AI 中文总结
证明了 Bergeron-Garsia-Haiman-Tesler 猜想：对于所有划分 μ,λ⊢n，多项式 (-1)^{|μ|-ℓ(μ)}⟨∇m_μ, s_λ⟩ 具有非负整数系数，并推广到 ∇^r。
AI 中文摘要
Bergeron, Garsia, Haiman 和 Tesler 在 1999 年猜想，对于所有划分 μ,λ⊢n，多项式 $(-1)^{|\mu|-\ell(\mu)}\langle \nabla m_\mu, s_\lambda\rangle$ 具有非负整数系数，其中 ∇ 是 Bergeron--Garsia nabla 算子，它在修正 Macdonald 基上对角作用，而 m_μ 是单项对称函数。在本文中，我们证明了这个猜想，并且更一般地，对于所有 r≥1，$(-1)^{|\mu|-\ell(\mu)}\langle\nabla^r m_\mu,s_\lambda\rangle\in\mathbb{N}[q,t]$。我们建立了一个递归，表明 $(-1)^{|\mu|-\ell(\mu)}m_\mu$ 在对称函数 $C_\alpha(1)$ 中具有系数在 $\mathbb{Q}_{\geq 0}[q]$ 中的展开式，其中 C_a 表示由 Haglund、Morse 和 Zabrocki 引入的算子。将这个展开式与 Carlsson--Mellit 和 Mellit 的组合洗牌定理以及 LLT 多项式的 Schur 正性相结合，完成了证明。同样的方法，利用在替换 q↦q+1 后列 LLT 多项式的 e-正性，也给出了一个 e-正性的类似结果。
英文摘要
Bergeron, Garsia, Haiman and Tesler conjectured in 1999 that, for all partitions $μ,λ\vdash n$, the polynomial $(-1)^{|μ|-\ell(μ)}\langle \nabla m_μ, s_λ\rangle$ has nonnegative integer coefficients, where $\nabla$ is the Bergeron--Garsia nabla operator, which acts diagonally on the modified Macdonald basis, and $m_μ$ is the monomial symmetric function. In this article, we prove this conjecture, and more generally that $(-1)^{|μ|-\ell(μ)}\langle\nabla^r m_μ,s_λ\rangle\in\mathbb{N}[q,t]$ for all $r\geq 1$. We establish a recursion showing that $(-1)^{|μ|-\ell(μ)}m_μ$ has an expansion with coefficients in $\mathbb{Q}_{\geq 0}[q]$ in the symmetric functions $C_α(1)$, where $C_a$ denotes the operator introduced by Haglund, Morse and Zabrocki. Combining this expansion with the compositional shuffle theorems of Carlsson--Mellit and Mellit, and with the Schur positivity of LLT polynomials, completes the proof. The same method, using the $e$-positivity of column LLT polynomials after the substitution $q\mapsto q+1$, also gives an $e$-positive analogue.
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