On the duals of the Fibonacci and Catalan-Fibonacci polynomials and Motzkin paths
我们使用系数数组的逆来定义Fibonacci和Catalan-Fibonacci多项式的对偶多项式，并探讨这些新多项式序列的性质。许多涉及的数组是Riordan数组。不同的统计数据与Motzkin路径计数的直接联系出现了。
2021-01-25 math.CO
On super Catalan polynomials
我们提出了一个超Catalan数$(2m)!(2n)!/2m!n!(m+n)!$的$q$ -模拟，它也推广了由于Fürlinger和Hofbauer，对于$λ=0$和$λ=1$的$q$ -Catalan数$c_n(λ)$。当$m=2$。
2014-08-31 math.CO
Compactified Jacobians and q,t-Catalan numbers, II
本文继续研究有理斜率广义$q,t$ -Catalan数$c_{m,n}(q,t)$ .我们描述了J. Haglund和N. Loehr的弱对称性质，并利用它们证明了$m=kn\pm 1$的一个弱对称性质$c_{m,n}(q,1)=c_{m,n}(1,q)$.给出了$\min(m,n)\le 3$的全对称性$c_{m,n}(q,t)=c_{m,n}(t,q)$的双射证明.作为这些组合构造的一个推论，我们给出了平面曲线奇点紧化Jacobian的Poincaré多项式的一个简单公式$x^{kn\pm 1}=y^n$。本文还对有理斜率Catalan数与J. Anderson发现的$(m,n)$ -核理论之间的关系给出了几何解释。
2013-12-07 math.AG math.CO
Identities involving Narayana polynomials and Catalan numbers
我们首先建立了Narayana多项式可以表示为勒让德多项式的积分的结果。然后我们用三个不同的恒等式表示卡塔兰数。我们给出了三个不同的证明，即两个代数证明和一个组合证明。一些应用程序也导致许多已知的和新的身份。
2008-05-09 math.CO
$d$-orthogonal polynomials, Fuss-Catalan matrices and lattice paths
本文利用$d$-正交多项式定义Fuss-Catalan-Riordan阵列，并建立其与Fuss Catalan数和格路的联系，强调生产矩阵的作用。
2025-05-22 math.CO
A PTR polynomial for the Hughes planes and a new class of permutation polynomials involving Catalan numbers
本文确定了Hughes平面的PTR多项式，并发现Catalan数与广义Catalan数在系数中出现，从而得到新的无限类置换多项式。
2025-11-26 math.CO
(k,m)-Catalan Numbers and Hook Length Polynomials for Plane Trees
由A.在Postnikov有关二叉树的基础上，我们定义了m元树和平面森林的钩长多项式，并证明了这些多项式有一个简单的二项式表达式。这个表达式的整数值是C_{k,m}（n）= \frac{1}{mn+1}{(mn+1)k \choose n}，我们称之为（k，m）-Catalan数。为了证明钩长公式，我们还引入了一个组合族，（k，m）-ary树，这是计数的（k，m）-Catalan数。
2005-09-14 math.CO
Generalized Catalan recurrences, Riordan arrays, elliptic curves, and orthogonal polynomials
我们证明了Catalan-Schroeder卷积递归及其高阶推广可以用Riordan数组和Catalan数来求解。我们调查的Hankel变换的许多递归的解决方案，并指出，Somos $4$序列经常出现。给出了递归序列、Riordan阵列、椭圆曲线和Somos $4$序列之间的关系。此外，我们指出如何可以将一个家庭的正交多项式的一个点上的椭圆曲线，其时刻有关的递归解决方案。
2019-10-02 math.CO
New identities for binary Krawtchouk polynomials, binomial coefficients and Catalan numbers
通过计算$\mathrm{SO}(2m)$的某些2阶元素的$p$ -外表示的特征，得到了二元Krawtchouk多项式$K^{2m}_p(x)$，$0\le p\le 2m$的整数值的新的组合恒等式.从这个恒等式出发，我们推出了二项式系数与Catalan数的几个新的关系式.
2016-07-22 math.CO
A proof of the $4$-variable Catalan polynomial of the Delta conjecture
在Delta猜想（arxiv：1509.07058）中，Haglund、Remmel和Wilson引入了一个四变量的$q,t,z,w$加泰罗尼亚多项式，之所以这样命名是因为这个多项式在值$(q,t,z,w) = (1,1,0,0)$处的特化等于加泰罗尼亚数$\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$。我们证明了这一猜想的合成版本（这意味着非合成版本），说明系数的$s_{r,1^{n-r}}$在表达式$Δ_{h_\ell} \nabla C_α$是等于一个加权和装饰Dyck路径。
2018-10-09 math.CO
Immanant Positivity for Catalan-Stieltjes Matrices
本文给出了Catalan-Stieltjes矩阵及其相应的Hankel矩阵的平方子矩阵的固有项非负的若干充分条件。为了得到这些充分条件，我们构造了新的平面网络的Catalan-Stieltjes矩阵的递归性质。作为应用，我们给出了一个统一的方法来产生许多组合多项式的不等式，如欧拉多项式，Schröder多项式和Narayana多项式。
2021-06-24 math.CO
Chebyshev polynomials, their remarkable properties and connection with Catalan numbers
该研究证明经重整化的相邻切比雪夫多项式之比的形式幂级数可逼近卡特兰数生成函数，用连分数完成证明并回顾相关基础性质。
2024-03-07 math.CO
The Sagan-Savage Lucas-Catalan Polynomials Have Positive Coefficients
这篇短文回答了布鲁斯·萨根在他精彩演讲的最后几分钟提出的一个问题（http：www.youtube.com/watch? v= Fdn 890 jg 2U 0），（描述与卡拉·萨维奇的联合工作），在罗格斯大学实验数学研讨会上发表于2010年12月9日。
2011-01-21 math.CO
An area-depth symmetric $q,t$-Catalan polynomial
我们定义了两个对称的$q,t$ -Catalan多项式的面积和深度统计和深度统计的dinv和dinv。我们证明对称使用对合平面树。同样的对合证明了Tutte多项式的对称性。我们还提供了一个组合的证明Garsia等人的评论。停车功能和数量的连通图上的一个固定的顶点数。
2022-04-01 math.CO
The $(m,n)$-rational $q, t$-Catalan polynomials for $m=3$ and their $q,t$-symmetry
我们引入了一个新的统计，跳过，合理的$(3,n)$ -戴克路径，并定义了一个标记的秩字为每个路径时，$n$不是3的倍数。如果给定一个有效统计量的三元组（面积，跳过，dinv），我们有一个算法来构造对应于三元组的标记秩字。通过考虑所有有效的三元组，我们给出了当$m=3$时$(m,n)$ -有理$q,t$ -Catalan多项式的一个显式公式.然后在统计数据的三元组（area，skips，dinv）上有一个自然的双射，它在固定skip的同时交换统计数据area和dinv。从而证明了$m=3$的$(m,n)$ -有理$q, t$ -Catalan多项式的$q,t$ -对称性.
2015-10-13 math.CO
Rational Catalan polynomials and rank words
对于$m,n$互质，我们在$(m,n)$ -有理Dyck路上引入了一个新的统计跳跃，并给出了一种计算dinv和skip统计量的快速方法.我们还引入了$(m,n)$ -秩字，它与$(m,n)$ -Dyck路径一一对应.在秩字中定义了秩对的等价关系，证明了等价类的个数是秩字的跳数和对应的Dyck路的跳数，并利用统计区域、dinv和skip构造了一个齐次生成函数$W_{m,n}(q,t,b)$，其中$W_{m,n}(q,t,1)=C_{m,n}(q,t)$是有理Catalan多项式.然后给出了$(3,n)$ -有理Catalan多项式的一个显式公式，并证明了它们是$q,t$ -对称的.
2016-11-15 math.CO
On Parity Unimodality of $q$-Catalan Polynomials
如果$a_0\le a_1\le \cdots \le a_k\ge a_{k+1} \ge \cdots \ge a_n$，则多项式$A(q)=\sum_{i=0}^n a_iq^i$称为单峰。本文研究了有理$q$ -Catalan多项式的单峰性，对于互质的正整数对$(m,n)$，我们定义有理$q$-Catalan多项式为$C_{m,n}(q)= \frac{1}{[n+m]} \left[ m+n \atop n\right]$.我们推测它们是关于宇称的单峰，或者等价地，$(1+q)C_{m+n}(q)$是单峰的。利用生成函数和常数项方法，我们直接验证了我们对$m\le 5$的猜想。
2019-12-04 math.CO
Conjectures on Somos $4$, $6$ and $8$ sequences using Riordan arrays and the Catalan numbers
我们给出的整数序列的汉克尔变换的家庭的形式，分别是$(α, β)$ Somos $4$序列，$(α, 0, γ)$ Somos $6$序列，和$(α, β, γ, δ)$ Somos $8$序列，为特定值的$α$，$β$，$γ$，$δ$，我们描述。所涉及的序列可以描述在某些拉伸Riordan数组的加泰罗尼亚数的应用，伴随着（序列）汉克尔变换。Riordan数组与Catalan数的结合是基于计数自动机方法研究某些广义Jacobi连分式的结果。
2022-11-22 math.CO
A note on log-convexity of q-Catalan numbers
Carlitz和Riordan研究的q-Catalan数是q中具有非负系数的多项式。在q=1时，它们的值为加泰罗尼亚数：1，1，2，5，14，...，对数凸序列。我们使用这些多项式的组合解释，以证明一个q-对数凸性的结果。q-Catalan数列不是其他作者所用的狭义上的q-log-凸的，因此我们的工作建议采用一个更灵活的q-log-凸的定义.
2007-01-02 math.CO
Rigged Configurations and Catalan, Stretched Parabolic Kostka Numbers and Polynomials: Polynomiality, Unimodality and Log-concavity
我们将从{ \it Rigged Ring}的观点来研究加泰罗尼亚数，该观点起源于\cite{Kir}对与更高自旋各向异性海森堡模型相关联的贝特安纳伯格方程的组合分析。我们的策略是采取一个组合的加泰罗尼亚数字$C_n$的矩形形状$(n^2)$，或等价的，作为Kostka数$K_{(n^2),1^{2n}}$，作为研究的出发点的标准杨tableaux的数量的解释。我们观察到，矩形（或多维）加泰罗尼亚数$ C(m,n)$介绍和研究的P. MacMahon \cite{Mc}，\cite{Su1}，也见\cite{Su2}，可以识别与Kostka数$K_{(n^m),1^{mn}}$，因此可以处理的Rigged技术。利用这一技巧，我们研究了拉伸Kostka数和拉伸Kostka多项式，并证明了拉伸Kostka多项式的“强合理性”。这一结果意味着拉伸Kostka和拉伸Littlewood-Richardson系数\cite{KT}、\cite{Ras}、\cite{Ki1}的多项式性质。另一个应用的Rigged配置技术，是一个新的家庭的反例Okounkov的对数猜想\cite{Ok}。最后，我们利用Rigged证明技巧给出了Schur函数内积的主特化的单峰性的一个组合证明。事实上，我们证明了广义$q$-Gaussian多项式的一个组合公式，它是所谓$KOH$恒等式\cite{O}的进一步推广…
2015-05-06 math.CO
Some observations about super Catalan numbers, corresponding orthogonal polynomials, and their q-analogues
本文综述了矩是超Catalan数倍数的多项式，并探讨了两种不同的q-模拟。
2014-10-22 math.CA math.CO
Chebyshev Polynomials and Statistics on a New Collection of Words in the Catalan Family
最近，一类新的词L_n被证明与一个具有第（n-1）阶Catalan数基数的长为2n的Dyck路子集成双射.在这里，我们考虑L_n上记录字母i出现次数的统计。在i = 0和i = 1的情况下，我们能够确定L_n中含有给定数目的0或1的成员数的显式表达式，推广了先前的结果。为此，我们利用递归推导出母函数满足的函数方程，并通过采用切比雪夫多项式的新方法求解该方程。在一般情况下，给出了递推公式和母函数公式。
2014-07-14 math.CO
A q-analogue of Catalan Hankel determinants
在本文中，我们将调查的各种方法，评估汉克尔行列式，并作为一个例子，我们评估一些汉克尔行列式的q-类似的Catalan数。这里我们考虑$\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$作为加泰罗尼亚数$C_{n}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$的q-模拟，它被称为小q-雅可比多项式的矩。我们也给出了这个q-模拟的几个证明，其中我们使用格路径，正交多项式，或基本的超几何级数。我们还考虑了Schröder Hankel行列式的一个q-模拟，并利用${}_2F_{1}$的加法公式给出了Moztkin Hankel行列式的一个新证明.
2010-10-13 math.CO
Parity statistics on restricted permutations and the Catalan--Schett polynomials
受可栈排序排列与Jacobi椭圆函数研究启发，本文构造新双射并细化$321$-避免排列的下降生成函数，解决了Kitaev和Zhang关于非重叠上升的公开问题，给出Catalan–Schett多项式的组合解释。
2024-09-03 math.CO
A conjectured formula for the rational $q,t$-Catalan polynomial
本文提出有理$q,t$-Catalan多项式可用极大Dyck路径指标的单称单项式串表示的猜想，并证明对任意有限$d^*$，在满足$r\equiv 1 \mod s$且$d\leq d^*$的无限函数集上给出组合证明等价于一个有限计数问题。
2023-02-09 math.CO
Some remarks about q-Chebyshev polynomials and q-Catalan numbers and related results
第一类卢卡斯多项式和切比雪夫多项式的矩是中心二项式系数的（倍数），第二类斐波那契多项式和切比雪夫多项式的矩是卡塔兰数。在这篇综述论文中，我们提出了一些推广这些结果连同各种q-类似物。
2013-12-10 math.CA math.CO
Catalan numbers and Schubert polynomials for $w=1(n+1)... 2$
证明了当$w=1(n+1)...2$满足时，Schubert多项式S_w特殊化为Catalan数C_n.这个结果的几个证明以及一个q-模拟。给出了Schubert簇的奇异性的一个应用。
2004-07-09 math.AG math.CO
Combinatorics of certain higher $q,t$-Catalan polynomials: chains, joint symmetry, and the Garsia-Haiman formula
高阶$q,t$ -加泰罗尼亚多项式$C^{(m)}_n(q,t)$可以组合地定义为包含在某些三角形中的格路径的加权和，或者代数地定义为由$n$的分区索引的有理函数的复杂和。本文证明了这两个定义对所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的等价性。我们还给出了所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的联合对称性$C^{(m)}_n(q,t)=C^{(m)}_n(t,q)$的双射证明。证明是基于一个通用的方法来证明联合对称性，解剖的对象的集合成链，然后从一个联合的初始点和终点的对称性的联合对称性的完整的对象集。进一步的结果包括所有$m\geq 1$和所有$n\leq 4$的单峰结果和$C^{(m)}_n(q,t)$中系数的具体公式。对于某些有理斜率$q,t$ -Catalan多项式，我们给出了类似的结果.
2013-06-22 math.CO
A note on super Catalan numbers
我们证明了超Catalan数是Krawtchouk多项式的特殊值，通过推导出一个表达式的超Catalan数在一个有符号的集合。
2012-05-22 math.CO
Shifted Hankel determinants of Catalan numbers and related results
在这篇（部分暂时性）论文中，我们给出了一个简短的概述加泰罗尼亚数序列和汉克尔行列式之间的密切关系，从正交多项式的角度来看，并表明，一个类似的情况存在更一般的序列。
2021-05-03 math.CO
Shifted Hankel determinants of Catalan numbers and related results II: Backward shifts
该研究通过前置零定义序列后向移位的汉克尔行列式，得到卡特兰数及相关数与多项式序列的相关结果，并对卡特兰数卷积幂序列提出猜想。
2023-06-13 math.CO
Catalan numbers, Hankel determinants and Fibonacci polynomials
这（部分暂时）文件起源于研究汉克尔决定因素的卷积权力的Catalan数和Narayana多项式。这导致了一些汉克尔行列式签署加泰罗尼亚数的价值是倍数的斐波那契数和一些汉克尔行列式签署中央二项式系数的价值是倍数的卢卡斯数。大多数证明是计算，但我们也包括一个组合由于基督教Krattenthaler。最后，我们制定了一些建议。
2018-04-08 math.CA math.CO
q,t-Fuss-Catalan numbers for complex reflection groups
在类型A中，q，t-Fuss -Catalan数可以定义为与对称群S_n有关的模的双阶化Hilbert级数.我们将这种构造推广到（有限）复反射群，并展示了这些多项式在q和t中的一些很好的代数和组合性质。最后，我们提出了一个想法，这些多项式可以与一些分次希尔伯特系列的模块中产生的理性切雷德尼克代数的背景下。这是正在进行的工作。
2008-06-18 math.CO
Generalized $q,t$-Catalan numbers
最近的工作的第一作者，Negut和Rasmussen，和Oblomkov和Rozansky的背景下Khovanov-Rozansky结同源产生一个家庭的多项式在$q$和$t$标记的整数序列。这些多项式可以表示为旗Hilbert格式上某些线丛的等变欧拉示性数。$q,t$ -Catalan数和它们的有理数类似物是这种构造的特例。在本文中，我们给出了一个纯粹的组合处理这些多项式，并表明，在许多情况下，他们有非负整数系数。对于长度至多为4的序列，我们证明了这些系数枚举在某个固定的Young图的子图，并给出了一个明确的对称链分解这样的图的集合。这加强了李，李和Loehr的结果$(4,n)$合理的$q,t$ -Catalan数。
2020-04-17 math.CO
Symmetry of the refined $q,t$-Catalan polynomials for $\vec{k}$-Dyck paths
Scuola Normale Superiore（高等师范学校）；Yunnan University of Finance and Economics（云南财经大学）
本文研究$\vec{k}$-Dyck路径中面积与深度的$q,t$-对称性，并给出更高阶$q,t$-Catalan多项式的另一种描述。
2026-05-11 math.CO
Characteristic Polynomials of Graph- and Digraph-Deleted Catalan Arrangements
School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
研究从完全 m-Catalan 排列通过删除由图、有向图和增益标记有向图索引的超平面得到的排列的特征多项式，给出了零层图删除的展开式及不同情况下系数的结果，还得到一些相关等式和应用。
2026-07-21 math.CO
Characterizations of the Borel triangle and Borel polynomials
利用Riordan阵列理论给出了Borel三角形及其多项式序列的特征。证明了Borel多项式是系数列为Riordan列的正交多项式族的矩量序列。加泰罗尼亚矩阵在定义博雷尔三角形的作用进行检查。我们将Borel三角形推广到一个两参数三角形族。生成函数表示为雅可比连分数，以及适当的二次表达式的零点。博雷尔三角形表现为矩阵的阿达玛积。我们研究的三角形的反转。我们引入了Fuss-Borel三角形和Fuss-Catalan三角形的概念。最后，我们谈谈加泰罗尼亚三角区。
2020-01-23 math.CO
Yet another way of calculating moments of the Kesten's distribution and its consequences for Catalan numbers and Catalan triangles
我们计算所谓的凯斯滕分布的矩通过该分布的密度的分母的扩展，然后集成所有的被加数相对于的循环分布。通过比较这个表达式与其他方法得到的Kesten分布的矩公式，我们发现了涉及多项式的恒等式，其幂系数与Catalan数、Catalan三角形、二项式系数密切相关.最后，作为这些恒等式的应用，我们得到了上述数之间的各种有趣的关系，也涉及卢卡斯数、斐波那契数和精细数。
2022-03-09 math.CO
Macdonald polynomials and operators and Catalan Combinatorics
我们的主要目的与这些说明是介绍的组合和对称函数工具，涉及到描述的庞加莱多项式的三重分级Khovanov-Rozansky同源的环面链接，又名。这些链接的（简化）超多项式。
2021-12-17 math.CO math.QA
Sums of squares of Krawtchouk polynomials, Catalan numbers, and some algebras over the Boolean lattice
将Krawtchouk多项式的值写成矩阵，我们考虑沿列的加权部分和。对于一般情况下，我们找到一个身份，在对称的情况下，产生这样的部分和的公式。沿着列的完全平方和涉及“超级加泰罗尼亚”数。我们还寻找涉及加泰罗尼亚数的特定值（矩阵项）。在这项工作中考虑和开发的属性被应用到各种尺寸的计算，描述了一些 *-代数结构的布尔格的基础上包含/超集关系代数表示使用zeon [零平方元素]。
2016-03-22 math.CO math.RA
Generic curves and non-coprime Catalans
本研究计算了具有特定Puiseaux指数的平面曲线奇点的紧化雅可比庞加莱多项式，关联了非互素情形的$q,t$-卡特兰数组合性质，并证实了Cherednik与Danilenko的相关猜想。
2024-06-20 math.AG math.CO
Higher rank $(q,t)$-Catalan polynomials, affine Springer fibers, and a finite Rational Shuffle Theorem
我们引入了高阶$(q,t)$ -Catalan多项式，并证明了它们等于Hikita多项式对有限个变量的截断。利用仿射复合和一定的标准化映射，定义了秩$r$半标准$(m,n)$ -parking函数的dinv统计量，并证明了在抛物仿射Springer纤维的仿射铺设中，codinv统计了仿射空间的维数.结合这些结果，我们给出了双仿射Hecke代数的有理Shuffle定理的有限模拟。最后，在非互质的情况下，我们还给出了高阶Catalan数的Bizley型公式。
2023-03-28 math.CO math.RT
Exotic series with Bernoulli, harmonic, Catalan, and Stirling numbers
在本文中，我们提出了一个公式，产生各种异国情调的系列的精神Ovidiu Furdui和Alina Sintamarian。我们的新系列（封闭形式评估）涉及伯努利，调和和加泰罗尼亚数。还有第二类斯特林数、其他特殊数和指数多项式。所得结果包括拉盖尔多项式和错位多项式的级数恒等式。
2021-10-02 math.CO math.NT
Positroid Catalan numbers
给定一个置换$f$，研究了定义为相应开正群簇的环面等变欧拉示性数的正群Catalan数$C_f$.我们引入了一类无重复置换，并证明了相应的正拟Catalan数计数Dyck路径避免了一个凸子集的矩形。我们表明，任何凸子集出现在这种方式。在猜想上，相关的$q,t$ -多项式与最近出现的与洗牌猜想、旗希尔伯特方案和考克斯特链路的Khovanov-Rozansky同调有关的广义$q,t$ -Catalan数一致。
2021-04-12 math.CO
Hankel determinants of convolution powers of Catalan numbers revisited
本文利用推广的 Andrews-Wimp 定理，简洁证明了 Catalan 数卷积幂平移的 Hankel 行列式，并推广至 Narayana 多项式。
2024-03-17 math.CO
Catalan numbers for complex reflection groups
对任意不可约复反射群W构造了（q，t）-Catalan多项式和q-Fuss-Catalan多项式。在这个建设的两个主要成分是Rouquier的制定转移函子的理性Cherednik代数的W，和Opdam的分析置换的不可约表示的W所产生的Knizhnik-Zamolodchikov连接。
2009-12-08 math.CO math.RT
A Filtration of (q,t)-Catalan numbers
我们定义了新的推广（q，t）-Catalan数应用nabla算子的列分区索引的k-Schur函数。在一些特殊的情况下，我们给出了一个组合的解释，这些号码使用配置的Dyck路径。在某些特殊情况下，我们也将这些新多项式解释为用微分算子构造的交替对角调和函数的显式子模的Hilbert级数。
2008-09-12 math.CO
On Some Quadratic Algebras I $\frac{1}{2}$: Combinatorics of Dunkl and Gaudin Elements, Schubert, Grothendieck, Fuss-Catalan, Universal Tutte and Reduced Polynomials
研究了与动力学经典和经典杨-巴克斯特方程有关的二次代数的一些组合性质和代数性质。人们可以在扩展摘要中找到有关本论文内容的更多细节。
2016-01-05 math.CO math.RT
A study of a recursive sequence of polynomials revealing weighted Catalan Numbers
研究递归多项式序列$p_n(x)$，推导系数递归公式，发现其与加权卡特兰数的组合联系，揭示域论背景下的不变量。
2025-01-23 math.CO math.NT
Asymptotics of partial sums of central binomial coefficients and Catalan numbers
证明了中心二项式系数序列和Catalan数序列的部分和的精确渐近展开式，即$\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}$和$\sum_{k=0}^n C_n$ .我们还得到了多项式$\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}x^k$和$\sum_{k=0}^{q-1}C_kx^k$在$p$元素域上的封闭形式，其中$q$是素数$p$的幂。
2010-01-13 math.CO
Dyck Symmetric Functions and Applications to \(q,t\)-Catalan Polynomials
本文研究Dyck序列的三种相关组合结果，包括Dyck表的构造、$q,t$-Catalan多项式的双列表格公式以及低缺陷范围的Dyck骨架公式，揭示了Dyck对称函数的Schur正性和多项式对称性。
2026-05-13 math.CO
A Combinatorial Approach to the Symmetry of $q,t$-Catalan Numbers
\emph{$q,t$-Catalan numbers} $C_n(q,t)$是$q$和$t$中的多项式，当$q=t=1$。这些多项式与表示论、代数几何和对称函数有着重要的联系。Haglund和Haiman发现了$C_n(q,t)$的组合公式，作为Dyck路径的加权和（或者等价地，包含在楼梯形状中的整数分区）。本文对联合对称性质$C_n(q,t)=C_n(t,q)$进行了组合研究。我们猜想一些结构分解的戴克对象到“相互相反”的子集合，导致在某些情况下的双射解释联合对称性。一个关键的新思想是构建无限链的分区是独立的$n$，但同时诱导联合对称的所有$n$。利用这些方法，我们组合地证明了对于$0\leq k\leq 9$和所有的$n$，全度$\binom{n}{2}-k$的$C_n(q,t)$中的项具有所需的对称性.
2016-02-02 math.CO
Parabolic Catalan numbers count flagged Schur functions and their appearances as type A Demazure characters (key polynomials)
本文证明不同的带旗Schur函数数量等于R-抛物Catalan数，并指出每个带旗Schur函数恰由R-312-避免的R-置换索引的Demazure多项式给出，深化了多项式重合到杨表层面。
2017-11-30 math.CO
Generalized Catalan numbers from hypergraphs
Catalan数（C_n）_{n >= 0} = 1，1，2，5，14，42，.构成了组合学中最古老的序列之一他们有许多组合的解释，从计数括号的产品在非结合代数计数平面树和非交叉集分区。它们也出现在GUE矩阵模型中，作为某些多项式的首项系数，这与平面树和非交叉集划分解释密切相关。本文定义了Catalan数的一个推广。实际上我们定义了一个无限的推广集C_n^（m），m >= 1，其中m=1给出了通常的Catalans。序列C_n^（m）来源于研究某些附在超图上的矩阵模型。我们也给出了这些数字的一些组合解释，并猜想一些渐近性。
2021-02-09 math.CO
