Automatic coarsening in Algebraic Multigrid utilizing quality measures for matching-based aggregations
针对对称正定矩阵，本文基于通用AMG收敛理论和聚合质量度量，分析相容加权匹配粗化，并提出可后验评估的全自动聚合方法。
2022-07-31 cs.NA math.NA
A p-multigrid method enhanced with an ILUT smoother and its comparison to h-multigrid methods within Isogeometric Analysis
针对等几何分析中线性方程组高效求解难题，提出结合ILUT光滑子的p型多重网格方法，验证其收敛率与h、p无关，并对比了不同光滑子下p型与h型多重网格的性能。
2020-02-12 cs.NA math.NA
An optimized Space-Time Multigrid algorithm for parabolic PDEs
我们研究了三个方向，以进一步改进[GanNeu 16]中引入的具有块Jacobi平滑器的高效时空多重网格算法。首先，我们推导出一个完整的时空粗化策略的情况下的最佳平滑参数的解析表达式;其次，我们提出了一个新的和有效的直接粗化策略，通过防止粗化制度的变化，简化了代码;第三，我们还优化了整个两个周期，以调查是否有可能进一步提高效率。特别是，我们表明，我们的新的粗化策略导致一个显着的效率增益时，比率$τ/h^2$是小的，其中$τ$和$h$代表的时间和空间的步骤。我们的分析是在一维空间中进行的，在空间中使用中心有限差分，在时间上使用向后欧拉，但可以推广到其他情况。我们还提出了数值实验，证实了我们的理论研究结果。
2023-02-27 cs.NA math.NA
A geometrically informed algebraic multigrid preconditioned iterative approach for solving high-order finite element systems
Scientific Computing and Imaging Institute, University of Utah（科学计算与成像研究所，犹他大学）；School of Computing, University of Utah（计算机科学系，犹他大学）；College of Engineering, Mathematical and Physical Sciences, University of Exeter（工程、数学与物理科学学院，埃克塞特大学）；State Key Laboratory of Advanced Special Steels, School of Materials Science and Engineering, Shanghai University（先进特种钢省部共建国家重点实验室，材料科学与工程学院，上海大学）
本文提出一种结合几何信息的代数多重网格方法，用于高效求解高阶有限元系统，展示了其在网格无关收敛和并行可扩展性上的优势。
2025-12-17 cs.NA math.NA
Matrix-Free Multigrid with Algebraically Consistent Coarsening on Adaptive Octrees
School of Interactive Computing, Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院交互计算学院）
本文提出一种基于GPU的无矩阵多网格预处理器，通过代数自洽粗化求解适应性八叉树网格上的泊松方程，实现高精度、网格无关收敛性和鲁棒性。
2026-04-20 cs.GR cs.NA math.NA
Local Fourier Analysis of a Space-Time Multigrid Method for DG-SEM for the Linear Advection Equation
在本文中，我们提出了一个局部傅里叶分析的时空多重网格求解器的双曲型测试问题。时空离散在时间上采用任意高阶间断Galerkin谱元方法，在空间上采用一阶有限体积法。我们应用块雅可比平滑，并考虑在时空粗化，以及时间粗化。光滑和两个网格方法的粗化策略的渐近收敛因子。对于高CFL数，两种策略的收敛因子对于一阶是$0.5$，对于二阶精确时间近似是$0.375$。在一个和两个空间维度的不同顺序的时空DG-SEM离散的数值实验给出了更好的收敛速度周围的$0.3$和$0.25$足够高的CFL数。
2021-12-06 cs.NA math.NA
Hybrid multigrid methods for high-order discontinuous Galerkin discretizations
本文发展了求解椭圆型问题高阶间断Galerkin离散的混合多重网格方法。张量积元素的快速矩阵运算被用来设计一个计算效率高的PDE求解器。多重网格层次结构利用几何，多项式和代数粗化的所有可能性，针对复杂几何形状的工程应用。此外，从不连续到连续函数空间的转移是在多重网格层次结构内进行的。这不仅进一步降低了粗网格问题的问题大小，而且导致最适合作为粗网格求解器应用的最先进的代数多重网格方法的离散化。相关的设计选择，关于选择最佳的多重网格粗化策略之间的各种可能性进行了讨论与度量的计算成本作为驱动力的算法选择。我们发现，转移到一个连续的函数空间在最高的多项式次数（或最精细的网格），其次是多项式和几何粗化，显示出最好的整体性能。这种特殊的多重网格策略的成功是由于一个显着减少迭代次数相比，从不连续的连续函数空间在最低的多项式次数（或粗网格）的转移。粗化策略转移到一个连续的函数空间上的最好的水平，导致一个多重网格算法，是强大的相对于SIPG方法的惩罚参数。详细的数值研究进行了一系列的例子，从学术测试情况下，更复杂的，实际相关的几何形状。性能比较国家的最先进的方法从文献中证明了所提出的多重网格算法的多功能性和计算效率。
2019-10-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Efficient distributed matrix-free multigrid methods on locally refined meshes for FEM computations
本文研究了局部加细网格上无矩阵有限元计算的三种多重网格变体：几何局部平滑、几何全局粗化和多项式全局粗化。我们已经集成到同一个框架的开源有限元库处理的算法。II-，这使我们能够公平地比较其实现的复杂性，计算效率，并行可扩展性，以及比较测量与理论推导的性能模型。在3，072个计算节点上的多达147，456个CPU核心上进行串行模拟和并行弱和强扩展。所获得的结果表明，全球粗化算法表现出更好的并行行为，由于更好的负载平衡，特别是在昂贵的罚款水平可比平滑。在串行情况下，应用悬挂节点约束的成本可能很大，从而导致局部平滑的优势，即使所需的求解器迭代次数略高。
2022-04-10 cs.MS cs.NA math.NA
Coarsening and parallelism with reduction multigrids for hyperbolic Boltzmann transport
针对双曲玻尔兹曼输运方程的约化多重网格并行化难题，提出并行双程CF分裂方法，结合粗网格重分区等优化策略，实现了优于hypre中ℓAIR的求解效率与良好弱缩放性能。
2024-08-15 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Unstructured Geometric Multigrid in Two and Three Dimensions on Complex and Graded Meshes
University of Chicago（芝加哥大学）
针对复杂形状或自适应细化网格上的有限元问题，提出一种基于拓扑的网格粗化算法简化版，用于构建非结构化几何多重网格的层次结构，并通过病态测试案例验证其性能。
2011-04-05 cs.CG cs.NA math.NA
Smoothing analysis of two robust multigrid methods for elliptic optimal control problems
本文研究和比较了两种粗化为2、3和4的多重网格松弛格式求解带控制约束的椭圆稀疏最优控制问题。首先，我们进行了详细的本地傅里叶分析（LFA）的一个著名的集体雅可比松弛（CJR）计划，其中的最佳平滑因子的推导。分析表明，最佳松弛因子依赖于网格步长和正则化参数，这在文献中没有研究。其次，我们提出并分析了一种新的基于质量的Braess-Sarazin松弛（BSR）方案，它被证明是提供更小的平滑因子比CJR方案时，$α\ge ch^4$为一个小常数$c$。这里，$α$是正则化参数，$h$是空间网格步长。通过半光滑牛顿法，这些方案被成功地推广到控制约束的情况下。用BSR粗化三个或四个与粗化两个具有竞争力。数值例子验证了我们的理论结果。提出的不精确BSR（IBSR）方案，其中两个预处理共轭梯度迭代应用于Schur补系统，产生更好的计算效率比CJR方案。
2022-03-22 cs.NA math.NA math.OC
An algebraic multigrid method based on an auxiliary topology with edge matrices
本文介绍了一种新的方法，代数多重网格方法的大型线性方程组的有限元离散的某些椭圆二阶偏微分方程。基于由边缘和顶点贡献组成的离散能量，我们能够开发粗化标准，即使对于方程组也能保证两级收敛。这种能量还允许我们构造具有指定稀疏模式的简化，这些稀疏模式仍然精确地保留核向量。这些允许简单的优化，简化并行化并减少粗略级别上的通信。数值实验证明了该方法的有效性和鲁棒性以及实现的可扩展性。
2020-11-26 cs.NA math.NA
An Algebraic Multigrid Method for Eigenvalue Problems in Some Different Cases
将多层校正格式与求解线性方程的代数多重网格方法相结合，提出了求解本征值问题的代数多重网格方法。我们的方法使用代数多重网格方法的设置过程来构建层次和网格间的转移算子。在这种代数多重网格方法中，一个大规模的特征值问题是通过层次中的代数多重网格光滑步骤和非常小的维数的本征值问题来解决的。为了强调所提出的方法的效率和灵活性，在这里，我们考虑了一组测试本征值问题，离散非结构化网格，具有不同形状的域，奇异性，和不连续的参数。此外，得到了与期望特征值个数无关的整体收敛。
2020-02-28 cs.NA math.NA
Aggregation-based aggressive coarsening with polynomial smoothing
Department of Mathematics, The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学数学系）
本文提出一种代数多重网格预条件器，通过聚合框架实现激进粗化和多项式平滑，用于图拉普拉斯矩阵系统，展示其简单性和可扩展性。
2013-07-24 cs.NA math.NA
An algebraic multigrid method for $Q_2-Q_1$ mixed discretizations of the Navier-Stokes equations
Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出了一种自动化的代数多重网格方法，用于处理 $Q_2-Q_1$ 混合有限元离散化中速度和压力节点不共置的问题，通过模拟压力和速度自由度之间的关系来提高求解性能。
2017-03-07 cs.NA math.NA
Perfect Algebraic Coarsening
本文提出一种基于多重网格原理的新稀疏线性求解器方法，通过局部变换对角化矩阵并保持稀疏性，误差可系统降低，并应用于二维亥姆霍兹方程验证有效性。
2005-05-09 cs.NA math.NA
An algebraic multigrid method for quadratic finite element equations of elliptic and saddle point systems in 3D
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM), Austrian Academy of Sciences（约翰·拉东计算与应用数学研究所（RICAM），奥地利科学院）
本文提出一种稳健的代数多重网格方法，用于求解三维椭圆和saddle点系统中的线性方程组，采用分层二次基函数和新的粗化策略，提升数值计算的鲁棒性与效率。
2015-03-04 cs.NA math.NA
Algebraic Multigrid Methods For Virtual Element Discretizations: A Numerical Study
IMATI “E. Magenes”, CNR（CNR IMATI “E. Magenes”研究所）
本文研究了代数多网格方法在求解虚拟元离散化产生的线性方程组中的性能，通过在非常一般的多边形网格上进行数值实验，验证了该方法在处理模型椭圆问题时，尤其是高异质扩散系数情况下的有效性。
2018-12-05 cs.NA math.NA
A Monolithic Algebraic Multigrid Framework for Multiphysics Applications with Examples from Resistive MHD
一个多重网格框架描述了多物理场的应用。该框架允许一个构建，适应，并定制一个单片多重网格方法来不同的线性系离散偏微分方程。主要思想集中在开发多重网格组件在一个块的方式，每个块对应于单独的物理未知数和方程组内的较大的离散矩阵。一旦定义，这些组件最终组装成一个整体的多重网格求解器的整个系统。我们证明了潜在的框架，将其应用到代表性的线性解决方案所产生的电阻磁流体动力学的子问题。
2021-03-22 cs.NA math.NA
Uniform convergence of V-cycle multigrid algorithms for two-dimensional fractional Feynman-Kac equation
Lanzhou University（兰州大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文推导了V-级多网格算法对对称正定Toeplitz块三对角矩阵的均匀收敛性估计，探讨了与先前结果的联系。主要贡献包括直接处理椭圆型PDE的Toeplitz系统，以及采用简单限制和细化算子处理一般Toeplitz系统，应用于分数费曼-科茨方程差分方程生成的代数方程组。
2017-06-05 cs.NA math.NA
Bootstrap Algebraic Multigrid: status report, open problems, and outlook
Microsoft Corporation（微软公司）；The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；University of Wuppertal（伍珀塔尔大学）；Ball State University（贝尔州立大学）
本文综述了驱动bootstrap代数多网格方法的主要思想，包括兼容松弛和代数距离用于定义有效粗化策略，最小二乘法用于计算准确的细化算子，以及bootstrap循环用于计算用于最小二乘过程的测试向量。
2014-06-06 cs.NA math.NA
A Note on Algebraic Multigrid Methods for the Discrete Weighted Laplacian
Università dell’Insubria（因斯布鲁克大学）；Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）
本文针对加权拉普拉斯算子离散化产生的大型线性系统，从谱互补角度设计并研究代数多重网格方法，通过广泛数值实验展示其潜力。
2008-06-27 cs.NA math.NA
Auxiliary Space Multigrid Method Based on Additive Schur Complement Approximation for Graph Laplacian
University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）
本文提出基于加法Schur补近似法的辅助空间多网格方法，用于解决一般图的图拉普拉斯矩阵问题，该方法具有纯代数构造、无需限制图结构和易分析计算复杂度等优势。
2017-08-18 cs.NA math.NA
Algebraic multigrid block preconditioning for multi-group radiation diffusion equations
针对多群辐射扩散方程的全耦合隐式格心有限体积离散所产生的大规模稀疏线性系组，发展和研究了基于经典代数多重网格的高效块预处理器，其系数矩阵可以重新排列成$(G+2)\times(G+2)$块形式，其中$G$是能量群的数目.预处理技术是基于单片经典代数多重网格方法，基于物理变量的粗化两级算法和两种类型的块舒尔补预处理。经典的代数多重网格被用来解决在最后三个块预条件子系统。进一步研究了耦合强度和对角优势对性能的影响。我们使用代表性的一组和20组线性系从胶囊内爆模拟的鲁棒性，效率，强和弱的并行标度性能的测试所提出的方法。数值结果表明，块预条件导致网格和问题无关的收敛，以及规模算法和并行。
2020-02-12 cs.NA math.NA
An adaptive algebraic multigrid algorithm for low-rank canonical tensor decomposition
University of Waterloo（滑铁卢大学）
针对低秩R的规范张量分解，提出一种基于自适应代数多重网格和交替最小二乘的多重网格算法，在要求高精度时显著优于单独使用ALS。
2011-11-25 cs.NA math.NA
Algebraic multigrid preconditioning of the Hessian in PDE-constrained optimization
针对椭圆型偏微分方程约束的线性二次最优化问题的约化Hessian，构造了一个基于代数多重网格（AMG）的预条件子.虽然预条件概括了几何多重网格预条件在早期的作品中介绍，它的建设完全依赖于一个标准的AMG基础设施建立解决前向椭圆型方程，从而使其能够实现使用各种AMG方法和标准包。我们的分析建立了一个明确的连接之间的质量预处理和AMG方法使用。所提出的策略具有广泛的和强大的适用性与非结构化网格，复杂的几何形状，和变系数的问题。该方法是使用Hypre软件包实现的，并给出了几个数值例子。
2020-01-30 cs.NA math.NA
A New Semi-Structured Algebraic Multigrid Method
多重网格方法非常适合于大规模并行计算机体系结构，因为它们在数学上是最优的，并显示出良好的并行化特性。由于当前的体系结构趋势倾向于使用常规计算模式来实现高性能，因此表达结构的能力变得更加重要。hypre软件库通过概念接口提供了高性能的多重网格预处理器和求解器，包括一个半结构化接口，该接口主要根据stenetrance和逻辑结构化网格来描述矩阵。本文提出了一种新的半结构代数多重网格（SSAMG）方法建立在这个接口。一组半结构化的问题，该方法的CPU实现的数值收敛性和性能进行评估。SSAMG实现了比hypre的非结构化AMG求解器更好的设置时间和可比的收敛性。此外，新方法能够解决比hypre的结构化求解器更复杂的问题。
2022-05-27 cs.NA math.NA
Bootstrap Algebraic Multigrid for the 2D Wilson Dirac system
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出基于bootstrap的代数多网格方法，用于求解二维Wilson狄拉克方程，利用γ对称性减少计算复杂度，通过Kaczmarz松弛实现高效求解，验证了方法的有效性。
2013-08-27 cs.NA math.NA
Aggregation based on graph matching and inexact coarse grid solve for algebraic multigrid
Université Libre de Brussels（布鲁塞尔自由大学）
提出一种基于图匹配的聚合策略用于代数多重网格，并通过数值实验分析不精确粗网格求解对高度不连续对流扩散系数矩阵及佛罗里达矩阵市场问题的影响，发现该方法比经典AMG更鲁棒。
2011-06-17 cs.NA math.NA
An Adaptively Constructed Algebraic Multigrid Preconditioner for Irreducible Markov Chains
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出一种自适应构造的代数多网格预条件器，用于高效求解非对称M矩阵线性系统，通过使用奇异向量代替特征向量改进插值与限制过程，提升GMRES收敛速度并验证其在多种测试问题中的优良扩展性。
2014-02-17 cs.NA math.NA
On the Ideal Interpolation Operator in Algebraic Multigrid Methods
LSEC, Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；NCMIS, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文研究了代数多重网格方法中理想插值算子的特性，提出新的充分必要条件和等价条件，为设计更高效的多重网格算法提供新思路。
2018-05-06 cs.NA math.NA
Parallel Unsmoothed Aggregation Algebraic Multigrid Algorithms on GPUs
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Microsoft Corporation（微软公司）
针对各向同性图拉普拉斯问题，基于聚合框架设计并实现了GPU上的并行代数多重网格方法，采用并行最大独立集算法构建粗层级，并使用ℓ1-Jacobi光滑子的K-cycle迭代求解。
2013-02-11 cs.NA math.NA
A GPU Accelerated Aggregation Algebraic Multigrid Method
我们提出了一个高效的，强大的和完全GPU加速的聚合为基础的代数多重网格预处理技术的大型稀疏线性系的解决方案。这些线性系源于椭圆偏微分方程的离散化。该方法包括建立和求解两个阶段。在建立阶段，通过对细网格节点的聚合，构造出分级的粗网格。这些聚合是使用一组最大的独立节点从细网格节点。我们使用“细粒度”的并行算法从强负连接图中找到一个极大独立集。聚合与从粗网格解决方案到细网格解决方案的分段常数（不平滑）插值相结合，确保低设置和插值成本。在求解阶段采用递归Krylov迭代（K-圈）实现了与网格无关的收敛。一个有效的组合的K-圈和标准的多重网格V-圈被用来作为预条件的Krylov迭代求解器，如广义最小残差和共轭梯度。我们比较了求解器的性能与其他求解器的基础上平滑聚合和经典的代数多重网格方法。
2014-03-07 cs.NA math.NA
On Spectral Clustering in Algebraic Multigrid Methods
McMaster University（麦克马斯特大学）；Charles University（查理大学）
本文提出一种新的直接多层方法，通过分析误差传播算子并对其谱进行聚类，实现任意复杂方阵线性系统的求解，并推导出直接K-cycle版本。
2026-11-05 cs.NA math.NA
A Self-learning Algebraic Multigrid Method for Extremal Singular Triplets and Eigenpairs
提出了一种求解主奇异三重态和最小奇异三重态及特征对的自学习代数多重网格方法。该方法包括两个多级阶段。在第一，乘法阶段（设置阶段），暂定奇异三元组计算连同一个多重网格层次的插值算子，近似适合暂定奇异向量的集体和自我学习的方式，使用乘法更新公式。在第二，添加剂阶段（解决阶段），暂定的奇异三元组改善所需的精度，通过使用添加剂的校正方案与固定的插值算子，结合里兹更新。一个合适的推广的奇异值分解制定适用于多层次循环的粗层次。该算法结合并扩展了现有的两种多重网格方法的对称正定本征值问题的情况下，占主导地位的和最小的奇异三元组。对不同地区的模型问题的数值试验表明，该算法在较小的迭代次数内收敛到较高的精度，并且由于其自学习特性，具有足够的灵活性来处理各种问题。
2011-02-04 cs.NA math.NA
Optimal interpolation and Compatible Relaxation in Classical Algebraic Multigrid
本文研究了经典最优代数多网格插值形式，并探讨了其与理想形式的对比，提出新的尖锐度量以保证收敛率下界，并设计了通用的bootstrap代数多网格设置算法。
2017-03-29 cs.NA math.NA
Algebraic Multigrid Methods
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文提出统一框架分析不同代数多网格方法，证明最优粗空间构造方法及其收敛性。
2016-11-10 cs.NA math.NA
Algebraic multigrid methods for metric-perturbed coupled problems
本文提出基于聚合代数多重网格的自定义光滑器方法，解决界面耦合多物理场问题，证明两层设置下的一致收敛性，并通过大脑生物物理数值示例展示参数鲁棒性与可扩展性。
2023-05-10 cs.NA math.NA
A Theory of Relaxation-Based Algebraic Multigrid
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bergische Universiatät Wuppertal（巴门大学数学与自然科学学院）
本文提出一种以松弛过程为核心的多网格理论，揭示其在细观问题粗化中的根本作用，并通过动态系统和维度约简方法推导出粗网格方程和插值操作，为未来多网格方法的收敛性、鲁棒性和适应性提供新思路。
2026-03-27 cs.NA math.NA
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种精简代数多重网格（LAMG）方法，通过构建多层粗化拉普拉斯系统并结合分段常数插值和能量校正，实现图拉普拉斯线性系统的高效求解，具有线性时间和存储复杂度。
2011-07-31 cs.NA math.NA
Comparison Between Algebraic and Matrix-free Geometric Multigrid for a Stokes Problem on Adaptive Meshes with Variable Viscosity
在地球地幔对流中出现的问题涉及到找到大粘度对比的斯托克斯系统的解决方案。这些系统包含局部化特征，即使使用自适应网格细化，也会导致线性系的数量级为10^9或更多未知数。对这些系统的速度块进行预处理的一种常见方法是应用代数多重网格（AMG）v循环（例如，如在ASPECT软件中所做的那样），然而，对于AMG，关于问题大小和并行过程的数量的鲁棒性可能是困难的。此外，当使用AMG时，我们看到自适应细化的迭代次数增加。相比之下，几何多重网格（GMG）方法，通过使用有关问题的几何信息，应该提供一个更强大的选项。在这里，我们提出了一个无矩阵的GMG v-循环，它适用于自适应细化，分布式网格，我们将比较它与目前的AMG预处理器（Trilinos ML）中使用的ASPECT软件。我们将证明GMG的鲁棒性方面的问题的大小，并显示扩展到114688核心和$217$十亿未知数。所有计算都使用开源的有限元库deal. ii运行。
2020-08-18 cs.NA math.NA
AIR algebraic multigrid for a space-time hybridizable discontinuous Galerkin discretization of advection(-diffusion)
本文研究将AIR代数多重网格作为预条件子用于时空HDG离散的平流主导问题全同时求解，并通过数值实验证明其在固定域、时变域及自适应网格细化下具有鲁棒可扩展的时空收敛性。
2020-10-22 cs.NA math.NA
Algebraic error analysis for mixed-precision multigrid solvers
本文建立了第一个理论框架，分析舍入误差的多重网格方法使用混合精度迭代细化求解器的影响。虽然由离散线性椭圆偏微分方程产生的稀疏对称正定（SPD）矩阵方程激发，但该框架是纯代数的，因此它适用于不一定来自连续统的矩阵。基于所谓的能量或$A$范数，这是自然规范的许多问题，涉及SPD矩阵，我们提供了一个规范的向前误差分析，并介绍了渐进精度的多重网格求解器的概念。多重网格层次结构的每一级都使用三种不同的精度，每一种精度都随着级别的精细度而增加，但以不同的速率增加，从而确保大部分计算使用尽可能低的精度。在这里开发的理论结果的能量规范显着不同，从以前的理论基础上的欧几里德规范的重要方式。特别是，我们表明，简单地四舍五入一个确切的结果，有限的精度会导致错误的能量范数，是成比例的平方根的$κ$，相关的矩阵条件数。(By相反，当以欧几里德范数测量时，该误差为$1$阶。）鉴于这一观察，我们表明，V-周期和完整的多重网格的限制精度是最佳的意义上说，它也是成比例的$κ^{1/2}$的能量。此外，我们表明，由于四舍五入的收敛速度的损失成比例增长的$κ^{1/2}$，但认为这种损失是微不足道的，在实践中。本文的理论是第一次在迭代加密能量范数下的向前误差分析，也是第一次一般意义上的多重网格舍入误差分析。
2020-07-13 cs.NA math.NA
Coarse-Grid Selection Using Simulated Annealing
多层技术是求解离散偏微分方程等大型线性系的有效方法。虽然几何多重网格需要详细的知识的基础问题和它的离散化，代数多重网格的目的是少侵入，需要较少的知识的起源的线性系。代数多重网格算法的一个关键步骤是粗/细划分的选择，目的是平衡迭代的收敛性和代价。在MacLachlan和Saad的工作中，一个约束组合最优化问题被用来定义“最佳”粗网格内设置的两个级别的减少为基础的代数多重网格方法，并被证明是NP完全的。在这里，我们开发了一个新的粗化算法的基础上模拟退火近似解这个问题，从而产生改进的结果比以前开发的贪婪算法。我们提出了结构化和非结构化网格上的测试问题的数值结果，证明了利用知识的基础网格结构，如果它是可用的能力。
2023-01-20 cs.NA math.NA
Convergence in Norm of Nonsymmetric Algebraic Multigrid
代数多重网格（AMG）是求解大型稀疏线性系最快的数值方法之一。对于SPD矩阵，AMG的收敛性在$A$ -范数下得到了很好的证明，并且AMG已被证明是许多应用的有效求解器。近年来，已有几种AMG算法被提出，它们对非对称线性系都很有效。虽然在每种情况下提供的动机，非对称线性系的AMG的收敛性仍然没有得到很好的理解，算法主要是基于几何学或不完整的理论。对于多重网格约束和插值算子$R$和$P$，分别让$Π:= P(RAP)^{-1}RA$表示AMG中粗网格校正对应的投影。在非对称设置中，$\|Π\| > 1$在任何已知范数下都是不变的情况。这导致了一个有趣的二分法：粗网格校正是AMG实现快速收敛的基础，但在这种情况下，实际上会增加误差。在这里，我们提出了一个详细的分析非对称AMG，讨论为什么SPD理论在非对称设置，并制定了一个一般的框架NS-AMG的收敛。将经典多重网格的弱逼近和强逼近性质推广到\textit{fractional approximation property}上。然后在$R$和$P$上开发条件，以确保$\|Π\|_{\sqrt{A^*A}}$是有界的，与问题大小无关。其次是两个网格和多级W-循环收敛的$\sqrt{A^*A}$规范的条件的发展。
2019-09-09 cs.NA math.NA
Norm-based convergence bounds for nonsymmetric algebraic V-cycle multigrid methods
Institute of Mathematics, Technische Universität Berlin（柏林工业大学数学研究所）
本文基于非对称代数多网格方法，利用任意正定矩阵B诱导的范数，推导了非对称情况下的收敛界，并展示了多网格方法中误差传播矩阵的范数估计。
2026-04-24 cs.NA math.NA
Accelerating Algebraic Multigrid Methods via Artificial Neural Networks
本研究提出AMG-ANN算法，利用人工神经网络预测AMG的强连接参数以最大化收敛因子，经两类二维PDE模型问题实验验证并分析了参数调整的影响。
2022-10-06 cs.NA math.NA
Efficient solution of 3D elasticity problems with smoothed aggregation algebraic multigrid and block arithmetics
三维弹性力学问题的有效求解是许多工业和科学应用的重要组成部分。光滑聚合代数多重网格使用刚体模式的暂定延长运营商建设是一个有效的和强大的选择所产生的弹性方程离散化的线性系统的解决方案。多重网格体系中每一层上的系统矩阵都具有块结构，因此采用块表示和块算法可以显著提高求解效率。然而，试探性的延拓算子构造只能使用标量表示来完成。本文提出了一对夫妇的实用方法，使使用块算法与平滑聚合代数多重网格的基础上开放源代码AMGCL库。对两个实际世界模型问题的计算表明，所提改进可使求解速度提高50%，预条件子所需内存减少30%。实现是简单的，只需要最少的代码。
2022-02-18 cs.MS cs.NA math.NA
$hp$-robust multigrid solver on locally refined meshes for FEM discretizations of symmetric elliptic PDEs
本文针对对称二阶线性椭圆扩散问题的有限元离散，提出并分析了一种几何多重网格方法，证明其对多项式次数$p$和网格尺寸$h$具有鲁棒收敛性，并给出$hp$-鲁棒的代数误差估计子及自适应有限元应用。
2023-07-19 cs.NA math.NA
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver (Journal Version)
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种线性时间复杂度的图拉普拉斯系统求解器LAMG，通过组合分段常数插值、基于亲和度的节点聚合和能量校正实现快速收敛与线性扩展。
2012-06-08 cs.NA math.NA
A Root-Node Based Algebraic Multigrid Method
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出一种结合经典和聚合多重网格的根节点AMG方法，通过过滤策略控制计算成本，有效解决非对称和困难的SPD问题，提供详细的计算成本估计。
2018-01-29 cs.NA math.NA
Parallel Element-based Algebraic Multigrid for H(curl) and H(div) Problems Using the ParELAG Library
本文利用ParELAG库实现基于单元的代数多重网格层次结构，为H(curl)和H(div)问题构建多层预条件子与求解器，通过相容嵌套空间、混合平滑器及AMS/ADS实现完整多重网格循环，并展示了其并行性能与库功能。
2022-12-17 cs.MS cs.NA math.NA
A Geometric Multigrid Preconditioner for Shifted Boundary Method
Heidelberg University（海德堡大学）
本文提出了一种几何多网格预条件器，用于解决移位边界法中因非对称性和非局部边界耦合导致的高阶离散化问题，通过Full-Residual Shy Patch平滑器实现低网格依赖性的高效收敛。
2026-01-15 cs.NA math.NA
On Compatible Transfer Operators in Nonsymmetric Algebraic Multigrid
本文针对非对称代数多重网格中粗网格校正非正交导致算法可能发散的问题，提出构造相容传输算子的解析方法，使校正算子在标准矩阵诱导范数下范数为1，并分析了范数选择与收敛性关系。
2024-01-16 cs.NA math.NA
