A Vanka-type multigrid solver for complex-shifted Laplacian systems from diagonalization-based parallel-in-time algorithms
我们提出并分析了一个Vanka型多重网格求解器，用于求解基于对角化的演化方程时间并行算法中产生的一系列复杂移位拉普拉斯系统。在适当的假设下，局部傅里叶分析表明所提出的Vanka型平滑器具有均匀的平滑因子，并通过数值算例验证了这一点.
2022-03-21 cs.NA math.NA
Agglomeration-Based Geometric Multigrid Solvers for Compact Discontinuous Galerkin Discretizations on Unstructured Meshes
我们提出了一个几何多重网格求解器的紧致间断伽辽金方法，通过建立一个层次的粗网格使用一个简单的凝聚方法，处理任意元素的形状和尺寸。该方法可以很容易地推广到其他间断Galerkin离散，包括局部DG方法和内部惩罚方法。我们表现出优良的求解性能泊松方程，提供了一个通量制剂用于操作员粗化和一个合适的开关功能选择的数值通量。
2022-04-07 cs.NA math.NA
Multigrid p-Robustness at Jacobi Speeds: Efficient Matrix-Free Implementation of Local p-Multigrid Solvers
Heidelberg University（海德堡大学）
本文提出了一种高效矩阵自由的p-多网格局部求解器，通过求和因子分解和SIMD向量化技术，在保持鲁棒性的同时实现了与简单点平滑器相当的执行速度。
2025-12-02 cs.NA math.NA
An Aggregation-based Nonlinear Multigrid Solver for Two-phase Flow and Transport in Porous Media
本文提出了一种求解两相流速度-压力-饱和度混合方程的非线性多重网格方法。求解器，这是下的全近似计划（FAS）的框架，扩展了我们以前的工作，非线性多重网格的异质扩散问题。多重网格层次中的粗空间是通过聚合自由度，然后解决一些局部流问题来构造的。混合配方和粗空间的选择，使我们能够组装粗糙的问题，而无需访问更精细的水平在解决阶段，这是至关重要的多重网格方法的可扩展性。具体地，可以使用预先计算的粗略通量基向量直接在粗略水平上评估逆风通量的自然概括。所得到的求解器是适用于一般非结构化网格上离散化的问题。建议的非线性多重网格求解器的性能与标准的单级牛顿法相比，证明通过具有挑战性的数值例子。据观察，建议的求解器是强大的高度非线性问题，并明显优于牛顿法的情况下，高Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）号码。
2021-09-15 cs.NA math.NA
Multigrid solvers for isogeometric discretizations of the second biharmonic problem
我们开发了一个多重网格求解器的第二个双调和问题的背景下，等几何分析（IgA），我们也允许零阶项。在以前的论文中，作者已经开发了一个分析的基础上Hackbusch的框架的第一个双调和问题。这种分析只能推广到第二双调和问题，如果一个假设均匀网格。在本文中，我们证明了一个多重网格收敛估计Bramble的多重网格分析框架，没有正则性假设。我们证明了收敛速度的界与零阶项的尺度和样条次数无关。它仅线性地依赖于水平的数量，因此在数学上依赖于网格的大小。数值实验表明，所提出的多重网格方法的收敛理论和效率。
2021-12-23 cs.NA math.NA
An efficient nonlinear multigrid solver for the simulation of rarefied gas cavity flow
研究了用BGK型碰撞项的Boltzmann方程模拟稀薄气体稳态流动的有效方法。提出了一种非线性多重网格求解器，通过以下方法解决效率问题。首先采用数值正则化矩量法的统一框架，推导出基本问题的高质量离散化。一个快速的扫描迭代，以解决衍生的离散问题更有效地比通常的时间积分计划在一个单一的水平网格。以此为平滑器，建立非线性多重网格求解器，显著提高了收敛速度。在实现过程中采用了基于OpenMP的并行化技术，进一步提高了计算速度。通过对两个顶盖驱动空腔流和一个底部加热空腔流的数值实验，研究了所得到的非线性多重网格求解器的性能。所有的结果表明，一阶和二阶空间离散的求解器的效率和鲁棒性。
2022-06-27 cs.NA math.NA
Multigrid Solver With Super-Resolved Interpolation
多重网格算法是求解椭圆型偏微分方程的一种有效的数值方法。该方法在逐渐精细的网格尺度上抑制误差，从而比标准迭代法（如高斯-赛德尔）更快地收敛。多重网格算法中的延拓或粗到细插值算子适用于ML超分辨率的数据驱动处理，通常用于提高图像的分辨率。我们（i）提出了超分辨率生成对抗网络（GAN）模型与多重网格算法作为延拓算子的新集成，（ii）表明GAN插值与三次样条插值相比，在物理和工程模拟中通常解决的一类多尺度PDE上，提高了多重网格的收敛性能。
2021-04-28 cs.NA math.NA
Towards Matrix-Free Patch Smoothers for the Stokes Problem: Evaluating Local p-Multigrid Solvers
Interdisciplinary Center for Scientific Computing, Heidelberg University（海德堡大学跨学科计算科学中心）
本文提出了一种无矩阵兼容的局部p多重网格求解器，用于评估斯托克斯问题的局部补丁求解方法，展示了Braess-Sarazin方法在变形网格和大粘性跃变下的鲁棒性。
2026-01-19 cs.NA math.NA
Multigrid solvers for multipoint flux approximations of the Darcy problem on rough quadrilateral grids
提出一种黑盒型多重网格方法求解粗糙四边形网格上的Darcy问题，结合单元中心算法与线松弛，实现稳健收敛。
2024-02-10 cs.NA math.NA
A performance comparison of continuous and discontinuous Galerkin methods with fast multigrid solvers
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文比较了连续有限元方法、对称内罚间断伽辽金方法和混合型间断伽辽金方法的性能，研究了高阶方法结合最新多网格求解器在泊松方程中的实现，包括四边形和六面体元素上的快速矩阵自由实现与求和因子化。对于混合型间断伽辽金方法，开发了一种结合从迹空间到线性有限元空间的网格传输与进一步层次上的代数多网格的多网格方法。尽管矩阵型HDG求解器和矩阵自由几何多网格方案在求解器复杂度上相似，但后者在包含超收敛效应后仍能提供数量级更快的求解时间，这是因为矩阵自由操作符评估相对于稀疏矩阵向量乘积有显著更好的性能。屋顶性能模型验证了矩阵自由实现的优势。
2016-12-09 cs.NA math.NA
Combining p-multigrid and multigrid reduced in time methods to obtain a scalable solver for Isogeometric Analysis
等几何分析（IgA）已成为有限元法（FEM）的一种可行的替代方法，并且通常与直线法中的时间积分方案结合用于时间相关问题。然而，由于处理器时钟速度的停滞，传统的（即顺序）时间积分方案变得越来越瓶颈，在这些大规模的计算，这导致了时间并行方法的发展，如多重网格减少时间（MGRIT）方法。最近，MGRIT已成功地应用于IgA的背景下，收敛独立的网格宽度，逼近阶的B样条基函数和时间步长的各种基准问题。然而，当采用标准的共轭梯度法在MGRIT中进行空间求解时，可以看到CPU时间对近似阶数的强烈依赖性。在本文中，我们结合MGRIT与一个国家的最先进的求解器（即p-多重网格法），专门为IgA设计，从而显着降低了整体计算成本的MGRIT。此外，我们研究了MGRIT的性能和它的可扩展性上的现代copmuter架构。
2021-07-12 cs.NA math.NA
An adaptive multigrid solver for DPG methods with applications in linear acoustics and electromagnetics
提出了一种自适应多重网格预处理技术，用于求解由不连续Petrov-Galerkin（DPG）离散化引起的线性系。与标准的多重网格技术不同，该预条件只涉及定义在网格骨架上的迹空间，适用于自适应hp网格。构造的关键点是将迭代求解器与由DPG技术提供的全自动和可靠的网格细化过程相结合。的解决方案的技术的功效展示与线性声学和电磁模拟，包括在高频政权，否则将是棘手的问题的模拟的许多例子。最后，我们分析了一级预处理（平滑）均匀网格，我们证明了理论估计的预处理线性系的条件数可以来自良好的自伴正定算子理论的基础上。
2020-10-14 cs.NA math.NA
$hp$-robust multigrid solver on locally refined meshes for FEM discretizations of symmetric elliptic PDEs
本文针对对称二阶线性椭圆扩散问题的有限元离散，提出并分析了一种几何多重网格方法，证明其对多项式次数$p$和网格尺寸$h$具有鲁棒收敛性，并给出$hp$-鲁棒的代数误差估计子及自适应有限元应用。
2023-07-19 cs.NA math.NA
Geometric Multigrid solvers for Hybrid High-Order methods on polytopal meshes
Monash University（莫纳什大学）
本文提出了一种适用于多面体网格的混合高阶方法的最优几何多网格求解器，通过修改后的骨架空间实现非平面界面处理并提升计算效率。
2026-09-11 cs.NA math.NA
A Neural Multigrid Solver for Helmholtz Equations with High Wavenumber and Heterogeneous Media
本文提出Wave-ADR-NS神经多重网格求解器，通过谱分析分离误差分量，结合多重网格波循环、学习相位函数和ADR循环，高效求解波数超2000的非均匀亥姆霍兹方程。
2025-03-11 cs.NA math.NA
An efficient multigrid solver for isogeometric analysis
University of Zaragoza（萨拉戈萨大学）；CWI, Centrum Wiskunde and Informatica（荷兰数学与计算机科学研究中心）
本文提出一种基于重叠乘法Schwarz方法的多网格方法，用于等几何分析，该方法在不同基函数阶数下均能高效收敛，通过局部傅里叶分析和数值实验验证了其有效性。
2018-06-15 cs.NA math.NA
Multigrid reduction preconditioning framework for coupled processes in porous and fractured media
许多地下工程应用涉及流体流动、固体变形、压裂和类似过程之间的紧密耦合。为了更好地理解不同控制方程的复杂相互作用，从而设计高效和安全的操作，数值模拟被广泛使用。考虑到相对较长的时间尺度的利益，全隐式时间步进格式往往是必要的，以避免时间步长的稳定性限制。然而，这些方法的主要计算瓶颈是线性求解器。这些系统非常庞大且条件恶劣。由于可能涉及的过程和耦合范围很广--例如裂缝的形成和扩展、固体多孔介质的变形、孔隙和裂缝中一种或多种流体的粘性流动、复杂的井源和井汇等--很难开发通用但可扩展的线性求解器框架。这种挑战由于可以采用的不同离散化方案的范围而进一步加剧，这对线性系结构具有直接影响。为了解决这一障碍，我们描述了一个灵活的框架，基于多重网格减少，可以产生纯代数预条件广泛的相关物理和离散化。我们证明了其广泛的适用性，通过构建可扩展的预处理几个问题，特别是：混合离散化的单相流，成分多相流与复杂的井，水力压裂模拟。扩展到其他系统可以很自然地处理。我们证明了效率和可扩展性的求解困难，现场规模的问题，通过数值例子。
2021-07-31 cs.CE cs.NA math.NA
Robust multigrid solvers for the biharmonic problem in isogeometric analysis
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
本文在等几何分析框架下开发了biharmonic问题的多重网格求解器，提出两种基于Gauss-Seidel平滑和质量平滑的多重网格方法，并证明了其在网格大小和样条阶数上的鲁棒性。
2018-02-01 cs.NA math.NA
A Comparison of SOR, ADI and Multigrid Methods for Solving Partial Differential Equations
本文介绍了拉普拉斯方程的几种数值解法。开发了求解二维拉普拉斯方程的数值FORTRAN求解器。在求解器中实现的数值方法包括Jacobi，Gauss-Siedel，逐次过松弛，交替直接隐式和多重网格方法。对不同的数值方法进行了详细的比较和讨论
2022-08-04 cs.NA math.NA
On efficient multigrid solvers for mixed-degree local discontinuous Galerkin multiphase Stokes problems
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文设计了高效的多网格求解器，用于求解混合阶局部间断Galerkin方法离散的多相Stokes问题，通过局部傅里叶分析优化了平滑器，实现了快速收敛。
2026-10-14 cs.NA math.NA
Analysis of injection operators in multigrid solvers for hybridized discontinuous Galerkin methods
本文提出关于注入算子的新假设，证明了HDG方法的几何多重网格V-cycle一致收敛性，并验证了该分析适用于多种混合化方法。
2021-03-31 cs.NA math.NA
Accelerating multigrid solver with generative super-resolution
该研究提出将超分辨率GAN作为多重网格算法的延拓算子，在多尺度PDE求解中相比三次样条插值提升了收敛性能，同时指出表征混合算法参数的重要性。
2024-03-07 cs.NA math.NA
Robust approximation error estimates and multigrid solvers for isogeometric multi-patch discretizations
Johann Radon Institute for Computational；Applied Mathematics (RICAM), Austrian Academy of Sciences
本文针对等几何多补丁离散化问题，扩展了鲁棒近似误差估计和多网格求解器，解决了单补丁设置中偏微分方程离散线性系统求解的鲁棒收敛率问题。
2018-04-05 cs.NA math.NA
Space-time waveform relaxation multigrid for Navier-Stokes
Department of Mathematical Sciences, NTNU（NTNU数学科学系）；Department of Mathematics and Statistics, Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学数学与统计系）
本文提出了一种基于波形松弛多网格方法的Navier-Stokes方程求解器，通过扩展空间多网格方法，实现了高效且可扩展的单体Newton-Krylov-多网格求解器。
2026-03-04 cs.NA math.NA
A comparative study of efficient multigrid solvers for high-order local discontinuous Galerkin methods: Poisson, elliptic interface, and multiphase Stokes problems
本研究设计并比较了多种多重网格求解器，用于高阶局部间断伽辽金方法处理椭圆界面和多相斯托克斯问题，开发了基于稀疏近似逆的平滑器，在多种二维和三维测试中达到经典几何多重网格的性能。
2025-09-10 cs.NA math.NA
Surface Multigrid via Intrinsic Prolongation
本文介绍了一种新的几何多重网格求解器的非结构曲面。多重网格法是求解线性方程组的高效迭代法。尽管在解决结构域上定义的问题上取得了成功，但将多重网格推广到非结构化曲面域仍然是一个具有挑战性的问题。关键缺失的成分是一个延长运营商在不同的多重网格水平转移功能。我们提出了一种新的方法来计算延长三角形曲面的基础上的内在几何，使一个高效的几何多重网格求解器的曲面。我们的表面多重网格求解器实现了更好的收敛性比现有的多重网格方法。与直接求解器相比，我们的求解器快了几个数量级。我们评估我们的方法在许多几何处理应用程序和各种各样的复杂形状的边界和无边界。通过简单地取代直接求解器，我们升级现有的算法，以互动的帧速率，并转移的计算瓶颈，从解决线性系统。
2021-05-04 cs.GR cs.NA math.NA
Learning to Optimize Multigrid PDE Solvers
Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
构造偏微分方程的快速数值求解器对于许多科学学科都是至关重要的。求解大规模偏微分方程的一个主要技术是使用多重网格方法。多重网格求解器的核心是延拓矩阵，它与问题的不同尺度之间相关。这个矩阵是强烈的问题依赖性，其最佳结构是至关重要的求解器的效率。然而，在实践中，为新问题设计多重网格算法往往会带来巨大的挑战。在本文中，我们提出了一个学习多重网格求解器的框架。我们的方法学习一个（单一）映射从一个家庭的参数化偏微分方程延长运营商。我们训练一个神经网络一次为整个类的偏微分方程，使用一个有效的和无监督的损失函数。广泛的一类2D扩散问题的实验表明，改进的收敛速度相比，广泛使用的黑盒多重网格计划，这表明我们的方法成功地学习规则，构造延长矩阵。
2019-08-05 cs.LG cs.NA math.NA
An agglomeration-based multigrid solver for the discontinuous Galerkin discretization of cardiac electrophysiology
University of Pisa（比萨大学）；International School for Advanced Studies (SISSA)（国际高等研究院）
提出一种基于聚合的多层预条件子，通过粗化网格加速心脏单域模型不连续伽辽金离散线性系统的迭代求解，数值实验验证了其有效性和可扩展性。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Improving patch selection for monolithic multigrid solvers for high-order {T}aylor-{H}ood discretizations
Hakim Sabzevari University（哈基姆·萨布泽瓦里大学）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
本文提出改进的块选择方法，提升高阶Taylor-Hood离散化在多网格求解器中的效率，显著减少迭代次数和求解时间。
2025-12-13 cs.NA math.NA
A New Semi-Structured Algebraic Multigrid Method
多重网格方法非常适合于大规模并行计算机体系结构，因为它们在数学上是最优的，并显示出良好的并行化特性。由于当前的体系结构趋势倾向于使用常规计算模式来实现高性能，因此表达结构的能力变得更加重要。hypre软件库通过概念接口提供了高性能的多重网格预处理器和求解器，包括一个半结构化接口，该接口主要根据stenetrance和逻辑结构化网格来描述矩阵。本文提出了一种新的半结构代数多重网格（SSAMG）方法建立在这个接口。一组半结构化的问题，该方法的CPU实现的数值收敛性和性能进行评估。SSAMG实现了比hypre的非结构化AMG求解器更好的设置时间和可比的收敛性。此外，新方法能够解决比hypre的结构化求解器更复杂的问题。
2022-05-27 cs.NA math.NA
The Closest Point Method and multigrid solvers for elliptic equations on surfaces
University of Oxford（牛津大学）
本文应用最近点方法求解一般曲面上的椭圆方程，通过最近点表示建立嵌入方程，并利用标准差分和插值方案在带状均匀笛卡尔网格上离散。证明了泊松方程在光滑闭合曲线上的差分方案收敛性，并提出特定几何多重网格方法以求解大规模稀疏线性系统。
2014-10-27 cs.NA math.NA
Fast multigrid solvers for conforming and non-conforming multi-patch Isogeometric Analysis
等几何分析是一种用于边值问题的高阶离散化方法，它使用的自由度与低阶方法一样小。标准的等几何离散化需要计算域的全局参数化。在非平凡的情况下，域被分解成具有单独的参数化和单独的离散空间的补丁。如果离散空间在贴片之间的界面上一致，则可以以一致的方式进行耦合。否则，非协调离散化（利用不连续Galerkin方法）是必需的。作者和他的同事以前介绍了多重网格求解器等几何分析符合的情况。本文将这些结果推广到非协调情形。此外，它表明，多重网格解决得到更强大的，如果建议平滑结合（标准）高斯-赛德尔平滑。
2019-06-17 cs.NA math.NA
A parallel multigrid solver for multi-patch Isogeometric Analysis
University Linz（林茨大学）；RICAM, Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院计算与应用数学研究所）
本文提出了一种用于多区域同构分析的并行多重网格求解器，该求解器在网格尺寸和样条阶数方面表现优异，并在并行环境中具有良好的可扩展性。
2018-04-07 cs.NA math.NA
A scalable preconditioning framework for stabilized contact mechanics with hydraulically active fractures
University of Padova（帕多瓦大学）
针对裂缝网络中摩擦接触力学与流体流动耦合问题，提出基于物理信息分块和多重网格的预处理框架，实现算法可扩展性。
2021-12-23 cs.NA math.NA
The Influence of Nitsche Stabilization on Geometric Multigrid for the Finite Cell Method
本研究针对浸入式有限元方法的线性系统病态问题，探究Nitsche方法中稳定化参数对有限单元法几何多重网格求解器性能的影响，发现基于广义特征值问题的局部估计可实现求解器快速鲁棒收敛。
2023-05-03 cs.NA math.NA
Fast multigrid solution of high-order accurate multi-phase Stokes problems
提出了一种求解高阶精度Stokes问题的快速多重网格算法，该算法采用局部间断Galerkin（LDG）方法离散。多重网格算法由一个简单的V-循环，使用逐元素块高斯-赛德尔平滑。数值实验表明：（1）对于定常Stokes问题，多重网格方法的收敛速度与经典几何多重网格方法的收敛速度相当;（ii）对于非定常Stokes问题，随着有效雷诺数的增加，收敛速度进一步加快。广泛的二维和三维测试问题证明了求解器的性能以及高阶精度-这些包括周期性，狄利克雷和应力边界条件的情况下;变粘度和多相嵌入式界面问题包含密度和粘度不连续几个数量级;和测试用例使用半非结构化网格的弯曲几何形状。
2020-08-24 cs.NA math.NA
A multigrid scheme for 3D Monge-Ampère equations
椭圆型蒙日-安培方程是一个完全非线性偏微分方程，近年来受到科学计算界的广泛关注。快速三维求解器是需要的，例如在医学图像配准中，但是还不可用。我们建立快速求解器，在三维空间中使用非线性全近似存储多重网格方法的光滑解。从二阶精度的中心差分近似出发，我们提出了一种非线性Gauss-Seidel迭代法，它具有选择方程凸解的机制。将迭代法作为一种有效的平滑器，与全近似存储多重网格法相结合。数值实验验证了有限差分格式的精度，并说明了所提出的多重网格求解器的计算效率。
2016-12-29 cs.NA math.NA
A multigrid-reduction-in-time solver with a new two-level convergence for unsteady fractional Laplacian problems
多重网格减少时间（MGRIT）技术已被证明是成功的，在实现更高的运行时加速利用时间上的并行性。本文的目标是开发和分析一个MGRIT算法，使用FCF松弛与时间相关的时间网格传播，寻求非定常分数拉普拉斯问题的有限元近似。文[L.陈河，巴西-地H. Nochetto，E. Ot{á}rola，A. J. Salgado，Math.Comp.85（2016）2583- 2607]被选择为空间解算器。由[B]驱动。S. Southworth，SIAM J. Matrix Anal. 40（2019）564- 608]，我们提供了一个新的时间特征值近似性质，然后推导出一个广义的两级收敛理论，该理论消除了[X. Q. Yue，S. Shu，X. W. Xu，W. P. Bu，K. J. Pan，Comput.数学应用78（2019）3471- 3484]。通过数值计算证实了理论预测的正确性，并证明了收敛上界的精确性。
2021-02-09 cs.NA math.NA
Algebraic error analysis for mixed-precision multigrid solvers
本文建立了第一个理论框架，分析舍入误差的多重网格方法使用混合精度迭代细化求解器的影响。虽然由离散线性椭圆偏微分方程产生的稀疏对称正定（SPD）矩阵方程激发，但该框架是纯代数的，因此它适用于不一定来自连续统的矩阵。基于所谓的能量或$A$范数，这是自然规范的许多问题，涉及SPD矩阵，我们提供了一个规范的向前误差分析，并介绍了渐进精度的多重网格求解器的概念。多重网格层次结构的每一级都使用三种不同的精度，每一种精度都随着级别的精细度而增加，但以不同的速率增加，从而确保大部分计算使用尽可能低的精度。在这里开发的理论结果的能量规范显着不同，从以前的理论基础上的欧几里德规范的重要方式。特别是，我们表明，简单地四舍五入一个确切的结果，有限的精度会导致错误的能量范数，是成比例的平方根的$κ$，相关的矩阵条件数。(By相反，当以欧几里德范数测量时，该误差为$1$阶。）鉴于这一观察，我们表明，V-周期和完整的多重网格的限制精度是最佳的意义上说，它也是成比例的$κ^{1/2}$的能量。此外，我们表明，由于四舍五入的收敛速度的损失成比例增长的$κ^{1/2}$，但认为这种损失是微不足道的，在实践中。本文的理论是第一次在迭代加密能量范数下的向前误差分析，也是第一次一般意义上的多重网格舍入误差分析。
2020-07-13 cs.NA math.NA
Methods toward better Multigrid Solver Convergence
研究通过调整各向异性、网格层数、预处理器平滑步数、坐标系和初始向量等条件，采用F-cycle多重网格技术求解简单泊松问题，并分析求解器性能。
2008-05-20 cs.NA math-ph math.MP
An efficient multigrid solver for 3D biharmonic equation with a discretization by 25-point difference scheme
本文提出结合25点差分近似的EXCMG方法求解三维双调和方程，利用Richardson外推与二次插值获得高阶初始猜测，采用Bi-CG求解线性系统，并在最细网格上实现更高阶精度，数值实验证明其高效性。
2019-01-16 cs.NA math.NA
Towards a multigrid method for the M1 model for radiative transfer
本文提出了一种无源项辐射传输M1模型的几何多重网格求解器。在辐射流体力学应用中，由于光子的传播速度相对于流体速度较快，因此需要隐式求解辐射传递。M1模型是双曲型的，可以用HLL求解器离散化，其时间隐式积分可以使用非线性Jacobi方法完成。我们可以证明，这种迭代法总是保持允许的状态，如正的辐射能和约化通量小于1。为了减少求解器收敛所需的迭代次数，从而降低计算成本，我们提出了一种几何多重网格算法。不幸的是，这种方法不能保持容许状态。为了保持允许的状态，我们引入了一个伪时间，使得粗网格上的问题的解是伪时间中的一个微分方程的稳态。我们目前的初步结果显示，减少的迭代次数和计算成本的函数中使用的多重网格的水平。这些结果表明，非线性多重网格方法可以作为一个强大的隐式求解器的双曲型系统，如M1模型。
2022-08-31 cs.NA math.NA
Efficient Multigrid Methods for Semi-implicit Landau-Lifshitz Schemes in Micromagnetic Simulations
Xi’an-Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）
针对微磁模拟半隐式朗道-利夫希茨格式线性系统的收敛与性能问题，本文提出定制化聚合型多重网格方法，可减少迭代与计算成本，实现网格无关的鲁棒收敛。
2026-08-11 cs.NA math.NA
Implementation techniques for multigrid solvers for high-order Discontinuous Galerkin methods
针对高阶DG方法离散的椭圆PDE无矩阵几何多重网格求解器的性能局限，提出分离单元面运算、循环融合等hp-多重网格高效执行策略，提升求解器性能并向更广泛从业者推广。
2025-10-01 cs.NA math.NA
Scalable Multigrid Solver for the Helmholtz Equation: Real-Shifted Coarse Grid Correction
Institute for Interdisciplinary Computational Science, the Stein Faculty of Computer and Information Science, Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学斯坦计算机与信息科学学院跨学科计算科学研究所）
本文提出一种可扩展的多网格求解器，通过实移粗网格的伽辽金算子修正数值色散，实现高频率亥姆霍兹方程的高效求解。
2026-04-21 cs.NA math.NA
Stabilised Asynchronous Fast Adaptive Composite Multigrid using Additive Damping
多重网格求解器在并行计算机上面临着多重挑战。两个基本的阅读如下：乘法求解器问题粗网格解决表现出低并发性和许多多重网格实现遭受昂贵的粗网格识别阶段加上自适应网格细化开销。我们提出了一种新的空间树的加性多重网格变体，即网格，因为它们是从八叉树和四叉树构建的：这是一个加性方案，即所有多重网格分辨率水平同时更新。这确保了高并发级别，而网格级别之间的传输操作符仍然可以代数构造。加法方案的新颖之处在于通过每个顶点的每个网格级别的加法辅助阻尼参数来增强求解器，该参数又通过下一个较粗的级别来构建-这是一个利用平滑聚合原理或AFACx背后的动机的想法：每层，我们解决一个额外的方程，其目的是阻尼过于积极的解决方案更新每顶点，否则，与所有其他水平相结合，产生过度校正，最终产生振荡。这个附加方程也是加性地构造的，即再次与所有其他方程同时求解。这产生了更好的稳定性，更接近乘法方案，而流水线技术帮助我们写下动态自适应网格的单触语义的加法求解器。
2020-07-01 cs.NA math.NA
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver (Journal Version)
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种线性时间复杂度的图拉普拉斯系统求解器LAMG，通过组合分段常数插值、基于亲和度的节点聚合和能量校正实现快速收敛与线性扩展。
2012-06-08 cs.NA math.NA
Towards a Multigrid Preconditioner Interpretation of Hierarchical Poincaré-Steklov Solvers
本文将分层波里叶-斯托克斯方法重新解释为多级预置条件求解器，通过替换精确粗网格求解为迭代工作，优化内存占用与求解时间的平衡。
2026-03-27 cs.NA math.NA
A smoothing analysis for multigrid methods applied to tempered fractional problems
考虑含时空间回火分数阶扩散方程的数值解。在时间上使用Crank-Nicolson，在空间上使用二阶精确的回火加权和移位Grünwald差，导致稠密（多级）Toeplitz类线性系。通过利用相关的结构，我们设计了一个ad-hoc多重网格求解器和基于多重网格的预处理器，所有加权雅可比平滑。提供了一种新的平滑分析，它细化了扩展合适的Jacobi权重集的最新结果。此外，我们证明，如果一个多重网格方法是有效的非回火的情况下，那么同样的多重网格方法也是有效的回火的。数值结果证实了理论分析，表明所得到的基于多重网格的求解器是计算有效的回火分数扩散方程。
2022-10-10 cs.NA math.NA
MGCNN: a learnable multigrid solver for sparse linear systems from PDEs on structured grids
提出 MGCNN 可学习多重网格求解器，利用类 CNN 的多层级、线性和权重共享结构离线求解结构化网格上的异质系数 PDE 稀疏系统，并在对流–扩散方程上显著优于 GMG。
2024-05-09 cs.NA math.NA
An energy-efficient GMRES-Multigrid solver for space-time finite element computation of dynamic poro- and thermoelasticity
提出了求解双曲-抛物耦合多孔弹性或热弹性方程组的时空有限元法族。证明了离散问题的适定性。高阶近似继承了计算上可行的网格上的连续问题的解决方案的大多数丰富的结构是自然嵌入的。然而，对于这些族的成员，代数系统的块结构和解变得越来越复杂。我们提出并分析了一个强大的几何多重网格（GMG）预处理GMRES迭代。GMG方法使用局部Vanka型平滑器。它的作用是以精确的数学方式定义的。由于未知量的非局部耦合机制，平滑器应用于单元的补丁。这确保了误差频率的衰减。在一系列的数值实验中，包括一个具有挑战性的三维基准的实际利益，效率的求解器STFEM的说明和确认。分析了其并行可扩展性。除了经典的性能工程的研究，求解器的能源效率进行了调查，作为一个额外的和新兴的尺寸在设计和调整的算法及其硬件上的实现。
2023-03-12 cs.NA math.NA
Discretization-error-accurate mixed-precision multigrid solvers
本文建立在同伴文件[混合精度多重网格求解器的代数误差分析]中的代数理论的基础上，通过混合精度多重网格求解器获得线性椭圆型偏微分方程（PDE）的离散化误差精确解。通常假设可达到的精度受到离散化或代数误差的限制。相反，我们表明，简单地存储在任何固定精度的矩阵所产生的量化误差迅速开始占主导地位的总误差的离散化细化。我们扩展了现有的理论来解释这些量化误差，并使用由此产生的界限来指导选择四个不同的精度水平，以平衡量化，代数和离散化误差的渐进精度计划中提出的配套文件。一个显著的结果是，虽然迭代细化在残差和更新计算期间容易受到量化误差的影响，但是用于在每次迭代中计算校正的V循环更有弹性，并且如果层级中的系统矩阵由于量化而变得不确定，则V循环继续工作。因此，V周期每级仅需要相对较少的精度位。基于我们的研究结果，我们概述了一个简单的方法来实现渐进精度FMG求解器，以最小的开销，并证明作为一个例子，一维双调和方程可以可靠地解决任何所需的精度时，只需几个V-周期的基础平滑工作良好。在这个过程中，我们也证实了许多理论结果的数值。
2020-07-13 cs.NA math.NA
Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver
The University of Chicago（芝加哥大学）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
提出一种精简代数多重网格（LAMG）方法，通过构建多层粗化拉普拉斯系统并结合分段常数插值和能量校正，实现图拉普拉斯线性系统的高效求解，具有线性时间和存储复杂度。
2011-07-31 cs.NA math.NA
Achieving $h$- and $p$-robust monolithic multigrid solvers for the Stokes equations
针对Stokes方程高阶混合有限元离散化缺乏高效预条件子的问题，提出Vanka松弛格式变体构建几何多重网格预条件子，验证了部分离散化下对多项式阶数的鲁棒性并提出待解决问题。
2025-03-21 cs.NA math.NA
