$B$ 型的渐近 $q,t$-Fuss--Catalan 数
Asymptotic $q,t$-Fuss--Catalan numbers for type $B$
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本文计算了 $B$ 型 Weyl 群作用下 $q,t$-Fuss-Catalan 多项式的渐近公式，利用等变 Hilbert 概形和 Koszul 复形得到组合恒等式。
中文摘要 AI 辅助
设 $W=W(B_n)$ 对角作用于 $\nathfrak{h}\oplus\nathfrak{h}^*$，$S=\mathbb{C}[\nathfrak{h}\oplus\nathfrak{h}^*]$，$J\subset S$ 为由 $W$-交错多项式生成的理想，$\nathfrak{m}_S$ 为原点的极大理想。对于充分大的 $m$，我们计算 $q,t$-Fuss-Catalan 多项式 $Cat^{(m)}(B_n;q,t):=Hilb(\frac{J^m}{\nathfrak{m}_S J^m})_{det-part}$，并推出 $Cat^{(m)}(B_n;1,1)=\binom{n(m+1)}{n}$。证明中，我们使用 $\Gamma$-等变 Hilbert 概形 $Y_n=n\Gamma$-$Hilb(\mathbb{C}^2)$（其中 $\Gamma=\mu_2$）以及定义 $Y_n$ 的 punctual 轨迹的 Haiman 型 Koszul 复形。我们的 $Cat^{(m)}(B_n;q,t)$ 公式源自对 Haiman 型 Koszul 复形的局部化计算。
英文摘要
Let $W=W(B_n)$ act diagonally on $\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{h}^*$, let $S=\mathbb{C}[\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{h}^*]$, let $J\subset S$ be the ideal generated by the $W$-alternating polynomials and $\mathfrak{m}_S$ is the maximal ideal of the origin. For sufficiently large $m$ we compute $q,t$-Fuss-Catalan polynomial $Cat^{(m)}(B_n;q,t):=Hilb(\frac{J^m}{\mathfrak{m}_S J^m})_{det-part}$ and imply $Cat^{(m)}(B_n;1,1)=\binom{n(m+1)}{n}$. For proofs, we work with the $Γ$-equivariant Hilbert scheme $Y_n=nΓ$-$Hilb(\mathbb{C}^2)$, $Γ=μ_2$ and Haiman-type Koszul complex that defines the punctual locus of $Y_n$. Our formula for $Cat^{(m)}(B_n;q,t)$ is derived from a localization computaion for the Haiman-type Koszul complex.
发表机构
- University of Massachusetts at Amherst（阿默斯特马萨诸塞大学）
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