On a congruence involving $q$-Catalan numbers
Ji-Cai Liu
基于作者和Petrov的一个$q$ -同余式，我们建立了Sun-Tauraso关于Catalan数和的一个$q$ -同余式的一个类似，它推广了Tauraso的一个$q$ -同余式.
Based on a $q$-congruence of the author and Petrov, we set up a $q$-analogue of Sun--Tauraso's congruence for sums of Catalan numbers, which extends a $q$-congruence due to Tauraso.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Congruences on sums of super Catalan numbers
本文证明了Apagodu最近提出的超Catalan数（Gessel命名）的双和上的两个同余。
q-Analogs of some congruences involving Catalan numbers
我们提供了一些变化的Greene-Krammer的身份，其中涉及q-Catalan数。我们的方法揭示了这些新的身份和一些同余模素数之间的一个奇怪的类比。
Some congruences for the second-order Catalan numbers
设p为任意奇素数。主要证明了$$\sum_{k=1}^{p-1}binomial(3k,k)*2^k/k=0 (mod p)$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}2^{k-1}C_k^{(2)}=(-1)^{(p-1)/2}-1 (mod p),$$，其中$C_k^{(2)}=binomial(3k,k)/(2k+1)$是$k$阶Catalan数.
Congruences for Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{P_n\}$是由$P_0=1,\ P_1=8$和$n^2P_n=8(3n^2-3n+1)P_{n-1}-128(n-1)^2P_{n-2}$ $(n\ge 2)$给出的Catalan-Larcombe-French数，并令$S_n=P_n/2^n$。本文给出了$S_{mp^r}\pmod{p^{r+2}}$，$S_{mp^r-1}\pmod{p^r}$和$S_{mp^r+1}\pmod{p^{2r}}$的同余式，其中$p$是奇素数，$m,r$是正整数.我们还证明了对任何素数$p\equiv 5,7\pmod 8$，都有$S_{(p^2-1)/2}\equiv 0\pmod {p^2}$，并证明了$\{S_m\}$是对数凸的。
The odd Catalan numbers modulo 2^k
本文研究了模2^k（k >= 2）的奇Catalan数C_n的性质。我们证明了模2^k的奇Catalan数只存在k - 1个不同的同余。此外，这些同余式可以通过C_{2^m - 1}（mod 2^k）获得，其中m = 1，2，.，k - 1
Congruences involving Franel and Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{f_n\}$是由$f_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^3$给出的弗兰纳数，令$p>5$是素数。本文主要是对$m=5,-16,16,32,-49,50,96$进行$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{f_k}{m^k}\pmod p$的测定。令$S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$。我们还确定了$m=7,16,25,32,64,160,800,1600, 156832$的$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{S_k}{m^k}\pmod p$。
Congruences for sums of MacMahon's $q$-Catalan polynomials
针对 Liu 未覆盖的 $n\equiv0\pmod3$ 情形，研究 MacMahon $q$-Catalan 多项式加权和模 $\Phi_n(q)^2$ 的同余式，并联系 Dirichlet 特征和恒等式。
Jacobi polynomials and congruences involving some higher-order Catalan numbers and binomial coefficients
本文研究了二项式系数乘积和上的同余式，并利用雅可比多项式的性质证明了这类同余式。我们特别注意多项式同余包含Catalan数，二阶Catalan数，序列（\seqnum{A176898}）$S_n=\frac{{6n\choose 3n}{3n\choose 2n}}{2{2n\choose n}(2n+1)},$和二项式系数${3n\choose n}$和${4n\choose 2n}$。作为一个应用，我们讨论了Z的几种结构。W. Sun关于涉及$S_n$的和的同余的结果，我们证明了一个关于二项式系数${3n\choose n}$和的三次剩余性准则H.太阳
Proof of Sun's supercongruence involving Catalan numbers
我们确认了一个包含Catalan数的代数超同余，它是Sun的100个同余公开证明之一。利用超几何级数恒等式和符号求和方法证明了该定理。
A parametric Catalan-type congruence for generalized central trinomial coefficients
本文针对广义中心三项式系数，给出一个参数化 Catalan 型同余式，解决 Wang 和 Cui 的求和问题，并覆盖 $p$ 整除 $b$ 或 $b-2c$ 的情形。
Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers
设$p$是素数，$a$是正整数。本文研究了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$模一个素数$p$，其中$d$和$m$是整数，且$-h<d<=p^a$和$m\not=0 (mod p)$ .我们还研究了涉及高阶Catalan数$C_k^{(h)}=\binom[(h+1)k,k]/(hk+1)$和$\bar C_k^{(h)}=\binomal[(h+1)k,k]*h/(k+1)$的同余。我们的工具包括线性递归和三次剩余理论。文中给出了一些典型结果。(i)如果$p^a=1 (mod 6)$则$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[3k,k]/6^k=2^{(p^a-1)/3}-1 (mod p).$$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[3k,k]/7^k=\cases-2&if p^a=\pm2 (mod 7), \\1&otherwise.$$（ii）我们有$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[4k,k]/5^k=\cases1 (mod p) if p\not=11 and p^a=1 (mod 5), \1/11 (mod p)&if p^a=2,3 (mod 5), \9/11 (mod p) if p^a=4 (mod 5). $$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}C…
On H-Spaces and a Congruence of Catalan Numbers
对$p$为奇素数，$F$为$p$阶循环群，证明了$F$在$SU(p)$中嵌入的共轭类的个数为$(1+C_{p-1})/p$，其中$C_{p-1}$为Catalan数.证明了唯一允许$p$ -局部$H$ -结构的陪集空间$SU(p)/F$是经典李群$PSU(p)$ .我们还表明，$SU(4)/\mathbb Z_3$，其中$\mathbb Z_3$是嵌入偏离中心的$SU(4)$，是一个新的例子，甚至全球的$H$空间。我们将所得结果应用于从$BF$到$BSU(n)$映射的同伦类的研究。
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
A supercongruence involving cubes of Catalan numbers
本文主要证明了Catalan数立方截尾级数的一个超同余，推广了孙志伟的一个结果。
On Series Involving Cubed Catalan Numbers
本文利用广义二项式系数恒等式和Dougall的结果，推导出涉及卡特兰数立方的级数家族，并建立包含四次方卡特兰数的级数家族，还推广了Bauer级数用于1/π，并得到一些Ramanujan-like级数用于1/π²和1/π³。
Elementary proof of congruences involving sum of binomial coefficients
给出了几个涉及二项式系数的单和与多和的同余式的初等证明。
New congruences involving Apéry-like numbers
本文给出了几类Apéry型序列的同余式。
On two congruences involving Apéry and Franel numbers
本文推广了V. J.- W. Guo和J. \cite{gz-jnt-2012}的一个同余式，得到了一个涉及Franel数的同余式，从而证实了Z. Zeng-J. W. Sun \cite [猜想57（ii）]{sun-njdx-2019}.
Two congruences involving Andrews-Paule's broken 3-diamond partitions and 5-diamond partitions
本文证明了Peter Paule和Silviu Radu提出的两个涉及破3-菱形分拆和破5-菱形分拆的同余式。
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
An integral representation of Catalan numbers using Malmstén's formula
本文基于Malmstén对Gamma函数对数的定积分表示，提出了Catalan数的积分表达式，该表达式有望产生涉及Catalan数或中心二项式系数的新求和。
Congruence properties of combinatorial sequences via Walnut and the Rowland-Yassawi-Zeilberger automaton
某些著名的组合序列，如Catalan数和Motzkin数，当取模一个素数幂时，可以用有限自动机计算。因此，许多关于这样的序列的定理可以使用Walnut来证明，Walnut是用于证明自动序列的各种属性的决策过程的实现。在本文中，我们探讨了一些结果（旧的和新的），可以证明使用这种方法。
A simple proof of a congruence for a series involving the little $q$-Jacobi polynomials
本文给出了一个简单的和更明确的证明，模$4$同余的一系列涉及小$q$ -雅可比多项式，这出现在最近的研究中的某种限制过划分函数。
On two congruences involving Franel numbers
通过符号求和的方法，我们建立了$π^2$的下列级数：\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k-2H_{2k}}{(-3)^k k} = \frac{π^2}{18}, \end{align*}其中$H_k=\sum_{j=1}^k 1/j$。我们还导出了一个与该级数相关的$p$ -adic同余式。作为应用，我们证明了两个涉及Franel数的同余，其中之一最初是由Sun提出的。
Tangent and Bernoulli numbers related to Motzkin and Catalan numbers by means of numerical triangles
它表明，伯努利数和正切数（正切函数在零处的导数）可以通过几种方式，其中一些非常类似于加泰罗尼亚三角形和Motzkin三角形的数字的三角形容易定义。为了证明这一点，我们的出发点是涉及Motzkin路径的Zeta（2n）的新表达式。
Identities and congruences involving orthogonal polynomials and Apéry-like numbers
本文建立三项递推序列的一般恒等式，应用于正交多项式和Apéry类数，给出相关恒等式与同余式。
Proof of two supercongruences conjectured by Z.-W.Sun involving Catalan-Larcombe-French numbers
调和数$H_n=\sum_{0<k\ls n}1/k\ (n=0,1,2,\ldots)$在数学中起着重要的作用。借助于组合恒等式，我们建立了以下两个同余式：$$\sum_{k=0}^{\frac{p-3}2}\f{\binom{2k}k^2H_k}{(2k+1)16^k}\ \mbox{modulo}\ p^2\ \mbox{and}\ \sum_{k=0}^{\frac{p-3}2}\f{\binom{2k}k^2H_{2k}}{(2k+1)16^k}\ \mbox{modulo}\ p$$对任意素数$p>3$，第二个同余式由Z. W. 2012年的太阳这两个同余对于证明孙志文的下列定理是非常重要的：对于任何旧素数$p$，我们有$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{P_k}{8^k}\equiv1+2\big(\frac{-1}p\big)p^2E_{p-3}\pmod{p^3}$$和$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{P_k}{{16}^k}\equiv\big(\frac{-1}p\big)-p^2E_{p-3}\pmod{p^3},$$，其中$P_n=\sum_{k=0}^n\frac{\binom{2k}k^2\binom{2(n-k)}{n-k}^2}{\binom nk}$是第n个Catalan-Larcombe-French数。
Congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。则$\{W_n\}$是类Apéry序列。本文导出了许多涉及$\{W_n\}$的同余式，特别是利用二元二次型确定了$m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$的$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$，其中$p>3$是素数.我们还证明了广义Apéry-like数的几个同余式，并对涉及二项式系数和Apéry-like数的同余式给出了29个挑战性的证明.
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
New super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是具有$a\not\equiv 0\pmod p$的有理p-adic整数。本文利用Bernoulli多项式和欧拉多项式建立了$$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}k, \quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}k\binom ak\binom{-1-a}k \quad\text{and}\quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}{2k-1}\pmod {p^2}$$的同余式。我们还给出了模$p^2$同余的一些变换公式。
Congruences involving $\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}m^{-k}$
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文利用Ishii和Deuring关于复乘椭圆曲线的定理，解决了孙志伟关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}m^{-k}\mod {p^2}$的一些问题。
Congruences involving $\binom{4k}{2k}$ and $\binom{3k}k$
设$p$是一个大于3的素数。本文主要确定$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}(-1)^k$，$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k, \sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-1)^k$和$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-3)^k$模$p$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。
A note on products involving zeta(3) and Catalan's constant
在最近的一份文件卡奇和Tzerkirt给初等证明四个产品公式涉及zeta（3），π，和加泰罗尼亚的常数。他们表示，他们无法直接从Borwein和Dykshoorn于1993年引入的函数值推导出这些产品。我们在这里提供了这样的两个公式的证明。另外两个公式的直接证明是利用Adamchik的Borwein-Dykshoorn函数的推广。最后给出了Borwein-Dykshoorn函数在Xia于2013年提出的“参数化欧拉常数函数”下的表达式，它恰好是K.和T. 2010年的Hessami Pilehrood。
A congruence concerning a convolution involving weighted Bernoulli numbers
给定一个素数$p\geq 5$，我们用调和数和广义调和数约化模p为两个加权Bernoulli数的幂与Bernoulli数的p-1阶卷积.我们的证明是基于研究Sym（p-2）的排列数的p-adic扩展与偶数的上升，直到模数$p^2$。
Congruences involving $\binom{2k}k^2\binom{3k}km^{-k}$
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文在Brillhart和Morton工作的基础上，利用Ishii和Deuring关于复乘椭圆曲线的定理，解决了孙志伟关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^2\binom{3k}km^{-k}\mod {p^2}$的一些问题.
Congruences for sums involving products of three binomial coefficients
设$p>3$是素数，$a$是有理$p$整数，利用WZ方法建立了$$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak\binom{-1-a}k\binom{2k}k\frac {w(k)}{4^k},$$的模$p^3$同余式，其中$$w(k)=1,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3},\frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}, \frac 1{k+3}, k,k^2,k^3,\frac 1{a+k},\frac 1{a+k-1}.$$作为推论，利用$a=-\frac 12,-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$导出了许多模$p^3$的同余式，从而解决了作者以前提出的一些问题.
Congruences involving $g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$
为$n=0,1,2,...$定义$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$。这些数$g_n=g_n(1)$与Apéry数和Franel数密切相关。本文建立了涉及$g_n(x)$的几个基本同余.例如，对于任何素数$p>5$，我们有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k}\equiv 0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k^2}\equiv 0\pmod p.$$这类似于Wolstenholme对任何素数$p>3$的经典同余$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k\equiv0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\equiv0\pmod p$$。
A Pillai-Catalan-type problem involving Fibonacci numbers
本文针对涉及斐波那契数的Pillai-Catalan型问题，结合斐波那契数性质、对数线性型与Baker-Davenport约化法，求解不定方程$3^x - F_n 2^y = 1$的所有正整数解。
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
On congruences involving Apéry numbers
本文证明了Z.-W. Sun猜想的一个涉及Apéry数求和的同余式，对任意素数p>3和正奇数m，存在仅依赖m的p-adic整数c_m使该同余式成立。
Some parametric congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，$n$第广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$x^n$在$(x^2+bx+c)^n$展开式中的系数。特别地，$T_n=T_n(1,1)$是中心三项式系数。本文主要建立了几类含广义中心三项式系数的参数同余。作为结果，我们证明了对于任何素数$p>3$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{12^k}T_k\equiv\left(\frac{p}{3}\right)\frac{3^{p-1}+3}{4}\pmod{p^2} $$和$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{T_kH_k}{3^k}\equiv\frac{3+\left(\frac{p}{3}\right)}{2}-p\left(1+\left(\frac{p}{3}\right)\right)\pmod{p^2}, $$，其中$(-)$表示Legendre符号和$H_k:=\sum_{j=1}^k1/j$表示$k$次谐波数。这证实了第二作者的两个理论一致性。
A remarkable congruence involving Appell polynomials
本文利用投影演算的方法给出了一个关于Appell多项式的重要同余式。最后，给出了乱列多项式的一些应用。
Conjectures on congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
在这篇文章中，我们提出了许多具有挑战性的假设，涉及二项式系数和Apéry-like数的同余。
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
Congruences for two types of Apery-like sequences
本文给出了关于两类Apéry型序列$\{G_n(x)\}$和$\{V_n(x)\}$的同余的许多结果和图解.
A new approach to Catalan numbers using differential equations
本文引入了两个由Catalan数的母函数所产生的微分方程，它们在某种意义上是“逆”的。从这些微分方程，我们得到了一些新的和明确的身份，Catalan和高阶Catalan数。此外，通过其他手段比微分方程，我们也得到了一些有趣的身份涉及加泰罗尼亚数的算术和组合的性质。
Congruences on the Bell polynomials and the derangement polynomials
本文利用影演算的方法，将涉及Bell数和乱序数的Sun和Zagier同余推广到多项式情形。还提供了一些特殊的同余式。
A method for determining the mod-$p^k$ behaviour of recursive sequences
本文提出一种推导满足代数微分方程的组合序列模素数幂同余式的方法，将既有方法从 $p=2$ 推广到任意素数，并用于多类组合数的同余证明。
A congruence involving the quotients of Euler and its applications (III)
本文给出了整数模下的几个新的二项式系数同余式，它们是蔡\textit{et al.}（2002，2007）前两个工作的继续.
Generalizations of the Christoffel-Darboux formula and congruences involving Apéry-like numbers
本文将正交多项式的克里斯托费尔-达布公式推广到一般三项递推序列，研究两类特定递推序列$g_n(x)$、$v_n(x)$的恒等式与同余关系，推进了相关数论问题的研究。
$q$-Series congruences involving statistical mechanics partition functions in regime III and IV of Baxter's solution of the hard-hexagon model
对于每个$s\in\{2,4\}$，$R_s(n)$的生成函数，$n$分成奇数部分或与$0$全等的部分的数量，$\pm s\pmod {10}$，自然出现在统计力学的硬六边形模型的罗德尼·巴克斯特的解决方案的第三阶段。对于每一个$s\in\{1,3\}$，$R^*_s(n)$的生成函数，$n$分成不与$0$、$\pm s\pmod {10}$和$10-2s \pmod {20}$全等的部分的数目，自然出现在统计力学的硬六边形模型的罗德尼·巴克斯特解的第四区域中。本文研究了$R_s(n)$与$R^*_s(n)$的奇偶性，给出了包含分拆数$p(n)$与算术级数平方和的新的奇偶性结果.
$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements
本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。
Super-congruences involving trininomial coefficients
这项工作的目的是建立同余关系$\left( \operatorname{mod}p^{2}\right) $涉及三项式系数$\binom{np-1}{p-1}_{2}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right)/2}_{2}$所产生的多项式$1+x+x^{2}.$的幂的扩展在主要结果中，我们扩展了一些已知的同余关系涉及二项式系数$\binom{np-1}{p-1}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right) /2}$，并建立同余链接二项式系数和调和数。
Bijections and congruences involving lattice paths and integer compositions
该研究通过建立不同变体Dyck路径与整数分拆的新双射，解释计数公式4^{n-1}的组合意义，推导路径同余与分拆奇偶性结果，还揭示其与多个组合数学对象的关联，深化了相关结构认知。
Some congruences involving central q-binomial coefficients
受Sun和Tauraso最近工作的启发，我们证明了一些涉及中心q-二项式系数的Green-Krammer恒等式的变体，如$$ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q \equiv (\frac{n}{5}) q^{-\lfloor n^4/5\rfloor} \pmod{Φ_n(q)}, $$，其中$\big(\frac{n}{p}\big)$是Legendre符号，$Φ_n(q)$是$n$ th分圆多项式.作为结果，我们推导出，$$ \sum_{k=0}^{3^a m-1} q^{k}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{3^a})/(1-q)}, \sum_{k=0}^{5^a m-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{5^a})/(1-q)}, $$为$a,m\geq 1$，第一个是一个部分q模拟的Strauss-Shallit-Zagier同余模幂为3。提出了几种相关的解决方案。
New congruences for sums involving Apery numbers or central Delannoy numbers
Apéry数$A_n$和中心Delannoy数$D_n$由$$A_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}^2{2k\choose k}^2, \quad D_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}. $$定义。W. Sun，我们证明了下列同余：\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{2 r +1}A_k & \equiv \sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon^k（2k+1）^{2 r +1}D_k \equiv 0 \pmod n，其中$n\geqslant 1$，$r\geqslant 0$，和$\varepsilon=\pm1$ .对于$r=1$，我们进一步证明了\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv 0 \pmod{n^3}，\quad \sum_{k=0}^{p-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv p^3 \pmod{2p^6}，其中$p>3$是素数.下面的同余式\sum_{k=0}^{n-1} {n+k \choose k}^2{n-1 \choose k}^2 \equiv 0 \pmod{n}在我们的证明中起着重要的作用。
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
Proof of some congruence conjectures of Z.-H. Sun involving Apéry-like numbers
该研究证明了孙智宏提出的一个涉及类Apéry数的素数模p⁴同余猜想，明确了含Franel数的求和式与Euler数的同余关系。
q-Congruences, with applications to supercongruences and the cyclic sieving phenomenon
通过证明一个相应的$q$ -超同余，建立了Almkvist和Zudilin提出的一个超同余.通过一个包含单位根上高阶导数的一般准则，对二项式系数和Apéry数建立了类似的$q$ -超同余.我们的方法使我们发现了循环筛选现象的新例子，涉及$q$ -Lucas数。
A few remarks on linear forms involving Catalan's constant
在T.Rivoal与作者的合作中，提出了一种超几何构造，用于研究Dirichlet β函数$β(s)$在偶数正整数处值的算术性质.这种构造给Catalan常数$G=β(2)$带来了一些好处，如二阶类递归和G.Rhin和C. Viola意义下的置换群。在这里，我们证明了上述递归的解决方案，以及建议一个更简单的（也是二阶和类似的）$G$的预期完整性属性。我们“扩大”的置换群我们以前的工作（联合T.Rivoal）表明，总120置换群$ζ(2)$（已知感谢G.莱茵和C.中提琴）可以应用于算术研究加泰罗尼亚常数。这些考虑具有计算意义，不允许我们证明$G$的（假定的）不合理性。最后，我们提出了一个猜想，产生的非理性性质的数字（例如，的Catalan常数）从存在适当的二阶差分方程（递归）。
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