The odd Catalan numbers modulo 2^k
Hsueh-Yung Lin
本文研究了模2^k（k >= 2）的奇Catalan数C_n的性质。我们证明了模2^k的奇Catalan数只存在k - 1个不同的同余。此外，这些同余式可以通过C_{2^m - 1}（mod 2^k）获得，其中m = 1，2，.，k - 1
We study the properties of the odd Catalan numbers, C_n, modulo 2^k for k >= 2. We show that there exist only k - 1 different congruences of the odd Catalan numbers modulo 2^k. Moreover, these congruences can be obtained by C_{2^m - 1} (mod 2^k) for m = 1, 2, ..., k - 1.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Asymptotic density of Catalan numbers modulo 3 and powers of 2
我们建立了Catalan数模3和模2的幂的渐近密度。
q-Analogs of some congruences involving Catalan numbers
我们提供了一些变化的Greene-Krammer的身份，其中涉及q-Catalan数。我们的方法揭示了这些新的身份和一些同余模素数之间的一个奇怪的类比。
The Catalan numbers have no forbidden residue modulo primes
设$C_n$是第$n$个Catalan数。对于任何素数$p \geq 5$，我们证明了集合$\{C_n : n \in \mathbb{N} \}$包含所有mod $p$的残基。此外，所有的剩余都是无限频繁地得到的。任何正整数都可以表示为中心二项式系数模$p$的乘积。$C_n \mod p$的自动机的有向子图由恒定状态和它们之间的转换组成，具有访问所有顶点的循环。
Structure and asymptotics for Catalan numbers modulo primes using automata
设$C_n$是第$n$个Catalan数。我们证明了集合$\{n: C_n \equiv 0 \mod p \}$的渐近密度是$1$，对所有素数$p$，我们还证明了如果$n = p^k -1$，则$C_n \equiv -1 \mod p$。最后我们证明了如果$n \equiv \{ \frac{p+1}{2}, \frac{p+3}{2}, ..., p-2 \} \mod p$，则$p$整除$C_n$。所有结果都是使用罗兰和Yassawi的自动机方法获得的。
Arithmetic of weighted Catalan numbers
本文研究了加权Catalan数的算术性质。在此之前，Postnikov和Sagan发现了加权Catalan数的$2$ -adic赋值等于Catalan数的$2$ -adic赋值的条件。在较弱的条件下，我们通过考虑一类函数到$2$ -adic整数的映射，得到了同样的结果。这些方法也扩展到$q$加权加泰罗尼亚数，加强以前的结果Konvalinka。最后，我们证明了一些结果的周期性加权Catalan数模一个整数，并将其应用到特定的情况下的组合类型的Morse链接的数量。提到了许多悬而未决的问题。
A note on matrices over $\mathbb{Z}$ with entries stemming from binomial coefficients and from Catalan numbers once pure and once taken modulo $2$
本文在整数环中整理了 Pascal 矩阵及其模 $2$ 形式，以及由 Catalan 数定义的 Hankel 矩阵在原始与模 $2$ 情形下的共同特征，为研究仅含 $0$ 和 $1$ 元素的矩阵提供了动机。
Some congruences for the second-order Catalan numbers
设p为任意奇素数。主要证明了$$\sum_{k=1}^{p-1}binomial(3k,k)*2^k/k=0 (mod p)$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}2^{k-1}C_k^{(2)}=(-1)^{(p-1)/2}-1 (mod p),$$，其中$C_k^{(2)}=binomial(3k,k)/(2k+1)$是$k$阶Catalan数.
Factoring Catalan numbers
本文描述了Catalan数的一种素因子分解。奇素因子按照勒让德公式分层分布。每一层的内容是一个区间网络，即切比雪夫分段。Segment的素数不进行计算，而是根据其边界进行选择。层包含非重复素数。当素数在不同的层之间重复时，就形成了重复因子。本文也从线段的边界出发，对Kummer的素因子选择定理作了一些修改。总之，读者提供了一个软件服务的因式分解的加泰罗尼亚数与索引高达$10^8$
On Apery's Constant and Catalan's Constant
本文将具有奇数正整数辐角的Riemann Zeta函数表示为有理系数的$π$的整数次幂的无穷和。然后推导出阿托兰常数和卡塔兰常数的具体值。
A curious class of Hankel determinants
我们认为汉克尔行列式的加泰罗尼亚数序列模2（解释为整数0和1）和更一般的汉克尔行列式的总和在所有的排列减少到一个单一的有符号的排列。
A universal sequence of integers generating balanced Steinhaus figures modulo an odd number
在本文中，我们部分地解决了一个公开的问题，由于J. C. Molluzzo在1976年提出了一个正整数$n$模的平衡Steinhaus三角形的存在性，即包含$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的所有元素的Steinhaus三角形具有相同的重数。对于每一个奇数$n$，通过线性元胞自动机生成杨辉三角形模$n$，在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中建立一个轨道，其中包含无穷多个平衡Steinhaus三角形.在$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$中，这个轨道是从一个称为通用序列的整数序列中得到的。证明了在$n$是奇素数幂的情况下，对于至少$2/3$的容许大小，存在平衡的Steinhaus三角形.其他平衡的斯坦豪斯图形，如斯坦豪斯三角形、广义杨辉三角形、帕斯卡三角形或菱形，也出现在通用序列模$n$奇数的轨道上。我们证明了平衡广义杨辉三角形的存在性至少$2/3$的容许大小，在$n$是一个奇素数的权力的情况下，和平衡菱形的存在性的所有容许的大小，在$n$是一个平方免费的奇数。
Congruences for Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{P_n\}$是由$P_0=1,\ P_1=8$和$n^2P_n=8(3n^2-3n+1)P_{n-1}-128(n-1)^2P_{n-2}$ $(n\ge 2)$给出的Catalan-Larcombe-French数，并令$S_n=P_n/2^n$。本文给出了$S_{mp^r}\pmod{p^{r+2}}$，$S_{mp^r-1}\pmod{p^r}$和$S_{mp^r+1}\pmod{p^{2r}}$的同余式，其中$p$是奇素数，$m,r$是正整数.我们还证明了对任何素数$p\equiv 5,7\pmod 8$，都有$S_{(p^2-1)/2}\equiv 0\pmod {p^2}$，并证明了$\{S_m\}$是对数凸的。
Congruences for sums of MacMahon's $q$-Catalan polynomials
针对 Liu 未覆盖的 $n\equiv0\pmod3$ 情形，研究 MacMahon $q$-Catalan 多项式加权和模 $\Phi_n(q)^2$ 的同余式，并联系 Dirichlet 特征和恒等式。
Binomial coefficients, Catalan numbers and Lucas quotients
设$p$是奇素数，$a,m$是具有$a>0$和$m \not\equiv0\pmod p$的整数.在本文中，我们确定$d=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$ mod $p^2$;例如，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\frac{\binom{2k}k}{m^k}\equiv\left(\frac{m^2-4m}{p^a}\right)+\left(\frac{m^2-4m}{p^{a-1}}\right)u_{p-(\frac{m^2-4m}{p})}\pmod{p^2},$$，其中$(-)$是Jacobi符号，$\{u_n\}_{n\geqslant0}$是由$u_0=0$，$u_1=1$和$u_{n+1}=(m-2)u_n-u_{n-1}$给出的Lucas序列，用于$n=1,2,3,\ldots$。作为一个应用，我们确定了对任意整数$r$的$\sum_{0<k<p^a,\, k\equiv r\pmod{p-1}}C_k$模$p^2$，其中$C_k$表示Catalan数$\binom{2k}k/(k+1)$。我们还提出了一些相关的建议。
Proof of two supercongruences conjectured by Z.-W.Sun involving Catalan-Larcombe-French numbers
调和数$H_n=\sum_{0<k\ls n}1/k\ (n=0,1,2,\ldots)$在数学中起着重要的作用。借助于组合恒等式，我们建立了以下两个同余式：$$\sum_{k=0}^{\frac{p-3}2}\f{\binom{2k}k^2H_k}{(2k+1)16^k}\ \mbox{modulo}\ p^2\ \mbox{and}\ \sum_{k=0}^{\frac{p-3}2}\f{\binom{2k}k^2H_{2k}}{(2k+1)16^k}\ \mbox{modulo}\ p$$对任意素数$p>3$，第二个同余式由Z. W. 2012年的太阳这两个同余对于证明孙志文的下列定理是非常重要的：对于任何旧素数$p$，我们有$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{P_k}{8^k}\equiv1+2\big(\frac{-1}p\big)p^2E_{p-3}\pmod{p^3}$$和$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{P_k}{{16}^k}\equiv\big(\frac{-1}p\big)-p^2E_{p-3}\pmod{p^3},$$，其中$P_n=\sum_{k=0}^n\frac{\binom{2k}k^2\binom{2(n-k)}{n-k}^2}{\binom nk}$是第n个Catalan-Larcombe-French数。
Residues modulo powers of two in the Young-Fibonacci lattice
研究了由具有奇$f$ -统计量的元素诱导的Young-Fibonacci图的子图（微分分次偏序集的元素$w$的$f$ -统计量是从偏序集的极小元到$w$的饱和链的个数）.我们证明了这个子图是一棵二叉树。此外，该树的行中的$f$ -统计量的奇数残差以任何幂2为模进行等分布。这相当于一个纯粹的数论结果之间的产品不同的奇数小于小于一个固定的数字的剩余模幂的均匀分布。
A uniform proof approach for congruences modulo 3 for partitions with $k$-colored odd parts
本文为带$k$色奇数部分的分拆函数$a_k(n)$建立模3同余的统一证明框架，从而证明无限族非嵌套同余。
Elementary proofs of congruences modulo 5 for overpartitions with restricted odd differences
本文针对Hanson和Smith在2023年利用模形式证明的关于重分拆函数$\overline{t}(n)$的两个模5同余式，给出了一个完全初等的证明方法。
A Family of Congruences Modulo 7 for Partitions with Monochromatic Even Parts and Multi--Colored Odd Parts
本文推广了Amdeberhan和Merca的整数划分函数a(n)，定义了一个无限族，并通过生成函数和q级数恒等式证明了该族函数满足无穷多个模7同余式。
Congruence modulo 4 for Andrews' integer partition with even parts below odd parts
本文发现并证明了具有某些三元二次型的Andrews分拆的一类模4同余。我们还讨论了$\overline{\mathcal{EO}}(n)$的分布，并进一步证明了几乎所有的$n$都有$\overline{\mathcal{EO}}(n)\equiv0\pmod4$.本研究的灵感来自于第二作者和Garvan的工作中的模4的类似同余。
Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers
设$p$是素数，$a$是正整数。本文研究了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$模一个素数$p$，其中$d$和$m$是整数，且$-h<d<=p^a$和$m\not=0 (mod p)$ .我们还研究了涉及高阶Catalan数$C_k^{(h)}=\binom[(h+1)k,k]/(hk+1)$和$\bar C_k^{(h)}=\binomal[(h+1)k,k]*h/(k+1)$的同余。我们的工具包括线性递归和三次剩余理论。文中给出了一些典型结果。(i)如果$p^a=1 (mod 6)$则$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[3k,k]/6^k=2^{(p^a-1)/3}-1 (mod p).$$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[3k,k]/7^k=\cases-2&if p^a=\pm2 (mod 7), \\1&otherwise.$$（ii）我们有$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[4k,k]/5^k=\cases1 (mod p) if p\not=11 and p^a=1 (mod 5), \1/11 (mod p)&if p^a=2,3 (mod 5), \9/11 (mod p) if p^a=4 (mod 5). $$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}C…
Arithmetic properties modulo powers of $2$ for overpartition $k$-tuples with odd parts
本文扩展了Drema和Saikia的研究，证明了具有奇数部分的overpartition $k$-元组的模 $2$ 幂同余式，并给出了三元组及特定 $k$-元组的无限同余族。
Arithmetic Properties modulo powers of $2$ and $3$ for Overpartition $k$-Tuples with Odd Parts
本文研究超分区k元组奇数部分的模2和3的幂的除性质，使用初等方法和模形式性质，证明了多个模3的倍数和无限多个模3的幂的同余式，并验证了Saikia等人猜想的部分情况。
A parametric Catalan-type congruence for generalized central trinomial coefficients
本文针对广义中心三项式系数，给出一个参数化 Catalan 型同余式，解决 Wang 和 Cui 的求和问题，并覆盖 $p$ 整除 $b$ 或 $b-2c$ 的情形。
Internal congruences modulo powers of 2 for $k$-colored overpartitions into odd parts
本文证明奇部超额分拆元组数在$2$幂指标下的内部同余，通过统一的三项递推多项式族给出初等证明，并精确刻画$2$-进赋值等于奇平方数。
Congruences concerning generalized central trinomial coefficients via the constant term method
研究广义中心三项式系数，利用常数项方法和生成函数证明参数同余式，证实了孙志伟的几个猜想。
An identity relating Catalan numbers to tangent numbers with arithmetic applications
本文证明了一个将Catalan数与tangent数联系起来的组合恒等式，由此引出新的恒等式并应用于证明整除性质，同时给出了其$q$-模拟及组合证明。
Some curious congruences modulo primes
设n为正奇数，p>n+1为素数.我们主要导出了以下同余式：$$\sum_{0<i_1<...<i_n<p}(i_1/3)(-1)^{i_1}/(i_1...i_n)=0 (mod p).$$
A method for determining the mod-$p^k$ behaviour of recursive sequences
本文提出一种推导满足代数微分方程的组合序列模素数幂同余式的方法，将既有方法从 $p=2$ 推广到任意素数，并用于多类组合数的同余证明。
On H-Spaces and a Congruence of Catalan Numbers
对$p$为奇素数，$F$为$p$阶循环群，证明了$F$在$SU(p)$中嵌入的共轭类的个数为$(1+C_{p-1})/p$，其中$C_{p-1}$为Catalan数.证明了唯一允许$p$ -局部$H$ -结构的陪集空间$SU(p)/F$是经典李群$PSU(p)$ .我们还表明，$SU(4)/\mathbb Z_3$，其中$\mathbb Z_3$是嵌入偏离中心的$SU(4)$，是一个新的例子，甚至全球的$H$空间。我们将所得结果应用于从$BF$到$BSU(n)$映射的同伦类的研究。
A family of $q$-congruences modulo the square of a cyclotomic polynomial
利用Watson的$_8ϕ_7$终止变换公式，我们证明了一族以分圆多项式的平方为模的$q$ -同余。475（2019），1636- 646]。作为应用，我们导出了两个模$p^4$（$p$是奇素数）超同余及其$q$ -模拟.这也部分地证实了Swisher（H.3）猜想的一个特例。
Note on super congruences modulo $p^2$
令$p$是奇素数，并且令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom ak\binom{-1-a}k}{m^k} \equiv 0\pmod p \quad\hbox{implies}\quad\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom ak \binom{-1-a}k}{m^k}\equiv 0\pmod {p^2}.$$
Powers of two weighted sum of the first p divided Bernoulli numbers modulo p
我们证明了，模某个奇素数p，前p-2个伯努利数的加权和的幂等于Agoh-Giuga商加上p-2个字母上的排列数的两倍，其中上升数为偶数，且与恒等式不同.我们给出了维费里希素数的组合特征，以及素数p的组合特征，其中p ^2整除费马商q_p（2）。
On almost universal mixed sums of squares and triangular numbers
1997年K. Ono和K. Soundararajan [发明。Math.130（1997）]证明了在广义黎曼假设下，任何大于2719的正奇数都可以用著名的拉马努金形式$x^2+y^2+10z^2$表示，等价地，形式$2x^2+5y^2+4T_z$表示所有大于1359的整数，其中$T_z$表示三角数$z(z+1)/2$。给定正整数$a,b,c$，我们采用模形式和二次型的理论，以确定完全时，一般形式$ax^2+by^2+cT_z$表示足够大的整数，并建立类似的结果，形式$ax^2+bT_y+cT_z$和$aT_x+bT_y+cT_z$。下面是我们的主要定理的一些结果：（1）所有足够大的奇数都有$2ax^2+y^2+z^2$的形式当且仅当$a$的所有素因子全等于1模4。(ii)形式$ax^2+y^2+T_z$几乎是通用的（即，它表示足够大的整数）当且仅当$a$的每个奇素因子全等于1或3模8。(iii)$ax^2+T_y+T_z$几乎是泛的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4。(iv)当$v_2(a)\not=3$时，形式$aT_x+T_y+T_z$几乎是普适的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4和$v_2(a)\not=5,7,...$，其中$v_2(a)$是$a$的2进阶。
Hauptmoduln and even-order mock theta functions modulo 2
本文研究椭圆模j函数傅里叶系数的奇偶性规律，发现其特定系数与2阶仿θ函数$μ_2(q)$系数奇偶性一致，并证明该现象在若干主模及主模与偶数阶仿θ函数间普遍成立。
On the parity of the number of partitions with odd multiplicities
最近，Hirschhorn和第一作者认为奇偶性的功能$a(n)$计数整数分区的$n$，其中每个部分出现奇数重。他们仅仅根据$m.$的性质，得到了$a(2m)$奇偶性的一个有效刻画。本文中，我们迅速地重新证明了他们的结果，并将其推广到对所有$n\not\equiv 7 \pmod{8}.$的$a(n)$奇偶性的一个显式刻画。我们通过讨论$n\equiv 7 \pmod{8}$的情况得出结论，有趣的是，$a(n)$模2的行为似乎完全不同。特别地，我们推测，渐近地，$a(8m+7)$是奇数精确$50\%$的时间。这一猜想，其广泛的推广，以上下文的eta-acquireents将是主题的后续文件，仍然是开放的。
Mixed sums of squares and triangular numbers (III)
本文证实了孙文的一个猜想：每个正整数是一个平方、一个奇平方和一个三角数的和。对任意正整数m，我们证明了p= 2 m +1是3模4的素同余当且仅当T_m=m（m+1）/2不能表示为两个奇平方和一个三角数之和，即，p^2=x^2+8（y^2+z^2），其中x，y，z均为非奇数。我们还证明了一个正整数不能写成一个奇数平方和两个三角数之和当且仅当它是2T_m（m>0）的形式，其中2 m +1没有素除子与3模4全等。
If $p^a \vert \vert n$ where $n >4$ is the order of a Circulant Hadamard matrix, then the order of $p$ modulo $n/p^a$ is odd
我们证明最近（见\cite{lhgarasu}）的结果的标题为奇素因子的这样一个$n.$的结果意味着许多$n's$，更准确地说，为无限的$n$的一个任意固定数目的素因子，不存在的循环阿达玛矩阵，和不存在的巴克序列的长度$n >13$。证明使用了Arasu的一个结果。事实证明，有另一个，更短的证明，更一般的结果，包括素数$p=2.$这个新的证明是基于一个结果布洛克（见\cite [定理3.1]{布洛克}），除此之外，只需要定义的傅立叶变换。我在温特霍夫等人的预印本（见\cite{winterhofetal}）中注意到布洛克的结果，它被用来研究相关的Butson-Hadamard矩阵的不存在性。
Ramanujan congruences for overpartitions with restricted odd differences
我们调查Ramanujan同余的功能，计数的超分区n限制奇差。特别是，我们证明了只有一个这样的同余存在。我们的方法涉及到使用理论的模形式证明了一个更一般的定理，该定理的界限的数量可能的Ramanujan同余在某些η-代数。这概括了Jonah Sinick所做的工作。我们还提供了这个函数的两个模5同余。
Sum of parts in overpartitions and partitions without repeated odd parts
本文通过经典 theta 函数恒等式，证明了按奇偶性分类的超划分中某些非划线部分和以及无重复奇数部分划分中某些部分和的模 5 和模 7 拉马努金型同余式。
Congruence properties of combinatorial sequences via Walnut and the Rowland-Yassawi-Zeilberger automaton
某些著名的组合序列，如Catalan数和Motzkin数，当取模一个素数幂时，可以用有限自动机计算。因此，许多关于这样的序列的定理可以使用Walnut来证明，Walnut是用于证明自动序列的各种属性的决策过程的实现。在本文中，我们探讨了一些结果（旧的和新的），可以证明使用这种方法。
Fixed points and exact periods of Chebyshev polynomials modulo odd prime powers
本文研究切比雪夫多项式模奇素数幂的不动点与周期结构，给出显式公式，并揭示 p=3 的例外及 p 整除 n 时的周期对应关系。
Dyadic Structure of the Two-Block Odd Partition Function and Theta-Weighted Congruences for $pod(n)$
本文通过二元结构分解和theta函数求值，解释两块奇数分拆函数a(n)的递推关系，并利用生成函数因式分解建立模任意奇素数的同余式，获得模3、5、13的无限族加权同余。
Congruences Modulo Powers of 7 for the Reciprocal Crank Parity Function
本文研究了 reciprocal crank 奇偶函数在 7 的幂次模下的新 congruences，扩展了之前关于 crank 奇偶函数算术性质的研究。
On the density of the odd values of the partition function
本文的目的是介绍一种新的方法来研究一个最基本的和看似棘手的问题，在划分理论，即猜想的分拆函数$p(n)$是均匀分布模2。我们的主要结果将涉及密度，说$δ_t$，奇数值的$t$ -multipartition功能$p_t(n)$，为几个整数$t$。特别地，我们将证明，如果$δ_t>0$对于某个$t\in \{5,7,11,13,17,19,23,25\}$，那么（假设它存在）$δ_1>0$ ;也就是说，$p(n)$本身是正密度的奇数。注意，目前，最佳无条件结果甚至不意味着对于$n\le x$的$\sqrt{x}$值，$p(n)$是奇数。在一般情况下，我们推测，$δ_t=1/2$为所有$t$奇，即，类似于$p(n)$的情况，所有的多重划分函数实际上都是模2等分布的。我们的论点将采用一些代数和分析方法，从调查模2的一些经典的拉马努金身份和其他几个eta产品的结果，以统一的方法，研究奇偶性的傅立叶系数的广泛的一类模块化形式的身份最近推出的拉杜。
Arithmetic Properties of Partition Quadruples With Odd Parts Distinct
令$\mathrm{pod}_{-4}(n)$表示$n$的分区四元组的数量，其中每个分区中的奇数部分是不同的。我们发现了$\mathrm{pod}_{-4}(n)$的许多算术性质，包括以下无穷同余族：对任意整数$α\ge 1$和$n \ge 0$，\[\mathrm{pod}_{-4}\Big({{3}^{α+1}}n+\frac{5\cdot {{3}^{α}}+1}{2}\Big)\equiv 0 \pmod{9}.\]我们还建立了$\mathrm{pod}_{-4}(n)$满足的内部同余和模2，5和8的同余.
On the non-triviality of the $p$-adic Abel-Jacobi image of generalised Heegner cycles modulo $p$, I: modular curves
广义Heegner圈对应于虚二次扩张$K/\Q$上的一对椭圆Hecke特征形和一个Hecke特征标.设$p$是$K/\Q$中的奇素数分裂，$l\neq p$是奇非分歧素数.证明了$K$的$\Z_l$ -反元扩张上广义Heegner圈模$p$的$p$ -adic Abel-Jacobi象的非平凡性.这个结果是精化的Bloch-Beilinson猜想和Bloch-Kato猜想的一个证据。在两个的情况下，它提供了一个改进的Cornut和Vatsal的结果上的非平凡的Heegner点的$\Z_l$ -anticotomic扩展$K$。
The structure of Siegel modular forms modulo p and U(p) congruences
我们确定Siegel模形式的度g模一个素数p的环结构，延长Nagaoka的结果的情况下，度g=2。我们刻画了Jacobi形式和Siegel模形式的U（p）同余，并惊奇地发现了Siegel模形式在偶数和奇数次上的不同行为.
Doubling modulo odd integers, generalizations, and unexpected occurrences
本文直接证明了奇数模加倍映射循环数的等式，并推广到乘以任意整数k的置换，同时综述了该映射在数学及洗牌、杂耍、音乐等领域的多种应用。
Arithmetic Properties of Odd Ranks and $k$-Marked Odd Durfee Symbols
令$N^{0}(m,n)$是具有奇数秩$m$的$n$的奇数Durfee符号的数目，并且$N^{0}(a,M;n)$是具有与$a$模$M$全等的奇数秩的$n$的奇数Durfee符号的数目。给出了$N^{0}(a,M;n)$的生成函数及其$\ell$剖分的显式公式，其中$0\le a \le M-1$和$M, \ell \in \{2, 4, 8\}$ .从这些公式中，我们得到了$N^{0}(a,M;n)$的一些有趣的算术性质.此外，令$\mathcal{D}_{k}^{0}(n)$表示$n$的$k$标记的奇Durfee符号的数目。Andrews（2007）证明了$\mathcal{D}_{2}^{0}(n)$是偶数，如果$n\equiv 4$或6（mod 8），$\mathcal{D}_{3}^{0}(n)$是偶数，如果$n\equiv 1, 9, 11$或13（mod 16）。利用奇数秩上的结果，证明了Andrews定理.
Arithmetic Properties of Partition Triples With Odd Parts Distinct
令$\mathrm{pod}_{-3}(n)$表示$n$的分区三元组的数量，其中每个分区中的奇数部分是不同的。我们发现了$\mathrm{pod}_{-3}(n)$的许多算术性质，涉及以下无穷族的同余：对于任何整数$α\ge 1$和$n\ge 0$，\[\mathrm{pod}_{-3}\Big({{3}^{2α+2}}n+\frac{23\times {{3}^{2α+1}}+3}{8}\Big)\equiv 0 \pmod{9}.\]我们还建立了$\mathrm{pod}(n)$和$\mathrm{pod}_{-3}(n)$之间的一些算术关系，以及$\mathrm{pod}_{-3}(n)$模7和模11的一些同余。
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 16
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。最近，Fortin-Jacob-Mathieu和Hirschhorn-Sellers分别得到了$\overline{p}(n)$的生成函数的2-、3-和4-剖分，并导出了$\overline{p}(n)$模$4$、$8$和$64$的一系列同余式，包括$\overline{p}(5n+2)\equiv 0 \pmod{4}$、$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$和$\overline{p}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}$ . Yao和Xia利用剖分技术得到了$\overline{p}(n)$模$8, 16$和$32$的同余式，如$\overline{p}(48n+26) \equiv 0 \pmod{8}$，$\overline{p}(24n+17)\equiv 0 \pmod{16}$和$\overline{p}(72n+69)\equiv 0 \pmod{32}$ .本文给出了$\overline{p}(n)$模16的生成函数的16-剖分，并证明了$n\ge 0$的生成函数为$\overline{p}(16n+14)\equiv0\pmod{16}$.利用Mahlburg对$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$ -adic展开式，得到了$\overlin…
On non-congruent numbers with 1 modulo 4 prime factors
本文利用2-decent方法求出了一系列素因子为$\equiv1\pmod4$的奇非全等数$\equiv1\pmod 8$，使得全等椭圆曲线具有次低Selmer群，其中包括Li和Tian的结果（Li and Tian，2000）作为特例.
Supercongruences for sums involving $\binom ak^m$
设$p$是奇素数，$a$是有$a\not\equiv 0\pmod p$的有理$p$-adic整数.本文利用WZ方法建立了$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak^2(-1)^k(1-\frac 2ak)$模$p^2$和$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak^r(1-\frac 2ak)^s$模$p^4$的同余式，其中$r\in\{3,4\}$和$s\in\{1,3\}$ .
Congruences related to Miki's identity
给定一个奇素数p，我们提出了三个独立的方式有关模p某些截断卷积的划分伯努利数的某些完整的卷积划分伯努利数。
Fibonacci numbers modulo cubes of primes
设$p$是一个奇素数。众所周知，$F_{p-(\frac p5)}\equiv 0\pmod{p}$，其中$\{F_n\}_{n\ge0}$是斐波那契序列，$(-)$是雅可比符号。在本文中，我们表明，如果$p\not=5$，那么我们可以确定$F_{p-(\frac p5)}$模$p^3$在以下方式：$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{(-16)^k}\equiv\left(\frac{p}5\right)\left(1+\frac{F_{p-(\frac {p}5)}}2\right)\pmod{p^3}.$$我们还使用Lucas矩阵来确定$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{2k}k/m^k$模$p^2$的任何整数$m\not\equiv0\pmod{p}$，特别是，我们得到$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k}{16^k}\equiv\left(\frac3{p}\right)\pmod{p^2}.$$此外，我们提出了三个进一步研究的结构。
Distribution of residues modulo $p$ using the Dirichlet's class number formula
设$p$为奇素数。本文利用虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$的Dirichlet类数公式，研究了$2$或$3$或$4$的倍数为模$p$的二次剩余数和非剩余数，它们都位于区间$[1, p-1]$内.
A congruence modulo $n^3$ involving two consecutive sums of powers and its applications
对于各种正整数$k$，第一个$k$正整数的$k$次幂的和，$S_k(n+1)=1^k+2^k+...+n^k$，必须是所有数学中最流行的一些和。本文证明了对于每个$k\ge 2 $ $ 2S_{2k+1}(n)- (2k+1)nS_{2k}(n)\equiv \{{array}{ll} 0\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\,even\,\,or}\,\, n\,\, {\rm is\,\, odd} & {\rm or} \,\, n\equiv 0\,(\bmod{\,4}) \frac{n^3}{2}\,(\bmod{\,n^3}) & {\rm if}\,\,k\,\,{\rm is\,\, odd} &,\,{\rm and}\,\, n\equiv 2\,(\bmod{\,4}). {array}.$ $ The above congruence allows us to state an equivalent formulation of Giuga's conjecture. Moreover, we prove that the first above congruence is satisfied modulo $ n ^4 $ whenever $ n \ge 5 $ is a prime number …
A congruence involving harmonic sums modulo $p^αq^β$
在2014年，Wang和Cai建立了以下调和同余式：对于任何奇素数$p$和正整数$r$，\begin{equation*} Z(p^{r})\equiv-2p^{r-1}B_{p-3} ~(\bmod ~ p^{r}), \end{equation*}，其中$ Z(n)=\sum\limits_{i+j+k=n\atop{i,j,k\in\mathcal{P}_{n}}}\frac{1}{ijk}$和$\mathcal{P}_{n}$表示与$n$互素的正整数的集合。本文得到了不同奇素数$p,~q$与正整数$α,~β$，\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 2(2-q)(1-\frac{1}{q^{3}})p^{α-1}q^{β-1}B_{p-3}\pmod{p^α} \end{equation*}的一个同余关系，以及\begin{equation*} Z(p^αq^β)\equiv 0\pmod{p^αq^β}. \end{equation*}成立的充要条件。最后，我们提出了一个猜想：对于$n>1$与奇素数幂$p^α||n$，$α\geq1$，\begin{eqnarray} \nonumber Z(n)\equiv \prod\limits_{q|n\atop{q\neq p}}(1-\frac{2}{q})(1-\frac{1}{q^{3}})(-…
Partitioning the Primes and Efficient Non-trivial Factor Generation using the Least Odd Partition Identity in Conjunction with Dirichlet Linear Progressions and the Reduced Residue System Modulo 18
在这项工作中，我们介绍了数字常数，LOPI，N LOPI是全等LOPI模18，等于最低奇分区单位连同减少剩余系统模18，一个完整的不相交覆盖剩余系统时，考虑在其整个剩余集从0到17。通过对每个LOPI超集的特定LOPI Dirichlet线性级数的卷积，顺序地且唯一地生成6个模18约化剩余同余类的非素元.通过对每个LOPI同余类中的所有合数进行基于序贯因子生成模式的集合生成和完全合数子集生成，多重性成为定义素性度的可能工具。我们证明了一个整数的数字的最低和，偶数或奇数，是一个常数不受限制的分区身份包含每个自然数，并等于模18中的剩余之一。我们把这个常数称为最低奇或偶划分恒等式或LOPI或LEPI。当整数被视为核心LOPI-LEPI值的分区时，无限自然数表示Mod 18的余数，每次向无穷大扩展18个连续循环。LOPI mod 18是一个因子生成系统，它演示了为什么素数不是通过将特定的狄利克雷线性级数卷积到LOPI非素数子集矩阵中生成的，揭示了素数的模式实际上是六个循环模式。在查询这类3，4特殊非素矩阵的重数时，我们提出了基于重数的素数和非素数的另一种定义，其中0是素数，1是次素数，依此类推，并给出了一个Ox，Ox ~ 3有效的确定性算法，描述了因子生成和素性检验的过程.
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