On a congruence involving $q$-Catalan numbers
基于作者和Petrov的一个$q$ -同余式，我们建立了Sun-Tauraso关于Catalan数和的一个$q$ -同余式的一个类似，它推广了Tauraso的一个$q$ -同余式.
2019-02-26 math.CO math.NT
The odd Catalan numbers modulo 2^k
本文研究了模2^k（k >= 2）的奇Catalan数C_n的性质。我们证明了模2^k的奇Catalan数只存在k - 1个不同的同余。此外，这些同余式可以通过C_{2^m - 1}（mod 2^k）获得，其中m = 1，2，.，k - 1
2011-01-10 math.CO math.NT
Proof of Sun's supercongruence involving Catalan numbers
我们确认了一个包含Catalan数的代数超同余，它是Sun的100个同余公开证明之一。利用超几何级数恒等式和符号求和方法证明了该定理。
2020-01-12 math.CO math.NT
The Hankel Transform of the Sum of Consecutive Generalized Catalan Numbers
讨论了元素为连续广义Catalan数之和的序列的Hankel变换的性质，并求出了其闭值。
2006-04-19 math.CO math.NT
Supercongruences for the Catalan-Larcombe-French numbers
在Catalan-Larcombe-French序列的背景下，我们发展了Stienstra-Beukers超同余理论。我们也给出了一些应用到其他序列。
2009-06-19 math.CO math.NT
On a New Alternating Convolution Formula for the Super Catalan Numbers
我们提出了一个新的交替卷积公式的超Catalan数，这是作为两个已知的二项式恒等式的推广。我们证明了这个公式的推广使用辅助和，递归关系，归纳。利用一种新的方法证明了一个关于超Catalan数的有趣整除性结果。
2021-10-10 math.CO math.NT
An integral representation of Catalan numbers using Malmstén's formula
本文基于Malmstén对Gamma函数对数的定积分表示，提出了Catalan数的积分表达式，该表达式有望产生涉及Catalan数或中心二项式系数的新求和。
2024-10-11 math.CO math.NT
Are the Catalan Numbers a Linear Recurrence Sequence?
我们通过提供四个证明来否定地回答标题中的问题。
2021-07-22 math.CO math.NT
On a family of infinite series with reciprocal Catalan numbers
研究了一类具有Catalan数倒数的无穷级数.我们首先评估两个特殊的候选人的家庭在封闭的形式，我们也提出了一些加泰罗尼亚斐波那契关系。然后，我们重点讨论了该族的一般性质，并证明了显式公式，包括两种类型的整表示。
2022-01-05 math.CO math.NT
Tangent and Bernoulli numbers related to Motzkin and Catalan numbers by means of numerical triangles
它表明，伯努利数和正切数（正切函数在零处的导数）可以通过几种方式，其中一些非常类似于加泰罗尼亚三角形和Motzkin三角形的数字的三角形容易定义。为了证明这一点，我们的出发点是涉及Motzkin路径的Zeta（2n）的新表达式。
2001-09-17 math.CO math.NT
Exotic series with Bernoulli, harmonic, Catalan, and Stirling numbers
在本文中，我们提出了一个公式，产生各种异国情调的系列的精神Ovidiu Furdui和Alina Sintamarian。我们的新系列（封闭形式评估）涉及伯努利，调和和加泰罗尼亚数。还有第二类斯特林数、其他特殊数和指数多项式。所得结果包括拉盖尔多项式和错位多项式的级数恒等式。
2021-10-02 math.CO math.NT
Perfect powers in Catalan and Narayana numbers
当Catalan数或Narayana数是（非平凡的）完全幂时？对于Catalan数，我们证明了答案是“永远不会”。然而，我们证明，对于每个b，Narayana数N（a，b）是一个（非平凡）完满平方的无限多个值的a，我们展示了如何计算所有的。我们还猜想，N（a，b）是从来没有一个（非平凡）完美的k次幂k大于2，我们证明了这个猜想的一些情况。
2013-06-25 math.CO math.NT
On Series Involving Cubed Catalan Numbers
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）
本文利用广义二项式系数恒等式和Dougall的结果，推导出涉及卡特兰数立方的级数家族，并建立包含四次方卡特兰数的级数家族，还推广了Bauer级数用于1/π，并得到一些Ramanujan-like级数用于1/π²和1/π³。
2026-04-01 math.CO math.NT
Proofs of two conjectures on Catalan triangle numbers
我们证明了关于Catalan三角数乘积和的两个定理，这两个定理最初是由Miana，Ohtsuka和Romero [Discrete Math.340（2017），2388- 2397]证明的。第一个是用Zeilberger算法证明的，第二个是通过建立它的$q$ -模拟来证明的。
2018-06-06 math.CO math.NT
Fibonacci-Catalan Series
我们研究了某些系列与Catalan数和倒数Catalan数，分别，并提供看似新的封闭形式评估这些系列与Fibonacci（卢卡斯）条目。此外，我们还陈述了一些可以从级数中推断出的组合和。
2022-04-09 math.CO math.NT
Notes on the Divisibility of Divisor Sums of Catalan Numbers
本文研究卡塔兰数的约数和函数σ(C_n)的可除性，建立6k-1型素因子条件与可除性判据，并用de Bruijn定理给出渐近估计，揭示其算术结构。
2026-10-20 math.CO math.NT
Some congruences for the second-order Catalan numbers
设p为任意奇素数。主要证明了$$\sum_{k=1}^{p-1}binomial(3k,k)*2^k/k=0 (mod p)$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}2^{k-1}C_k^{(2)}=(-1)^{(p-1)/2}-1 (mod p),$$，其中$C_k^{(2)}=binomial(3k,k)/(2k+1)$是$k$阶Catalan数.
2009-09-27 math.CO math.NT
$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements
本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。
2025-05-14 math.CO math.NT
A study of a recursive sequence of polynomials revealing weighted Catalan Numbers
研究递归多项式序列$p_n(x)$，推导系数递归公式，发现其与加权卡特兰数的组合联系，揭示域论背景下的不变量。
2025-01-23 math.CO math.NT
A new approach to Catalan numbers using differential equations
本文引入了两个由Catalan数的母函数所产生的微分方程，它们在某种意义上是“逆”的。从这些微分方程，我们得到了一些新的和明确的身份，Catalan和高阶Catalan数。此外，通过其他手段比微分方程，我们也得到了一些有趣的身份涉及加泰罗尼亚数的算术和组合的性质。
2016-05-19 math.NT
A note on Catalan numbers associated with p-adic integral on Zp
本文研究了可由Zp上的p-adic积分表示的Catalan数，并研究了与Catalan数和特殊数有关的一些性质和公式。
2016-06-01 math.NT
Asymptotic density of Catalan numbers modulo 3 and powers of 2
我们建立了Catalan数模3和模2的幂的渐近密度。
2016-12-24 math.NT
Factoring Numbers with elliptic curves
在本文中，我们提供了一个概率多项式时间算法，减少了任何平方自由整数$n$的完全因式分解，以计数点的椭圆曲线模$n$，成功的概率$1-\varepsilon$，对于任何$\varepsilon<0$。
2022-10-14 math.NT
Multinomial Catalan Numbers and Lucas Analogues
该研究提出卡特兰数的多项式系数新推广形式，通过数论方法分析其及卢卡斯诺米推广的整性，完整刻画了除有限例外外对应数为整数的正则卢卡斯序列。
2024-10-07 math.NT
p^q-Catalan Numbers and Squarefree Binomial Coefficients
本文考虑广义Catalan数F（s，n）= 1/（（s-1）n+1）binom{sn}{n}.我们找到所有的$n$，使得对于$p$素数，p^q整除F（p^q，n），q>=1。作为一个副产品，我们解决了Hough和已故Simion关于4-Catalan数的整除性的问题。我们还证明了\binom{p^qn+1}{n}，p^q<=99999，是无平方的n足够大（明确），并与广义加泰罗尼亚数的帮助下，我们找到了可能的例外。作为结果，我们得到binom{4 n +1}{n}，binom{9 n +1}{n}对于n> 2^{1518}，分别n>3^{956}是无平方的，最多有2^{18.2}，分别3^{15.3}个可能的例外。
2000-10-15 math.NT
Catalan and Motzkin Integral Representations
给出了Catalan数的八个整表示的新证明。然后，我们构造了Motzkin数的类似的整表示，得到了新的结果.利用先进的数学技巧证明了文献中发现的计数序列的大多数整表示。本文中的所有整表示都是用积分学中的标准技巧证明的。因此，我们提供了一个更简单的方法证明整表示的加泰罗尼亚和Motzkin数。
2019-01-21 math.NT
The Catalan numbers have no forbidden residue modulo primes
设$C_n$是第$n$个Catalan数。对于任何素数$p \geq 5$，我们证明了集合$\{C_n : n \in \mathbb{N} \}$包含所有mod $p$的残基。此外，所有的剩余都是无限频繁地得到的。任何正整数都可以表示为中心二项式系数模$p$的乘积。$C_n \mod p$的自动机的有向子图由恒定状态和它们之间的转换组成，具有访问所有顶点的循环。
2017-03-08 math.NT
Structure and asymptotics for Catalan numbers modulo primes using automata
设$C_n$是第$n$个Catalan数。我们证明了集合$\{n: C_n \equiv 0 \mod p \}$的渐近密度是$1$，对所有素数$p$，我们还证明了如果$n = p^k -1$，则$C_n \equiv -1 \mod p$。最后我们证明了如果$n \equiv \{ \frac{p+1}{2}, \frac{p+3}{2}, ..., p-2 \} \mod p$，则$p$整除$C_n$。所有结果都是使用罗兰和Yassawi的自动机方法获得的。
2017-01-11 math.NT
Jacobi polynomials and congruences involving some higher-order Catalan numbers and binomial coefficients
本文研究了二项式系数乘积和上的同余式，并利用雅可比多项式的性质证明了这类同余式。我们特别注意多项式同余包含Catalan数，二阶Catalan数，序列（\seqnum{A176898}）$S_n=\frac{{6n\choose 3n}{3n\choose 2n}}{2{2n\choose n}(2n+1)},$和二项式系数${3n\choose n}$和${4n\choose 2n}$。作为一个应用，我们讨论了Z的几种结构。W. Sun关于涉及$S_n$的和的同余的结果，我们证明了一个关于二项式系数${3n\choose n}$和的三次剩余性准则H.太阳
2015-12-18 math.NT
Sums of powers of Catalan triangle numbers
在本文中，我们考虑组合数$C_{m, k}$为$m\ge 1$和$k\ge 0$，它统一了加泰罗尼亚三角形$ B_{n, k}$和$ A_{n, k}$的条目，参数$m$和$k$的适当值，即，$B_{n, k}=C_{2n,n-k}$和$A_{n, k}=C_{2n+1,n+1-k}$。事实上，其中一些数字是著名的加泰罗尼亚数字$C_n$，即$C_{2n,n-1}=C_{2n+1,n}=C_n$。给出了$C_{m,k}$的递推关系、线性和及交错和的新恒等式.之后，我们检查$C_{m,k}$的平方和和立方的和（以及交替和），从而检查$ B_{n, k}$和$ A_{n, k}$。特别是，这些等式之一解决了\cite{[GHMN]}中提出的一个开放问题。我们还提出了一些涉及调和数$H_n$和Catalan三角形数$C_{m,k}$的线性恒等式.最后，在最后一节中，新的开放问题和涉及$C_n$的身份被澄清。
2016-02-13 math.NT
A uniformly convergent Series for $ζ(s)$ and closed Formulas, that include Catalan Numbers
存在一个无穷级数的比率，通过它可以从卡塔兰数和出现在级数项中的中心二项式系数导出黎曼ζ函数$ζ(s)$。虽然不可否认的推导并不深入，但它确实表明了黎曼ζ函数的一些组合方面。但我们实际上也发现了四个新的闭公式，其中包括一个公式，通过该公式可以计算$ζ(s)$为一个可数无穷多个离散正值的$s$，其中该公式包含加泰罗尼亚数不是在无穷级数。黎曼ζ函数在物理学中有应用，例如在与卡西米尔效应相关的计算中。我们的结果表明，在一定条件下，黎曼ζ函数，组合数学，加泰罗尼亚数，中心二项式系数和内容的超球之间的联系。
2010-08-20 math.NT
On oracle factoring of integers
我们提出了一个预言因式分解算法，发现一个非平凡的因素，几乎所有的正整数$n$的基础上的知识，在某些椭圆曲线上的剩余环模$n$的点的数量。
2023-01-25 cs.CC math.NT
