任意余维数中 Ricci 受控的完备自收缩子的刚性
Rigidity of Ricci-Pinched Complete Self-Shrinkers in Arbitrary Codimension
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中文总结 AI 辅助
本文证明任意余维数中满足 Ricci 下界条件的完备自收缩子必为线性子空间或圆球，并给出余维数二时的尖锐刚性定理。
中文摘要 AI 辅助
设 $M$ 是 $\mathbb{R}^{n+p}$ 中的 $n$ 维完备连通自收缩子。记 $\operatorname{Ric}$ 和 $\mathbf{H}$ 分别为 $M$ 的 Ricci 曲率张量和平均曲率向量。我们证明：若自收缩子 $M$ 满足 $\operatorname{Ric}\ge(\frac{n-2}{n^2}+\varepsilon_n)|\mathbf{H}|^2g$，则 $M$ 要么是线性子空间，要么是圆形的收缩球面，其中 $\varepsilon_n$ 是一个显式正常数，等于 $\frac{1}{3n^2}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$。此外，我们对于满足 $\operatorname{Ric}\ge\frac{n-2}{n^2}|\mathbf{H}|^2g$ 的自收缩子，得到了在余维数为二时是尖锐的刚性定理。
英文摘要
Let $M$ be an $n$-dimensional complete connected self-shrinker in $\mathbb{R}^{n+p}$. Denote by $\operatorname{Ric}$ and $\mathbf{H}$ the Ricci curvature tensor and the mean curvature vector of $M$, respectively. We prove that if the self-shrinker $M$ satisfies $\operatorname{Ric}\ge(\frac{n-2}{n^2}+\varepsilon_n)|\mathbf{H}|^2g$, then $M$ is either a linear subspace or a round shrinking sphere, where $\varepsilon_n$ is an explicit positive constant equal to $\frac{1}{3n^2}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)$. Moreover, we obtain a rigidity theorem that is sharp in codimension two for the self-shrinker satisfying $\operatorname{Ric}\ge\frac{n-2}{n^2}|\mathbf{H}|^2g$.
发表机构
- School of Mathematics, Hangzhou Normal University（杭州师范大学数学学院）
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