Self-describing sequences and the Catalan family tree
引入了有限整数序列的一种变换，证明了在这种变换下，每个序列最终都是稳定的，并且证明了不动点的个数是由Catalan数来计算的。固定的序列正是那些描述自身的序列--每一项$t$都等于前面小于$t$的项的数目。此外，我们提供了一个简单的方法来枚举所有这些自我描述的序列，通过组织它们在一个加泰罗尼亚树与一个特定的标签系统。
2003-05-22 math.CO
On Series Involving Cubed Catalan Numbers
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）
本文利用广义二项式系数恒等式和Dougall的结果，推导出涉及卡特兰数立方的级数家族，并建立包含四次方卡特兰数的级数家族，还推广了Bauer级数用于1/π，并得到一些Ramanujan-like级数用于1/π²和1/π³。
2026-04-01 math.CO math.NT
Chebyshev Polynomials and Statistics on a New Collection of Words in the Catalan Family
最近，一类新的词L_n被证明与一个具有第（n-1）阶Catalan数基数的长为2n的Dyck路子集成双射.在这里，我们考虑L_n上记录字母i出现次数的统计。在i = 0和i = 1的情况下，我们能够确定L_n中含有给定数目的0或1的成员数的显式表达式，推广了先前的结果。为此，我们利用递归推导出母函数满足的函数方程，并通过采用切比雪夫多项式的新方法求解该方程。在一般情况下，给出了递推公式和母函数公式。
2014-07-14 math.CO
Catalan numbers as discrepancies for a family of substitutions on infinite alphabets
在这项工作中，我们考虑一类替代无限的字母表，并表明，他们表现出增长的行为是不可能的替代有限的字母表。虽然对于这两种设置，瓦片计数函数的首项是指数的（并且由膨胀因子引导），但是二阶项的行为是显著不同的。对于有限设置，已知第二项也是指数或指数乘以多项式。我们展示了一个大家庭的例子，其中第二项至少是指数的$n$除以半整数幂的$n$，其中$n$是取代步骤的数量。特别是，我们提供了一个身份的加泰罗尼亚数的线性组合方面的这种差异。
2023-03-11 math.CO math.DS
Random graphs induced by Catalan pairs
我们认为加泰罗尼亚对图，一个家庭的图形，可以被视为代表某些相互作用对对象的列举的加泰罗尼亚数。本文研究了随机Catalan对图，并给出了随机Catalan对图的一些性质。特别是，我们渐近确定的预期数量的边缘和孤立的顶点，更一般地说，我们确定的预期数量的（诱导）子图同构于一个给定的连通图。
2019-02-24 math.CO
On Explicit Probability Densities Associated with Fuss-Catalan Numbers
本文给出了一类概率密度族，其矩是Fuss-Catalan数。密度在随机矩阵、自由概率和其他背景下自然出现。
2010-08-02 math.CO math.PR
On One-Parameter Catalan Arrays
我们提出了一个参数家庭的Riordan阵列，这是通过乘以任何Riordan阵列的广义Pascal阵列。特别是，我们专注于一些有趣的单参数加泰罗尼亚三角形的性质。我们得到了几个组合恒等式，涉及两个特殊的加泰罗尼亚矩阵，切比雪夫多项式的第二类，一些周期序列，和斐波那契数。
2015-05-21 math.CO
$d$-orthogonal polynomials, Fuss-Catalan matrices and lattice paths
本文利用$d$-正交多项式定义Fuss-Catalan-Riordan阵列，并建立其与Fuss Catalan数和格路的联系，强调生产矩阵的作用。
2025-05-22 math.CO
Partitions, pairs of trees and Catalan numbers
在“Square partitions and Catalan numbers”（arXiv 0912.4983）中，Bennett等人提出了一种递归算法，可以从一个或多个分区创建一个分区族。他们主要感兴趣的情况下，当我们开始与一个单一的广场分区或与几个分区只有一个部分。这些划分族的基数分别是加泰罗尼亚和选票数。在本文中，我们提出了一个封闭的描述这些家庭。我们还提出了双射之间的分区和集合的树木和森林列举的加泰罗尼亚投票号码。
2010-06-29 math.CO
(k,m)-Catalan Numbers and Hook Length Polynomials for Plane Trees
由A.在Postnikov有关二叉树的基础上，我们定义了m元树和平面森林的钩长多项式，并证明了这些多项式有一个简单的二项式表达式。这个表达式的整数值是C_{k,m}（n）= \frac{1}{mn+1}{(mn+1)k \choose n}，我们称之为（k，m）-Catalan数。为了证明钩长公式，我们还引入了一个组合族，（k，m）-ary树，这是计数的（k，m）-Catalan数。
2005-09-14 math.CO
A Family of Generating Functions for Reciprocal Binomial Coefficients and Its Applications
本文提出递归二项式系数的生成函数族，推导相关恒等式并展示其在无限序列评估中的应用。
2026-02-08 math.CO
Ascent sequences and the binomial convolution of Catalan numbers
在本文中，我们考虑了两组避免模式的上升序列：那些避免201和210和那些避免0021。在每种情况下，我们表明，这种上升序列的数量是由二项式卷积的加泰罗尼亚号码。$\{201, 210\}$ -回避者的结果完成了Baxter和当前作者在以前的论文中给出的结果族。0021回避者的结果，加上邓肯、斯坦格里姆松、曼苏尔和沙塔克之前的工作，完成了威尔夫对上升序列长度为4的单一模式的分类。
2014-10-27 math.CO
Some relatives of the Catalan sequence
研究了一类序列$c_n(a_2,\ldots,a_r)$，其中$r\ge2$和$a_2,\ldots,a_r$是实参数.我们找到了序列$c_n(a_2,\ldots,a_r)$正定性的一个充分条件，并检验了OEIS中的几个例子。研究了这类序列与自由卷积和单调卷积的关系。
2019-07-24 math.CO math.PR
Catalan Recursion on Externally Ordered Bases of Unit Interval Positroids
卡塔兰数形成了一个序列，可以计数超过200个组合对象。Catalan数的一个显着的性质，它延伸到这些对象，是它的递归定义;也就是说，我们可以确定$n^{th}$对象从以前的。拟阵是组合对象，它推广了线性独立的概念，并与其他数学领域有联系。单位区间拟阵（UIP）是由单位区间阶反邻接矩阵诱导的Catalan对象。与每个UIP相关联的是外部有序基的集合，由于Las Vergnas，它在邻接底部元素后产生晶格。研究了外序UIP基的偏序集和隐含Catalan诱导递归。解释，我们描述了一个算法，用于构建一个秩$n$ UIP从低秩的格。利用其固有的组合结构，我们定义了一个简单的公式来枚举一个给定的UIP基地。
2019-12-17 math.CO
Asymptotic expansions for the reciprocal Hardy-Littlewood logarithmic integrals
本文通过定义一族递推关系推广Comtet公式与Panaitopol渐近展开，从而获得与第一哈代-利特尔伍德猜想相关的倒数对数积分的渐近展开。
2024-12-27 math.CO math.NT
Characterizations of the Borel triangle and Borel polynomials
利用Riordan阵列理论给出了Borel三角形及其多项式序列的特征。证明了Borel多项式是系数列为Riordan列的正交多项式族的矩量序列。加泰罗尼亚矩阵在定义博雷尔三角形的作用进行检查。我们将Borel三角形推广到一个两参数三角形族。生成函数表示为雅可比连分数，以及适当的二次表达式的零点。博雷尔三角形表现为矩阵的阿达玛积。我们研究的三角形的反转。我们引入了Fuss-Borel三角形和Fuss-Catalan三角形的概念。最后，我们谈谈加泰罗尼亚三角区。
2020-01-23 math.CO
Sweep maps: A continuous family of sorting algorithms
我们在格路径上定义了一个映射族，称为扫描映射，它为路径中的每个步骤分配级别，并根据级别对步骤进行排序。令人惊讶的是，尽管扫描映射通过排序来起作用，但它们通常似乎是双射的。扫描地图给出了简洁的组合公式的q，t-加泰罗尼亚数，较高的q，t-加泰罗尼亚数，q，t平方数，和许多更一般的多项式连接到纳布拉算子和理性加泰罗尼亚组合。我们证明了许多算法，已经出现在文献中（包括地图研究的安德鲁斯，Egge，Gorsky，Haglund，Hanusa，Jones，Killpatrick，Krattenthaler，Kremer，Orsina，Mazin，Papi，Vaille，和本作者）都是特殊情况下的扫描地图或其逆。扫描图为理解所有这些算法提供了一个非常简单的统一框架。我们解释如何反转的扫描映射（这是一个开放的问题，在一般情况下）可以解决在已知的特殊情况下，找到一个“反弹路径”的晶格路径正在考虑。我们还定义了一个广义扫描映射作用于任意字母表上的任意权重的词，这也是证明是双射的。
2014-06-04 math.CO
Generalized $q,t$-Catalan numbers
最近的工作的第一作者，Negut和Rasmussen，和Oblomkov和Rozansky的背景下Khovanov-Rozansky结同源产生一个家庭的多项式在$q$和$t$标记的整数序列。这些多项式可以表示为旗Hilbert格式上某些线丛的等变欧拉示性数。$q,t$ -Catalan数和它们的有理数类似物是这种构造的特例。在本文中，我们给出了一个纯粹的组合处理这些多项式，并表明，在许多情况下，他们有非负整数系数。对于长度至多为4的序列，我们证明了这些系数枚举在某个固定的Young图的子图，并给出了一个明确的对称链分解这样的图的集合。这加强了李，李和Loehr的结果$(4,n)$合理的$q,t$ -Catalan数。
2020-04-17 math.CO
Pattern-avoidance and Fuss-Catalan numbers
该研究探讨带模k同余限制的排列及次上溢函数在模式规避下的计数，得到其与Fuss-Catalan数、Raney数的关联，并完成双长度3模式规避的模k交错排列的完全枚举，对应Simion与Schmidt的经典研究。
2022-03-19 math.CO
The Catalan simplicial set
众所周知，卡塔兰数是许多不同计数问题的答案，因此有许多不同的集合族的基数是卡塔兰数。我们展示了如何这样的家庭可以给出一个单纯集的结构。我们展示了如何低维的部分，这个单纯集分类，在一个精确的意义上，结构的monoid和幺半范畴。这涉及到组合学、代数拓扑学、量子群、逻辑学和范畴论。
2014-10-30 math.CO math.CT
Enumerating five families of pattern-avoiding inversion sequences; and introducing the powered Catalan numbers
这篇文章解决的第一个问题是列举一些家庭的模式，避免反转序列。我们解决了Corteel等人关于这些主题的基础工作留下的一些枚举问题，其中一些也被林，金和林独立解决。我们的方法的优势是它的鲁棒性：我们列举了四个家庭$F_1 \subset F_2 \subset F_3 \subset F_4$的模式，避免反转序列使用相同的方法按包含排序。更准确地说，我们提供了一个生成树（与相关的继承规则）为每个家庭$F_i$的一般化的家庭$F_{i-1}$。论文的第二个主题是列举第五个家族$F_5$的模式避免反转序列（包含$F_4$）。这个枚举也解决了\emph{via}的继承规则，但它没有推广的$F_4$。相关的枚举序列，我们称之为\emph{powered Catalan numbers}，是非常有趣的，并进一步研究。我们提供了两种不同的继承规则，表示$Ω_{pCat}$和$Ω_{steady}$，并表明，他们定义了两种类型的家庭列举的权力加泰罗尼亚数。在这些家族中，我们引入了\emph{steady paths}，其与$Ω_{steady}$天然相关。它们使我们能够弥合两种类型的家庭列举的权力加泰罗尼亚数之间的差距：事实上，我们提供了一个大小保持双射之间的稳定路径和谷标记的戴克路径（这是自然与$Ω_{pCat}$）。在此过程中，我们提供了几个很好的连接到家庭的排列定义的避免vincular模式…
2018-12-14 cs.DM math.CO
Generalized Path Pairs and Fuss-Catalan Triangles
路对是对卡塔兰数的一种修改，它提供了卡塔兰数的另一种组合解释。更一般地，长度$n$和距离$δ$的路径对的数量对应于夏皮罗所谓的加泰罗尼亚三角形的$(n-1,δ-1)$条目。本文将路径对$(γ_1,γ_2)$的概念扩展到$γ_1$和$γ_2$可能具有不同长度的情形，并对$γ_2$中的垂直步串施加整除条件.这创建了一个两参数的整数三角形族，它推广了加泰罗尼亚三角形，并有资格作为许多参数选择的正确Riordan数组。特别是，我们使用广义路径对提供一个新的组合解释的形式$d(t) = C_k(t)^i$，$h(t) = t \kern+1pt C_k(t)^k$，其中$1 \leq i \leq k$和$C_k(t)$是一些序列的Fuss-Catalan数（一些$k \geq 2$）的生成函数的每一个适当的Riordan阵列$\mathcal{R}(d(t),h(t))$中的所有条目。封闭的公式，然后提供了广义路径对的数量在更广泛的参数范围内，以及为弱路径对的数量与固定数量的非初始交叉点。
2020-07-07 math.CO
Square Partitions and Catalan Numbers
对于每个整数$k\ge 1$，我们定义了一个算法，该算法将所有分区的某个子集与其最大值至多为$k$的分区相关联。如果我们从一个正方形的分区$λ$开始，即$λ=λ_1\ge...\geλ_k>0$和$λ_1=k,λ_k=1$，那么应用$\ell$ times算法会产生一个集，其基数是加泰罗尼亚数$c_{\ell-k+1}$（自对偶情况）或加泰罗尼亚数的两倍。该算法定义了一棵树，并研究了该树的传播，该树不属于通常加泰罗尼亚树的同构类。该算法也可以修改，以产生一个双参数的家庭的集合和所产生的基数集的选票号码。最后，我们给出了关于$2\ell+m$变量对称函数环的一个特殊模的秩的猜想。
2009-12-25 math.CO math.RT
Combinatorial study of the q-Catalan triangle and its generalizations
University of Comoros（科摩罗大学）；University of Antananarivo（安塔那那利佛大学）
本文通过七种组合结构探讨q-Catalan三角形的组合意义，引入镜像多项式并证明其双重递推关系，提出q,p-Catalan三角形及多变量推广，首次完整证明基于312-avoiding排列的q-Catalan三角形定理。
2026-05-14 math.CO
Tree-indexed sums of Catalan numbers
Inria, Sorbonne Université（法国国家信息与自动化研究所，索邦大学）；Université de Lorraine, CNRS（洛林大学，法国国家科学研究中心）；Université d’Angers, CNRS（昂热大学，法国国家科学研究中心）
本文研究由树索引的卡特兰数乘积的无限和，证明其为$1/\pi$的有理系数多项式，并给出有效算法，同时引入参数化提升，将其表示为完全椭圆积分的多项式，次数不超过树顶点数的一半，研究动机源于大型迷宫系统。
2026-09-11 cs.SC math.CO math.PR
Rigged Configurations and Catalan, Stretched Parabolic Kostka Numbers and Polynomials: Polynomiality, Unimodality and Log-concavity
我们将从{ \it Rigged Ring}的观点来研究加泰罗尼亚数，该观点起源于\cite{Kir}对与更高自旋各向异性海森堡模型相关联的贝特安纳伯格方程的组合分析。我们的策略是采取一个组合的加泰罗尼亚数字$C_n$的矩形形状$(n^2)$，或等价的，作为Kostka数$K_{(n^2),1^{2n}}$，作为研究的出发点的标准杨tableaux的数量的解释。我们观察到，矩形（或多维）加泰罗尼亚数$ C(m,n)$介绍和研究的P. MacMahon \cite{Mc}，\cite{Su1}，也见\cite{Su2}，可以识别与Kostka数$K_{(n^m),1^{mn}}$，因此可以处理的Rigged技术。利用这一技巧，我们研究了拉伸Kostka数和拉伸Kostka多项式，并证明了拉伸Kostka多项式的“强合理性”。这一结果意味着拉伸Kostka和拉伸Littlewood-Richardson系数\cite{KT}、\cite{Ras}、\cite{Ki1}的多项式性质。另一个应用的Rigged配置技术，是一个新的家庭的反例Okounkov的对数猜想\cite{Ok}。最后，我们利用Rigged证明技巧给出了Schur函数内积的主特化的单峰性的一个组合证明。事实上，我们证明了广义$q$-Gaussian多项式的一个组合公式，它是所谓$KOH$恒等式\cite{O}的进一步推广…
2015-05-06 math.CO
A Riordan array family for some integrable lattice models
本文研究一类 Riordan 阵列，通过平方对称化得到 Robbins 数及 $20$ 顶点模型相关数列，并给出阵列元素闭式表达、规范 Catalan 分解及相关阵列族。
2024-09-14 math.CO
Catalan-many tropical morphisms to trees; Part I: Constructions
研究了亏格- $g$度量图的树一致性，定义为度量图的任何热带变形到度量树的热带态射的最小度。我们给出了一个组合建设性的证明，这个数字是最多$\lceil g/2 \rceil + 1$，一个事实，其证明到目前为止，需要通过特殊的因子代数几何绕道曲线。对于偶数亏格，实现该界的热带态射属于一类纯$3g-3$维数的热带态射，并且在亏格- $g$度量图的模空间上具有一般有限到一的映射.我们的方法集中在这些家庭的研究。这是第一部分在一系列的两篇论文：在第一部分，我们固定的组合类型的度量图，而在第二部分，我们改变组合类型，并表明，一些热带态射，计数与适当的多重性，是相同的加泰罗尼亚数，计数态射从属- $g$曲线的投影线。
2020-07-30 math.AG math.CO
Bogoyavlensky lattices and generalized Catalan numbers
本文研究 Bogoyavlensky 格单位阶跃初始数据衰减问题，利用半直线终止的可线性化性质、广义 Catalan 数及其 Hankel 行列式，以及非自治对称性约化，给出精确解并推广到有限参数初值族。
2022-02-05 math.CO nlin.SI
Refinements of the braid arrangement and two parameter Fuss-Catalan numbers
本文研究了 $\mathbb{R}^n$ 中辫排列的细化排列 $\mathcal{A}_n^{(m)}$，证明其区域数为双参数 Fuss-Catalan 数，并建立了区域与 decorated Dyck paths 的双射，同时计算了特征多项式。
2022-02-24 math.CO
Enumeration of Standard Puzzles
我们介绍了一个大家庭的组合对象，称为标准的难题，由非常简单的规则定义。我们主要讨论了一些标准的难题，这些难题的计数问题可以用显式公式或经典数来解决，如二项式系数、斐波那契数、正切数、Catalan数、$\ldots$
2020-06-24 math.CO
The Expected Shape of Random Doubly Alternating Baxter Permutations
Guibert和Linusson引入了双交替Baxter置换族，即Baxter置换$σ\in S_n$，使得$σ$和$σ^{-1}$是交替的。他们证明了在$S_{2n}$和$S_{2n+1}$中这样的排列数是Catalan数$C_n$。在本文中，我们探讨了预期的极限形状，这样的排列，矿工和帕克的方法。
2014-01-04 math.CO
Remixed Eulerian numbers: beyond the connected case
本文利用概率模型，为某些子族的重混合欧拉数给出新公式，推广了 Garsia 和 Remmel 的 $q$-命中数结果。
2024-11-05 math.CO
A half-automated study of a 2-parameter family of integrals
本文结合解析推导、计算机代数系统和整数序列在线百科全书，半自动化地研究了一个双参数积分族，并揭示了其与卡特兰数的联系。
2024-12-16 math.CO
Schur polynomials twisted by roots of unity and reciprocal pairs: exactly three factors, and where they vanish
本文研究单位根扭曲的Schur多项式与互反对的因式分解，给出其求值公式、消失准则，推广Ayyer-Kumari的独立性准则，解读t=2时的平面分拆枚举，并证明部分逆命题。
2026-08-24 math.CO math.RT
Enumeration and Asymptotic Formulas for Rectangular Partitions of the Hypercube
本文研究了超立方体划分的枚举问题，通过正交划分和满$p$-ary树的双射，推导了卡特兰数的广义渐进行为公式。
2025-12-02 math.CO math.KT math.RA
Counting odd numbers in truncations of Pascal's triangle
Pascal三角形的“截断”是一个三角形数组，它满足通常的Pascal递归，但有一个边界条件，声明数组每行的某个终端数集为零。给出了Pascal三角形的一族自然截断，推广了一类Catalan三角形。每个数组中的数字被实现为二项式系数的差、某些格路径和表格的计数、以及多项式空间的某些线性变换的表示矩阵的条目。卢卡斯定理被应用于精确地确定那些截断的奇数条目的数量在每一行是一个权力的两个。
2018-07-26 math.CO
A common formula for certain generalized Hankel transforms
研究了满足递推关系$a_{n+1} = \bigl(α+ \fracβ{n+γ}\bigr) a_n$的序列族的广义Hankel变换。我们将得到的公式应用到几个特别重要的序列。顺便说一句，我们发现一些众所周知的公式，以前出现在文学在不同的设置之间的连接。此外，给定一个非零序列满足上述递归，我们评估其倒数序列的汉克尔变换。
2012-03-23 math.CO
The Horton-Strahler number of butterfly trees
University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）
研究蝴蝶树的霍尔-斯特拉赫尔数，通过递归生成方法分析其分支复杂性，推导出精确表示和极限理论，揭示其与概率分布的关系。
2026-04-20 cs.DS math.CO math.PR
