A proof of the Delta Conjecture when $q=0$
在[The Delta Conjecture，Trans. Amer. Math. Soc.，Haglund，Remmel，Wilson提出了一个猜想，它给出了将某个算子应用于初等对称函数的结果的组合预测。该算子根据其在修正的麦克唐纳基上的作用定义，在Garsia和Haiman关于对角调和函数、希尔伯特方案和麦克唐纳多项式的工作中发挥了作用[A. M. Garsia和M.海曼一个显着的$q,t$ -Catalan序列和$q$ -Lagrange反演，J. Algebras Combin. 5（1996），191- 244]，[M. Haiman，平面上点的Hilbert格式的消灭定理和特征公式，发明。149（2002），371-407]。Delta猜想涉及两个参数$q,t$ ;在这篇文章中，我们给出的第一个证明，Delta猜想是正确的，当$q=0$或$t=0$。
2017-10-19 math.CO
A proof of the Square Paths Conjecture
由Garsia和Haiman（1996）引入的修改的Macdonald多项式具有许多惊人的组合性质。其中一类性质涉及将Bergeron和Garsia（1999）的相关$\nabla$算子应用于基本对称函数。这类猜想的第一个发现是Haglund、Haiman、Loehr、Remmel和Ulyanov（2005）的洗牌猜想（最近被证明），它将表达式$\nabla e_n$与停车函数联系起来。在（2007）中，Loehr和Warrington用带标记的正方形路径为$\nabla p_n$给出了类似的表达式。在本文中，我们扩展Haglund和Loehr（2005）的概念的时间表标记的方形路径，并应用此扩展证明方形路径猜想。
2016-03-01 math.CO
Nonvanishing higher Specht polynomials and a construction for three row and hook shape Garsia--Procesi modules
UC San Diego（加州大学圣迭戈分校）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
本文建立了高阶Specht多项式非零的一般判定理论，并证明了三行与钩形Garsia-Procesi模的猜想高阶Specht基，推广了经典Specht构造。
2026-09-14 math.CO
An area-depth symmetric $q,t$-Catalan polynomial
我们定义了两个对称的$q,t$ -Catalan多项式的面积和深度统计和深度统计的dinv和dinv。我们证明对称使用对合平面树。同样的对合证明了Tutte多项式的对称性。我们还提供了一个组合的证明Garsia等人的评论。停车功能和数量的连通图上的一个固定的顶点数。
2022-04-01 math.CO
Colorful combinatorics and Macdonald polynomials
词的非负整数共荷统计量在20世纪70年代由Lascoux和Schützenberger引入，以组合地表征Hall-Littlewood多项式。从那时起，Cocharge被用来解释从Garsia-Procesi模的分次分解到格拉斯曼簇的上同调结构等现象。虽然它的应用到当代的变化，这些问题被认为是棘手的，我们证明了两个参数，对称麦克唐纳多项式的生成函数的一个杰出的家庭的彩色字。Cocharge修饰一个参数，第二个参数测量它与没有颜色的单词的cocharge的偏差。我们使用相同的框架来扩展plastic幺半群，应用柏原的晶体理论的各种Garsia-Haiman模块，并解决问题的K理论舒伯特演算。
2017-10-02 math.CO
Plethystic identities and mixed Hodge structures of character varieties
我证明了某些身份的麦克唐纳多项式建立的Garsia，海曼和Tesler，连同猜想的Hausel，Letellier和Villegas意味着明确的关系混合霍奇多项式的不同字符品种。
2016-03-01 math.AG math.CO math.RT
On fusion product and N!/k-conjecture
University of Haifa（海法大学）；Yanqi Lake Beijing Institute of Mathematical Sciences And Applications (BIMSA)（北京雁栖湖应用数学研究院）
本文为当前李代数建立 Schur--Weyl 对偶，将 Garsia--Haiman 模表示为融合积，证明 Butler 猜想并给出 N!/k 猜想维数下界。
2026-10-07 math.CO math.RT
A Combinatorial Approach to the Symmetry of $q,t$-Catalan Numbers
\emph{$q,t$-Catalan numbers} $C_n(q,t)$是$q$和$t$中的多项式，当$q=t=1$。这些多项式与表示论、代数几何和对称函数有着重要的联系。Haglund和Haiman发现了$C_n(q,t)$的组合公式，作为Dyck路径的加权和（或者等价地，包含在楼梯形状中的整数分区）。本文对联合对称性质$C_n(q,t)=C_n(t,q)$进行了组合研究。我们猜想一些结构分解的戴克对象到“相互相反”的子集合，导致在某些情况下的双射解释联合对称性。一个关键的新思想是构建无限链的分区是独立的$n$，但同时诱导联合对称的所有$n$。利用这些方法，我们组合地证明了对于$0\leq k\leq 9$和所有的$n$，全度$\binom{n}{2}-k$的$C_n(q,t)$中的项具有所需的对称性.
2016-02-02 math.CO
Demazure crystals and the Schur positivity of Catalan functions
Catalan函数是旗簇上向量丛的阶化欧拉示性数，是一类丰富的对称函数，包括$k$ -Schur函数和抛物Hall-Littlewood多项式。我们证明了由配分权指标的Catalan函数是Lakshmibai-Littelmann-Magyar和Naoi研究的$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell)$ -广义Demazure晶体的特征。我们得到了这类函数的Schur正公式，解决了Chen-Haiman和Shimozono-Weyman的问题。我们的方法更一般地给出了关键的正公式的渐变欧拉示性数的某些向量丛Schubert品种匹配广义Demazure晶体的字符。
2020-07-10 math.CO math.QA
Shuffle formula in science fiction for Macdonald polynomials
本研究围绕麦克唐纳相交多项式展开，证明其零化恒等式与形状无关性，揭示其与对角共变代数特征及洗牌公式的关联，为洗牌定理提供新证明。
2025-01-26 math.CO math.RT
A descent basis for the Garsia-Procesi module
本文为 Garsia-Procesi 模块 $R_λ$ 构造了一个基于 Garsia-Stanton 下降单项式的下降基，并通过 Springer 作用下的反对称化得到了抛物情形的基与多项式展开公式。
2024-03-24 math.CO math.RT
Science Fiction and Macdonald's Polynomials
这项工作研究了显着的关系，在某些m元组的Garsia-Haiman模块$ {\bf M}_μ$和相应的元素的麦克唐纳基础。我们记得，${\bf M}_μ$是为分区$μ\part n$定义的，作为变量$x_1,x_2,..., x_n, y_1,y_2,..., y_n$中某个双齐次多项式$Δ_ μ(x,y)$的导数的线性跨度。Garsia和Haiman证明了${\bf M}_μ$具有PDMATHAMR维数，并且它的双阶Frobenius特征由对称多项式${\widetilde{H}}_μ(x;q,t)=\sum_{λ\part n} S_λ(X) {\widetilde{K}}_{λμ}(q,t)$给出，其中${\widetilde{K}}_{λμ}(q,t)$与Macdonald $q,t$-Kostka系数$ K_{λμ}(q,t)$通过恒等式${\widetilde{K}}_{λμ}(q,t)=K_{λμ}(q,1/t)t^{n(μ)}$相关，$n(μ)$是$Δ_ μ(x;y)$的x阶。计算机数据表明，由于$ν$在分区$μ$的直接前身中变化，空间${\bf M}_ν$表现得像布尔格。我们制定了一些显着的Macdonald多项式。特别是，我们得到了一个代表性的理论解释的一些对称性，可以发现在计算表中的$q,t$ -Kostka系数。
1998-09-22 math.CO math.QA
Some Plethystic Identites and Kostka-Foulkes polynomials
我们调查Kostka-Foulkes多项式和某些对称函数之间的关系所产生的Garsia和Haglund的q，t-加泰罗尼亚级数的研究。
2012-12-04 math.CO math.RT
Khovanov-Rozansky homology and higher Catalan sequences
我们给出了一个简单的递归计算的三重分级Khovanov-Rozansky同调的几个无限家庭的结和链接，包括$(n,nm\pm 1)$和$(n,nm)$环面链接$n,m\geq 1$。我们解释我们的结果在加泰罗尼亚组合学，证明一个猜想的Gorsky的。我们的计算结果与Hilbert格式和有理DAHA的预测结果一致，也证明了Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende定理在这些情况下的正确性。此外，我们的研究结果提出了一个拓扑解释的对称功能的上下文中出现的$m$ -洗牌猜想的Haglund-Haiman-Loehr-Remmel-Ulyanov。
2017-04-05 math.CO math.GT math.RT
Macdonald characters from a new formula for Macdonald polynomials
Université de Lorraine（洛林大学）；CNRS, IECL（法国国家科学研究中心，IECL）；Université de Paris（巴黎大学）；CNRS, IRIF（法国国家科学研究中心，IRIF）；Harvard University（哈佛大学）；Università di Pisa（比萨大学）
本文引入了一个新的算子Γ，用于获得Macdonald多项式生成公式，连接了Macdonald算子理论与移位Macdonald多项式，并提出关于广义特征的正性猜想。
2026-05-15 math.CO
A weighted sum over generalized Tesler matrices
我们推广以前的定义Tesler矩阵，允许负矩阵项和负钩和。我们的主要结果是一个代数的解释，一定的加权和这些矩阵，我们称之为Tesler功能。我们的解释使用了一类新的对称函数的专业化，这是由他们的麦克唐纳多项式的值定义。作为这种解释的结果，我们得到了一个Tesler函数表达式的霍尔内积$\langle Δ_f e_n, p_{1^{n}}\rangle$，其中$Δ_f$是由Bergeron，Garsia，Haiman，和Tesler介绍的δ运营商。我们还提供了简单的公式，Tesler函数的各种特殊情况下，涉及$q,t$ -二项式系数，有序集分区，停车功能。这些公式证明了最近由Haglund，Remmel和作者提出的Delta猜想的两种情况。
2015-10-12 math.CO
Limits of Modified Higher (q,t)-Catalan Numbers
$q,t$ -Catalan数可以用有理函数、与希尔伯特方案相关的几何、对称函数、表示论、Dyck路径、划分统计或Dyck字来定义。经过几十年的深入研究，最终证明所有这些定义都是等价的。本文研究了高阶$q,t$ -Catalan数的类似情形，其中代数定义与组合定义的等价性仍然是不确定的.我们计算的几个版本的修改后的更高的$q,t$ -Catalan数的限制，并表明，这些限制等于整数分区的生成函数。我们还确定了某些系数的较高的$q,t$ -Catalan数作为枚举合适的整数划分，我们做了一些说明的同调意义的Bergeron-Garsia nabla运营商。
2013-07-22 math.AC math.AG math.CO
$q,t$-Catalan numbers and generators for the radical ideal defining the diagonal locus of $(\C^2)^n$
令$I$是由两组$n$变量中的交替多项式生成的理想。Haiman证明了$q,t$-Catalan数是分次向量空间$M(=\bigoplus_{d_1,d_2}M_{d_1,d_2})$的生成元的极小集所张成的Hilbert级数。本文给出了$\text{dim}M_{d_1, d_2}$的一个简单的关于划分数的上界，并找到了所有的二度$(d_1,d_2)$使得$\dim M_{d_1, d_2}$达到上界.对于这样的双度，我们也发现明确的基地$M_{d_1, d_2}$。主要思想是定义和研究从$M$到多项式环$\C[ρ_1, ρ_2,...]$的非平凡线性映射。
2009-09-09 math.AC math.CO
Asymptotic $q,t$-Fuss--Catalan numbers for type $B$
University of Massachusetts at Amherst（阿默斯特马萨诸塞大学）
本文计算了 $B$ 型 Weyl 群作用下 $q,t$-Fuss-Catalan 多项式的渐近公式，利用等变 Hilbert 概形和 Koszul 复形得到组合恒等式。
2026-10-02 math.AG math.CO
The nabla operator, Hall--Littlewood polynomials and LLT polynomials
Center for Combinatorics, LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心，LPMC）
本文证明了关于nabla算子、Hall–Littlewood多项式与LLT多项式的两个猜想，补充了Carlsson和Mellit已证的结论，还将结果推广到Schiffmann代数框架。
2026-10-14 math.CO
Extending the science fiction and the Loehr--Warrington formula
本文通过引入Macdonald分段多项式，统一并推广了科幻猜想中的相交多项式与Loehr--Warrington公式，从而证明Loehr--Warrington猜想并拓展Macdonald正性。
2024-09-02 math.CO math.RT
Higher Specht polynomials under the diagonal action
本文引入对角作用下两组变量的高阶 Specht 多项式，推广经典构造，并给出钩形 Garsia--Haiman 模的高阶 Specht 基，导出其双次数 Frobenius 级数的新公式。
2024-02-07 math.CO
The Schur positivity of $\nabla m_μ$
Nankai University（南开大学）
证明了 Bergeron-Garsia-Haiman-Tesler 猜想：对于所有划分 μ,λ⊢n，多项式 (-1)^{|μ|-ℓ(μ)}⟨∇m_μ, s_λ⟩ 具有非负整数系数，并推广到 ∇^r。
2026-07-22 math.CO
Domino Tilings, Domino Shuffling, and the Nabla Operator
本文研究了由分拆λ索引的区域R_λ的多米诺平铺，基于广义面积和dinv统计量加权，提出用Bergeron--Garsia nabla算子表示生成多项式公式，并在方形情形下通过多米诺洗牌给出新乘积公式，证明了统计量的联合对称性。
2025-01-29 math.CO
