On Optimal Algebraic Multigrid Methods
本文提出一种基于误差传播算子谱刻画的新方法，用于推导厄米正定系统两网格方法的最优插值算子，并证明其关于A-范数、谱半径及预条件系统条件数均为最优。
2019-06-04 cs.NA math.NA
Cascadic Tensor Multigrid Method and Economic Cascadic Tensor Multigrid Method for Image Restoration Problems
针对图像恢复模型，提出级联张量多重网格法及其经济型版本，通过二次插值延拓和保边去噪算子提升计算效率与恢复质量。
2023-11-03 cs.NA math.NA
A Self-learning Algebraic Multigrid Method for Extremal Singular Triplets and Eigenpairs
提出了一种求解主奇异三重态和最小奇异三重态及特征对的自学习代数多重网格方法。该方法包括两个多级阶段。在第一，乘法阶段（设置阶段），暂定奇异三元组计算连同一个多重网格层次的插值算子，近似适合暂定奇异向量的集体和自我学习的方式，使用乘法更新公式。在第二，添加剂阶段（解决阶段），暂定的奇异三元组改善所需的精度，通过使用添加剂的校正方案与固定的插值算子，结合里兹更新。一个合适的推广的奇异值分解制定适用于多层次循环的粗层次。该算法结合并扩展了现有的两种多重网格方法的对称正定本征值问题的情况下，占主导地位的和最小的奇异三元组。对不同地区的模型问题的数值试验表明，该算法在较小的迭代次数内收敛到较高的精度，并且由于其自学习特性，具有足够的灵活性来处理各种问题。
2011-02-04 cs.NA math.NA
Bootstrap Algebraic Multigrid for the 2D Wilson Dirac system
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出基于bootstrap的代数多网格方法，用于求解二维Wilson狄拉克方程，利用γ对称性减少计算复杂度，通过Kaczmarz松弛实现高效求解，验证了方法的有效性。
2013-08-27 cs.NA math.NA
A GPU Accelerated Aggregation Algebraic Multigrid Method
我们提出了一个高效的，强大的和完全GPU加速的聚合为基础的代数多重网格预处理技术的大型稀疏线性系的解决方案。这些线性系源于椭圆偏微分方程的离散化。该方法包括建立和求解两个阶段。在建立阶段，通过对细网格节点的聚合，构造出分级的粗网格。这些聚合是使用一组最大的独立节点从细网格节点。我们使用“细粒度”的并行算法从强负连接图中找到一个极大独立集。聚合与从粗网格解决方案到细网格解决方案的分段常数（不平滑）插值相结合，确保低设置和插值成本。在求解阶段采用递归Krylov迭代（K-圈）实现了与网格无关的收敛。一个有效的组合的K-圈和标准的多重网格V-圈被用来作为预条件的Krylov迭代求解器，如广义最小残差和共轭梯度。我们比较了求解器的性能与其他求解器的基础上平滑聚合和经典的代数多重网格方法。
2014-03-07 cs.NA math.NA
A structure preserving H-curl algebraic multigrid method for the eddy current equations
针对涡流方程离散系统，本文提出 SpHcurlAMG，通过在 EAMG 中嵌入交换关系约束构造边插值，摆脱分段常数插值限制并实现网格无关收敛。
2025-06-09 cs.NA math.NA
A Theory of Relaxation-Based Algebraic Multigrid
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bergische Universiatät Wuppertal（巴门大学数学与自然科学学院）
本文提出一种以松弛过程为核心的多网格理论，揭示其在细观问题粗化中的根本作用，并通过动态系统和维度约简方法推导出粗网格方程和插值操作，为未来多网格方法的收敛性、鲁棒性和适应性提供新思路。
2026-03-27 cs.NA math.NA
Comparison of Multigrid Algorithms for High-order Continuous Finite Element Discretizations
School of Computing, University of Utah（犹他大学计算学院）；Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Institute for Computational Engineering and Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校计算工程与科学研究所）
本文比较了高阶连续有限元离散化中不同多网格方法的性能，分析了高阶h-多网格、p-多网格及一阶近似多网格预处理方法在不同多项式阶数下的效率差异。
2015-03-06 cs.NA math.NA
A New Extrapolation Economy Cascadic Multigrid Method for Image Restoration Problems
针对图像复原问题，提出结合新外推公式与二次插值的外推经济型瀑布多重网格方法，通过非线性延拓、保边缘去噪等算子兼顾计算效率与复原质量。
2023-11-06 cs.NA math.NA
Coarsening in Algebraic Multigrid using Gaussian Processes
多重网格方法已被证明是一个非常宝贵的工具，有效地解决大型稀疏线性系中产生的离散偏微分方程（PDE）。代数多重网格方法，特别是自适应代数多重网格方法已经表明，多重网格的效率，而不必求助于PDE的属性。然而，这些方法所需的设置造成了不可忽视的间接成本。机器学习的方法已经引起了人们对基于可用数据训练的统计模型的简化流程的关注。解释代数光滑误差作为高斯过程的一个实例，我们开发了一种新的，数据驱动的方法来构建自适应代数多重网格方法。基于高斯先验分布，克里格插值最小化后验分布的均方误差，给定粗网格上的数据。更进一步，我们利用高斯过程模型中的不确定性量化，以构建有效的变量分裂。使用一个合适的协方差模型的半变异函数拟合，我们证明了我们的方法产生有效的方法，使用一个单一的代数光滑向量。
2020-04-23 cs.NA math.NA
On Compatible Transfer Operators in Nonsymmetric Algebraic Multigrid
本文针对非对称代数多重网格中粗网格校正非正交导致算法可能发散的问题，提出构造相容传输算子的解析方法，使校正算子在标准矩阵诱导范数下范数为1，并分析了范数选择与收敛性关系。
2024-01-16 cs.NA math.NA
Construction of Grid Operators for Multilevel Solvers: a Neural Network Approach
Università della Svizzera Italiana（提契诺大学）
在本文中，我们研究多重网格方法和神经网络的结合，从一个椭圆型偏微分方程的有限元离散。多重网格方法使用插值算子在不同的近似水平之间传递信息。这些算子对于多重网格的快速收敛是至关重要的，但它们通常是未知的。我们提出了用于学习插值算子的深度神经网络模型，并根据网络的输出构建了一个多级层次结构。我们研究了神经网络预测的插值算子的准确性，并使用不同的网络架构对其进行测试。这种用于构造网格算子的神经网络方法可以扩展为多级求解器的自动定义，从而在科学计算中实现便携式解决方案
2021-09-13 cs.LG cs.NA math.NA
Nonsymmetric Algebraic Multigrid Based on Local Approximate Ideal Restriction (lAIR)
Department of Applied Mathematics, University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校应用数学系）
本文提出了一种新的非对称矩阵多重网格方法（lAIR），通过局部近似理想限制算子与F松弛结合，进行谱分析并展示其在对流-扩散-反应方程离散形式系统中的有效性，证明其在不同离散化方案中具有鲁棒性。
2019-03-01 cs.NA math.NA
An Adaptively Constructed Algebraic Multigrid Preconditioner for Irreducible Markov Chains
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出一种自适应构造的代数多网格预条件器，用于高效求解非对称M矩阵线性系统，通过使用奇异向量代替特征向量改进插值与限制过程，提升GMRES收敛速度并验证其在多种测试问题中的优良扩展性。
2014-02-17 cs.NA math.NA
Unstructured Geometric Multigrid in Two and Three Dimensions on Complex and Graded Meshes
University of Chicago（芝加哥大学）
针对复杂形状或自适应细化网格上的有限元问题，提出一种基于拓扑的网格粗化算法简化版，用于构建非结构化几何多重网格的层次结构，并通过病态测试案例验证其性能。
2011-04-05 cs.CG cs.NA math.NA
Fast multigrid reduction-in-time for advection via modified semi-Lagrangian coarse-grid operators
许多迭代时间并行算法在求解扩散主导型偏微分方程（PDE）时效率很高，但在求解对流主导型偏微分方程时效率低下甚至发散。我们考虑应用多重网格减少时间（MGRIT）算法的线性平流偏微分方程。这种方法有效时间积分的关键是使用粗网格算子，它提供了一个足够精确的近似所谓的理想粗网格算子。对于某些类的半拉格朗日离散，我们提出了一种新的半拉格朗日为基础的粗网格算子，导致快速和可扩展的线性平流偏微分方程的多级时间积分。粗网格算子由半拉格朗日离散化和修正项组成，修正项的设计使合成算子的前阶截断误差近似等于理想粗网格算子的前阶截断误差。并行结果表明，大量的速度超过顺序时间积分的可变波速平流问题在一个和两个空间维度，并使用高阶离散到五阶。所提出的方法建立了第一个实用的方法，提供了小的和可扩展的MGRIT迭代计数的平流问题。
2022-04-22 cs.NA math.NA
A novel and scalable Multigrid algorithm for many-core architectures
UNAM（墨西哥国立自治大学）
提出一种专为GPU等众核架构设计的高占用率多重网格算法（HOMG），通过融合插值和松弛操作实现线性扩展和完美可扩展性。
2011-08-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种精简代数多重网格（LAMG）方法，通过构建多层粗化拉普拉斯系统并结合分段常数插值和能量校正，实现图拉普拉斯线性系统的高效求解，具有线性时间和存储复杂度。
2011-07-31 cs.NA math.NA
Convergence in Norm of Nonsymmetric Algebraic Multigrid
代数多重网格（AMG）是求解大型稀疏线性系最快的数值方法之一。对于SPD矩阵，AMG的收敛性在$A$ -范数下得到了很好的证明，并且AMG已被证明是许多应用的有效求解器。近年来，已有几种AMG算法被提出，它们对非对称线性系都很有效。虽然在每种情况下提供的动机，非对称线性系的AMG的收敛性仍然没有得到很好的理解，算法主要是基于几何学或不完整的理论。对于多重网格约束和插值算子$R$和$P$，分别让$Π:= P(RAP)^{-1}RA$表示AMG中粗网格校正对应的投影。在非对称设置中，$\|Π\| > 1$在任何已知范数下都是不变的情况。这导致了一个有趣的二分法：粗网格校正是AMG实现快速收敛的基础，但在这种情况下，实际上会增加误差。在这里，我们提出了一个详细的分析非对称AMG，讨论为什么SPD理论在非对称设置，并制定了一个一般的框架NS-AMG的收敛。将经典多重网格的弱逼近和强逼近性质推广到\textit{fractional approximation property}上。然后在$R$和$P$上开发条件，以确保$\|Π\|_{\sqrt{A^*A}}$是有界的，与问题大小无关。其次是两个网格和多级W-循环收敛的$\sqrt{A^*A}$规范的条件的发展。
2019-09-09 cs.NA math.NA
LAMG+: A Robust Lean Algebraic Multigrid Solver for Graph Laplacians
Pine Birch Analytics（松桦分析）
提出LAMG+，一种无参数、经验线性时间的代数多重网格求解器，通过两种局部改进解决LAMG在网格对齐各向异性上的收敛问题，在有限元/结构矩阵上比鲁棒AC变体快2.2倍。
2026-06-24 cs.NA math.NA
A Massively Parallel Algebraic Multigrid Preconditioner based on Aggregation for Elliptic Problems with Heterogeneous Coefficients
提出了一种基于非光滑聚合的大规模并行代数多重网格方法。它特别适合于解决异构椭圆问题，因为它使用贪婪的启发式算法进行聚合，检测系数的变化，并防止聚合。在每个进程上使用解耦聚合，在粗略级别上将数据聚集到更少的进程上，它在解决方案的总时间和每次迭代的时间方面都可以很好地扩展到近300，000个核心。由于简单的分段常数插值之间的水平，它的内存消耗低，并允许解决超过100，000，000，000自由度的问题。
2013-09-30 cs.DC cs.MS cs.NA
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver (Journal Version)
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种线性时间复杂度的图拉普拉斯系统求解器LAMG，通过组合分段常数插值、基于亲和度的节点聚合和能量校正实现快速收敛与线性扩展。
2012-06-08 cs.NA math.NA
Algebraic distance for anisotropic diffusion problems: multilevel results
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）；Ball State University（_ball_state_大学）
本文提出基于代数距离的新连接强度定义，用于构建代数多网格算法中的粗网格和插值算子，通过数值实验验证其在各向异性扩散问题中的鲁棒性。
2014-09-16 cs.NA math.NA
Norm-based convergence bounds for nonsymmetric algebraic V-cycle multigrid methods
Institute of Mathematics, Technische Universität Berlin（柏林工业大学数学研究所）
本文基于非对称代数多网格方法，利用任意正定矩阵B诱导的范数，推导了非对称情况下的收敛界，并展示了多网格方法中误差传播矩阵的范数估计。
2026-04-24 cs.NA math.NA
Error Formulas for Ideal Interpolation
本文研究理想插值误差公式的代数结构，引入了
2016-06-18 cs.NA math.NA
Generalizing Reduction-Based Algebraic Multigrid
针对基于约简的代数多重网格（AMGr）在非对角占优矩阵上性能下降的问题，本文结合连接强度、SPAI等技术改进经典AMGr算法，在控制成本的同时提升鲁棒性，数值实验验证了其在两类扩散问题上的有效性。
2023-08-22 cs.NA math.NA
Computing Groebner bases of ideal interpolation
本文提出一种通过泰勒展开与高斯消元计算理想插值中消失理想约化Gröbner基的多项式时间算法，并在单点及部分多点插值中优于MMM算法。
2024-01-15 cs.NA math.AC math.NA
Monolithic Algebraic Multigrid Preconditioners for the Stokes Equations
本文提出一种基于低阶算子与AMG插值构造的整体代数多重网格预条件子，用于Stokes方程的高阶离散，并通过Vanka块分解和Chebyshev自适应松弛提升效率与并行性，在2D和3D问题中表现稳健。
2024-08-31 cs.NA math.NA
AIR algebraic multigrid for a space-time hybridizable discontinuous Galerkin discretization of advection(-diffusion)
本文研究将AIR代数多重网格作为预条件子用于时空HDG离散的平流主导问题全同时求解，并通过数值实验证明其在固定域、时变域及自适应网格细化下具有鲁棒可扩展的时空收敛性。
2020-10-22 cs.NA math.NA
Parallel Energy-Minimization Prolongation for Algebraic Multigrid
Department ICEA, University of Padova（帕多瓦大学ICEA学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of New Mexico（新墨西哥大学数学与统计系）；Siebel Center for Computer Science, University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校西贝尔计算机科学中心）
本文提出一种并行能量最小化方法，用于代数多重网格中的扩展，以减少扩展能量并保持近核组件，提升大规模问题的收敛速度和可扩展性。
2022-08-05 cs.NA math.NA
Nodal AMG Coarsening and Interpolation for PDE Systems
本文提出一种适用于具有大近核的PDE系统（如H(curl)和H(div)）的代数多重网格（AMG）粗化算法与插值算子，基于兼容松弛和理想插值模型，通过节点对偶问题粗化与匹配算法完全解耦变量以增强稀疏性，结合自动平滑器构建了完整的双网格方法，并在Stokes等系统上验证了有效性。
2025-01-27 cs.NA math.NA
Groebner basis structure of ideal interpolation
本文研究理想插值中零维理想Groebner基与插值条件泛函的关系，提出逆向完全约化基概念，并给出任意相容序下快速计算理想投影算子核的约化Groebner基的算法。
2024-01-15 cs.NA cs.SC math.NA
On existence of certain error formulas for a special class of ideal projectors
Jilin University（吉林大学）
利用代数几何证明一类特殊理想投影子存在C. de Boor定义的“好”误差公式，并分析其插值条件性质，证明其值域是关于关联插值条件的最小次数插值空间。
2011-02-12 cs.NA math.NA
Is the Multigrid Method Fault Tolerant? The Two-Grid Case
Brown University（布朗大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文分析了多重网格算法在故障下的行为，发现双网格方法对故障不具容错性，并探讨了恢复收敛速度的必要补救措施。
2016-07-08 cs.DC cs.NA math.NA
Bivariate Lagrange interpolation at the Padua points: the ideal theory approach
本文从理想理论角度研究基于Padua点的双变量多项式插值，发现了插值多项式的紧凑公式，并分析了其L^p收敛性。
2006-04-27 cs.NA math.CA math.NA
Nonsymmetric Reduction-based Algebraic Multigrid
代数多重网格（AMG）是求解对称正定线性系的一种有效方法，它可以将一般椭圆型偏微分方程离散化，也可以将抛物型偏微分方程空间离散化。然而，收敛理论和AMG的大多数变体依赖于$A$是SPD。双曲偏微分方程，经常出现在大规模的科学模拟，仍然是一个挑战，AMG，以及其他快速线性求解器，部分原因是得到的线性系往往是高度非对称的。在这里，一个新的收敛框架的非对称，减少为基础的AMG，并推导出$\ell^2$ -误差和残差收敛的充分条件。特别是，经典的多重网格近似属性与减少为基础的措施，以发展一个强大的框架，非对称，减少为基础的AMG。块三角形结构的矩阵，然后被认为是服从约简型算法，和约简为基础的AMG方法开发的迎风离散的双曲型偏微分方程，基于Neumann近似的概念，理想的限制（$n$ AIR）。$n$ AIR可以看作是在以前的工作中引入的局部AIR（$\ell$ AIR）的变体，特别针对具有三角结构的矩阵。尽管功能不如$\ell$ AIR，但$n$ AIR的设置时间可以大大缩短，以解决高连通性问题。$n$ AIR被证明是一个有效的和可扩展的求解器的稳定状态传输的不连续，迎风离散，非结构化网格，并高达6阶有限元，提供了一个显着的改善现有的AMG方法。$n$空气也被证明是有效的几类“近三角形”矩阵，导致曲线有限元和人工扩散。
2019-09-09 cs.NA math.NA
Is the Multigrid Method Fault Tolerant? The Multilevel Case
Brown University（布朗大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）
本文研究了多重网格方法在大规模计算中的容错性，指出除非保护好粗化操作，否则该方法不具有容错性，并提出了故障检测、缓解策略及参数选择指南。
2016-07-28 cs.DC cs.NA math.NA
Reducing Parallel Communication in Algebraic Multigrid through Sparsification
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出通过稀疏化减少代数多网格中并行通信成本，通过移除粗网格矩阵中的弱连接或不重要条目，提升求解效率，同时平衡通信成本与收敛性。
2015-12-15 cs.DC cs.NA math.NA
Observations on interpolation by total degree polynomials in two variables
Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学）；Universität Passau（帕绍大学）
研究双变量总次数多项式插值的代数性质，分析Radon-Berzolari和Chung-Yao方法的几何特性。
2017-02-07 cs.NA math.NA
Towards Automated Algebraic Multigrid Preconditioner Design Using Genetic Programming for Large-Scale Laser Beam Welding Simulations
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（弗里德里希-亚历山大-埃尔兰根-纽伦堡大学）；Universität zu Köln（科隆大学）
针对大规模激光束焊接仿真中多重网格方法算法选择影响效率的问题，提出用遗传编程基于上下文无关文法自动生成含层级特定平滑序列的灵活AMG循环，实验验证其可提升求解器性能。
2024-12-11 cs.AI cs.CE cs.NA
A fast algebraic multigrid solver and accurate discretization for highly anisotropic heat flux I: open field lines
针对磁约束聚变等离子体中高度各向异性热通量方程，提出一种结合新型有限元离散化与基于AIR的AMG求解器的方法，在开放场线场景下实现高精度与快速收敛。
2024-03-14 cs.NA math.NA
Reconstructing sparse exponential polynomials from samples: Stirling numbers and Hermite interpolation
Lehrstuhl für Mathematik mit Schwerpunkt Digitale Bildverarbeitung & FORWISS, University of Passau（帕绍大学数字图像处理重点数学研究所与FORWISS）；University of Passau（帕绍大学）
本文研究通过斯特林数和赫尔米特插值从样本重构稀疏指数多项式，揭示系数与多重空间的精确关系。
2017-04-11 cs.NA math.NA
StructMG: A Fast and Scalable Structured Algebraic Multigrid
针对结构化网格问题，提出快速可扩展的代数多重网格预条件子 StructMG，通过模板三重矩阵乘积和统一并行稀疏三角求解器框架优化计算，在多领域实际问题中比 hypre 等主流方法实现数倍至15.5倍加速并显著提升扩展效率。
2025-06-27 cs.CE cs.NA cs.PF
A Bootstrap Algebraic Multilevel method for Markov Chains
提出一种Bootstrap代数多重网格方法，结合多重网格特征求解器和预条件GMRES迭代，高效计算马尔可夫链的平稳向量。
2010-04-22 cs.NA math.NA
Multigrid with rough coefficients and Multiresolution operator decomposition from Hierarchical Information Games
California Institute of Technology（加州理工学院）
本文提出了一种近线性复杂度的多重网格/多重分辨率方法，用于处理具有粗糙系数的偏微分方程，通过信息博弈理论框架实现精确的先验精度和性能估计。
2017-02-10 cs.AI cs.NA math.NA
Efficient mesh deformation using radial basis functions with a grouping-circular-based greedy algorithm
为了提高网格变形的效率，提出了一种基于分组圆（GCB）的贪婪算法。该算法引入多重网格思想，将细网格上的计算误差近似于粗网格上的计算误差，随机将所有边界节点划分为$m$组，并在每次迭代过程中使用每组局部最大径向基函数（RBF）插值误差近似于所有边界结点中的全局最大值，以减少RBF支持节点。为此，它避免了在所有边界结点处进行插值，从而将相应的计算复杂性从$O\left({N_c^2{N_b}} \right)$降低到$O\left( {N_c^3} \right)$。此外，在$m$迭代之后，所有边界结点的插值误差被计算一次，从而允许所有边界结点都可以贡献于误差控制。对ONERA M6机翼和DLR-F6机翼-机身-短舱-挂架组合体的典型变形问题进行了计算，验证了GCB贪婪算法的有效性。计算结果表明，GCB贪婪算法能使数据约简过程中插值误差的计算效率显著提高几十倍。由于$m$的增加导致$N_c$的增加，因此建议$m$的$\left[ {{N_b}/{N_c},{\rm{ }}2{N_b}/{N_c}}\right]$的适当范围，以避免因$N_c $的增加而导致求解线性代数系统和计算体积节点位移的额外计算量过大。结果还表明，当网格规模较大时，GCB贪婪算法对网格变形的效率有更大的提高。
2020-07-30 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Multivariate Lagrange Interpolation and an Application of Cayley-Bacharach Theorem For it
本文深入研究了多元拉格朗日插值，提出了充分交的概念，利用Bezout定理等证明了沿充分交代数流形的多项式空间维数，并基于Mysovskikh定理给出了适定节点集存在性的刻画条件，最后通过推广的Cayley-Bacharach定理解决了低维代数流形上的插值问题。
2006-08-13 cs.NA math.AG math.NA
A Bivariate Preprocessing Paradigm for Buchberger-Möller Algorithm
Jilin University（吉林大学）
基于笛卡尔点集上的双变量多项式插值理论，提出一种预处理范式，通过直接给出度数递减的插值单项式和牛顿基，简化并加速 Buchberger-Möller 算法，尤其适用于有限素域上的计算。
2010-01-08 cs.NA math.AC math.NA
