Monolithic and splitting based solution schemes for fully coupled quasi-static thermo-poroelasticity with nonlinear convective transport
University of Bergen（卑尔根大学）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究了非线性热-流-弹性耦合问题的分裂迭代方法，通过引入压力和温度梯度作为额外变量，将原三场模型扩展为五场模型，并通过固定应力分裂方案解决非线性和耦合结构，证明了算法收敛性并通过数值实验验证结果。
2019-02-15 cs.NA math.NA
On the convergence of monolithic multigrid for implicit Runge-Kutta time stepping of finite element problems
针对隐式Runge-Kutta方法求解有限元时间相关问题时方程组规模大的难题，提出基于整体光滑化的多重网格求解思路，推导了收敛性转化条件并通过数值算例验证了高阶方法的实用性。
2023-04-28 cs.NA math.NA
Monolithic Multigrid for Magnetohydrodynamics
磁流体动力学（MHD）方程模拟了广泛的等离子体物理应用，其特征在于强耦合带电流体与电磁场演化的非线性偏微分方程系统。在离散化和线性化之后，由于变量之间的耦合以及由线性化过程引起的非均匀系数，所得到的方程组通常难以求解。在本文中，我们调查这个系统的多重网格预条件的基础上专门的放松计划，妥善解决系统的结构和耦合。三个扩展的Vanka松弛的建议和应用到高达1.7亿度的自由度和流体和磁雷诺数高达400的固定问题和高达20,000的时间依赖性问题的问题。
2020-06-28 cs.NA math.NA
Improving patch selection for monolithic multigrid solvers for high-order {T}aylor-{H}ood discretizations
Hakim Sabzevari University（哈基姆·萨布泽瓦里大学）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
本文提出改进的块选择方法，提升高阶Taylor-Hood离散化在多网格求解器中的效率，显著减少迭代次数和求解时间。
2025-12-13 cs.NA math.NA
Monolithic Multigrid Preconditioners for High-Order Discretizations of Stokes Equations
本研究提出融合p阶和h网格粗化的整体式phMG多重网格框架，用于Stokes方程高阶离散，在Taylor-Hood单元下显著优于传统hMG，在Scott-Vogelius单元下求解效率优但设置速度慢于FBF预条件子。
2024-07-09 cs.NA math.NA
Domain decomposition and partitioning methods for mixed finite element discretizations of the Biot system of poroelasticity
我们开发了非重叠区域分解方法的Biot系统的孔隙弹性混合形式。固体变形模型与弱应力对称性的混合三场制剂。流体流动模型与混合达西公式。我们引入位移和压力的拉格朗日乘子子域界面施加弱连续的法向应力和法向速度，分别。整体问题归结为拉格朗日乘子的界面问题，并采用Krylov空间迭代法求解。我们研究单片和分裂的方法。在整体法中，一个耦合的位移-压力界面问题被解决，与每一个迭代需要解决当地的Biot问题。我们证明了所得的界面算子是正定的，并分析了迭代的收敛性。我们进一步研究排水分裂和固定应力毕奥分裂，在这种情况下，我们解决单独的界面问题，需要弹性和达西解决。我们分析了分裂配方的稳定性。数值实验表明了这两种区域分解方法的收敛性，并比较了它们的精度和效率。
2021-08-03 cs.NA math.NA
Achieving $h$- and $p$-robust monolithic multigrid solvers for the Stokes equations
针对Stokes方程高阶混合有限元离散化缺乏高效预条件子的问题，提出Vanka松弛格式变体构建几何多重网格预条件子，验证了部分离散化下对多项式阶数的鲁棒性并提出待解决问题。
2025-03-21 cs.NA math.NA
Exploiting mesh structure to improve multigrid performance for saddle point problems
近年来，求解线性或线性化鞍点问题的有限元离散化，如斯托克斯方程和Oseen方程，已经得到很好的建立。有两类主要的预处理器为这样的系统：那些基于块分解的方法和那些基于单片多重网格。这两类预处理器在其组成中有几个关键的选择，如选择一个合适的松弛方案单片多重网格。从现有的研究中，可以获得一些关于低性能计算环境中哪些选项更可取的见解，但文献中很少有这些方法的公平比较，特别是对于现代架构，如GPU。在本文中，我们进行了比较块三角形预处理和单片多重网格方法与三个最常见的选择松弛计划- Braess-Sarazin，Vanka和Schur-Uzawa。我们开发了一个高性能的Vanka松弛算法的结构网格离散化，它利用了在这种设置的内存效率。我们详细介绍了各种CUDA内核的多重网格松弛计划的行为，并评估其各自的算术强度，性能和运行时间。使用这些预处理器运行斯托克斯方程的预处理FGMRES求解器，使我们能够在实际设置中比较它们的效率。我们发现单片多重网格可以优于块三角形预处理，使用Vanka或Braess-Sarazin松弛是最有效的。尽管Vanka松弛的多重网格在CPU上表现出较低的性能（比Braess-Sarazin慢$100\%$），但它在GPU上的性能超过Braess-Sarazin $20\%$，使其成为一种有竞争力的算法，特别是考虑到有效的Braess-Sarazin松弛需要大量的算法调整…
2024-01-11 cs.NA math.NA
A Monolithic hp Space-Time Multigrid Preconditioned Newton-Krylov Solver for Space-Time FEM applied to the Incompressible Navier-Stokes Equations
University of Magdeburg（马格德堡大学）；Helmut Schmidt University（赫尔穆特·施密特大学）
本文提出了一种基于 hp-STMG 的求解器，用于高效求解不可压缩纳维-斯托克斯方程，结合了空间-时间多重网格与牛顿-克雷洛夫方法，实现了高鲁棒性和计算效率。
2026-02-14 cs.NA math.NA
Monolithic Algebraic Multigrid Preconditioners for the Stokes Equations
本文提出一种基于低阶算子与AMG插值构造的整体代数多重网格预条件子，用于Stokes方程的高阶离散，并通过Vanka块分解和Chebyshev自适应松弛提升效率与并行性，在2D和3D问题中表现稳健。
2024-08-31 cs.NA math.NA
A parallel Newton multigrid framework for monolithic fluid-structure interactions
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）；Otto-von-Guericke Universität Magdeburg（奥托·冯·古里克马格德堡大学）；Interdisciplinary Center for Scientific Computing, Heidelberg University（海德堡大学跨学科科学计算中心）
本文提出了一种基于任意拉格朗日-欧拉（ALE）方法的并行牛顿-多网格求解器，用于非线性三维流固相互作用问题，通过静力消元和简化雅可比矩阵的方法提高了求解效率。
2019-04-28 cs.NA math.NA
A monolithic ALE Newton-Krylov solver with Multigrid-Richardson-Schwarz preconditioning for incompressible Fluid Structure Interaction
Texas Tech University（德克萨斯理工大学）；CINECA - SCAI (Super Computing Applications and Innovation)（CINECA-SCAI（超级计算应用与创新））
本文提出一种单体牛顿-克雷洛夫求解器，采用多网格预条件和修改的里奇逊平滑器，用于求解不可压缩流固耦合问题，展示了其在处理直接到稳态问题时的鲁棒性。
2017-09-17 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Scalable Monolithic Modified Newton Multigrid Framework for Time-Dependent $p$-Navier-Stokes Flow
University of Magdeburg, Institute for Analysis and Numerics（马格德堡大学分析与数值研究所）
本文提出一种可扩展的单块修改牛顿多网格框架，用于时间依赖的$p$-纳维-斯托克斯流，通过改进的构成切线替代精确切线，提升非线性系统求解效率，实现鲁棒性和可扩展性。
2026-03-30 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Parameter-robust preconditioners for a cell-by-cell poroelasticity model with interface coupling
Simula Research Laboratory（Simula 研究实验室）
本文提出了一种可扩展且稳健的求解器，用于细胞级渗流弹性模型，通过三场公式和范数等价预条件框架，有效处理复杂几何和多种边界条件，以研究细胞体积调节等生理过程。
2026-03-10 cs.NA math.NA
Space-time waveform relaxation multigrid for Navier-Stokes
Department of Mathematical Sciences, NTNU（NTNU数学科学系）；Department of Mathematics and Statistics, Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学数学与统计系）
本文提出了一种基于波形松弛多网格方法的Navier-Stokes方程求解器，通过扩展空间多网格方法，实现了高效且可扩展的单体Newton-Krylov-多网格求解器。
2026-03-04 cs.NA math.NA
Matrix-free multigrid solvers for phase-field fracture problems
Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院约翰·拉德纳计算与应用数学研究所）；Institut für Angewandte Mathematik, Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学应用数学研究所）；Cluster of Excellence PhoenixD (Photonics, Optics, and Engineering - Innovation Across Disciplines), Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学凤凰光电子学与跨学科创新卓越集群）
本文提出了一种基于几何多网格方法的矩阵自由求解框架，用于求解单体准静态相场断裂模型。通过有限元方法的传统矩阵方法需要大量内存，成为严重瓶颈。矩阵自由方法克服了这一问题，大大减少了所需内存，允许在可用硬件上求解更大的问题。一个关键挑战是裂缝不可逆性，采用原-对偶主动集方法解决。在多网格算法的粗网格层次上必须可用细网格的主动集值。开发的多网格方法为广义最小残量求解器提供预条件器。该方法用于求解牛顿法中的线性方程，以处理整体非线性-单体离散位移/相场公式。几个数值示例展示了该求解技术的性能和鲁棒性。网格细化研究、相场正则化参数的变化、线性和非线性求解器的迭代次数以及一些并行性能均被进行，以证明所提出求解器在单个断裂、多个加压断裂和三维L形面板测试中的效率。
2019-02-22 cs.NA math.NA
Algebraic multigrid block preconditioning for multi-group radiation diffusion equations
针对多群辐射扩散方程的全耦合隐式格心有限体积离散所产生的大规模稀疏线性系组，发展和研究了基于经典代数多重网格的高效块预处理器，其系数矩阵可以重新排列成$(G+2)\times(G+2)$块形式，其中$G$是能量群的数目.预处理技术是基于单片经典代数多重网格方法，基于物理变量的粗化两级算法和两种类型的块舒尔补预处理。经典的代数多重网格被用来解决在最后三个块预条件子系统。进一步研究了耦合强度和对角优势对性能的影响。我们使用代表性的一组和20组线性系从胶囊内爆模拟的鲁棒性，效率，强和弱的并行标度性能的测试所提出的方法。数值结果表明，块预条件导致网格和问题无关的收敛，以及规模算法和并行。
2020-02-12 cs.NA math.NA
A Multigrid Preconditioner for Spatially Adaptive High-order Meshless Method on Fluid-solid Interaction Problems
提出了一种求解Stokes极限下流固耦合问题的整体几何多重网格预处理器。问题的离散空间自适应高阶无网格方法，广义移动最小二乘（GMLS）与自适应$h$ -细化。在斯托克斯极限下，固体运动学可以由控制润滑效应的奇点支配。用自适应$h$ -细化来解决这些奇异性会导致方程的病态线性系。为了构造多重网格预条件子的关键成分-插值和限制算子，我们利用自适应$h$ -细化中生成的GMLS节点的层次集的几何信息。我们通过基于物理的分裂建立解耦平滑器，然后通过乘法重叠Schwarz方法将它们组合起来。通过包含不同数量和形状的固体的数值例子，我们证明了性能和评估所设计的预处理器的可扩展性。随着总自由度和实体数$N_s$的增加，所提出的整体几何多重网格预处理器在使用Krylov迭代法求解空间自适应GMLS离散化产生的线性系方程组时，可以保证收敛性和良好的可扩展性.更具体地说，对于固定数量的实体，随着离散化分辨率的逐步细化，线性求解器的迭代次数可以保持在相同的水平，这表明我们的预处理器相对于全次数自由度具有接近线性的可扩展性。当$N_s$增加时，迭代次数几乎与$\sqrt{N_s}$成正比，这意味着相对于实体数目的次线性最优性。
2022-03-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Textbook efficiency: massively parallel matrix-free multigrid for the Stokes system
我们采用教科书的多重网格效率（TME），介绍了由阿奇勃兰特，构造一个渐进最优的整体多重网格求解器的斯托克斯系统。几何多重网格求解器建立在分层混合网格（HHG）的概念，这是扩展到高阶有限元离散，和相应的矩阵的自由实现。计算成本的全多重网格（FMG）迭代量化，并求解器应用于多个基准问题。通过参数研究，我们建议的配置，实现TME的，稳定的等阶，泰勒-胡德离散。通过屋顶线分析，相关的计算内核的优秀的节点级性能。最后，我们证明了弱和强的可扩展性，以$147,456$并行处理和解决斯托克斯系统超过$3.6 \times 10^{12}$（万亿）未知数。
2020-10-26 cs.CE cs.MS cs.NA
Partitioned Coupling vs. Monolithic Block-Preconditioning Approaches for Solving Stokes-Darcy Systems
我们认为，时间依赖的斯托克斯-达西问题作为一个模型的情况下，解决耦合系统所涉及的挑战。保持模型，其离散化，并在自由流域和多孔介质常数的子问题的基本数值，我们专注于不同的求解方法的耦合问题。我们比较了分区耦合的方法，使用耦合库preCICE与单片块预处理的，是针对不同配方的问题。这两种方法都可以重用已经可用的迭代求解器和预处理器，在我们的例子中，来自DuMux框架。我们的研究结果表明，该方法可以产生性能和可扩展性的改进相比，使用直接求解器：分区耦合能够更快地解决大的问题，如果迭代求解器与合适的预处理器应用于子问题。单片方法显示出对预处理的更强的要求，因为标准的简单求解器不能收敛。我们的单片块预处理产生最快的运行时间为大型系统，但他们强烈的预处理器配置。有趣的是，使用专门的Uzawa预条件的斯托克斯子系统导致整体增加的运行时间相比，块预条件利用更一般的代数多重网格。这强调了针对非耦合情况的优化并不总是有回报的。
2021-08-30 cs.NA math.NA
A block-acoustic preconditioner for the elastic Helmholtz equation
Ben-Gurion University（本-古里安大学）
本文提出了一种基于声学亥姆霍兹方程的块预条件器，用于高效求解弹性亥姆霍兹方程，降低了计算成本和内存消耗。
2025-12-06 cs.NA math.NA
A note on robust preconditioners for monolithic fluid-structure interaction systems of finite element equations
Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
本文研究了针对非线性超弹性材料模型的流固耦合问题的预条件Krylov子空间方法，提出基于完全LDU分解的预条件器构造方法，并通过代数多网格方法近似Schur补的逆。
2014-12-21 cs.NA math.NA
An hp Multigrid Approach for Tensor-Product Space-Time Finite Element Discretizations of the Stokes Equations
University of Magdeburg（马格德堡大学）；Helmut Schmidt University（赫尔穆特·施密特大学）；Technical University Berlin（柏林工业大学）
本文提出了一种用于斯托克斯方程的 hp 多网格方法，结合空间-时间离散化技术，通过无矩阵能力提升计算效率。
2025-08-13 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Iterative Decoupling Methods for a Total-Pressure Formulation of Quasi-Static Electroporoelasticity
Shenzhen University of Information Technology（深圳职业技术大学）；Morgan State University（摩根州立大学）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）
该研究针对准静态电孔隙弹性的五场系统，提出迭代解耦方法，可几何收敛至整体解，数值实验验证了其无闭锁性能。
2026-08-07 cs.NA math.NA
Towards Automated Algebraic Multigrid Preconditioner Design Using Genetic Programming for Large-Scale Laser Beam Welding Simulations
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（弗里德里希-亚历山大-埃尔兰根-纽伦堡大学）；Universität zu Köln（科隆大学）
针对大规模激光束焊接仿真中多重网格方法算法选择影响效率的问题，提出用遗传编程基于上下文无关文法自动生成含层级特定平滑序列的灵活AMG循环，实验验证其可提升求解器性能。
2024-12-11 cs.AI cs.CE cs.NA
Unified computational framework for the efficient solution of n-field coupled problems with monolithic schemes
Technische Universität München（慕尼黑工业大学）
本文提出并评估了一种统一计算框架，用于预处理由单体方案求解耦合问题产生的线性方程组。该框架结合了多种应用特定预处理器，能处理任意数量的场并解决多种应用。通过三个不同耦合问题验证了其高效性和可扩展性。
2016-07-14 cs.NA math.NA
