Analysis of a multigrid preconditioner for Crouzeix-Raviart discretization of elliptic PDE with jump coefficient
University of California at San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
针对跳跃系数二阶椭圆问题的非协调Crouzeix-Raviart离散化，提出一种使用标准协调子空间作为粗空间的多重网格V循环预处理器，分析表明预处理系统仅有少数小特征值受跳跃影响，有效条件数关于网格尺寸对数有界，从而预条件共轭梯度法几乎一致收敛。
2011-10-24 cs.NA math.NA
MultiGrid Preconditioners for Mixed Finite Element Methods of Vector Laplacian
University of California at Irvine（加州大学尔湾分校）；University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Xiangtan University（湘潭大学）
本文提出基于多网格方法的块对角和块三角预条件器，用于求解向量拉普拉斯算子的鞍点系统，利用点wise高斯-塞德尔平滑器提高求解效率。
2016-01-15 cs.NA math.NA
Multigrid In Energy Preconditioner for Krylov Solvers
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；University of Wisconsin - Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文提出了一种基于能量多重网格的预条件器，用于提升Denovo辐射输运代码的求解效率，通过能量-空间-角度分解实现大规模并行计算。
2016-12-03 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Vanka-smoothed shifted Laplacian multigrid preconditioners for the Helmholtz equations
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）；Houston University（休斯顿大学）
本文提出了一种改进的多重网格预条件器，通过加性Vanka平滑器提升亥姆霍兹方程的可扩展性，优于传统移位拉普拉斯方法。
2026-09-01 cs.NA math.NA
Textbook efficiency: massively parallel matrix-free multigrid for the Stokes system
我们采用教科书的多重网格效率（TME），介绍了由阿奇勃兰特，构造一个渐进最优的整体多重网格求解器的斯托克斯系统。几何多重网格求解器建立在分层混合网格（HHG）的概念，这是扩展到高阶有限元离散，和相应的矩阵的自由实现。计算成本的全多重网格（FMG）迭代量化，并求解器应用于多个基准问题。通过参数研究，我们建议的配置，实现TME的，稳定的等阶，泰勒-胡德离散。通过屋顶线分析，相关的计算内核的优秀的节点级性能。最后，我们证明了弱和强的可扩展性，以$147,456$并行处理和解决斯托克斯系统超过$3.6 \times 10^{12}$（万亿）未知数。
2020-10-26 cs.CE cs.MS cs.NA
Evolving Generalizable Multigrid-Based Helmholtz Preconditioners with Grammar-Guided Genetic Programming
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡弗里德里希-亚历山大大学）
求解不定Helmholtz方程不仅对理解许多物理现象至关重要，而且也是数值方法成功应用的一个非常困难的基准问题。在这里，我们介绍了一种新的方法，发展高效的预处理迭代求解器亥姆霍兹问题的多目标语法指导遗传编程。我们的方法是基于一种新的上下文无关的语法，这使得建设的多重网格预条件，采用定制的操作序列上的每个离散化水平。为了找到在给定域上很好地推广的求解器，我们提出了一种自定义的连续问题难度自适应方法，在该方法中，我们评估了预处理器对日益病态的问题实例的效率。我们证明了我们的方法的有效性，通过不断发展基于多重网格的预条件的二维不定亥姆霍兹问题，优于几个人类设计的方法，不同的波数高达系统的线性方程与超过一百万个未知数。
2022-04-28 cs.AI cs.MS cs.NA
An auxiliary space multigrid preconditioner for the weak Galerkin method
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；National Science Foundation（美国国家科学基金会）；Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）；University of Arkansas at Little Rock（阿肯色大学小石城分校）
本文提出一种辅助空间多网格预条件子，用于弱 Galerkin 有限元方法求解二阶扩散方程，通过构建弱 Galerkin 离散空间与 H^1 合 conforming 线性有限元空间的连接，实现预条件子的构造，并通过数值实验验证其有效性。
2014-10-04 cs.NA math.NA
Algebraic multigrid preconditioning of the Hessian in PDE-constrained optimization
针对椭圆型偏微分方程约束的线性二次最优化问题的约化Hessian，构造了一个基于代数多重网格（AMG）的预条件子.虽然预条件概括了几何多重网格预条件在早期的作品中介绍，它的建设完全依赖于一个标准的AMG基础设施建立解决前向椭圆型方程，从而使其能够实现使用各种AMG方法和标准包。我们的分析建立了一个明确的连接之间的质量预处理和AMG方法使用。所提出的策略具有广泛的和强大的适用性与非结构化网格，复杂的几何形状，和变系数的问题。该方法是使用Hypre软件包实现的，并给出了几个数值例子。
2020-01-30 cs.NA math.NA
An Angular Multigrid Preconditioner for the Radiation Transport Equation with Forward-Peaked Scatter
在之前的一篇论文（Lathouwers和Perkó，2019）中，我们为玻尔兹曼输运方程开发了一个有效的角度多重网格预处理器，该方程具有由福克-普朗克近似建模的前向峰值散射。离散是基于一个完全不连续的伽辽金有限元计划的空间和角度。该方案被发现是非常有效的各向同性和各向异性细化角网格。本文的目的是将该方法推广到非Fokker-Planck模型，通过广义Legendre展开描述前向散射。作为平滑的标准源迭代使用，而粗角网格上的解决方案是通过一个特殊的扫描程序，能够解决这个问题，高度各向异性散射，只使用少量的迭代。通过降低多重网格预处理器中的散射阶数，得到了一种有效的格式。一组测试问题，以说明该方法的有效性，即在较少的迭代比单网格的情况下，更重要的是减少计算工作量。
2020-10-09 cs.NA math.NA
Chiral rank-$k$ truncations for the multigrid preconditioner of Wilson fermions in lattice QCD
本文提出对Wilson费米子多重网格预条件子采用手征奇异值分解对测试向量进行秩-k截断，以改进延拓与限制矩阵的构造，并在两组不同格点配置上验证了该方法能提升线性方程组求解的收敛性。
2025-02-05 cs.NA hep-lat math.NA
An efficient multiscale multigrid preconditioner for Darcy flow in high-contrast media
本文提出一种基于嵌套子空间和谱问题特征函数的多重网格预条件子，用于高效求解高对比度多孔介质中的Darcy流问题，并通过大规模数值实验验证了其可扩展性和鲁棒性。
2024-03-28 cs.NA math.NA
Algebraic Multigrid Preconditioners for Multiphase Flow in Porous Media
多相流是一个关键的过程，在广泛的应用，包括碳封存，污染物修复，地下水管理。典型地，该过程通过考虑每个相的质量守恒导出的偏微分方程的非线性系统来建模（例如，油、水），以及相速度与相压力的关系的本构定律。在这项研究中，我们开发和研究的有效解算法求解的代数系统方程来自一个完全耦合和时间隐式处理模型的多相流。我们探讨了几个预处理器的性能代数多重网格（AMG）的基础上解决线性化问题，包括“黑箱”AMG直接应用于系统，一个新版本的约束压力剩余多重网格（CPR-AMG）预处理，和一个新的预处理器使用近似舒尔补充所产生的雅可比矩阵的块分解。我们表明，新的方法是最强大的问题特征，由不同的影响，毛细管压力，我们表明，块分解预条件是有效的和规模优化问题的大小。
2016-11-01 cs.CE cs.NA math.NA
Scheduling massively parallel multigrid for multilevel Monte Carlo methods
三维偏微分方程的朴素的、基于采样的不确定性量化的计算复杂性是非常高的。多级方法，如多级蒙特卡罗（MLMC），可以大大降低复杂性，但充分利用它们在并行环境中，复杂的调度策略是必要的。通常，并行执行的快速算法对于计算3D中的精细水平样本是必不可少的，而为了计算单独的粗略水平样本，只能有效地采用中等数量的处理器。我们利用多个实例的并行多重网格求解器结合先进的负载均衡技术。特别是，我们优化的并发执行的MLMC方法的三个层：跨级别，跨样本，跨空间网格的并行化。将分析这些方法的整体效率和性能。这里，多重网格求解器的可扩展性窗口被揭示为是必不可少的，即，该属性的解决方案可以计算的进程数的范围，同时保持良好的并行效率。我们评估了一系列的数值测试中的新的调度策略，并得出结论，证明大型3D缩放实验的文件。
2016-07-12 cs.CE cs.DC cs.MS
Multigrid preconditioners for the Newton-Krylov method in the optimal control of the stationary Navier-Stokes equations
United States Naval Academy（美国海军学院）；University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩分校）
本文研究了用于稳态纳维-斯托克斯方程最优控制问题的牛顿-克雷洛夫方法中的最优阶多网格预条件子的构造与分析，通过消除状态和伴随变量，直接求解控制变量的非线性系统，并展示了预条件子在低至中等雷诺数下的高效性。
2018-11-21 cs.NA math.NA
A Multigrid Preconditioner for Tensor Product Spline Smoothing
针对张量积B样条平滑多元散乱数据时的指数级复杂度问题，提出一种几何多重网格预条件共轭梯度法的无矩阵实现，实现与网格无关的收敛并适用于高维数据。
2019-01-03 cs.NA math.NA math.OC
Multigrid and saddle-point preconditioners for unfitted finite element modelling of inclusions
在这项工作中，我们考虑使用非拟合有限元法的材料中的夹杂物的建模。在未拟合方法中，使用结构化背景网格，并且仅修改底层有限元空间以包含不连续性，例如夹杂物。因此，非拟合方法提供了一个更灵活的框架来模拟具有多个夹杂物的材料。我们采用Lagrange乘子法来加强夹杂与基体之间的交界条件，从而得到鞍点型的线性系方程组。我们利用Uzawa方法求解鞍点系统，并提出了原系统和对偶系统的预处理策略。对于双系统，我们审查和比较的预处理策略，开发的FETI和SIMPLE方法。而对于原始系统，我们采用了一个定制的多重网格方法专门开发的非拟合网格。最后，通过数值实验对所提出的预条件进行了比较。
2021-02-16 cs.NA math.NA
An Adaptively Constructed Algebraic Multigrid Preconditioner for Irreducible Markov Chains
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；Bergische Universität Wuppertal（伍珀塔尔大学）
本文提出一种自适应构造的代数多网格预条件器，用于高效求解非对称M矩阵线性系统，通过使用奇异向量代替特征向量改进插值与限制过程，提升GMRES收敛速度并验证其在多种测试问题中的优良扩展性。
2014-02-17 cs.NA math.NA
Multigrid solution of a distributed optimal control problem constrained by the Stokes equations
University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩分校）
本文构建多重网格预条件子加速Stokes系统约束的线性二次最优控制问题求解，通过消除状态和伴随变量并构造Schur补的最优阶多重网格预条件子，实现随分辨率增加迭代次数减少。
2012-07-12 cs.NA math.NA math.OC
A Multigrid Preconditioner for Spatially Adaptive High-order Meshless Method on Fluid-solid Interaction Problems
提出了一种求解Stokes极限下流固耦合问题的整体几何多重网格预处理器。问题的离散空间自适应高阶无网格方法，广义移动最小二乘（GMLS）与自适应$h$ -细化。在斯托克斯极限下，固体运动学可以由控制润滑效应的奇点支配。用自适应$h$ -细化来解决这些奇异性会导致方程的病态线性系。为了构造多重网格预条件子的关键成分-插值和限制算子，我们利用自适应$h$ -细化中生成的GMLS节点的层次集的几何信息。我们通过基于物理的分裂建立解耦平滑器，然后通过乘法重叠Schwarz方法将它们组合起来。通过包含不同数量和形状的固体的数值例子，我们证明了性能和评估所设计的预处理器的可扩展性。随着总自由度和实体数$N_s$的增加，所提出的整体几何多重网格预处理器在使用Krylov迭代法求解空间自适应GMLS离散化产生的线性系方程组时，可以保证收敛性和良好的可扩展性.更具体地说，对于固定数量的实体，随着离散化分辨率的逐步细化，线性求解器的迭代次数可以保持在相同的水平，这表明我们的预处理器相对于全次数自由度具有接近线性的可扩展性。当$N_s$增加时，迭代次数几乎与$\sqrt{N_s}$成正比，这意味着相对于实体数目的次线性最优性。
2022-03-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Geometric Multigrid Preconditioner for Shifted Boundary Method
Heidelberg University（海德堡大学）
本文提出了一种几何多网格预条件器，用于解决移位边界法中因非对称性和非局部边界耦合导致的高阶离散化问题，通过Full-Residual Shy Patch平滑器实现低网格依赖性的高效收敛。
2026-01-15 cs.NA math.NA
Algebraic multigrid block preconditioning for multi-group radiation diffusion equations
针对多群辐射扩散方程的全耦合隐式格心有限体积离散所产生的大规模稀疏线性系组，发展和研究了基于经典代数多重网格的高效块预处理器，其系数矩阵可以重新排列成$(G+2)\times(G+2)$块形式，其中$G$是能量群的数目.预处理技术是基于单片经典代数多重网格方法，基于物理变量的粗化两级算法和两种类型的块舒尔补预处理。经典的代数多重网格被用来解决在最后三个块预条件子系统。进一步研究了耦合强度和对角优势对性能的影响。我们使用代表性的一组和20组线性系从胶囊内爆模拟的鲁棒性，效率，强和弱的并行标度性能的测试所提出的方法。数值结果表明，块预条件导致网格和问题无关的收敛，以及规模算法和并行。
2020-02-12 cs.NA math.NA
Multigrid Preconditioning for FD-DLM Method in Elliptic Interface Problems
本文研究FD-DLM方法求解椭圆界面问题中线性系统的多重网格预处理器性能，实验显示其作为预处理器的有效性。
2025-02-28 cs.NA math.NA
A Geometric Multigrid Preconditioner for Discontinuous Galerkin Shifted Boundary Method
Heidelberg University（海德堡大学）
针对移位边界法产生的非对称病态线性系统，提出基于间断伽辽金格式的单元乘性光滑子，在hp多重网格框架下有效处理边界扰动，数值实验验证了线性与二次元的高效性。
2026-08-07 cs.NA math.NA
Towards a Multigrid Preconditioner Interpretation of Hierarchical Poincaré-Steklov Solvers
本文将分层波里叶-斯托克斯方法重新解释为多级预置条件求解器，通过替换精确粗网格求解为迭代工作，优化内存占用与求解时间的平衡。
2026-03-27 cs.NA math.NA
Robust multigrid preconditioners for the high-contrast biharmonic plate equation
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
针对高对比度双调和板方程的HCT和Morley离散，基于Aksoylu等人的预条件子构造了对对比度和网格尺寸同时鲁棒的预条件子，通过奇异摄动分析证明了鲁棒性，并推广到高阶椭圆方程。
2009-10-02 cs.NA math.AP math.NA
A massively parallel non-overlapping Schwarz preconditioner for PolyDG methods in brain electrophysiology
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
本文提出了一种大规模并行非重叠Schwarz预处理子程序，用于高阶PolyDG方法在脑电生理学中的应用，以提高求解效率和鲁棒性。
2025-12-23 cs.NA math.NA
Efficient Multigrid Preconditioners for Atmospheric Flow Simulations at High Aspect Ratio
流体模拟中的许多问题需要在“平坦”区域中有效解高度各向异性的椭圆偏微分方程（PDE）。例如，在数值天气和气候预测中，用于压力校正的椭圆PDE必须在代表全球大气的薄球壳中的每个时间步长处求解。这种椭圆求解可能是半隐式半拉格朗日时间步进方法中计算要求最高的组件之一，半拉格朗日时间步进方法非常流行，因为它们允许更大的模型时间步长和更好的整体性能。随着模型分辨率的提高，算法高效和可扩展的算法对于在严格的操作时间约束下运行代码至关重要。我们讨论了这种类型的方程的定制几何多重网格预处理的理论和实际应用。该算法通过使用最初由Börm和Hiptmair [Numer. Algorithms，26/3（2001），pp. 219-234]。我们将分析扩展到三维略有减弱的假设下，数值证明其效率的解决方案的椭圆偏微分方程的大气预报模式中的全球气压校正。为此，我们比较了不同的多重网格预条件的性能上的张量积网格与半结构化和准均匀的水平网格和一维垂直网格。该代码在分布式和统一数值环境（DUNE）中实现，该环境为在张量积网格上操作的算法提供了一个易于使用和可扩展的环境。我们的求解器的并行可扩展性高达20,480个核心上的HECToR超级计算机上演示。
2015-02-10 cs.DC cs.NA math.NA
Multigrid-augmented deep learning preconditioners for the Helmholtz equation
Ben-Gurion University（本-古里安大学）
在本文中，我们提出了一个数据驱动的方法来迭代求解离散非均匀亥姆霍兹方程在高波数。在我们的方法中，我们将经典的迭代求解器与卷积神经网络（CNN）相结合，形成一个应用于Krylov求解器的预处理器。对于预处理器，我们使用了一个CNN类型的U-Net，结合多网格成分。提出了两种类型的预处理器：1）U-Net作为粗网格求解器，2）U-Net作为具有移位拉普拉斯V-圈的收缩算子。在我们的训练方案和数据增强之后，我们的CNN预处理器可以在残差和一组相对一般的波慢度模型上进行推广。最重要的是，我们还提供了一个编码器-求解器框架，其中“编码器”网络在介质上进行泛化，并将上下文向量发送到另一个“求解器”网络，后者在右侧进行泛化。我们表明，这个选项是更强大和更有效的比独立的变体。最后，我们还提供了一个小型的再训练过程，以改善求解器后，模型是已知的。此选项在求解多个右侧时非常有用，例如在逆问题中。我们证明了我们的方法在各种二维问题的效率和泛化能力。
2022-03-14 cs.CE cs.LG cs.NA
Multigrid Methods for Discrete Fractional Sobolev Spaces
University of Oslo（奥斯陆大学）
本文提出了一种加性多重网格预处理方法用于正分数阶拉普拉斯算子，并证明了条件数的统一界。针对负分数阶情况，通过左乘右乘正分数阶预处理器与常规拉普拉斯算子来实现，同时详细讨论了实现中的问题并进行了数值实验验证。
2018-06-01 cs.NA math.NA
Rayleigh Quotient Iteration with a Multigrid in Energy Preconditioner for Massively Parallel Neutron Transport
三个互补的方法已实施的代码Denovo，加速中性粒子输运计算的方法，充分有效地使用领导级计算机：多组块（MG）Krylov求解器，瑞利商迭代（RQI）特征值求解器，和多重网格的能量预处理。多群Krylov求解器的收敛速度比Gauss Seidel更快，并支持能量分解，因此Denovo可以扩展到数十万个核心。能量预处理器中的新多重网格减少了许多问题类型的迭代次数，并利用新的能量分解，使其可以有效地扩展。这两个工具本身很有用，但它们一起使RQI特征值求解器工作。之前已经描述了每种方法，但这是第一次证明它们可以有效地协同工作。对于大型且具有挑战性的问题，RQI应在比幂迭代（PI）更少的迭代中收敛。RQI创建的移位系统如果没有MG Krylov求解器就不容易处理。它还创建了病态矩阵，如果没有能量预处理器中的多重网格，这些矩阵就无法收敛。结合使用这些方法，RQI收敛在更少的迭代和更少的时间比所有的PI计算一个完整的压水反应堆堆芯。它还可以相当好地扩展到275，968个核心。
2017-02-07 cs.CE cs.NA math.NA
Multigrid preconditioning for discontinuous Galerkin discretizations of an elliptic optimal control problem with a convection-dominated state equation
本文研究对流占优约束下椭圆分布最优控制问题的间断 Galerkin 离散，证明显式含参数的最优收敛率，并提出仅需两次多重网格近似求解及块 Gauss-Seidel 扫描的下风多层预处理器。
2024-06-13 cs.NA math.NA
Optimal geometric multigrid preconditioners for HDG-P0 schemes for the reaction-diffusion equation and the generalized Stokes equations
本文对二维和三维协调单纯型网格上的反应扩散方程和广义斯托克斯方程提出了一种带数值积分的最低阶可杂交间断Galerkin格式（简称HDG-P0）.这里，最低阶是指用于全局HDG小平面自由度（DOF）的（混合）有限元空间是网格骨架上的分段常数的空间。一个不连续的分段线性空间被用来近似的本地原始未知数。我们给出了所提出的{ \sf HDG-P0}格式的最优先验误差分析，就数值积分而言，这在文献中还没有出现在HDG离散。此外，我们提出了最佳几何多重网格预条件的静态凝聚HDG-P0线性系协调单纯形网格。在这两种情况下，我们首先建立一个（略有修改）的静态凝聚HDG系统的等价物Crouzeix-Raviart（CR）离散，其中的全球（分段常数）HDG有限元空间的网格骨架上有一个自然的一对一的对应关系，生活在整个网格上的分段线性（分段线性）有限元空间。这种等价性使我们能够使用成熟的几何多重网格理论来预处理凝聚HDG系统。在二维和三维的数值结果来验证我们的理论研究结果。
2023-01-01 cs.NA math.NA
Robust multigrid preconditioners for cell-centered finite volume discretization of the high-contrast diffusion equation
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
针对高对比度扩散方程的守恒五点单元中心有限体积离散，通过扩展奇异摄动分析证明并数值验证了Aksoylu等人提出的预处理器的鲁棒性，该预处理器对系数对比度和网格尺寸同时鲁棒，且性能独立于延拓算子和光滑子。
2009-04-12 cs.NA math.AP math.NA
Towards Automated Algebraic Multigrid Preconditioner Design Using Genetic Programming for Large-Scale Laser Beam Welding Simulations
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（弗里德里希-亚历山大-埃尔兰根-纽伦堡大学）；Universität zu Köln（科隆大学）
针对大规模激光束焊接仿真中多重网格方法算法选择影响效率的问题，提出用遗传编程基于上下文无关文法自动生成含层级特定平滑序列的灵活AMG循环，实验验证其可提升求解器性能。
2024-12-11 cs.AI cs.CE cs.NA
Monolithic Algebraic Multigrid Preconditioners for the Stokes Equations
本文提出一种基于低阶算子与AMG插值构造的整体代数多重网格预条件子，用于Stokes方程的高阶离散，并通过Vanka块分解和Chebyshev自适应松弛提升效率与并行性，在2D和3D问题中表现稳健。
2024-08-31 cs.NA math.NA
An Auxiliary Space Preconditioner for Fractional Laplacian of Negative Order
耦合多物理场问题经常会产生在分数索伯列夫空间中自然形成的交界条件。在这里，正分数和负分数都是常见的。当设计有效的求解器离散化的这些问题，它将是有用的，然后有一个预处理的分数拉普拉斯算子，$(-Δ)^s$，与$s \in [-1,1]$。以前，添加剂多重网格预处理的情况下，$s \geq 0$已被提出。在这项工作中，我们补充这个建设与辅助空间预条件适合时，$s \leq 0$。这些预条件被证明是谱等价于$(-Δ)^{-s}$，但需要预条件的分数$H(\operatorname{div})$运营商具有积极的分数。我们设计这样的运营商的基础上添加剂多重网格方法。最后通过数值实验验证了理论结果。
2019-08-13 cs.NA math.NA
A hybrid shifted Laplacian multigrid and domain decomposition preconditioner for the elastic Helmholtz equations
本文提出一种结合移位拉普拉斯与线性弹性方法的混合预条件器，用于求解弹性亥姆霍兹方程，并通过区域分解增强处理大规模问题，在二维和三维非均匀介质中验证了与泊松比无关的收敛效率。
2023-11-19 cs.CE cs.NA math.NA
Exploiting mesh structure to improve multigrid performance for saddle point problems
近年来，求解线性或线性化鞍点问题的有限元离散化，如斯托克斯方程和Oseen方程，已经得到很好的建立。有两类主要的预处理器为这样的系统：那些基于块分解的方法和那些基于单片多重网格。这两类预处理器在其组成中有几个关键的选择，如选择一个合适的松弛方案单片多重网格。从现有的研究中，可以获得一些关于低性能计算环境中哪些选项更可取的见解，但文献中很少有这些方法的公平比较，特别是对于现代架构，如GPU。在本文中，我们进行了比较块三角形预处理和单片多重网格方法与三个最常见的选择松弛计划- Braess-Sarazin，Vanka和Schur-Uzawa。我们开发了一个高性能的Vanka松弛算法的结构网格离散化，它利用了在这种设置的内存效率。我们详细介绍了各种CUDA内核的多重网格松弛计划的行为，并评估其各自的算术强度，性能和运行时间。使用这些预处理器运行斯托克斯方程的预处理FGMRES求解器，使我们能够在实际设置中比较它们的效率。我们发现单片多重网格可以优于块三角形预处理，使用Vanka或Braess-Sarazin松弛是最有效的。尽管Vanka松弛的多重网格在CPU上表现出较低的性能（比Braess-Sarazin慢$100\%$），但它在GPU上的性能超过Braess-Sarazin $20\%$，使其成为一种有竞争力的算法，特别是考虑到有效的Braess-Sarazin松弛需要大量的算法调整…
2024-01-11 cs.NA math.NA
Multigrid preconditioners for the mixed finite element dynamical core of the LFRic atmospheric model
由于地球物理流体动力学中时间尺度的广泛分离，半隐式时间积分器通常用于业务大气预报模式中。它们保证了快速（声波和重力）波的稳定处理，同时不会受到时间步长的严格限制。为了在时间上向前传播大气的状态，必须在每个时间步求解预报变量的非线性方程。由于非线性通常很弱，这是用少量的牛顿或皮卡德迭代来完成的，这反过来又需要有效地求解具有$\mathcal{O}(10^6-10^9)$未知数的线性方程组上的大型系统。这种线性求解通常是模型中计算成本最高的部分。在本文中，一个有效的线性求解器的LFRic下一代模型，目前开发的气象局，进行了说明。该模型使用了先进的模拟有限元离散化，这使得高效求解器的建设具有挑战性相比，使用标准的有限差分和有限体积法的模型。线性求解器取决于用于压力校正的舒尔补系统的定制多重网格预处理器。通过与Krylov子空间方法的比较，多重网格算法的优越性能和鲁棒性被证明为标准的测试用例和现实的模型设置。在生产模式下，模型必须在100，000个处理元素上并行运行。数值实验证实，多重网格求解器的一个特别的优点是其良好的并行可扩展性，由于避免了昂贵的全球减少操作。
2020-07-21 cs.DC cs.NA math.NA
Spectral analysis and multigrid preconditioners for two-dimensional space-fractional diffusion equations
Amirkabir University of Technology（阿米尔卡比尔理工大学）；University of Insubria（因苏布里亚大学）；Max Planck Institute for Plasma Physics（马克斯·普朗克等离子体物理研究所）
本文研究二维空间分数扩散方程的离散化问题，通过谱分析设计多网格预处理子，证明其收敛性，并验证其在Krylov方法中的有效性。
2017-06-21 cs.NA math.NA
GMRES-based multigrid for the complex scaled preconditoner for the indefinite Helmholtz equation
University of Antwerp（安特卫普大学）；Intel Exascience Lab（英特尔超算实验室）
本文探索用GMRES替代标准多重网格中的固定光滑子，构建鲁棒高效的复平移或拉伸亥姆霍兹问题求解器，作为预条件子，并通过理论推导的稳定多项式光滑子比较收敛行为。
2013-05-08 cs.NA math.NA
Monolithic Multigrid Preconditioners for High-Order Discretizations of Stokes Equations
本研究提出融合p阶和h网格粗化的整体式phMG多重网格框架，用于Stokes方程高阶离散，在Taylor-Hood单元下显著优于传统hMG，在Scott-Vogelius单元下求解效率优但设置速度慢于FBF预条件子。
2024-07-09 cs.NA math.NA
Monolithic multigrid for a reduced-quadrature discretization of poroelasticity
近年来，孔隙弹性模型的先进有限元离散和预处理方法引起了人们的极大关注。孔隙弹性方程在这两个领域提供了重大的挑战，由于系统中的未知数之间的潜在强耦合，鞍点结构，并需要考虑宽范围的参数值，包括限制行为，如不可压缩的弹性。本文的动机是试图为[48]中开发的离散化开发单片多重网格预处理器;我们在这里展示了为什么这是一项艰巨的任务，因此，我们通过使用简化的正交近似来修改[48]中的离散化，产生一个更“求解器友好”的离散化。局部傅里叶分析是用来优化参数的单片多重网格方法，允许公平的性能和成本的基础上Vanka和Braess-Sarazin松弛的方法之间的比较。数值结果验证了LFA的预测，并证明了算法的效率。最后，与现有的块分解预条件进行了比较。
2022-01-07 cs.NA math.NA
Matrix-free multigrid block-preconditioners for higher order Discontinuous Galerkin discretisations
对流-扩散型椭圆偏微分方程的有效且适当预处理的迭代求解器在科学和工程的各个领域中都有应用。为了实现最佳性能，求解器必须表现出高运算强度，并需要利用现代众核CPU中可用的每种形式的并行性。求解器的计算上最昂贵的组件是线性算子和预处理器的重复应用。对于基于高阶不连续Galerkin方法的离散化，和因式分解导致运算符应用的计算复杂性的显著降低，同时，无矩阵实现可以以理论峰值浮点性能的显著分数运行。高阶方法的多重网格方法通常依赖于块平滑器来减少一个网格单元内的高频误差分量。传统上，这需要在每个网格单元中进行组装和昂贵的稠密矩阵求解，这抵消了快速无矩阵算子应用中实现的任何改进。为了克服这个问题，我们提出了一个新的矩阵的块平滑实现。迭代地求块矩阵的逆避免了矩阵的存储和因式分解，并且使得能够利用CPU的全部功率。我们实现了一个混合多重网格算法与矩阵自由块平滑在高阶DG空间结合低阶粗网格校正使用代数多重网格，只有低阶组件明确组装。这种方法的有效性证明通过解决一组代表性的椭圆偏微分方程的复杂性不断增加，包括对流为主的问题和固定SPE 10基准。
2019-06-02 cs.NA math.NA
Nonlinear p-multigrid preconditioner for implicit time integration of compressible Navier--Stokes equations
在$ p $ -自适应通量重建的框架内，我们的目标是构造高效的多项式多重网格（$p$ MG）预处理器隐式时间积分的Navier-斯托克斯方程使用雅可比自由牛顿-克雷洛夫（JFNK）方法。我们假设，在伪瞬态连续（PTC），随着残差下降，错误模式的频率，决定收敛速度变得越来越高。我们将非线性$p$ MG求解器应用于低马赫数刚性定常问题（$\mathrm{Ma}=10^{-3}$）来验证我们的假设。它表明，一旦残差下降了几个数量级，改进的平滑中间$ p $ -子水平不仅保持稳定的$ p $ MG在大的时间步长，但也提高了收敛速度。对于非定常Navier-斯托克斯方程，本文详细阐述了如何利用伪瞬态延拓方法为显式第一阶段、单对角隐式Runge-Kutta（ESDIRK）方法和线性隐式Rosenbrock-Wanner（ROW）方法中的无矩阵广义极小残差（GMRES）方法构造非线性预条件子。考虑到在每个时间步，非线性求解器中的初始猜测与收敛解相距不远，我们建议使用两级$p\{p_0\text{-}p_0/2\} $或甚至$ p\{p_0\text{-}(p_0-1)\} $ $p$ -层次结构，以获得最佳效率，并基于我们的假设在较粗的级别上使用基于矩阵的平滑器。结果表明，中间$p$ -子级的平滑不足将大大恶化$p$ MG预处理器的性能。(See论文摘要全文）。
2022-02-20 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Optimal-order preconditioners for linear systems arising in the semismooth Newton solution of a class of control-constrained problems
University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩县分校）；Thomas More College（托马斯莫尔学院）
本文提出一种非符合多网格预条件子，用于求解受控约束问题中semismooth Newton方法出现的线性系统，通过合理几何假设实现最优阶逼近，经经典椭圆约束最优控制问题和受约束图像去模糊问题验证。
2016-02-13 cs.NA math.NA
A two-scale approach for efficient on-the-fly operator assembly in massively parallel high performance multigrid codes
大规模并行几何多重网格的无矩阵有限元实现节省内存，并且通常比使用经典稀疏矩阵技术的实现快得多。它们特别适合于多面体域上的分层混合网格。在常系数的情况下，粗宏单元内部的所有细网格节点间距相等。然而，对于非多面体域，情况发生了变化。然后，即使对于拉普拉斯算子，非线性元映射也会导致精细网格扩展，其可以从网格点到网格点变化。这种观察激发了一种新的双尺度方法，该方法利用细网格算子相对于粗网格步长的分段多项式近似。这些替代多项式的低成本评估导致非多面体域的有效模板组装，其可以比基于逐元素组装的无矩阵技术显著更有效。性能分析和额外的硬件感知代码优化是基于执行-缓存-内存模型。提出了双尺度先验误差界和双离散化技术。弱和强缩放结果说明了新技术的好处，当用于大规模PDE求解器。
2016-08-23 cs.NA math.NA
A GPU-accelerated adaptive FSAI preconditioner for massively parallel simulations
求解线性系方程组是许多科学和工程应用中的中心任务。在许多情况下，线性系的解可能占用大部分模拟时间，因此成为科学和技术软件进一步发展的主要瓶颈。对于大规模的模拟，现在占数百万甚至数十亿的未知数，这是很常见的诉诸预处理迭代求解器利用其低内存需求，至少是潜在的，并行性。近似逆已被证明是强大的和有效的预条件在各种情况下。在这项工作中，我们将展示如何自适应FSAI，一个近似的逆特征是一个非常高的并行度，可以成功地实现在一个分布式内存计算机配备GPU加速器。在自适应FSAI设置中利用GPU并不是一项简单的任务，但是我们通过大量的数值实验展示了所提出的方法如何优于更传统的预处理器，并在具有挑战性的线性代数问题中产生接近理想的行为。
2020-10-27 cs.NA math.NA
Jacobian-free Multigrid Preconditioner for Discontinuous Galerkin Methods applied to Numerical Weather Prediction
针对数值天气预报中高阶DG方法缺乏高效求解器的问题，提出基于低阶有限体积子网格多重网格的无雅可比预条件子，结合显式Runge-Kutta伪时间迭代平滑器，实现了低内存、高并行的隐式求解，并在大气流动实验中验证了其有效性。
2025-05-30 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multigrid preconditioning of linear systems for semismooth Newton methods applied to optimization problems constrained by smoothing operators
Department of Mathematics and Statistics, University of Maryland, Baltimore County（马里兰大学巴尔的摩分校数学与统计系）
针对控制变量带盒约束的平滑算子约束线性二次优化问题，提出一种多重网格预处理器，使得半光滑牛顿法迭代次数随网格细化而减少。
2013-11-07 cs.NA math.NA math.OC
Hybridised multigrid preconditioners for a compatible finite element dynamical core
针对大气运动方程相容有限元离散中半隐式时间步进的鞍点系统预处理难题，提出基于可混合离散的非嵌套两层预处理器，结合已有多重网格压力求解器，减少迭代次数，在LFRic模型中实现高性能与高可扩展性。
2023-06-19 cs.NA math.NA physics.comp-ph
High level implementation of geometric multigrid solvers for finite element problems: applications in atmospheric modelling
Imperial College（帝国理工学院）；University of Bath（巴斯大学）
本文提出通过框架简化多网格预处理程序的开发，展示其在强各向异性PDE求解中的效率，对比单层方法和BoomerAMG算法，展示并行性能和内存带宽利用。
2016-09-14 cs.MS cs.NA math.NA
An adaptive multigrid solver for DPG methods with applications in linear acoustics and electromagnetics
提出了一种自适应多重网格预处理技术，用于求解由不连续Petrov-Galerkin（DPG）离散化引起的线性系。与标准的多重网格技术不同，该预条件只涉及定义在网格骨架上的迹空间，适用于自适应hp网格。构造的关键点是将迭代求解器与由DPG技术提供的全自动和可靠的网格细化过程相结合。的解决方案的技术的功效展示与线性声学和电磁模拟，包括在高频政权，否则将是棘手的问题的模拟的许多例子。最后，我们分析了一级预处理（平滑）均匀网格，我们证明了理论估计的预处理线性系的条件数可以来自良好的自伴正定算子理论的基础上。
2020-10-14 cs.NA math.NA
An agglomeration-based massively parallel non-overlapping additive Schwarz preconditioner for high-order discontinuous Galerkin methods on polytopic grids
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Nottingham（诺丁汉大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文设计并分析了一种两级非重叠加法Schwarz预条件子，用于求解源自多面体网格上二阶椭圆偏微分方程的不连续Galerkin离散化线性方程组。该预条件子基于粗空间和非重叠的计算域划分，其中局部求解器并行应用。特别地，粗空间可以相对于细空间非嵌套，确实可以通过聚类和边粗化技术从细网格获得。我们研究了预条件系统条件数与扩散系数和离散化参数（即网格尺寸和细粗空间多项式次数）之间的依赖关系。数值实验验证了理论界限。
2019-03-27 cs.NA math.NA
