带受限奇数差的重分拆模5同余的基本证明
Elementary proofs of congruences modulo 5 for overpartitions with restricted odd differences
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- University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
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中文总结 AI 辅助
本文针对Hanson和Smith在2023年利用模形式证明的关于重分拆函数$\overline{t}(n)$的两个模5同余式，给出了一个完全初等的证明方法。
中文摘要 AI 辅助
2015年，Bringmann、Dousse、Lovejoy和Mahlburg定义了函数$\overline{t}(n)$，表示权重为$n$的重分拆数，其中(i)两个连续部分之间的差可能为奇数，仅当较大部分带有上划线；(ii)如果最小部分为奇数，则它必须带有上划线。在他们的工作中，他们证明了$\overline{t}(n)$满足一个优美的模3同余式。此后，许多作者研究了$\overline{t}(n)$满足的算术性质。特别是，在2023年，Hanson和Smith利用模形式理论证明了以下两个模5同余式：对所有$n\geq 0$，\begin{align*} \overline{t}(80n+40)\equiv \overline{t}(80n+60)\equiv 0 \pmod{5}. \end{align*} 我们在这项工作中的目标是提供这一对同余式的真正初等证明。
英文摘要
In 2015, Bringmann, Dousse, Lovejoy, and Mahlburg defined the function $\overline{t}(n)$ to be the number of overpartitions of weight $n$ where (i) the difference between two successive parts may be odd only if the larger part is overlined and (ii) if the smallest part is odd then it is overlined. In their work, they proved that $\overline{t}(n)$ satisfies an elegant congruence modulo 3. Since then, a number of authors have studied arithmetic properties satisfied by $\overline{t}(n)$. In particular, in 2023, Hanson and Smith utilized the theory of modular forms to prove the following two congruences modulo 5: For all $n\geq 0$, \begin{align*} \overline{t}(80n+40)\equiv \overline{t}(80n+60)\equiv 0 \pmod{5}. \end{align*} Our goal in this work is to provide a truly elementary proof of this pair of congruences.
