q-Analogs of some congruences involving Catalan numbers
Roberto Tauraso
我们提供了一些变化的Greene-Krammer的身份，其中涉及q-Catalan数。我们的方法揭示了这些新的身份和一些同余模素数之间的一个奇怪的类比。
We provide some variations on the Greene-Krammer's identity which involve q-Catalan numbers. Our method reveals a curious analogy between these new identities and some congruences modulo a prime.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On a congruence involving $q$-Catalan numbers
基于作者和Petrov的一个$q$ -同余式，我们建立了Sun-Tauraso关于Catalan数和的一个$q$ -同余式的一个类似，它推广了Tauraso的一个$q$ -同余式.
Congruences on sums of super Catalan numbers
本文证明了Apagodu最近提出的超Catalan数（Gessel命名）的双和上的两个同余。
Some congruences for the second-order Catalan numbers
设p为任意奇素数。主要证明了$$\sum_{k=1}^{p-1}binomial(3k,k)*2^k/k=0 (mod p)$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}2^{k-1}C_k^{(2)}=(-1)^{(p-1)/2}-1 (mod p),$$，其中$C_k^{(2)}=binomial(3k,k)/(2k+1)$是$k$阶Catalan数.
Congruences for Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{P_n\}$是由$P_0=1,\ P_1=8$和$n^2P_n=8(3n^2-3n+1)P_{n-1}-128(n-1)^2P_{n-2}$ $(n\ge 2)$给出的Catalan-Larcombe-French数，并令$S_n=P_n/2^n$。本文给出了$S_{mp^r}\pmod{p^{r+2}}$，$S_{mp^r-1}\pmod{p^r}$和$S_{mp^r+1}\pmod{p^{2r}}$的同余式，其中$p$是奇素数，$m,r$是正整数.我们还证明了对任何素数$p\equiv 5,7\pmod 8$，都有$S_{(p^2-1)/2}\equiv 0\pmod {p^2}$，并证明了$\{S_m\}$是对数凸的。
The odd Catalan numbers modulo 2^k
本文研究了模2^k（k >= 2）的奇Catalan数C_n的性质。我们证明了模2^k的奇Catalan数只存在k - 1个不同的同余。此外，这些同余式可以通过C_{2^m - 1}（mod 2^k）获得，其中m = 1，2，.，k - 1
Congruences involving Franel and Catalan-Larcombe-French numbers
令$\{f_n\}$是由$f_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^3$给出的弗兰纳数，令$p>5$是素数。本文主要是对$m=5,-16,16,32,-49,50,96$进行$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{f_k}{m^k}\pmod p$的测定。令$S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$。我们还确定了$m=7,16,25,32,64,160,800,1600, 156832$的$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{S_k}{m^k}\pmod p$。
Congruences for Catalan and Motzkin numbers and related sequences
我们证明了Catalan和Motzkin数以及相关序列的各种同余。共同的线索是所有这些序列都可以用二项式系数表示。我们的技术是组合的和代数的：群作用，归纳法，和卢卡斯的二项式系数同余开始发挥作用。我们的一些结果解决了Benoit Cloitre和Reinhard Zumkeller的问题。Thue-Morse序列出现在几个上下文中。
Congruences for sums of MacMahon's $q$-Catalan polynomials
针对 Liu 未覆盖的 $n\equiv0\pmod3$ 情形，研究 MacMahon $q$-Catalan 多项式加权和模 $\Phi_n(q)^2$ 的同余式，并联系 Dirichlet 特征和恒等式。
Proof of Sun's supercongruence involving Catalan numbers
我们确认了一个包含Catalan数的代数超同余，它是Sun的100个同余公开证明之一。利用超几何级数恒等式和符号求和方法证明了该定理。
A parametric Catalan-type congruence for generalized central trinomial coefficients
本文针对广义中心三项式系数，给出一个参数化 Catalan 型同余式，解决 Wang 和 Cui 的求和问题，并覆盖 $p$ 整除 $b$ 或 $b-2c$ 的情形。
Heaps of rhombic dodecahedra, catalan congruences on alternating sign matrices, and bases of the Temperley-Lieb algebra
研究了交替符号矩阵格上的卡坦 congruences，证明其与covexillary排列和避免321模式排列的关系，并扩展了温度利布代数的基础。
Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers
设$p$是素数，$a$是正整数。本文研究了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$模一个素数$p$，其中$d$和$m$是整数，且$-h<d<=p^a$和$m\not=0 (mod p)$ .我们还研究了涉及高阶Catalan数$C_k^{(h)}=\binom[(h+1)k,k]/(hk+1)$和$\bar C_k^{(h)}=\binomal[(h+1)k,k]*h/(k+1)$的同余。我们的工具包括线性递归和三次剩余理论。文中给出了一些典型结果。(i)如果$p^a=1 (mod 6)$则$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[3k,k]/6^k=2^{(p^a-1)/3}-1 (mod p).$$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[3k,k]/7^k=\cases-2&if p^a=\pm2 (mod 7), \\1&otherwise.$$（ii）我们有$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[4k,k]/5^k=\cases1 (mod p) if p\not=11 and p^a=1 (mod 5), \1/11 (mod p)&if p^a=2,3 (mod 5), \9/11 (mod p) if p^a=4 (mod 5). $$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}C…
On H-Spaces and a Congruence of Catalan Numbers
对$p$为奇素数，$F$为$p$阶循环群，证明了$F$在$SU(p)$中嵌入的共轭类的个数为$(1+C_{p-1})/p$，其中$C_{p-1}$为Catalan数.证明了唯一允许$p$ -局部$H$ -结构的陪集空间$SU(p)/F$是经典李群$PSU(p)$ .我们还表明，$SU(4)/\mathbb Z_3$，其中$\mathbb Z_3$是嵌入偏离中心的$SU(4)$，是一个新的例子，甚至全球的$H$空间。我们将所得结果应用于从$BF$到$BSU(n)$映射的同伦类的研究。
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
Congruences Related to Dual Sequences and Catalan Numbers
在研究对偶序列的过程中，Sun引入了多项式\[ D_n(x,y)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}{x\choose k}y^k\text{ and } S_n(x,y)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{-1-x}{k} y^k. \]，并建立和证明了许多相关的同余式。在这里，我们通过确定\[ \sum_{k=0}^{p-1}D_k(x_1,y_1)D_k(x_2,y_2)\pmod p \text{ and } \sum_{k=0}^{p-1}S_k(x_1,y_1)S_k(x_2,y_2)\pmod p \]对任何奇素数$p$和$p$-adic整数$x_i,\ y_i$与$i\in\{1,2\}$ .考虑到二项式系数和Catalan数之间的直接联系，我们还刻画了\[ \sum_{n=0}^{p-1}\left(\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{C_k}{a^k}\right)^2 \pmod {p}, \]，其中$C_k$表示$k$第卡塔兰数，$a\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}$和$\gcd(a,p)=1$ .这些证实和概括了孙的一些论点。
Congruence properties of combinatorial sequences via Walnut and the Rowland-Yassawi-Zeilberger automaton
某些著名的组合序列，如Catalan数和Motzkin数，当取模一个素数幂时，可以用有限自动机计算。因此，许多关于这样的序列的定理可以使用Walnut来证明，Walnut是用于证明自动序列的各种属性的决策过程的实现。在本文中，我们探讨了一些结果（旧的和新的），可以证明使用这种方法。
On a New Congruence in the Catalan Triangle
本文针对 Catalan 三角形中的数 C(2n,k) 建立新的交错卷积公式，引入 M 和并借助数 T(n,j) 的组合解释，证明该和可被三阶 Fuss-Catalan 数及中心二项式系数整除。
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
A q-analog of Ljunggren's binomial congruence
我们证明了一个$q$ -模拟一个经典的二项式同余由于Ljunggren指出，\[ \binom{a p}{b p} \equiv \binom{a}{b} \]模$p^3$素数$p\ge5$。这一同余式包含并建立在巴贝奇、Wolstenholme和Glasgow的早期同余式的基础上，为此我们回顾了现有的$q$ -类似物。我们的同余推广了Clark的一个较早的结果。
Proofs of two conjectures on Catalan triangle numbers
我们证明了关于Catalan三角数乘积和的两个定理，这两个定理最初是由Miana，Ohtsuka和Romero [Discrete Math.340（2017），2388- 2397]证明的。第一个是用Zeilberger算法证明的，第二个是通过建立它的$q$ -模拟来证明的。
Some observations about super Catalan numbers, corresponding orthogonal polynomials, and their q-analogues
本文综述了矩是超Catalan数倍数的多项式，并探讨了两种不同的q-模拟。
A q-analogue of Catalan Hankel determinants
在本文中，我们将调查的各种方法，评估汉克尔行列式，并作为一个例子，我们评估一些汉克尔行列式的q-类似的Catalan数。这里我们考虑$\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$作为加泰罗尼亚数$C_{n}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$的q-模拟，它被称为小q-雅可比多项式的矩。我们也给出了这个q-模拟的几个证明，其中我们使用格路径，正交多项式，或基本的超几何级数。我们还考虑了Schröder Hankel行列式的一个q-模拟，并利用${}_2F_{1}$的加法公式给出了Moztkin Hankel行列式的一个新证明.
$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements
本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。
On super Catalan polynomials
我们提出了一个超Catalan数$(2m)!(2n)!/2m!n!(m+n)!$的$q$ -模拟，它也推广了由于Fürlinger和Hofbauer，对于$λ=0$和$λ=1$的$q$ -Catalan数$c_n(λ)$。当$m=2$。
The central component of a triangulation
多边形三角剖分的中心分量定义为包含其几何中心的三角形或直径。更一般地，每个多边形剖分包含中心分量。利用这一概念，我们导出了Catalan数和$k$ -Catalan数的新递归式，并利用这些递归式证明了这些数的同余关系.我们还列举了三角剖分，其中包含一个固定的顶点在其中心组件。
A generalization of the Gaussian formula and a q-analog of Fleck's congruence
q-二项式系数是传统二项式系数的多项式表兄弟，并且二项式系数的许多恒等式可以被转换成该多项式设置。例如，帕斯卡三角形的第n行的交替和的熟悉的消失被所谓的高斯公式捕获。在本文中，我们找到了一个q-二项式同余，它综合了这个结果和Fleck的二项式系数的同余。
Continuous Analogues for the Binomial Coefficients and the Catalan Numbers
利用凸多胞体理论、格路径理论和对定向流形的间接影响理论，我们构造了二项式系数和Catalan数的连续类似物。我们构建这些类似物的方法可以应用于各种各样的组合序列。作为一个应用，我们开发了一个连续模拟的二项分布。
Congruences modulo cyclotomic polynomials and algebraic independence for $q$-series
证明了$q$ -阶乘比的多重和的模分圆多项式的同余关系，从而推广了许多著名的$p$ -Lucas同余关系.这样的同余将各种经典生成级数与它们的$q$ -类似物联系起来。利用这一点，我们证明了一个传播现象：当这些生成系列是代数独立的，这也是他们的$q$ -类似物的情况。
q-Catalan numbers and q-Narayana polynomials
本文证明了Catalan数的各种自然q-模拟可以用统一的方法得到。此外，我们还计算了它们的汉克尔行列式。
Eulerian-Catalan Numbers
证明了Eulerian-Catalan数能枚举Dyck置换。我们提供了两个证明这一事实，第一个使用的几何凹多面体和第二个直接组合证明通过欧拉-加泰罗尼亚模拟的Chung-费勒定理。
A method for determining the mod-$p^k$ behaviour of recursive sequences
本文提出一种推导满足代数微分方程的组合序列模素数幂同余式的方法，将既有方法从 $p=2$ 推广到任意素数，并用于多类组合数的同余证明。
Catalan pairs and Fishburn triples
Disanto，Ferrari，Pinzani和Rinaldi引入了“Catalan pair”的概念，这是一对满足某些公理的偏序（S，R）。他们已经表明，加泰罗尼亚对提供了一个自然的描述对象属于几个类列举的加泰罗尼亚数。在本文中，我们首先介绍另一个公理结构（T，R），我们称之为“2型加泰罗尼亚对”，它描述了某些加泰罗尼亚对象，似乎没有一个简单的解释，在原来的加泰罗尼亚对。然后，我们引入“菲什伯恩三元组”，这是一个直接的共同推广的两种类型的加泰罗尼亚对关系结构。Fishburn三元组以一种自然的方式编码由Fishburn数枚举的对象的结构，例如区间顺序或Fishburn矩阵。Catalan对象和Fishburn对象之间的这种联系使我们能够将Catalan对象的已知统计数据与Fishburn对象的类似统计数据相关联。作为我们的主要结果，我们然后表明，几个已知的equidistribution加泰罗尼亚统计结果可以推广到类似的结果Fishburn统计。
Some q-congruences related to 3-adic valuations
1992年Strauss，Shallit和Zagier证明了对任何正整数$a$，我们都有$$\sum_{k=0}^{3^a-1}\binom{2k}{k}=0 (mod 3^{2a})$$和$$3^{-2a}}\sum_{k=0}^{3^a-1}\binom{2k}k=1 (mod 3).$$。本文证明了Guo-Zeng猜想，并给出了后者的一个$q$ -模拟.
Shifted Hankel determinants of Catalan numbers and related results
在这篇（部分暂时性）论文中，我们给出了一个简短的概述加泰罗尼亚数序列和汉克尔行列式之间的密切关系，从正交多项式的角度来看，并表明，一个类似的情况存在更一般的序列。
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
Some observations about determinants which are connected with Catalan numbers and related topics
在这篇（大部分是临时性的）论文中，我想分享一些由一类行列式是卡塔兰数的矩阵引起的观察。考虑到不同的证明方法，我们得到了一些推广和q-类似物和汉克尔行列式的连接。最后，我们陈述了一些建议。
A refined $q$-analogue of some congruences of Van Hamme
本文受 Guo 近期工作启发，为 Van Hamme 的 (B.2)、(E.2)、(F.2) 超同余式建立了统一的 q-模拟，并由此导出与 Euler 多项式相关的含参数超同余式。
Rational parking functions and Catalan numbers
经典的停车函数，以Cayley数（n+1）^（n-1）计数，带有对称群S_n的自然置换表示，其中轨道数是第n个Catalan数。在本文中，我们将这种设置推广到有理停车功能的一对（a，b）互质正整数。我们证明了这些由b^（a-1）计数的停泊函数携带S_a的一个置换表示，其中轨道数是一个有理Catalan数。计算了（a，b）-parking函数的S_a-模的Frobenius特征。接下来，我们提出了一个组合公式的q-模拟的合理卡塔兰数，并将此公式的q-二项式系数的一个新的组合模型。最后，我们讨论了有理Catalan数和停车函数的q，t-类似物（推广了经典情况下的shuffle猜想），并提出了几个示意图。
Combinatorial interpretations of Lucas analogues of binomial coefficients and Catalan numbers
卢卡斯序列是s和t中的多项式序列，递归地定义为{0}=0，{1}=1，并且{n}=s{n-1}+t{n-2}，其中n >= 2。在s和t的特殊化上，可以恢复斐波那契数、非负整数和q-整数[n]_q。给定一个用非负整数的乘积和乘积表示的量，通过用{n}替换表达式中n的每个因子，可以得到一个卢卡斯类比。然后，很自然地会问，所得到的有理函数是否实际上是s和t中具有非负整数系数的多项式，如果是，它算什么。第一个简单的组合解释这个多项式类似的二项式系数是由萨根和萨维奇，虽然他们的模型抵制被用来证明身份，这些卢卡斯nomials或扩展他们的想法，以其他组合序列。本文的目的是给出一个新的，甚至更自然的模型，这些Lucasnomials使用格路径，可用于证明各种等式，以及扩展到Catalan数及其亲属，如有限Coxeter群。
Mixed Dimer Models for Euler and Catalan Numbers
本文研究带状斜 Young 图的混合二聚体覆盖计数，证明直线形和之字形分别对应 Euler 数与 Catalan 数，并借助偏序同构得到相应 q-类似物。
Hankel determinants of convolution powers of Catalan numbers revisited
本文利用推广的 Andrews-Wimp 定理，简洁证明了 Catalan 数卷积幂平移的 Hankel 行列式，并推广至 Narayana 多项式。
A self-dual poset on objects counted by the Catalan numbers and a type-B analogue
我们引入了两个偏序集，$P^A_n$和$P^B_n$，与类型A和类型B的非交叉分划格具有相同的基数。$P^A_n$和$P^B_n$的基集是对称和超八面体群的子集，由避免某些模式的排列组成。顺序关系由下降集的（严格）包含给出。在每种情况下，通过一个显式的保序双射，我们证明了限制置换的偏序集是非交叉划分上加细序的扩展。这些置换偏序集的几个结构性质如下，包括自对偶和强Sperner性质。我们还讨论了偏序集$Q^A_n$和$Q^B_n$同样与非交叉分区，定义的对称和超八面体群的适当的模式避免子集的过剩集。
Pattern-avoidance and Fuss-Catalan numbers
该研究探讨带模k同余限制的排列及次上溢函数在模式规避下的计数，得到其与Fuss-Catalan数、Raney数的关联，并完成双长度3模式规避的模k交错排列的完全枚举，对应Simion与Schmidt的经典研究。
Catalan numbers and Schubert polynomials for $w=1(n+1)... 2$
证明了当$w=1(n+1)...2$满足时，Schubert多项式S_w特殊化为Catalan数C_n.这个结果的几个证明以及一个q-模拟。给出了Schubert簇的奇异性的一个应用。
Some congruences related to the q-Fermat quotients
我们给出了下列同余的q-模拟。W.孙：\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k} \equiv - \frac{2^{p-1}-1}{p} \pmod p，\\ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{H_k}{k 2^k} \equiv 0 \pmod{p}，\quad p \geqslant 5，其中p是素数，D_n= \sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}是Delannoy数，H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}是调和数.证明了对任意正整数m和素数p>m+1，有\sum_{1\leqslant k_1\leqslant \cdots \leqslant k_m\leqslant p-1} \frac{1}{k_1\cdots k_m 2^{k_m}} \equiv \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{p-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k^m} \pmod p，它是Kohnen同余式的多重推广.此外，还建立了这个同余式的一个q-模拟。
Cassini-Catalan Determinants via Ramanujan's Theta Identity
本文利用拉马努金 theta 恒等式统一推导 Fibonacci 数的 Cassini 与 Catalan 行列式，并推广到划分细化版本及高阶递推，揭示其模形式来源与组合意义。
Some remarks about q-Chebyshev polynomials and q-Catalan numbers and related results
第一类卢卡斯多项式和切比雪夫多项式的矩是中心二项式系数的（倍数），第二类斐波那契多项式和切比雪夫多项式的矩是卡塔兰数。在这篇综述论文中，我们提出了一些推广这些结果连同各种q-类似物。
Some identities for the Catalan and Fine numbers
我们建立了几个身份的加泰罗尼亚和罚款数的组合解释，一路上，我们提出了一些新的双射的独立利益。简单地说，我们证明了C_{n} = 1/（n+1）Sum_{k}（n+1）choose（2k+1）（n+k）choose（k）通过与叶子相邻的内部顶点的数量来计数n条边上的有序树，并且C_{n} = 2/（n+1）Sum_{k}（n+1）choose（k+2）（n-2）choose（k）通过长内部倾斜的数量来计数Dyck n-路。我们也给出了一个类似的罚款数Touchard的Catalan数的身份。
On Semisymmetric Height and a Multidimensional Generalization of Weighted Catalan Numbers
本文引入了多维半对称加权卡特兰数及其变体，通过半对称高度定义，并证明了其模数的周期性和推导了相关公式，还推导了多维设置下的新类比。
Some q-analogues of (super)congruences of Beukers, Van Hamme and Rodriguez-Villegas
对任意奇素数p，我们得到了Van Hamme超同余的q-模拟：$$ \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{2k\choose k}^3\frac{1}{64^k} \equiv 0 \pmod{p^2} \quad\text{for}\quad p\equiv 3\pmod 4, $$和Rodriguez-Villegas的含三个二项式系数乘积的Beukers超同余.例如，我们证明了\begin{align*} \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}} {2k\brack k}_{q^2}^3 \frac{q^{2k}}{(-q^2;q^2)_k^2 (-q;q)_{2k}^2} &\equiv 0\pmod{[p]^2} \quad\text{for}\quad p\equiv 3\pmod 4, \\ \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{2k\brack k}_{q^3}\frac{(q;q^3)_k (q^{2};q^3)_{k} q^{3k} }{ (q^{6};q^{6})_k^2 } &\equiv 0 \pmod{[p]^2}\quad\text{for}\quad p\equiv 2\pmod{3}, \end{align*}，其中$[p]=1+q+\cdots+q^{p-1}$、$(a;q)_n=(1-a)(1-aq)…
A method for determining the mod-$2^k$ behaviour of recursive sequences, with applications to subgroup counting
本文给出了一种求多项式系数有限深度递归序列模2幂同余的方法。我们将这种方法应用于Catalan数，Fuel-Catalan数，和子群计数函数与Hecke群及其升降机。这导致了许多新的结果，包括许多已知结果的扩展到更高的权力2。
Congruences modulo powers of $3$ for $6$-colored generalized Frobenius partitions
本文研究6色广义弗罗贝尼乌斯划分函数cϕ_6(n)的同余性质，采用Banerjee和Smoot发展的方法验证了Gu等人提出的猜想。
An identity relating Catalan numbers to tangent numbers with arithmetic applications
本文证明了一个将Catalan数与tangent数联系起来的组合恒等式，由此引出新的恒等式并应用于证明整除性质，同时给出了其$q$-模拟及组合证明。
On Weighted and Bounded Multidimensional Catalan Numbers
本文定义了多维卡特兰数的加权版本，推导了矩阵递推和周期性条件，并引入两个新三角数组分别枚举精确高度的平衡选票路径和推广的 Narayana 数。
Identities and Generating Functions of Products of Generalized Fibonacci numbers, Catalan and Harmonic Numbers
本文研究了广义 Fibonacci 与 Lucas 数类的性质，获得了著名 Fibonacci 恒等式的类比及乘积卷积新恒等式，并写下了其乘积、多截、调和数与 Catalan 数的生成函数。
q-analogues of the G.2 Supercongruence of Van Hamme
该研究受同余与q-同余研究启发，用创造性显微术方法首次给出Van Hamme的（G.2）超同余的两种直接q-模拟，还提出了与Swisher的Dwork型超同余（G.3）相关的猜想。
Harmonic Catalan Number Series via Half-Integer Binomial Coefficients
该研究通过半整数参数的交替二项式恒等式，结合广义二项式系数的显式表示与相关恒等式，推导出含卡特兰数、调和数的闭式求和公式，为转化恒等式提供了系统机制。
Multiplicative congruences for Andrews's even parts below odd parts function and related infinite products
本文证明了Andrews的奇部之下偶部分拆函数$\overline{\mathcal{EO}}(n)$及相关无穷乘积模$2^{12}$的乘法同余，核心方法结合了Fricke对合与Newman的半整数权Hecke算子技术。
An involution for a Catalan-tangent number identity
本文通过反演方法证明了一个Catalan数与正切数的恒等式，并推导出其两种不同的$q$-泛化形式。
Enumeration of connected Catalan objects by type
非交叉集合划分、非嵌套集合划分、戴克路径和有根平面树是四类带有类型概念的加泰罗尼亚对象。存在一个乘积公式，它根据类型枚举这些对象。我们定义了一个概念，这些对象的“连通性”，并证明了一个类似的产品公式，计数连接对象的类型。这个乘积公式的证明是组合的和双射的。我们扩展到一个产品的公式，计算对象与一个固定的类型和数量的连接组件。我们把我们的乘积公式与由停车函数产生的对称函数联系起来。最后，我们提出了另一种证明我们的产品公式传达给我们的基督教Krattenthaler使用生成函数和拉格朗日反演。
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