有界的。当一个有理点是另一个有理点在某个3-不等式下的像时，所有超过第一个的项都不是素数。
2010-04-13 math.NT
Universal elliptic Gauß sums and applications
我们提出了新的想法，计算椭圆Gaussian和，这构成了一个类似的经典分圆Gaussian和，其使用已被提出的背景下，计数点的椭圆曲线和素性测试。利用某些著名的模函数，定义了泛椭圆高斯和，并证明了它们可以用$j$ -不变量和另一个模函数表示.之后，我们展示了如何使用这种表示法来获得与有限域$\mathbb{F}_p$上的椭圆曲线相关联的椭圆高斯和，然后可以用于计数点或素数证明。
2017-07-25 math.NT
Four primality testing algorithms
在本文中，我们描述了四个素性测试。第一个测试是非常有效的，但只能证明一个给定的数是合数或“很可能”是素数。第二个测试是一个确定性的多项式时间算法来证明一个给定的数是素数或合数。第三和第四素性检验目前在实践中使用最广泛。这两个测试都能够证明一个给定的数是素数或合数，但这两个算法都不是确定性的。第三种算法利用了分圆域算法。它的运行时间几乎是多项式时间，但不完全是多项式时间。第四种算法利用了椭圆曲线。它的运行时间很难估计，但它在实践中表现良好。
2008-01-24 math.NT
Three Brillhart-Lehmer-Selfridge primality proofs for Wagstaff numbers
Independent researcher
本文基于Brillhart-Lehmer-Selfridge (BLS) N-1准则，对Wagstaff数W_2617、W_10501和W_12391进行了严格验证的素性证明，不依赖ECPP，仅使用经典N-1方法，并利用Cunningham项目表和FactorDB进行因子分解。
2026-05-18 math.NT
The Density of Tuples Restricted by Relatively r-Prime Conditions
为了考虑不一定要求戴德金整环中所有元素的j元组都是相对r素的j向相对r素性条件，我们定义了关于固定j一致超图H的j向相对r素性的概念.这使我们不仅对代数整数环，而且对环F_q[x]的自然密度的几个结果提供了进一步的推广。
2021-07-05 math.NT
Efficient computation of universal elliptic Gauß sums
在以前的文件中，它已被证明，椭圆高斯和，其使用已提出的范围内的椭圆曲线和素数测试点计数，可以计算使用模函数。在这项工作中，我们给出了详细的算法，必要的计算，所有这些都已实现在C。我们分析了相对简单的算法，从理论推导，并提供了几个改进，大大加快计算。此外，稍微概括以前的结果，我们描述了如何（椭圆）雅可比和可以确定在一个非常相似的方式，并显示如何可以使用。最后，我们的算法的空间和运行时的要求进行分析。
2017-07-26 math.NT
Elliptic Curves of Fibonacci order over $\mathbb{F}_p$
我们将描述一个算法来构造某个素数域$\mathbb{F}_p$上的椭圆曲线$E_{f_q}$，使得使得$|E_{f_q}(\mathbb{F}_p)| = f_q$，其中$f_q$是某个素数指标$q$的可能Fibonacci素数。该算法是由Br $\ddot{o}$ ker和Stevenwalk提出的有效CM构造的一个变体，由于斐波那契素数的算术性质，它非常适合斐波那契素数。我们的算法的时间复杂度预计将低于$\widetilde{O}(\log^3({f_q}))$。构造过程是一系列算法，其中每个算法都是对素数的测试。
2017-10-16 math.NT
Computing the cardinality of CM elliptic curves using torsion points
设E是椭圆曲线，它与虚二次域K的给定二次阶相乘。E的定义域是阶环类域Ω。如果素数p在Omega中完全分裂，那么我们可以将E模p的一个因子约简，并得到定义在GF（p）上的曲线Ep。已知Ep的Frobenius的踪迹最多可达符号，我们需要一种快速的方法来找到这个符号。为此，我们建议使用的Frobenius的小订单建立类不变量一拉韦伯的扭点的行动，在某种程度上让人想起的Schoof-Elkies-Atkin算法计算基数的一个给定的椭圆曲线模p。我们将我们的结果的椭圆曲线素性证明算法（ECPP）。
2004-07-23 math.NT
Almost Prime Orders of Elliptic Curves Over Prime Power Fields
本文研究素数 p 使得 |E(F_{p^l})| / |E(F_p)| 具有有界素因子的无穷性，对 CM 曲线无条件应用大筛法，对非 CM 曲线在 GRH 下应用 Chebotarev 密度定理，并利用向量筛法给出相关殆素数个数的下界。
2025-04-25 math.NT
The probability that the number of points on the Jacobian of a genus 2 curve is prime
在2000年，Galbraith和McKee推导出一个公式，估计在一个固定的有限素域上随机选择的椭圆曲线有一个素数的有理点的概率。我们展示了如何将它们的代数推广到高阶亏格曲线的Jacobian。然后，我们详细说明这类2和研究各种相关的问题，如概率的周期性和概率的素数的点的数量曲线本身。最后，我们讨论了亏格趋于无穷大时的渐近行为。
2011-09-30 math.NT
Modular elliptic curves and hyperbolic uniformization
University of Sheffield（谢菲尔德大学）
研究将椭圆曲线双曲均匀化概念从有理数域扩展到奇数次完全实域，利用志村曲线，证明算术型双曲均匀化的存在意味着几何模性。
2026-08-28 math.NT
Constructing elliptic curves with a known number of points over a prime field
在密码学中经常需要在给定的n元素域上具有已知点数的椭圆曲线。在素性证明的背景下，Atkin和Morain建议使用复乘理论来构造这样的曲线。该方法的一个步骤是计算Hilbert类多项式H（X）的模n的根，用于基本判别式D。通常的方法是在整数上计算H（X），然后找到模n的根。本文提出了一种改进的孙子剩余定理（CRT），它可以直接从H（X）模足够多的小素数的知识中计算H（X）模n.我们的复杂性分析表明，渐近我们的算法是一个以前已知的方法的改进。
2003-01-22 cs.IT math.AG math.IT
On uniform lower bound of the Galois images associated to elliptic curves
设p是素数，K是数域。设rho_{E,p}：G_K \longrightarrow Aut（T_p E）\cong GL_2（Z_p）是K上椭圆曲线E的p-adic Tate模上的伽罗瓦作用所给出的伽罗瓦表示. Serre证明了如果E没有复乘，则rho_{E,p}的象是开的.对于K上的椭圆曲线E，若其j-不变量不出现在例外有限集，我们给出了rho_{E,p}的象大小的一个显式一致下界.
2007-03-23 math.NT
Serre's Uniformity Conjecture for Elliptic Curves with Rational Cyclic Isogenies
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，使得$\mathrm{End}_{\bar{\mathbb{Q}}}(E)=\mathbb{Z}$和允许非平凡循环$\mathbb{Q}$ -为零.我们证明了，对于$p>37$，剩余模$p$伽罗瓦表示$\barρ_{E,p}:G_{\mathbb{Q}}\rightarrow\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$是满射的。
2017-03-08 math.NT
Uniform bounds on the level of cyclotomic division fields of elliptic curves
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究了椭圆曲线cyclotomic分裂域的水平的统一界，基于数域和广义黎曼假设给出了相关结果。
2025-11-28 math.NT
Elementary background in elliptic curves
本文给出了代数几何的额外背景，作为文章“形式群、椭圆曲线和Couveignes的一些定理”的补充。第一节讨论了椭圆曲线上的加法律，第二节和第三节介绍了函数场、均匀化器和关于均匀化器的幂级数展开式。
1997-08-22 math.NT
From Worst to Average Case to Incremental Search Bounds of the Strong Lucas Test
本文研究强Lucas测试的错误界，证明通过t轮连续测试及额外标准测试的整数为素数的概率大于1-(4/15)^t，并首次给出基于强Lucas测试的增量搜索算法的错误界。
2024-06-07 cs.CR math.NT
Close to Uniform Prime Number Generation With Fewer Random Bits
在本文中，我们分析了几个变种的一个简单的方法产生素数与更少的随机位。为了生成小于$x$的素数$p$，基本思想是固定一个常数$q\propto x^{1-\varepsilon}$，选择一个与$q$互质的均匀随机$a<q$，并选择形式为$a+t\cdot q$的$p$，其中如果素数测试失败，则仅更新$t$。我们证明，这种方法的变体提供素数生成算法，需要很少的随机位，其输出分布是接近均匀的，在越来越便宜的假设：首先是一个相对较强的猜想由H. L。Montgomery，由Friedlander和Granville精确化;然后是扩展的黎曼假设;最后完全无条件地使用Barban-Davenport-Halberten定理。我们认为，这种方法有一些可取的性能相比，以前的算法。
2014-06-27 cs.CR math.NT
A uniform bound on the smallest surjective prime of an elliptic curve
本文研究无复乘椭圆曲线的 $\ell$-进伽罗瓦表示，证明使其满射的最小素数至多为 $7$，并完全分类了最小满射素数恰好为 $7$ 的所有椭圆曲线。
2025-02-04 math.NT
A Uniform Version of a Finiteness Conjecture for CM Elliptic Curves
设A是定义在数域F上的阿贝尔簇。对于素数$\ell$，我们考虑由A的$\ell$ -幂扭点生成的F的域扩张.根据Rasmussen和Tamagawa的猜想，如果我们要求这些域既是$F(μ_{\ell^{\infty}})$的pro-$\ell$扩展，又不是从$\ell$衍生出来的，那么这样的例子是相当少的。实际上，对于一个固定的维数和定义域，存在这样一个仅对有限个素数的阿贝尔簇是可以预期的。在交换阿贝尔簇是具有复乘的椭圆曲线的情形下，我们证明了该猜想的一个统一版本。此外，我们提供了明确的界限，在数字字段的程度小于或等于100的情况下。
2013-05-22 math.NT
On Serre's uniformity conjecture for semistable elliptic curves over totally real fields
设$K$是一个全实数域，$S$是$K$的非阿基米德位置的有限集.从Merel、Momose和David的工作中可以看出，存在一个常数$B_{K,S}$，因此如果$E$是定义在$K$上的椭圆曲线，在$S$之外是半稳定的，那么对于所有的$p>B_{K,S}$，表示$\barρ_{E,p}$是不可约的。我们结合这与模块化和水平降低，以显示一个有效的可计算常数$C_{K,S}$的存在，和一个有效的可计算的椭圆曲线的集合在$K$与CM $E_1,\dotsc,E_n$，使以下成立。若$E$是$K$上的椭圆曲线，且$p>C_{K,S}$是素数，则要么$\barρ_{E,p}$是满射，要么对于某些$i=1,\dots,n$是$\barρ_{E,p} \sim \barρ_{E_i,p}$。
2016-04-11 math.NT
A height inequality for rational points on elliptic curves implied by the abc-conjecture
本文证明了数域上的一致abc-猜想对椭圆曲线上有理点的坐标有严格的限制。对于证明，我们使用一个变种的统一abc猜想数领域制定的望月。作为应用，推广了Silverman关于椭圆型非Wieferich素数的一个结果.
2012-11-12 math.NT
Uniformization of modular elliptic curves via p-adic periods
朗兰兹纲领预言，在数域K上具有整数Hecke特征值的权为2的新形式f一般应具有一条在K上的相应的椭圆曲线E_f。在我们以前的文章中，我们在Darmon和Greenberg的工作基础上，在一定的假设下，把一个p-adic格与f联系起来，并隐式地证明了这个格与E_f的p-adic Tate格是可同构的。本文详细地提出了这一猜想，并讨论了如何利用它直接从f计算关于几何E_f的显式Weierstrass方程。我们为此开发算法，并实现它们，以便进行广泛的系统计算，其中我们计算魏尔斯特拉斯方程的数百个椭圆曲线，一些具有巨大的高度，在几十个领域。我们获得的数据提供了压倒性的支持量的猜想，并进一步表明，该猜想提供了一个有效的工具，建立数据库的椭圆曲线在数域上。
2015-01-14 math.NT
Uniform bounds on prime levels of abelian division fields of elliptic curves over number fields without rationally defined CM
Ajou University（亚洲大学）
本文在去除 GRH 假设后，证明无有理复乘的数域上椭圆曲线的阿贝尔除子域素级的性质等价于无有理复乘，推广了相关研究结果。
2026-08-18 math.NT
Uniform potential density for rational points on algebraic groups and elliptic K3 surfaces
一个簇集满足一致势密度，如果每个簇集在其基域扩张一个有界度后包含一个有理点稠密子集。本文证明了特征为零的域上的固定维数连通代数群以及数域上的椭圆K3曲面的一致势密度成立。
2021-09-04 math.AG math.NT
Some uniform bounds for elliptic curves over $\mathbb Q$
我们给出了明确的一致的界限的几个相关的研究的伽罗瓦表示附加到椭圆曲线$E/\mathbb Q$的数量。我们认为特别是在图像的伽罗瓦，第一伽罗瓦上同调群的扭转$E$值的标量的子群，并在$E(\mathbb Q)$的无穷阶点所产生的库默尔扩展。
2021-06-18 math.AG math.NT
Fast, uniform, and compact scalar multiplication for elliptic curves and genus 2 Jacobians with applications to signature schemes
我们给出了一个通用的框架，均匀的，恒定时间的一维和二维标量乘法算法的椭圆曲线和Jacobian的属2曲线，通过投影到x线或库默尔表面，在那里我们可以利用更快，更均匀的伪乘法，恢复正确的“签署”输出回曲线或Jacobian。这将L{ó}pez和Dahab、Okeya和Sakurai、Brier和Joye的工作扩展到亏格2，也扩展到二维标量乘法。我们的研究结果表明，许多现有的快速伪乘法实现（迄今为止仅限于Diffie-Hellman密钥交换中的应用）可以包装简单，高效的前和后计算，产生竞争力的全标量乘法算法，准备用于更一般的基于离散余弦变换的密码系统，包括签名方案。这对于亏格2是特别有趣的，其中库默尔曲面可以胜过可比的椭圆曲线系统。作为一个例子，我们构造了一个由Kummer曲面算法驱动的Schnorr签名方案的实例。
2015-10-22 cs.CR math.NT
Explicit Uniform Lower Bounds for the Canonical Height on Elliptic Curves over Abelian Extensions
Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文通过显式方法为椭圆曲线在阿贝尔扩张上的诺尔-塔特高度提供了一个不依赖基域判别式的下界，改进了 Baker 的定理证明。
2025-12-17 math.AG math.NT
Uniform Bounds on S-Integral Torsion Points for $\mathbb{G}_m$ and Elliptic Curves
本文研究了 $\mathbb{G}_m$ 和椭圆曲线的 S-整 torsion 点的统一界问题，针对非 torsion 点 $β$ 的度数给出了 torsion 点 $ζ$ 的度数的统一上界。
2026-01-29 math.DS math.NT
