Qing-Ming Cheng, Zhi Li, Guoxin Wei
In this paper, we classify $3$-dimensional complete self-shrinkers in Euclidean space $\mathbb R^{4}$ with constant squared norm of the second fundamental form $S$ and constant $f_{4}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The purpose of this paper is to study complete self-shrinkers of mean curvature flow in Euclidean spaces. In the paper, we give a complete classification for 2-dimensional complete Lagrangian self-shrinkers in Euclidean space $\mathbb R^4$ with constant squared norm of the second fundamental form.
Compactness and Rigidity of Complete Kähler Ricci Shrinkers
本文借助极化法诺纤维化结构，探究完备凯勒里奇收缩子的紧性、刚性及相关几何性质。
2-dimensional complete self-shrinkers in $\mathbf{R}^3$
研究欧几里得空间中的完备自收缩子是本文的目的。首先，我们展示了一些没有多项式体积增长的完全自收缩的例子。利用$\mathcal{L}$ -算子的广义最大值原理，给出了$\mathbb R^3$中第第二基本型具有常平方范数的二维完全自收缩算子的完全分类.在\cite{DX2}中，Ding和Xin在多项式体积增长的假设下证明了这一结果，这在我们的定理中被删除了。
Complete self-shrinkers confined into some regions of the space
我们研究了完备非紧有界自收缩曲面的几何性质，得到了使这些超曲面成为紧的自然限制条件。此外，我们观察到，在一定程度上，完全的自收缩相交的超平面通过原点。当这样的交集是紧凑的，我们推导出光谱信息的自然漂移拉普拉斯相关的自收缩。这些结果对于验证H. D. Cao关于完全自收缩体的多项式体积增长。对于自收缩体被限制在圆柱形制品中的情况，给出了有限强最大值原理。
Complete self-shrinkers of the mean curvature flow
研究欧几里得空间中的完备自收缩子是本文的目的。通过引入$\mathcal{L}$ -算子的一个广义最大值原理，在不对\emph{polynomial volume growth}作任何假设的情况下，给出了自收缩算子的第第二基本型的平方范数的上确界和下确界的估计.这样，我们就可以在不对\emph{polynomial volume growth}作任何假设的情况下得到完备自收缩算子的刚性定理.对于2维和3维的完全真自收缩子，在第二基本型的常平方范数的假设下，给出了它们的一个分类.
A bound for the order of the fundamental group of a complete noncompact Ricci shrinker
对于完全收缩（梯度）Ricci孤子，我们观察到Wylie关于基本群是有限的结果的一个量化。
In this paper, we study complete self-shrinkers in Euclidean space and prove that an $n$-dimensional complete self-shrinker in Euclidean space $\mathbb{R}^{n+1}$ is isometric to either $\mathbb{R}^{n}$, $S^{n}(\sqrt{n})$, or $S^k (\sqrt{k})\times\mathbb{R}^{n-k}$, $1\leq k\leq n-1$, if the squared norm $S$ of the second fundamental form, $f_3$ are constant and $S$ satisfies $S<1.83379$. We should remark that the condition of polynomial volume growth is not assumed.
In this paper, we completely classify $3$-dimensional complete self-shrinkers with constant norm $S$ of the second fundamental form and constant $f_{3}$ in Euclidean space $\mathbb R^{4}$, where $h_{ij}$ are components of the second fundamental form, $S=\sum_{i,j}h^{2}_{ij}$ and $f_{3}=\sum_{i,j,k}h_{ij}h_{jk}h_{ki}$.
In this paper, we present a sufficient condition for finite Morse index of complete properly self-shrinkers. We prove that a complete properly embedded self-shrinker in $\mathbb{R}^{n+1}$ with finite asymptotically conical ends or asymptotically cylindrical ends must have finite Morse index. Moreover, as an application of this result, we show that a complete properly embedded self-shrinker in $\mathbb{R}^3$ with finite genus has finite Morse index.
In this paper we apply a geometric covering method to study the number of ends on shrinkers. On one hand, we prove that the number of ends on any complete non-compact shrinker is at most polynomial growth with fixed degree. On the other hand, we prove that any complete non-compact shrinker with certain volume comparison condition has finitely many ends. Some special cases of shrinkers are also discussed.
A compactness theorem for complete Ricci shrinkers
证明了完备梯度Ricci收缩算子在Cheeger-Gromov轨道意义下的预紧性，并给出了其熵的下界和局部积分Riemann界.我们不需要任何逐点曲率假设，体积或直径界限。在四维中，在一个技术假设下，我们可以用欧拉示性数的上界来代替局部积分黎曼界。证明依赖于一个具有截断变元的Gauss-Bonnet。
The rigidity theorem for complete Lagrangian self-shrinkers
本文研究欧氏空间 $\mathbb{R}^{4}$ 中二维完备 Lagrange 自收缩子，在平均曲率向量平方范数恒定时证明其刚性，并用相同方法得到 Lagrange $ξ$-子流形的类似结论。
Volume estimate about shrinkers
本文给出了完备非紧黎曼流形上势函数水平集体积增长的精确估计。作为应用，我们得到了完全非紧自收缩孤子和梯度收缩Ricci孤子的体积增长率。我们还证明了欧几里得空间中加权体积有限性、多项式体积增长性和浸入自收缩器的适当性的等价性。
Hamiltonian F-stability of complete Lagrangian self-shrinkers
本文研究了Lagrange自收缩算子的Lagrange F-稳定性和Hamilton F-稳定性。本文证明了$n$维完全Lagrange无边界自收缩体的Hamilton F稳定性的一个特征定理，该自收缩体具有多项式体积增长，第二基本形式满足存在常数$C_0>0$和$\varepsilon<\frac{1}{16n}$使得$|A|^2\leq C_0+\varepsilon |x|^2$.我们用漂移拉普拉斯算子的特征值和特征空间刻画了哈密顿函数的F-稳定性。
We show that any $4$-dimensional complete self-shrinker in $\mathbb{R}^{5}$ with constant squared norm $S$ of the second fundamental form, $f_{3}=0$ and constant $f_{4}$ is isometric to $\mathbb{R}^{4}$, where $h_{ij}$ are components of the second fundamental form, $S=\sum h_{ij}^{2}$, $f_{3}=\sum h_{ij}h_{jk}h_{ki}$ and $f_{4}=\sum h_{ij}h_{jk}h_{kl}h_{li}$. As an application, we obtain a classification result.
Rigidity theorems for complete Legendrian self-shrinkers
本文通过估计加权体积得到Legendrian自收缩子的最优体积增长，进而导出标准接触欧几里得(2n+1)空间中整体光滑Legendrian自收缩子的刚性定理。
Complete self-shrinkers with bounded the second fundamental form in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文研究 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中完备适当浸入自收缩子，证明第二基本形式模长平方有界且不小于 1 时必恒等于 1，并分类了模长平方为常数的情形，解决了 Cheng 和 Wei 提出的猜想。
Immersed self-shrinkers
我们构造无限多个完整的，沉浸式的自收缩与旋转对称的以下拓扑型：球，平面，圆柱，和环面。
A gap theorem of self-shrinkers
本文研究了欧几里得空间中的完备自收缩子，证明了如果第第二基本型的平方范数$S$为常数且满足$S<(10/7)$，则欧几里得空间中具有多项式体积增长的$n$维完备自收缩子$\mathbb{R}^{n+1}$与$\mathbb{R}^{n}$，$S^{n}(\sqrt{n})$或$\mathbb{R}^{n-m}\times S^m (\sqrt{m})$，$1\leq m\leq n-1$等距.
The rigidity theorems of self shrinkers
利用极小子流形理论中的某些思想，研究了自收缩算子的刚性问题。证明了自收缩器的第二基本型的平方范数在逐点条件和积分条件下的刚性结果。
Weak Ricci curvature bounds for Ricci shrinkers
我们表明，对于一个完整的Ricci收缩存在一个序列的点趋于无穷大的Ricci张量的范数增长最多线性。
Estimates on scalar curvature of self-shrinkers
本文研究了欧几里得空间R^{n+1}中n维自缩器的标量曲率，证明了当标量曲率为正常数时，标量曲率R满足0<R≤n-1，并对具有非负常数标量曲率的完整自缩器进行了分类，还研究了具有常数平方法向曲率形式的自缩器，并部分解决了关于具有常数平方法向曲率形式的自缩器的猜想。
Self-shrinkers of the mean curvature flow in arbitrary codimension
对于维数大于1的超曲面，Huisken证明了具有正标量中曲率的中曲率流的紧致自收缩体是球面。我们将证明以下扩展：一个紧致的自相似的解决方案在任意余维和维数大于1是球形的，即包含在一个球，当且仅当中曲率向量\be H \ee是非零的和主法线\be ν \ee是平行的正常丛。我们还给出了这类完全非紧自收缩子的一个分类。
The second gap for self-shrinkers with constant norm of the second fundamental form
本文证明了第二基本形式平方范数不超过10/7的完备自收缩子，其范数只能为1或0，并分类为球面、柱面或平面。
Rigidity of Three-Dimensional Self-Shrinkers with Constant Norm of the Second Fundamental Form
针对三维无边界完备连通自收缩子，在其第二基本形式范数平方为常数的条件下，证明其必为过原点的超平面或某广义柱面的黎曼覆盖，得到此类自收缩子的刚性结果。
A Bernstein type theorem for graphic self-shrinkers with flat normal bundle
本文证明了具有平坦法丛的$R^{n+m}$中的$n$维图自收缩子是线性子空间。这个结果推广了Lu Wang在余维为1的情况下的相应结果。
Entropy Bounds for Self-shrinkers with Symmetries
本文为两类闭自收缩子（嵌入闭自收缩子与紧致非球面浸入旋转对称自收缩子）导出显式熵界，推广了已有结果。
In this paper, we firstly verify that if $M$ is a complete self-shrinker with polynomial volume growth in $\mathbb{R}^{n+1}$, and if the squared norm of the second fundamental form of $M$ satisfies $0\leq|A|^2-1\leq\frac{1}{18}$, then $|A|^2\equiv1$ and $M$ is a round sphere or a cylinder. More generally, let $M$ be a complete $λ$-hypersurface with polynomial volume growth in $\mathbb{R}^{n+1}$ with $λ\neq0$. Then we prove that there exists an positive constant $γ$, such that if $|λ|\leqγ$ and the squared norm of the second fundamental form of $M$ satisfies $0\leq|A|^2-β_λ\leq\frac{1}{18}$, th…
Rigidity of Ricci-Pinched Complete Self-Shrinkers in Arbitrary Codimension
本文证明任意余维数中满足 Ricci 下界条件的完备自收缩子必为线性子空间或圆球，并给出余维数二时的尖锐刚性定理。
Classification and rigidity of self-shrinkers in the Mean curvature flow
本文首先用Colding和Minicozzi [5]的方法证明了K。Smoczyk的分类定理[16]在更弱的条件下也成立。作为应用，我们给出了任意余维自收缩算子的刚性结果。
Classification and Analysis of Mean Curvature Flow Self-Shrinkers
研究了多项式增长的中曲率流自收缩超曲面。已知这种自收缩剂是不稳定的。我们主要关注$\mathbb S^k\times\R^{n-k}\subset \R^{n+1}$形式的自收缩剂。我们利用稳定性算符和量子谐振子哈密顿量之间的联系，找到了这些自收缩体上稳定性算符的所有本征值和本征函数。我们还证明了这种形式的自收缩曲面的指数比所有其他完全自收缩超曲面的指数都要低。特别地，它们具有有限指数。这意味着这种自收缩剂的端部必须是稳定的。我们寻找这些自我收缩的最大稳定区域。
Self-Shrinkers With Second Fundamental Form of Constant Length
本文对{ \cite{DX1} }中的一个结果给出了一个新的简单的证明：对于某些$\mathbb{R}^3$中任何具有等长第二基本型的光滑完全自收缩器必是广义柱$\mathbb{S}^k \times \mathbb{R}^{2-k}$.此外，我们证明了一个间隙定理光滑自收缩在所有维度。
We construct Gaussian Harmonic forms of finite Gaussian weighted $L^2$-norm on non-compact surfaces that detect each asymptotically conical end. As an application we prove an extension of the index estimates of self-shrinkers in $[11]$ under the existence of such ends. We show that the Morse index of a self-shrinker is greater or equal to $\frac{2g+r-1}{3}$, where $r$ is the number of asymptotically conical ends.
A rigidity theorem on the second fundamental form for self-shrinkers
本文放宽了自收缩子第二基本形式积分条件的界至任意有限常数，推广了先前刚性定理。
Four-dimensional shrinkers with pinched curvatures
本文针对四维收缩子，在不同曲率挤压条件下完成分类，并建立Hitchin-Thorpe型不等式，丰富了收缩子的几何研究成果。
A Classification of Complete Self-shrinkers
本文完整分类了具有正常数数量曲率的完备自收缩子，证明仅有圆球和标准广义柱面，并通过Bakry-Émery Ricci曲率下界克服关键困难。
On a classification theorem for self-shrinkers
推广了T。Colding和W. Minicozzi，用关于第二基本型的范数的加权$L^2$条件代替关于多项式体积增长的假设。我们的方法采用加权流形的观点，也允许恢复和扩展一些其他最近的分类和间隙的结果自收缩。
Eigenvalue Estimates for Schrödinger Operators on Ricci Shrinkers
本文针对Ricci收缩流形上的Schrödinger算子，利用收缩熵和势函数给出了最低特征值的下界，并推广到完备黎曼流形及带漂移的Schrödinger算子。
A gap Theorem on closed self-shrinkers of mean curvature flow
本文针对平均曲率流的任意余维数 n 维闭自收缩子建立第二基本形式拼挤条件，证明满足该界时必为标准球面，为相关开放问题提供证据。
Gaussian-Weighted Curvature Gaps for Self-Shrinkers
本文利用法坐标函数和加权Poincaré不等式，证明嵌入自收缩子高斯加权L²曲率积分的下界，并结合熵间隙定理得到非球面闭自收缩子的严格曲率间隙，在二维情形推广到完整嵌入自收缩子。
Entropy Bounds, Compactness and Finiteness Theorems for Embedded Self-shrinkers with Rotational Symmetry
本文研究了具有旋转对称性的嵌入自收缩超曲面，推导了熵界，并证明了此类收缩器的紧性和有限性定理。
Gap theorems for complete self-shrinkers of $r$-mean curvature flows
本文通过引入修正第二基本形式和推广漂移拉普拉斯算子的二阶微分算子，证明了 $r$-平均曲率流完备自收缩子的间隙定理，推广了 Cao-Li 与 Cheng-Peng 的结果。
Lower volume growth estimates for Self-shrinkers of mean curvature flow
得到了中曲率流的完全非紧自收缩体的一个Calabi-Yau型较低体积增长估计，更精确地说，每个完全非紧适当浸入的自收缩体至少具有线性体积增长.
Rigidity and Curvature Estimates for Graphical Self-shrinkers
自收缩器是在中曲率流动下相似收缩的超曲面;这些孤子模拟了流动的奇异性。目前已知一个整自缩图必是一个超平面。在本文中，我们表明，超平面是刚性的，在更强的意义上，即：对于$2 \leq n \leq 6$，任何光滑，完整的自收缩$Σ^n\subset\mathbf{R}^{n+1}$，这是图形内的一个大的，但紧凑的，必须是一个超平面。事实上，这种刚性存在于更大的一类几乎稳定的自收缩体中。本文的一个关键组成部分是采购的线性曲率估计几乎稳定的收缩，这是负责对$n$的限制这一步。我们的方法也产生一致的曲率界的平移孤子的中曲率流。
Halfspace type Theorems for Self-Shrinkers
本文将经典的Hoffman-Meeks半空间定理推广到自收缩空间，即：“设$P $是通过原点的超平面.由$P$确定的封闭半空间之一中包含的唯一适当浸入的自收缩剂$Σ$是$Σ= P$。“我们的证明是几何的，并使用Kleene-Moller发现的悬链型超曲面。此外，使用类似的几何思想，我们得到的唯一完整的自收缩适当地浸入一个封闭的圆柱体$ \overline{B ^{k+1} (R)} \times \mathbb{R}^{n-k}\subset \mathbb R^{n+1}$，对于一些$k\in \{1, \ldots ,n\}$和半径$R$，$R \leq \sqrt{2k}$，是圆柱体$\mathbb S ^k (\sqrt{2k}) \times \mathbb{R}^{n-k}$。对于$λ-$超曲面，我们也推广了上述结果.
Gaussian Harmonic Forms and Two-Dimensional Self-Shrinkers
我们考虑二维可定向自收缩体$Σ$的平均曲率流的多项式体积增长沉浸在$\mathbb R^n$。我们看看封闭的形式最小化规范$\int_Σ\eterm |ω|^2$在他们的上同调类。任何满足Euler-Lagrange方程的封闭形式都被称为高斯调和一形式（GHF）。然后，我们使用这些形式表明，如果这样的$Σ$有亏格$\geq 1,$，那么我们有一个下界上确界范数的$A^2$。GHF还可以被应用于创建算子$L$的最低本征值的上限。在余维为一的情形$Σ\to \mathbb R^3$中，对于主曲率的某些条件，我们利用GHF得到了依赖于亏格$g$的$L$指数的下界.同样，在紧余维的情况下，我们得到的最低本征值的$L$和$\inf |x|^2$的估计。
Rigidity of complete self-shrinkers whose tangent planes omit a nonempty set
本文通过切仿射子流形并集遗漏非空集合这一几何条件，证明了球面、平面和直圆柱面是唯一满足该条件的完备自收缩子，并推广到自扩张子。
Sp(2)-invariant expanders and shrinkers in Laplacian flow
本文研究 Laplacian 流中 Sp(2)-不变扩张子的分类与渐近锥性质，并猜想存在 SU(3)-不变扩张子，暗示流可实现拓扑手术。
We study the Morse index of self-shrinkers for the mean curvature flow and, more generally, of $f$-minimal hypersurfaces in a weighted Euclidean space endowed with a convex weight. When the hypersurface is compact, we show that the index is bounded from below by an affine function of its first Betti number. When the first Betti number is large, this improves index estimates known in literature. In the complete non-compact case, the lower bound is in terms of the dimension of the space of weighted square summable $f$-harmonic $1$-forms; in particular, in dimension $2$, the procedure gives an in…
Volume Growth of Self-Shrinkers of the $Q_k$-Flow in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文建立无曲率假设的完备黎曼流形体积估计，证明欧几里得空间中一类可定向超曲面（含 $Q_k$-流自收缩子和特定极小超曲面）具有至多多项式体积增长和有限加权体积。
The Weyl Law Meets Large-Scale Regularity on Ricci Shrinkers
本文证明完备梯度Ricci收缩子具有大规模正则性，并由此推出其加权拉普拉斯算子满足经典Weyl定律。
Existence of self-shrinkers to the degree-one curvature flow with a rotationally symmetric conical end
给定一个光滑的、对称的、齐次的一次函数$f\left(λ_{1},\cdots,\,λ_{n}\right)$，对所有的$i=1,\cdots,\,n$都满足$\partial_{i}f>0$，并且在$\mathbb{R}^{n+1}$中有一个旋转对称的锥$\mathcal{C}$，我们证明了存在一个$f$自收缩器（即，满足$f\left(κ_{1},\cdots,\,κ_{n}\right)+\frac{1}{2}X\cdot N=0$的$\mathbb{R}^{n+1}$中的超曲面$Σ$，其中$X$是位置向量，$N$是单位法向量，和$κ_{1},\cdots,\,κ_{n}$是$Σ$的主曲率），其在无穷远处渐近于$\mathcal{C}$。
Horo-shrinkers in the hyperbolic space
本文研究双曲空间中由等距单参数群不变的 horo-shrinkers，刻画全测地平面为双曲平移不变情形，证明 grim reapers 的周期性，并完整分类球面旋转不变情形。
As is well known, self-similar solutions to the mean curvature flow, including self-shrinkers, translating solitons and self-expanders, arise naturally in the singularity analysis of the mean curvature flow. Recently, Guo \cite{Guo} proved that $n$-dimensional compact self-shrinkers in $\mathbb{R}^{n+1}$ with scalar curvature bounded from above or below by some constant are isometric to the round sphere $\mathbb{S}^n(\sqrt{n})$, which implies that $n$-dimensional compact self-shrinkers in $\mathbb{R}^{n+1}$ with constant scalar curvature are isometric to the round sphere $\mathbb{S}^n(\sqrt{n}…
First eigenvalue and nodal domains of the drift Laplacian on symmetric self-shrinkers in $\mathbb{R}^3$
本文利用二面体或棱柱对称性，证明 $\mathbb{R}^3$ 中相应完备嵌入自收缩子的漂移 Laplace 算子第一特征值恒为 $1/2$。
Uniqueness of Self-similar Shrinkers with Asymptotically Conical Ends
设$C\subset\mathbb{R}^{n+1}$是一个顶点位于原点的正则锥。本文证明了$\mathbb{R}^{n+1}$中光滑适当嵌入的自缩端的唯一性，即渐近于$C$ .作为应用，我们证明了不是每一个顶点在原点的正则锥都有光滑的完全恰当嵌入自收缩渐近。
The Logarithmic Sobolev inequality on non-compact self-shrinkers
本文利用 ABP 方法将 Brendle 关于闭自收缩子的最优对数 Sobolev 不等式推广到欧氏空间中完备、非紧、适当嵌入的自收缩子，得到 Ecker 结果的尖锐版本。
Inverse Hessian Curvature Flow in Minkowski Space II: The Dirichlet problem at infinity
本文研究闵可夫斯基空间中非紧致类空严格凸超曲面的逆σ_k曲率流，证明其存在整体解且归一化后收敛到对应唯一自收缩子，丰富了非紧致情形下自收缩子的相关理论。
Complete $λ$-submanifolds in Gauss spaces
本文研究高斯空间中任意余维数的 λ-子流形，利用散度型定理和 Simons 型恒等式证明半空间型定理与间隙定理，将自收缩子和 λ-超曲面的相关结果推广到 λ-子流形。
Li-Yau Conformal Volume and Colding-Minicozzi Entropy of Self-Shrinkers
本文利用自收缩子的归一化 Li-Yau 共形体积给出不依赖余维且对平面尖锐的 Colding-Minicozzi 熵下界，并借此验证实射影平面情形的相关猜想。
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