Immersed self-shrinkers
Gregory Drugan, Stephen J. Kleene
我们构造无限多个完整的，沉浸式的自收缩与旋转对称的以下拓扑型：球，平面，圆柱，和环面。
We construct infinitely many complete, immersed self-shrinkers with rotational symmetry for each of the following topological types: the sphere, the plane, the cylinder, and the torus.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An immersed $S^2$ self-shrinker
我们构建了一个浸入式和非嵌入式$S^2$自收缩。
Rigidity and gap results for low index properly immersed self--shrinkers in $\mathbb{R}^{m+1}$
本文证明了在具有Morse指数$1$的$\mathbb{R}^{m+1}$中，唯一适当浸入的自收缩子$Σ$是通过原点的超平面.此外，我们证明了，如果$Σ$是不是一个超平面通过原点，然后指数跳跃，它至少是$m+2$，与平等的当且仅当$Σ$是一个圆柱$\mathbb{R}^{m-k}\times \mathbb{S}^{k}(\sqrt{k})$的一些$1\leq k\leq m-1$。
We study integral and pointwise bounds on the second fundamental form of properly immersed self-shrinkers with boundedHA. As applications, we discuss gap and compactness results for self-shrinkers.
Geometric properties of self-shrinkers in cylinder shrinking Ricci solitons
本文证明了自收缩孤子在梯度收缩Ricci孤子中漂移拉普拉斯算子的一些谱性质。然后利用这些结果证明了自收缩算子的一些几何性质。例如，我们描述了一个集合的域在周围的空间，不能包含自收缩。
Rigidity of Immersed Gauss Curvature Shrinkers in Euclidean Space
该研究证明，对任意$m\geq2$，满足$K=\langle X,\nu\rangle$的连通闭定向光滑浸入必为单位球面上的嵌入，通过分析极浸入与面积测度完成刚性分类。
Halfspace type Theorems for Self-Shrinkers
本文将经典的Hoffman-Meeks半空间定理推广到自收缩空间，即：“设$P $是通过原点的超平面.由$P$确定的封闭半空间之一中包含的唯一适当浸入的自收缩剂$Σ$是$Σ= P$。“我们的证明是几何的，并使用Kleene-Moller发现的悬链型超曲面。此外，使用类似的几何思想，我们得到的唯一完整的自收缩适当地浸入一个封闭的圆柱体$ \overline{B ^{k+1} (R)} \times \mathbb{R}^{n-k}\subset \mathbb R^{n+1}$，对于一些$k\in \{1, \ldots ,n\}$和半径$R$，$R \leq \sqrt{2k}$，是圆柱体$\mathbb S ^k (\sqrt{2k}) \times \mathbb{R}^{n-k}$。对于$λ-$超曲面，我们也推广了上述结果.
Volume estimate about shrinkers
本文给出了完备非紧黎曼流形上势函数水平集体积增长的精确估计。作为应用，我们得到了完全非紧自收缩孤子和梯度收缩Ricci孤子的体积增长率。我们还证明了欧几里得空间中加权体积有限性、多项式体积增长性和浸入自收缩器的适当性的等价性。
Entropy Bounds for Self-shrinkers with Symmetries
本文为两类闭自收缩子（嵌入闭自收缩子与紧致非球面浸入旋转对称自收缩子）导出显式熵界，推广了已有结果。
Volume Growth of Self-Shrinkers of the $Q_k$-Flow in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文建立无曲率假设的完备黎曼流形体积估计，证明欧几里得空间中一类可定向超曲面（含 $Q_k$-流自收缩子和特定极小超曲面）具有至多多项式体积增长和有限加权体积。
Lagrangian F-stability of closed Lagrangian self-shrinkers
本文研究了复欧几里得空间中闭Lagrange自收缩算子的Lagrange F-稳定性。证明了第一个贝蒂数大于1的闭Lagrange自收缩算子是Lagrange F-不稳定的。特别地，任何二维嵌入闭拉格朗日自收缩子都是拉格朗日F-不稳定的。对于第一贝蒂数等于1的闭Lagrange自收缩系统，证明了Lagrange F-稳定性等价于Hamilton F-稳定性.利用扭拉普拉斯算子的谱性质刻画了闭拉格朗日自收缩算子的Hamilton F-稳定性。
Rigidity theorems for complete Legendrian self-shrinkers
本文通过估计加权体积得到Legendrian自收缩子的最优体积增长，进而导出标准接触欧几里得(2n+1)空间中整体光滑Legendrian自收缩子的刚性定理。
We show that two properly embedded self-shrinkers in Euclidean space that are sufficiently separated at infinity must intersect at a finite point. The proof is based on a localized version of the Reilly formula applied to a suitable f-harmonic function with controlled gradient. In the immersed case, a new direct proof of the generalized half-space property is also presented.
Uniqueness of Asymptotically Conical Higher Codimension Self-Shrinkers and Self-Expanders
本文证明了渐近于同一锥的高余维自收缩子唯一且以单位重数收敛，并给出自扩张子在此条件下像重合的唯一性结果。
Rigidity Results for Spacelike Self-Shrinkers via Different Maximum Principles
本文在伪欧几里得空间$\mathbb{R}^{n+p}_p$中，利用不同版本的Omori--Yau型最大值原理，在平均曲率向量或第二基本形式有界的条件下，证明类空自收缩子必为类空超平面，为其分类提供了刚性结果。
A maximum principle for self-shrinkers and some consequences
利用中曲率流的自收缩器的最大值原理，给出了旋转对称紧致自收缩器的刚性定理的新证明和自收缩器渐近性态的一个结果.这种比较论证也暗示了在自然假设下自收缩曲面的第二基本型的线性界。因此，翻译孤子可以与这些自收缩。
Classification and Analysis of Mean Curvature Flow Self-Shrinkers
研究了多项式增长的中曲率流自收缩超曲面。已知这种自收缩剂是不稳定的。我们主要关注$\mathbb S^k\times\R^{n-k}\subset \R^{n+1}$形式的自收缩剂。我们利用稳定性算符和量子谐振子哈密顿量之间的联系，找到了这些自收缩体上稳定性算符的所有本征值和本征函数。我们还证明了这种形式的自收缩曲面的指数比所有其他完全自收缩超曲面的指数都要低。特别地，它们具有有限指数。这意味着这种自收缩剂的端部必须是稳定的。我们寻找这些自我收缩的最大稳定区域。
A survey of closed self-shrinkers with symmetry
在本文中，我们调查已知的结果封闭自收缩的中曲率流和讨论的技术用于最近的建设封闭的自收缩与经典的旋转对称。我们还提出了新的存在性和唯一性问题的封闭的自收缩与双旋转对称性，并提供数值证据的存在性的新的例子。
Classification of quadratically pinched self-shrinkers in higher codimension
本文在高维余维下，通过椭圆方法对满足二次压缩条件的自收缩曲面进行分类，并改进了相关压缩常数。
The rigidity theorems of self shrinkers
利用极小子流形理论中的某些思想，研究了自收缩算子的刚性问题。证明了自收缩器的第二基本型的平方范数在逐点条件和积分条件下的刚性结果。
In this note we show that compact self shrinkers in $\mathbb{R}^3$ are "topologically standard" in that any genus $g$ compact self shrinker is ambiently isotopic to the standard genus $g$ embedded surface in $\mathbb{R}^3$. As a consequence self shrinking tori are unknotted.
Smooth compactness of self-shrinkers
证明了$\RR^3$中嵌入自收缩空间的光滑紧性定理。由于自收缩器是对中曲率流中的奇点进行建模的，因此该定理可以看作是所有奇点空间的一个紧性结果，它在研究一般的中曲率流中起着重要的作用.
Complete self-shrinkers confined into some regions of the space
我们研究了完备非紧有界自收缩曲面的几何性质，得到了使这些超曲面成为紧的自然限制条件。此外，我们观察到，在一定程度上，完全的自收缩相交的超平面通过原点。当这样的交集是紧凑的，我们推导出光谱信息的自然漂移拉普拉斯相关的自收缩。这些结果对于验证H. D. Cao关于完全自收缩体的多项式体积增长。对于自收缩体被限制在圆柱形制品中的情况，给出了有限强最大值原理。
In this note we first show a compactness theorem for rotationally symmetric self shrinkers of entropy less than 2, concluding that there are entropy minimizing self shrinkers diffeomorphic to $S^1 \times S^{n-1}$ for each $n \geq 2$ in the class of rotationally symmetric self shrinkers. Assuming extra symmetry, namely that the profile curve is convex, we remove the entropy assumption. Supposing the profile curve is additionally reflection symmetric we show there are only finitely many such shrinkers up to rigid motion.
The purpose of this paper is to study complete self-shrinkers of mean curvature flow in Euclidean spaces. In the paper, we give a complete classification for 2-dimensional complete Lagrangian self-shrinkers in Euclidean space $\mathbb R^4$ with constant squared norm of the second fundamental form.
A Gap Theorem for Self-shrinkers of the Mean Curvature Flow in Arbitrary Codimension
本文证明了任意余维下具有$|A|^2\le 1$的中曲率流的自收缩子的分类定理。特别是，这意味着一个间隙定理的自收缩在任意余维。
An eigenvalue estimate for self-shrinkers in a Ricci shirinker
本文研究Ricci收缩孤立子中超曲面上漂移拉普拉斯算子的谱性质，证明了有界加权平均曲率浸入超曲面的谱离散性，并给出嵌入f-极小超曲面第一非零特征值的下界，推广了Choi-Wang等经典估计。
One dimensional solutions of the $λ$-self shrinkers
本文研究了1维$λ$ -自收缩算子的解，证明了对于一定的$λ<0$，存在一些封闭的嵌入解而不是圆。
Complete self-shrinkers with bounded the second fundamental form in $\mathbb{R}^{n+1}$
本文研究 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中完备适当浸入自收缩子，证明第二基本形式模长平方有界且不小于 1 时必恒等于 1，并分类了模长平方为常数的情形，解决了 Cheng 和 Wei 提出的猜想。
In this paper, we present a sufficient condition for finite Morse index of complete properly self-shrinkers. We prove that a complete properly embedded self-shrinker in $\mathbb{R}^{n+1}$ with finite asymptotically conical ends or asymptotically cylindrical ends must have finite Morse index. Moreover, as an application of this result, we show that a complete properly embedded self-shrinker in $\mathbb{R}^3$ with finite genus has finite Morse index.
A Bernstein type result for graphical self-shrinkers in $\mathbb{R}^4$
自收缩曲面是中曲率流研究中的重要几何对象，而Bernstein定理是极小曲面理论中最有意义的结果之一。证明了$\mathbb{R}^4$中余维为2的图自收缩曲面的Bernstein型结果.即在从$\mathbb{R}^2$到$\mathbb{R}^2$的任意光滑映射的雅可比矩阵上的一定自然条件下，证明了该映射的自收缩图必是仿射线性的.证明依赖于图自收缩器的平行形式的结构方程的推导，以及与这些Jacobian条件相关的自收缩器上的一些正函数的存在性。
In this paper, we generalize some halfspace type theorems for self-shrinkers of codimension 1 to the case of arbitrary codimension.
Complete self-shrinkers of the mean curvature flow
研究欧几里得空间中的完备自收缩子是本文的目的。通过引入$\mathcal{L}$ -算子的一个广义最大值原理，在不对\emph{polynomial volume growth}作任何假设的情况下，给出了自收缩算子的第第二基本型的平方范数的上确界和下确界的估计.这样，我们就可以在不对\emph{polynomial volume growth}作任何假设的情况下得到完备自收缩算子的刚性定理.对于2维和3维的完全真自收缩子，在第二基本型的常平方范数的假设下，给出了它们的一个分类.
Volume growth, eigenvalue and compactness for self-shrinkers
本文受Yau \cite{SY}关于单位球面上极小超曲面的第一特征值猜想的启发，给出了自收缩体的最优体积增长，并估计了自收缩体上$\mathcal{L}$算子的第一特征值的一个下界.利用特征值估计，在较弱的条件下证明了Colding-Minicozzi关于$\ir{3}$中一类紧自收缩算子的紧性定理.
The Clifford torus as a self-shrinker for the Lagrangian mean curvature flow
我们提供了几个刚性的Clifford环面类的紧凑的自收缩拉格朗日中曲率流的结果。
Classification and rigidity of self-shrinkers in the Mean curvature flow
本文首先用Colding和Minicozzi [5]的方法证明了K。Smoczyk的分类定理[16]在更弱的条件下也成立。作为应用，我们给出了任意余维自收缩算子的刚性结果。
2-dimensional complete self-shrinkers in $\mathbf{R}^3$
研究欧几里得空间中的完备自收缩子是本文的目的。首先，我们展示了一些没有多项式体积增长的完全自收缩的例子。利用$\mathcal{L}$ -算子的广义最大值原理，给出了$\mathbb R^3$中第第二基本型具有常平方范数的二维完全自收缩算子的完全分类.在\cite{DX2}中，Ding和Xin在多项式体积增长的假设下证明了这一结果，这在我们的定理中被删除了。
Lower volume growth estimates for Self-shrinkers of mean curvature flow
得到了中曲率流的完全非紧自收缩体的一个Calabi-Yau型较低体积增长估计，更精确地说，每个完全非紧适当浸入的自收缩体至少具有线性体积增长.
In this paper, we prove that the closed Lagrangian self-shrinkers in $\mathbb{R}^4$ which are symmetric with respect to a hyperplane are given by the products of Abresch-Langer curves. As a corollary, we obtain a new geometric characterization of the Clifford torus as the unique embedded closed Lagrangian self-shrinker symmetric with respect to a hyperplane in $\mathbb{R}^4$.
In this paper, we classify $3$-dimensional complete self-shrinkers in Euclidean space $\mathbb R^{4}$ with constant squared norm of the second fundamental form $S$ and constant $f_{4}$.
The space of compact self-shrinking solutions to the Lagrangian Mean Curvature Flow in $\mathbb C^2$
设$F_n :(Σ, h_n) \to \mathbb C^2$是共形浸入的拉格朗日自收缩函数序列，其面积上界为中曲率流，并假设度量序列$\{h_n\}$光滑收敛到黎曼度量$h$ .我们证明了$\{F_n\}$的一个子序列光滑地收敛到一个分支的共形浸入拉格朗日自收缩器$F_\infty : (Σ, h)\to \mathbb C^2$。当面积界限小于$16π$时，极限$F_\infty$是嵌入环面。当$Σ$的亏格为1时，我们可以放弃关于收敛$h_n\to h$的假设。当$Σ$的亏格为零时，证明了$Σ$作为拉格朗日收缩子不存在分支浸入，推广了Smoczyk的刚性结果.
We show that the product of two round shrinking spheres is an isolated self-shrinker in any codimension, modulo rotations. Moreover we prove explicit Łojasiewicz inequalities near such products. Łojasiewicz inequalities were previously used by Schulze to prove uniqueness of tangent mean curvature flows at compact shrinkers; our results provide an explicit rate of convergence to products of two spheres.
New characterizations of the Clifford torus as a Lagrangian self-shrinker
本文给出了Clifford环面作为拉格朗日自收缩体的几个新的刻画。我们首先证明了Clifford环面$\mathbb{S}^1(1)\times\mathbb{S}^1(1)$是$\mathbb{C}^2$中唯一的紧可定向拉格朗日自收缩子，并给出了$|A|^2\leq 2$，从而肯定地回答了Castro-Lerma猜想.我们还证明了Clifford环面是$\mathbb{C}^2$中唯一的具有非负或非正高斯曲率的紧可定向嵌入拉格朗日自收缩环。
Self-Shrinkers With Second Fundamental Form of Constant Length
本文对{ \cite{DX1} }中的一个结果给出了一个新的简单的证明：对于某些$\mathbb{R}^3$中任何具有等长第二基本型的光滑完全自收缩器必是广义柱$\mathbb{S}^k \times \mathbb{R}^{2-k}$.此外，我们证明了一个间隙定理光滑自收缩在所有维度。
A gap theorem of self-shrinkers
本文研究了欧几里得空间中的完备自收缩子，证明了如果第第二基本型的平方范数$S$为常数且满足$S<(10/7)$，则欧几里得空间中具有多项式体积增长的$n$维完备自收缩子$\mathbb{R}^{n+1}$与$\mathbb{R}^{n}$，$S^{n}(\sqrt{n})$或$\mathbb{R}^{n-m}\times S^m (\sqrt{m})$，$1\leq m\leq n-1$等距.
Noncompact self-shrinkers for mean curvature flow with arbitrary genus
本文利用 min-max 方法严格证明了 Ilmanen 关于任意亏格非紧自收缩子存在的猜想，并在大亏格情形下证实其恰有一个渐近锥形端，同时给出奇数亏格双端情形的数值证据。
We construct Gaussian Harmonic forms of finite Gaussian weighted $L^2$-norm on non-compact surfaces that detect each asymptotically conical end. As an application we prove an extension of the index estimates of self-shrinkers in $[11]$ under the existence of such ends. We show that the Morse index of a self-shrinker is greater or equal to $\frac{2g+r-1}{3}$, where $r$ is the number of asymptotically conical ends.
In this paper, we study complete self-shrinkers in Euclidean space and prove that an $n$-dimensional complete self-shrinker in Euclidean space $\mathbb{R}^{n+1}$ is isometric to either $\mathbb{R}^{n}$, $S^{n}(\sqrt{n})$, or $S^k (\sqrt{k})\times\mathbb{R}^{n-k}$, $1\leq k\leq n-1$, if the squared norm $S$ of the second fundamental form, $f_3$ are constant and $S$ satisfies $S<1.83379$. We should remark that the condition of polynomial volume growth is not assumed.
On a classification theorem for self-shrinkers
推广了T。Colding和W. Minicozzi，用关于第二基本型的范数的加权$L^2$条件代替关于多项式体积增长的假设。我们的方法采用加权流形的观点，也允许恢复和扩展一些其他最近的分类和间隙的结果自收缩。
Some results on space-like self-shrinkers
研究了伪欧几里得空间$\ir{m+n}_m$中维数为$n$的类空自收缩子，其指标为$m$ .我们推导了基本几何量的漂移拉普拉斯算子，并得到了它们的体积在伪距离函数中的估计。最后，我们证明了在小增长条件下，关于高斯映射的像或中曲率的一个刚性结果。
Self-shrinkers of the mean curvature flow in arbitrary codimension
对于维数大于1的超曲面，Huisken证明了具有正标量中曲率的中曲率流的紧致自收缩体是球面。我们将证明以下扩展：一个紧致的自相似的解决方案在任意余维和维数大于1是球形的，即包含在一个球，当且仅当中曲率向量\be H \ee是非零的和主法线\be ν \ee是平行的正常丛。我们还给出了这类完全非紧自收缩子的一个分类。
Estimates on scalar curvature of self-shrinkers
本文研究了欧几里得空间R^{n+1}中n维自缩器的标量曲率，证明了当标量曲率为正常数时，标量曲率R满足0<R≤n-1，并对具有非负常数标量曲率的完整自缩器进行了分类，还研究了具有常数平方法向曲率形式的自缩器，并部分解决了关于具有常数平方法向曲率形式的自缩器的猜想。
Łojasiewicz inequalities, uniqueness and rigidity for cylindrical self-shrinkers
该研究针对平均曲率流的一类柱形自收缩子建立Łojasiewicz不等式，证明对应奇点爆破的唯一性与这类柱体的孤立性，解答了Colding-Minicozzi的相关猜想，其直接微扰分析方法对圆柱情形也具创新性。
Gaussian-Weighted Curvature Gaps for Self-Shrinkers
本文利用法坐标函数和加权Poincaré不等式，证明嵌入自收缩子高斯加权L²曲率积分的下界，并结合熵间隙定理得到非球面闭自收缩子的严格曲率间隙，在二维情形推广到完整嵌入自收缩子。
On the rigidity of mean convex self-shrinkers
自收缩模型的奇异性的中曲率流，他们被定义为特殊的解决方案，合同下的流动相似。Colding-Ilmanen-Minicozzi证明了圆柱形的自收缩体在很强的意义上是刚性的--也就是说，任何自收缩体都是凸的，在一个大的但紧凑的集合上具有一致的有界曲率，它必须是一个圆柱体。利用这个结果，Colding和Minicozzi能够建立在圆柱奇点处爆破的唯一性，并提供了一般中曲率流的奇异集的详细描述。在本文中，我们表明，有界曲率假设是不必要的圆柱的刚度，如果n是最多6，或如果中曲率是有界以下由一个正常数。这些结果遵循曲率估计，我们证明严格平均凸自收缩。我们还得到了一个刚性定理在所有尺寸的图形自收缩，和曲率估计的翻译的中曲率流。
Rigidity and Curvature Estimates for Graphical Self-shrinkers
自收缩器是在中曲率流动下相似收缩的超曲面;这些孤子模拟了流动的奇异性。目前已知一个整自缩图必是一个超平面。在本文中，我们表明，超平面是刚性的，在更强的意义上，即：对于$2 \leq n \leq 6$，任何光滑，完整的自收缩$Σ^n\subset\mathbf{R}^{n+1}$，这是图形内的一个大的，但紧凑的，必须是一个超平面。事实上，这种刚性存在于更大的一类几乎稳定的自收缩体中。本文的一个关键组成部分是采购的线性曲率估计几乎稳定的收缩，这是负责对$n$的限制这一步。我们的方法也产生一致的曲率界的平移孤子的中曲率流。
A rigidity theorem on the second fundamental form for self-shrinkers
本文放宽了自收缩子第二基本形式积分条件的界至任意有限常数，推广了先前刚性定理。
Entropy Bounds, Compactness and Finiteness Theorems for Embedded Self-shrinkers with Rotational Symmetry
本文研究了具有旋转对称性的嵌入自收缩超曲面，推导了熵界，并证明了此类收缩器的紧性和有限性定理。
In this paper, we completely classify $3$-dimensional complete self-shrinkers with constant norm $S$ of the second fundamental form and constant $f_{3}$ in Euclidean space $\mathbb R^{4}$, where $h_{ij}$ are components of the second fundamental form, $S=\sum_{i,j}h^{2}_{ij}$ and $f_{3}=\sum_{i,j,k}h_{ij}h_{jk}h_{ki}$.
The Rigidity Theorems of Self Shrinkers via Gauss maps
通过对高斯映射下的象的限制，研究了欧几里得空间中自收缩算子的刚性结果。目标流形的几何性质起作用。在自收缩超曲面情形下，定理3.1和定理3.2不仅改进了已有的结果，而且是最优的。在高余维情况下，利用高斯映射的目标流形（Grassmanian流形）的几何性质，给出了自缩图的刚性定理。
A gap Theorem on closed self-shrinkers of mean curvature flow
本文针对平均曲率流的任意余维数 n 维闭自收缩子建立第二基本形式拼挤条件，证明满足该界时必为标准球面，为相关开放问题提供证据。
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