完备自收缩子的分类

中文摘要 AI 辅助

设 $X:M^n\to\R^{n+1}$ 为一个 $n$ 维完备自收缩子。我们获得了具有正常数数量曲率的完备自收缩子的完整分类。更精确地，我们证明了圆球 $S^n(\sqrt n)$ 和标准广义柱面 $S^k(\sqrt k)\times \R^{n-k}$（其中 $2\leq k\leq n-1$）是仅有的具有正常数数量曲率的完备自收缩子。关键困难在于刻画 Cheng-Li-Wei \cite{CLW} 中的剩余情形：$R>0$，$S<1$，且 $\sup_M S=1$，其中 $R$ 和 $S$ 分别表示数量曲率和第二基本形式的平方范数。对于这种情形，广义最大值原理似乎难以产生有用信息。为了克服这一实质性困难，我们的关键要素是获得 Bakry-Émery Ricci 曲率的一致正下界，从而可以利用 Wei-Wylie \cite{WeiWylie} 的比较定理来得出高斯体积是有限的。此外，我们还给出了关于 $S$ 的间隙定理。

英文摘要

Let $X:M^n\to\R^{n+1}$ be an $n$-dimensional complete self-shrinker. We obtain a complete classification of complete self-shrinkers with positive constant scalar curvature. More precisely, we prove that the round sphere $S^n(\sqrt n)$ and the standard generalized cylinder $S^k(\sqrt k)\times \R^{n-k}$ for $2\leq k\leq n-1$ are the only complete self-shrinkers with positive constant scalar curvature. The key difficulty is to characterize the residual case in Cheng-Li-Wei \cite{CLW}: $R>0$, $S<1$, and $\sup_M S=1$, where $R$ and $S$ denote the scalar curvature and the squared norm of the second fundamental form, respectively. For this case, it seems a hard task that the generalized maximum principle yields a useful information. In order to overcome this substantial difficulty, our key ingredient is to get a uniform positive lower bound for the Bakry-Émery Ricci curvature so that we can make use of the comparison theorem of Wei-Wylie \cite{WeiWylie} to conclude that the Gaussian volume is finite. Furthermore, the gap theorems on $S$ are given.

发表机构

• Chongqing University of Technology（重庆理工大学）
• Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
• South China Normal University（华南师范大学）

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