Homotopy ribbon concordance and Alexander polynomials
Stefan Friedl, Mark Powell
我们证明了，如果3-球面中的链J是与链L同伦带协调的，则L的Alexander多项式整除J的Alexander多项式。
We show that if a link J in the 3-sphere is homotopy ribbon concordant to a link L then the Alexander polynomial of L divides the Alexander polynomial of J.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Concordance of links with identical Alexander invariants
J. Davis证明了3-球面中链路的拓扑协调类是由其Alexander多项式唯一确定的，对于Alexander多项式为1的2-分量链路。对于亚历山大多项式为1的纽结，M.弗里德曼我们证明，这两种情况下是唯一的例外情况下，通过显示的链接和谐类是不确定的亚历山大不变量在任何其他情况下。
Knot Floer homology obstructs ribbon concordance
证明了由带协调诱导的纽结弗洛尔同调上的映射是内射的.作为结果，我们证明了Seifert亏格是单调下的带状和谐。我们还推广了Gabai关于带连通和下Seifert亏格的超可加性的一个定理。我们的结果证明了戈登的猜想，丝带和谐是一个偏序集的结。
Ribbon concordance of knots is a partial order
在这篇文章中，我们证明了带状和谐形成了一个偏序上的一组结，回答了戈登的一个问题。证明中利用了纽结群对$SO(N)$的表示变体以及它们之间由带状协调所引起的关系。
Knot Floer homology and strongly homotopy-ribbon concordances
证明了由强同伦带协调诱导的纽结弗洛尔同调上的映射是内射的。
0-concordance of knotted surfaces and Alexander ideals
本文利用Alexander理想给出了$S^4$中纽结曲面0-协调的一个新的障碍。我们用它来证明存在无穷多个线性无关0-和谐类，并提供了第一个证明，2-节的子幺半群不是一个群体。主要结果是Alexander理想诱导了$S^4$中定向曲面结点的0-协调幺半群$\mathscr{C}_0$到$\mathbb{Z}[t^{\pm1}]$的理想类幺半群的同态.因此，任何具有非主Alexander理想的曲面纽结都不是0-切片的，事实上，在$\mathscr{C}_0$中是不可逆的。列举了许多实例。我们还刻画了理想是理想的表面结，推广的Kinoshita定理，并推广结行列式的情况下，非主理想。最后，我们证明了在纽结群的一个较弱的条件下，纽结曲面的周边子群也是0-协调不变量。
Khovanov homology and ribbon concordance
我们表明，两个链接之间的带状和谐诱导Khovanov同调的内射映射。
Homotopy ribbon concordance, Blanchfield pairings, and twisted Alexander polynomials
我们建立同伦丝带和谐障碍来自Blanchfield形式和Levine-Tristram签名。然后，作为扭曲的亚历山大多项式的应用，我们证明了，对于每个结K与非平凡的亚历山大多项式，存在一个无限的家庭的结都是和谐的K，并有相同的Blanchfield形式的K，使没有对在该家庭的结是同伦带和谐。
Concordance Crosscap Numbers of Knots and the Alexander Polynomial
对于一个纽结K，协调交叉数c（K）是所有与K协调的纽结中的最小交叉数。在G. Zhang等人研究了c（K）< 2的纽结的行列式，我们应用Alexander多项式构造了c（K）< 2的新的代数障碍。除了先前已知的c（K）< 2的低交叉数结外，障碍适用于所有11个或更少交叉的四个素数结。
Ribbon concordance and cabling
本文提出关于 ribbon concordance 与缆化纽结的猜想，证明其在特定情形成立，运用纽结 Floer 同调的最小高度不变量，还得到相关亏格界，为纽结理论研究提供新结论。
Braid closure union braid axis is ribbon concordance minimal
研究\(S^3\)中带状协调极小纤维化纽结相关问题，核心方法是运用链环弗洛尔同调与经典技术，主要贡献为证明添加辫子闭包可生成带状协调极小链环及相关推论。
Virtual concordance and the generalized Alexander polynomial
我们使用Bar-Natan Zh-对应来识别虚拟节点的广义Alexander多项式与两个部件焊接连杆的Alexander多项式。我们证明了Zh映射在协调下是函子的，Satoh的Tube映射（从焊接连接到$S^4$中的带状打结环面）在协调下也是函子的.此外，我们扩展了陈，米尔诺和希尔曼的经典结果的下中心序列的链接群的链接在加厚的表面。我们的主要结果是，广义亚历山大多项式为零的任何结增厚的表面，这是和谐的一个同调平凡的结。特别地，这表明它在虚拟切片结上消失。我们应用它来完成计算的切片属的虚拟节点与四个交叉，并确定非sliceness为一些5-交叉和6-交叉虚拟节点。
Link homology theories and ribbon concordances
最近几位作者证明了带状协调在分支双覆盖的纽结弗洛尔同调、Khovanov同调和Heegaard弗洛尔同调中诱导内射映射。我们给出了一个简单的证明类似的声明在一个更一般的设置，其中包括结弗洛尔同调，Khovanov-Rozansky同调，和所有的圆锥强Khovanov-Floer理论。这给出了一个哲学上的答案，一个链接的TQFT的哪些方面使它在丝带一致下内射的问题。
Alexander invariants of ribbon tangles and planar algebras
带状缠结是圆环面和圆柱面在$4$ -球~ $B^4$中的适当嵌入，“绑定”$3$ -流形只有带状盘作为奇点。我们构造了一个亚历山大不变量$\mathsf{A}$的带状缠结配备了一个表示的基本群的外部在一个自由阿尔贝群$G$。这个不变量在缠结的某个范畴$\mathsf{R}ib_G$中诱导了一个函子，它限制了带状编织物的Burau-Gassner表示的外幂，这在本文中类似于通常的编织物。我们定义了一个电路代数$\mathsf{C}ob_G$上的操作的光滑协边，启发由琼斯介绍的图解平面代数，并证明了不变量$\mathsf{A}$与该代数的组成交换。另一方面，丝带缠结承认图解表示，正确焊接图。我们给出了一个简单的组合描述$\mathsf{A}$和代数$\mathsf{C}ob_G$，并观察到，我们的建设是一个拓扑化身的亚历山大不变量的阿奇博尔德。当被限制在没有虚拟交叉的图中时，$\mathsf{A}$提供了一个对通常的亚历山大多项式的纯粹局部描述，并扩展了毕格罗、卡塔布里加和第二作者的构造。
A Fox-Milnor theorem for the Alexander polynomial of knotted $2$-spheres in $S^4$
对于$S^3$中的结，众所周知，带状结的亚历山大多项式对于某个多项式$f(t)$分解为$f(t)f(t^{-1})$。相比之下，带状$2$结的亚历山大多项式一般甚至不是对称的。通过带状$2$ -纽结的另一种概念，给出了$2$ -纽结的一个拓扑条件，该条件蕴涵Alexander多项式的因式分解.
Ribbon concordance and the minimality of tight fibered knots
本文证明了所有紧纤维化纽结在带状合痕构成的偏序集中具有极小性，并给出了除8_15外至多8交叉的素极小纽结表。
Alexander polynomials of simple-ribbon knots
本文给出了简单-带状纽结的亚历山大多项式公式，并利用该公式判定10交叉纽结是否为简单-带状纽结，同时提供了简单-带状纽结同时为m-和n-简单-带状纽结的条件。
Twisted Alexander Polynomials, Ribbon Homology Cobordisms, and the Thurston Norm
本文利用扭转亚历山大多项式证明，若存在从Y_-到Y_+的绳索同调柄结构且Y_-不可约，则Y_-的图松规范单位球包含Y_+的。同时证明Y_+的纤维类对应于Y_-的。
Ribbon concordance of fibered knots and compressions of surface homeomorphisms
研究证明纤维结在丝带同调下单纯体积和扩张率单调，并提供算法用于寻找强同伦丝带同调与给定纤维结相关的结，同时扩展了Casson--Long的定理。
Unknotting number, ribbon concordance, and singular instantons
利用等变奇异瞬子弗洛尔理论，研究通过带状协边得到的切片纽结的解结操作，发现同号解结序列需含两种符号，还给出三维流形类似情况，为德恩手术数单调性提供证据。
Ribbon concordance and fibered predecessors
本研究证明三维球面中任意纽结的带状和谐双曲纤维化纽结及纤维化纽结的带状和谐双曲前继均有限，结合Floer同调与单值群性质完成证明，并推导了这类纽结的体积不等式。
Higher-order Alexander invariants and filtrations of the knot concordance group
我们建立了光滑和拓扑纽结协调群的几个滤子的某些“非平凡性”结果。首先，关于K. Orr，P. Teichner和第一作者，我们通过包含Alexander模的信息来改进Cochran和Teichner最近的非平凡性结果。这些结果也推广了C.利文斯顿和第二作者。我们表现出类似的结构，在密切相关的对称Grope过滤的结和谐组考虑的第一作者和Teichner。我们还表明，Grope过滤的光滑和谐组是不平凡的使用的例子，不能区分的Ozsvath-Szabo tau不变量，也不是由J.拉斯穆森的s-不变量。我们更广泛的贡献是建立，在“相对的情况下”，关键的同源结果，其类似物Cochran-Orr-Teichner建立在“绝对的情况下”。如果K#（-J）是n-可解的，则称两个纽结K和J是模n-协调可解的.我们的主要结果是：对于任何经典Alexander多项式的次数大于2的纽结K，对于任何正整数n，存在无穷多个纽结K_i与K模n-可解性一致，但都是不同的模n.5-可解性.此外，K_i和K共享相同的经典Seifert矩阵和Alexander模，以及共享相同的高阶Alexander模和直到n-1阶的Seifert表示.
Alexander polynomials of equivariant slice and ribbon knots in S^3
本文给出了等变带状纽结的Alexander多项式的一个代数刻划和等变片纽结的Alexander多项式所满足的一个因式分解条件。
Symmetric quandle colorings and ribbon concordance
本文证明Yoshikawa表中的曲面链环$10_1^{-1,-1}$无法被阶为4的对称二面体quandle着色，并揭示了该着色缺失如何阻碍其与可着色链环$8_1^{-1,-1}$间的广义ribbon合痕。
Alexander polynomials of ribbon knots and virtual knots
本文研究了结带结和虚拟结的亚历山大多项式，通过结带的内在奇异性信息确定了结带结的亚历山大多项式，并给出了计算公式，同时定义了半亚历山大多项式并给出了其简化公式。
Obstruction to Equivariant Ribbon Concordance
本文研究周期链环的等变 Khovanov 同调，证明其在等变配边下具函子性，并指出等变带状和谐诱导分裂单射，从而给出等变带状和谐的障碍。
Positive Knots and Ribbon Concordance
本文证明正纽结在带子配边偏序中是最小元且不能表示为非平凡带和，推广了特殊交错纽结的相关定理，并证明配边正纽结在特定条件下具有同构的有理Alexander模，支持每个配边类至多含一个正纽结的猜想。
Khovanov concordance minima and the (4,5) torus knot
研究了 (4,5) 螺旋结的 Khovanov homology 在 concordance 类中的性质，证明其为该类中任意结的 Khovanov homology 的 summand。
The effect of infecting curves on knot concordance
使用卡森-戈登不变量、高阶亚历山大多项式以及冯-诺依曼rho不变量发现了结一致性的各种障碍。已经使用（迭代）加倍运算K=R（c，J）产生了示例，并且将这些视为由基结J和加倍运算符R的不变量参数化。本文介绍了一种新的协调性屏蔽方法。我们证明，通过改变S^3-R中的感染曲线c，可以构造出无穷多个不同的和谐类。不同的和谐类被发现，即使在固定的基础结，加倍运营商，并在亚历山大模块c的顺序。
Knots having the same Seifert form and primary decomposition of knot concordance
我们证明了对于每个Seifert形式的代数切片结与非平凡的亚历山大多项式，存在一个无穷族的结具有的Seifert形式，使节点是线性无关的结和谐组，不和谐的任何结与互质亚历山大多项式。证明的关键成分是Cheeger-Gromov-von Neumann rho-不变量，适用于Cha和Orr开发的群体，以及亚阿贝尔rho-不变量的多项式分裂。
Ribbon concordance and fibered predecessors, II: the general case
本文研究了带状同调下结的纤维化前驱问题，证明每个结只有有限多个纤维化前驱，并通过新的不等式和Kojima-McShane的结果给出了纤维化前驱补集的Gromov范数上界。
Primary decomposition of knot concordance and von Neumann rho-invariants
我们解决的可解过滤和高阶冯诺依曼$ρ$ -不变的Cochran，Orr和Teichner的结和谐组的准素分解。我们证明了，对于一个非负整数n，如果两个互质亚历山大多项式的n-可解结的连接和是切片，那么每个结有消失的冯诺依曼$ρ$ -不变量的顺序n。这给出了积极的证据的猜想，互质亚历山大多项式的非切片结是不协调的。作为应用，我们证明了如果K是第一个Casson-Gordon不变量为零的非切片纽结的例子Cochran-Orr-Teichner纽结，则K不与任何Alexander多项式与K互质的纽结协调.
Primary decompositions of knot concordance
对于所有n > 0，存在从2n + 1维纽结的光滑协调群到代数定义的称为有理代数协调群的群的同态。这个代数和谐群分裂为由多项式索引的群的直和。当n > 1时，同态是单射的。这导致了所谓的结协调的准素分解定理。在经典维中，这个同态的核包括拓扑切片结点的光滑协调群，而车宰春已经开始研究这个子群的可能的准素分解。这里我们将证明强类型的准素分解不存在。更详细地说，它表明，存在一个拓扑切片纽结K，有一个因子分解的亚历山大多项式为f（t）g（t），其中f（t）和g（t）是互素，每一个是一个拓扑切片纽结的亚历山大多项式，但K是不光滑协调的任何连接和的一对纽结亚历山大多项式f（t）和g（t）。
On the rank of knot homology theories and concordance
对于带结，一个民间猜想是它的结弗洛尔同调的秩必为1模8，另一个民间猜想是关于约化Khovanov同调的秩必为1模8。我们给出了第一个反例，这两个民间textures，但在同一时间提出令人信服的证据，新textures，这些同源性必须有秩全等1模4的任何丝带结。我们证明，每个修订的猜想是相当于表明，采取的同源模4的秩给出了一个同态的结和谐群。我们检查了240万个丝带结的修正图，并证明它们适用于熔合数为1的丝带结。
Ribbon Homology Cobordisms and Link Floer Homology
我们利用链接弗洛尔同调来研究嵌入在4维带状同源配边中的链接之间的配边。结合Daemi-Lidman-Vela-Vick-Wong和Zemke的结果，我们表明带状同源一致性诱导$\mathcal{HFL}^-$上的分裂注射。我们还利用$\text{HFL}^-$的挠子模来限制带状同源一致性中临界点的数目。
Smooth concordance of links topologically concordant to the Hopf link
吉姆·戴维斯证明了一个2-分量链与一个亚历山大多项式链在拓扑上是一致的。在本文中，我们表明，有一个2-分量的链接与亚历山大多项式之一，有unknotted组件，并不顺利和谐的霍普夫链接，回答了一个问题的吉姆戴维斯。我们构建了无穷多个协调类的链接，并表明，他们有更强的性能不顺利和谐的Hopf链接与结绑在组件。
The fundamental quandle of ribbon concordances
本文研究了结带同调的基底，通过拓扑定义推导了其在 motion picture diagram 或 CH-diagram 中的呈现，并证明了 ribbon concordance 给出的 quandle 同态性质。
Ribbon concordance of surface-knots via quandle cocycle invariants
通过引入曲面纽结的上循环不变量的一个新的变形，并利用已知的不变量，给出了曲面纽结与另一曲面纽结是带状协调的必要条件。我们证明了一些环面结的扭转自旋不是与它们的方向反转图像一致的带状。
The first Alexander Z[Z]-modules of surface-links and of virtual links
我们刻画了4-球面中带状面链的第一个Alexander Z[Z]-模，并给出了4-球面中带状面链的第一个Alexander Z [Z]-模和4-球面中面链的第一个Alexander Z[Z]-模.利用带状环链的结果，我们还刻画了虚环链的第一类Alexander Z[Z]-模，其中虚环链的分支数是固定的。对于一般的曲面链，给出了关于第一Alexander Z[Z]-模的总亏格的估计.我们证明了所有表面-环的第一Alexander Z[Z]-模上的分次结构，然后证明了经典环、表面-环和高维流形-环的第一Alexander Z[Z]-模上的分次结构.
Ribbon numbers of 12-crossing knots
本文研究纽结的带状数，通过Alexander多项式集合计算12交叉纽结的带状数，并发现该方法对高亏格情形不再有效。
Strong coprimality and strong irreducibility of Alexander polynomials
有理系数多项式f（t）是强不可约的，如果f（t^k）对所有正整数k都不可约.同样，两个多项式f和g是强互质的，如果f（t^k）和g（t^l）对所有正整数k和l都是互素的。给出了强不可约的若干充分条件，证明了扭纽结的Alexander多项式是两两强互质的，且大多数是强不可约的.我们应用这些结果来描述的结构的合理结和谐组所产生的扭曲结，并提供了一个明确的一组节点，代表线性无关元素深的可解过滤的结和谐组。
Concordance to links with an unknotted component
我们构造任意多个组件的链接，其中每个组件是切片，但不协调的任何链接，甚至一个unknotted组件。我们使用的唯一工具来自Alexander模块。
A ribbon partial order for links and minimality detection via Heegaard Floer
本文证明了强带状同痕诱导3-球面中链环上的偏序，推广了Agol定理；利用纽结Floer同调识别了若干纽结在带状偏序下的最小性，并首次给出非超限幂零的带状最小纽结例子，解决了Tagami问题。
Ribbon knots and iterated cables of fibered knots
本文利用有边 Heegaard Floer 同调中的 $γ_0$ 不变量刻画 $γ_0$-sharp 纤维纽结连通和的带状性，并据此推出紧纤维纽结迭代缆线的线性无关性或切片–带状猜想失败。
Special Alternating Knots are Band Prime
本文证明特殊交错纽结不能分解为非平凡带和，由此限制其协合关系，并提出和验证特殊交错纽结是带状协合极小的猜想，受相关向下封闭猜想启发。
Ribbon concordances and slice obstructions: experiments and examples
该研究通过大规模计算确定了大量结的切片性，发现约0.46%的结是平滑切片，而99.54%的结并非拓扑切片，并引入了新的方法和数据，揭示了切片性问题的现状和未解之处。
On the Upsilon invariant of fibered knots and right-veering open books
利用Ozsváth-Stipsicz-Szabó协调不变量Upperdance，给出了纤维纽结的开卷分解的单值性是右转向的一个充分条件.作为应用，我们推广了Baker关于纤维纽结之间的带状协调的一个结果.在Baker之后，我们得出结论：要么$S^{3}$中的纤维结$K$满足对于某些$t \in [0,1)$的$Υ'(t) = -g(K)$在它们的光滑协调类中是唯一的，要么存在切片-丝带猜想的反例.
Topologically slice knots with nontrivial Alexander polynomial
设C_T为拓扑切片纽结生成的光滑纽结和谐群的子群，C_D为平凡Alexander多项式纽结生成的子群。我们证明了商C_T/C_D是无限生成的，并揭示了三维有理旋边群中类似的结构。我们的方法也导致拓扑结构的链接，但不顺利，和谐的边界链接的建设。
Extended signatures and link concordance
本文研究了扩展Levine-Tristram签名作为连通性不变量，并提出了一个无法被传统方法检测的3链环族。
Concordance to links with unknotted components
我们表明，有链接的各个组成部分是一致的unknot，但不一致的任何链接unknotted组件。我们给出了拓扑范畴中的例子，以及拓扑切片的光滑范畴中的例子。我们还给出了概括的规定亚历山大多项式的组件。主要工具是复盖环演算、有理纽结协调理论的代数不变式和Heegaard弗洛尔同调的修正项。
$\mathfrak{gl}(1 \vert 1)$-Alexander polynomial for $3$-manifolds
作为Reshetikhin和Turaev不变量的推广，Costantino，Geer和Patureau-Mirand在相对$G$ -模范畴的背景下构造了$3$ -流形不变量，其中包括半单和非半单带状张量范畴.在本文中，我们遵循他们的方法来构造一个$3$ -流形不变量从Viro的$\mathfrak{gl}(1\vert 1)$ -Alexander多项式。以透镜空间$L(7, 1)$和$L(7, 2)$为例，证明了该不变量可以区分同伦等价流形.
The slice-ribbon conjecture for 3-stranded pretzel knots
我们确定了3股椒盐卷饼结P（p，q，r）的光滑协调顺序，其中p，q，r是奇数。我们证明了每个有穷级的结点实际上都是带状的，从而证明了这类结点的切片带状猜想。作为推论，我们首先得到的Fintushel-斯特恩和卡森-戈登的结果给出了新的证明。
Configuration space integral for long n-knots, the Alexander polynomial and knot space cohomology
有一个更高维度的微扰陈-西蒙斯理论的类似物，在这个意义上，一个类似的微扰系列在3维，这是计算通过配置空间积分，产生一个不变量的高维结（Bott-Cattaneo-Rossi不变量），这是由博特构造的程度2和Cattaneo-Rossi为更高的程度。然而，它的特点还不清楚。在本文中，我们限制的研究长带状n-knots和特点的Bott-Cattaneo-Rossi不变量作为一个有限型不变量的长带状n-knots在[HKS]。因此，我们得到了一个非平凡的描述的Bott-Cattaneo-Rossi不变的亚历山大多项式。对于高余维纽结也给出了结果。在这些情况下，定义Bott-Cattaneo-Rossi不变量的类似微分形式产生无穷多个Emb（R^n，R^m）的上同调类，如果m，n>= 3奇数且m>n+2。我们观察到这些类中有一半是非平凡的，沿着类似于Cattaneo-CottaRamusino-Longoni [CCL]的线。
An infinite-rank summand of knots with trivial Alexander polynomial
证明了由平凡Alexander多项式生成的纽结和谐群的子群中存在一个$\mathbb{Z}^\infty$ -被加数。为此，我们使用不变的Uppersons $Υ$最近推出的Ozsváth，Stipsicz和Szabó使用结弗洛尔同调。部分计算了三叶结的Whitehead二重化的$(n,1)$ -cable的$Υ$.对于这种计算的$Υ$，我们确定了一个充分条件，两个卫星结有相同的$Υ$的任何模式与非零卷绕数。
Twisted torsion invariants and link concordance
众所周知，只要对应的扭Alexander模是非挠的，则3-流形的扭挠率为零。在温和的额外的假设下，我们引入了一个新的扭曲扭转不变量，它总是非零的。我们展示了如何扭转不变量涉及到扭曲的相交形式的一个边界4-流形，推广Milnor定理。利用这一结果，我们给出了三维流形同调协边和链环协调的新的障碍。这些障碍物足够坚固，可以检测到8字结的Bing双结不是切片。
Symmetric ribbon numbers of low-complexity knots
本文系统研究了最多12个交叉点的纽结的对称带数，通过纽结行列式、Alexander多项式、Jones多项式和Kauffman多项式给出了新的下界。
2-torsion in the n-solvable filtration of the knot concordance group
1997年，Cochran-Orr-Teichner引入了光滑纽结和谐群C.它的项{F_n}由半整数索引。我们证明了每个分次阿贝尔群G_n=F_n/ F_{n.5}，n>1，包含无穷多个2阶线性无关元集（这是以前已知的n= 0，1）.每一个代表性的结是负的双手性的，具有消失的s-不变量、τ-不变量、δ-不变量和Casson-Gordon不变量。而且每一个都是有理同调4球中的光滑切片。实际上，我们证明了G_n中存在许多不同的类，它们的区别在于它们的经典Alexander多项式和它们的高阶Alexander模中元素的阶。
Virtual Covers of Links II
由Harer引入的结的纤维一致性是相对于纤维化表现良好的纤维结之间的一致性。我们考虑两个分量有序链$L=J \sqcup K$与$J$纤维化的半纤维化协调。这些索引仅限于第一个组成部分的纤维索引。受Gompf-Scharlemann-Thompson的一些例子的启发，我们进一步将我们的注意力限制在$L$上，其中$K$“接近”$J$的纤维。这种$L$与虚拟覆盖一起研究，其中虚拟结$\upsilon$与$L$相关联。我们证明了$\upsilon$的和谐类是一个半纤维和谐不变量。这会阻碍$K$组件的某些切片和带状光盘。进一步的应用是内射卫星运营商在半纤维和谐和结纤维$3$ -流形。
Metabelian representations, twisted Alexander polynomials, knot slicing, and mutation
给定一个纽结补X和它的p重循环覆盖X_p，我们确定了与X_p的基本群的1维线性表示相关联的扭多项式和与X的基本群的相关p维线性表示相关联的扭多项式.这提供了一个更简单和更快的算法来计算这些扭曲的多项式，使我们能够证明16（18个以前未知的）代数切片结的12个或更少的交叉不是切片。我们还使用这种改进的算法证明了24个突变体的椒盐卷饼结P（3，7，9，11，15），对应于排列（7，9，11，15），代表不同的和谐类。
Algebraic concordance groups for links
研究利用广义Seifert矩阵族定义链环的代数协边群，借此恢复相关不变性，并用于研究群的同构类型。
An invariant for open virtual strings
扩展的Alexander群被用来定义开虚拟字符串的不变量。非交换开弦和一个带状和谐障碍的例子。给出了一个非带状切片虚拟开弦的例子。定义扩展到开n-字符串。
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