Polynomial reduction for holonomic sequences and applications in $π$-series and congruences
多项式约简，首先设计的超几何条款，可以用来自动证明和生成新的超几何恒等式从旧的。本文将约化方法推广到完整序列。作为应用，我们描述了一种算法的方法来证明和生成新的多求和身份。特别地，我们给出了包含Domb数和Franel数的新的$π$ -级数族.
2022-06-27 math.CO math.NT
Telescoping method and congruences for double sums
近年来，Z W.孙提出了几个复杂的代数同余式有限总和的条款，涉及组合序列，如中心三项式系数，Domb数和Franel数。这些和是超几何项的双重和。使用伸缩方法和某些数学软件包，我们将这样的双重求和转换为一个单一的总和。通过这种新的方法，我们确认了几个开放的太阳。
2017-11-27 math.CO math.NT
Congruences involving $g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$
为$n=0,1,2,...$定义$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$。这些数$g_n=g_n(1)$与Apéry数和Franel数密切相关。本文建立了涉及$g_n(x)$的几个基本同余.例如，对于任何素数$p>5$，我们有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k}\equiv 0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k^2}\equiv 0\pmod p.$$这类似于Wolstenholme对任何素数$p>3$的经典同余$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k\equiv0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\equiv0\pmod p$$。
2016-07-19 math.CO math.NT
Proof of some congruence conjectures of Z.-H. Sun involving Apéry-like numbers
该研究证明了孙智宏提出的一个涉及类Apéry数的素数模p⁴同余猜想，明确了含Franel数的求和式与Euler数的同余关系。
2023-05-31 math.CO math.NT
Proof of a supercongruence conjectured by Z.-H. Sun
Franel数是由$ f_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}^3. $定义的。W. Sun关于Franel数，我们证明了\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)(-16)^{n-k-1} {2k\choose k} f_k &\equiv 0\pmod{n{2n\choose n}}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{3k+1}{(-16)^k} {2k\choose k} f_k &\equiv p (-1)^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p^3}. \end{align*}，其中$n>1$和$p$是奇素数.第二个同余模$p^2$证实了Z. H.太阳我们还证明了，如果$p$是$4k+3$形式的素数，则$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{{2k\choose k} f_k}{(-16)^k} \equiv 0 \pmod p, $$证实了Z. H.太阳
2014-04-28 math.CO math.NT
Elementary proof of congruences involving sum of binomial coefficients
给出了几个涉及二项式系数的单和与多和的同余式的初等证明。
2017-09-20 math.CO math.NT
New congruences involving Apéry-like numbers
本文给出了几类Apéry型序列的同余式。
2020-06-08 math.CO math.NT
On a congruence involving $q$-Catalan numbers
基于作者和Petrov的一个$q$ -同余式，我们建立了Sun-Tauraso关于Catalan数和的一个$q$ -同余式的一个类似，它推广了Tauraso的一个$q$ -同余式.
2019-02-26 math.CO math.NT
Two congruences involving Andrews-Paule's broken 3-diamond partitions and 5-diamond partitions
本文证明了Peter Paule和Silviu Radu提出的两个涉及破3-菱形分拆和破5-菱形分拆的同余式。
2010-06-16 math.CO math.NT
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
2005-08-27 math.CO math.NT
q-Analogs of some congruences involving Catalan numbers
我们提供了一些变化的Greene-Krammer的身份，其中涉及q-Catalan数。我们的方法揭示了这些新的身份和一些同余模素数之间的一个奇怪的类比。
2009-05-23 math.CO math.NT
A simple proof of a congruence for a series involving the little $q$-Jacobi polynomials
本文给出了一个简单的和更明确的证明，模$4$同余的一系列涉及小$q$ -雅可比多项式，这出现在最近的研究中的某种限制过划分函数。
2019-02-16 math.CO math.NT
Identities and congruences involving orthogonal polynomials and Apéry-like numbers
School of Mathematics and Statistics Huaiyin Normal University（淮阴师范学院数学与统计学院）
本文建立三项递推序列的一般恒等式，应用于正交多项式和Apéry类数，给出相关恒等式与同余式。
2026-09-25 math.CO math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。则$\{W_n\}$是类Apéry序列。本文导出了许多涉及$\{W_n\}$的同余式，特别是利用二元二次型确定了$m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$的$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$，其中$p>3$是素数.我们还证明了广义Apéry-like数的几个同余式，并对涉及二项式系数和Apéry-like数的同余式给出了29个挑战性的证明.
2020-05-10 math.CO math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
2009-12-14 math.CO math.NT
New super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是具有$a\not\equiv 0\pmod p$的有理p-adic整数。本文利用Bernoulli多项式和欧拉多项式建立了$$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}k, \quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}k\binom ak\binom{-1-a}k \quad\text{and}\quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}{2k-1}\pmod {p^2}$$的同余式。我们还给出了模$p^2$同余的一些变换公式。
2016-05-30 math.CO math.NT
Congruences involving $\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}m^{-k}$
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文利用Ishii和Deuring关于复乘椭圆曲线的定理，解决了孙志伟关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}m^{-k}\mod {p^2}$的一些问题。
2011-04-18 math.CO math.NT
Congruences involving $\binom{4k}{2k}$ and $\binom{3k}k$
设$p$是一个大于3的素数。本文主要确定$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}(-1)^k$，$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k, \sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-1)^k$和$\sum_{k=0}^{[p/3]}\binom{3k}k(-3)^k$模$p$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。
2011-08-24 math.CO math.NT
A congruence concerning a convolution involving weighted Bernoulli numbers
给定一个素数$p\geq 5$，我们用调和数和广义调和数约化模p为两个加权Bernoulli数的幂与Bernoulli数的p-1阶卷积.我们的证明是基于研究Sym（p-2）的排列数的p-adic扩展与偶数的上升，直到模数$p^2$。
2021-11-05 math.CO math.NT
Congruences involving $\binom{2k}k^2\binom{3k}km^{-k}$
令$p>3$是素数，令$m$是具有$p\nmid m$的整数。本文在Brillhart和Morton工作的基础上，利用Ishii和Deuring关于复乘椭圆曲线的定理，解决了孙志伟关于$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k^2\binom{3k}km^{-k}\mod {p^2}$的一些问题.
2011-04-28 math.CO math.NT
Congruences for sums involving products of three binomial coefficients
设$p>3$是素数，$a$是有理$p$整数，利用WZ方法建立了$$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak\binom{-1-a}k\binom{2k}k\frac {w(k)}{4^k},$$的模$p^3$同余式，其中$$w(k)=1,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3},\frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}, \frac 1{k+3}, k,k^2,k^3,\frac 1{a+k},\frac 1{a+k-1}.$$作为推论，利用$a=-\frac 12,-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$导出了许多模$p^3$的同余式，从而解决了作者以前提出的一些问题.
2022-02-14 math.CO math.NT
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
2015-04-27 math.CO math.NT
On congruences involving Apéry numbers
本文证明了Z.-W. Sun猜想的一个涉及Apéry数求和的同余式，对任意素数p>3和正奇数m，存在仅依赖m的p-adic整数c_m使该同余式成立。
2023-05-19 math.CO math.NT
Some parametric congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，$n$第广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$x^n$在$(x^2+bx+c)^n$展开式中的系数。特别地，$T_n=T_n(1,1)$是中心三项式系数。本文主要建立了几类含广义中心三项式系数的参数同余。作为结果，我们证明了对于任何素数$p>3$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{12^k}T_k\equiv\left(\frac{p}{3}\right)\frac{3^{p-1}+3}{4}\pmod{p^2} $$和$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{T_kH_k}{3^k}\equiv\frac{3+\left(\frac{p}{3}\right)}{2}-p\left(1+\left(\frac{p}{3}\right)\right)\pmod{p^2}, $$，其中$(-)$表示Legendre符号和$H_k:=\sum_{j=1}^k1/j$表示$k$次谐波数。这证实了第二作者的两个理论一致性。
2022-08-18 math.CO math.NT
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
2012-01-30 math.CO math.NT
Congruences for two types of Apery-like sequences
本文给出了关于两类Apéry型序列$\{G_n(x)\}$和$\{V_n(x)\}$的同余的许多结果和图解.
2020-06-08 math.CO math.NT
Congruences on the Bell polynomials and the derangement polynomials
本文利用影演算的方法，将涉及Bell数和乱序数的Sun和Zagier同余推广到多项式情形。还提供了一些特殊的同余式。
2010-09-15 math.CO math.NT
Generalizations of the Christoffel-Darboux formula and congruences involving Apéry-like numbers
School of Mathematics and Statistics Huaiyin Normal University（淮阴师范学院数学与统计学院）
本文将正交多项式的克里斯托费尔-达布公式推广到一般三项递推序列，研究两类特定递推序列$g_n(x)$、$v_n(x)$的恒等式与同余关系，推进了相关数论问题的研究。
2026-08-14 math.CO math.NT
$q$-Series congruences involving statistical mechanics partition functions in regime III and IV of Baxter's solution of the hard-hexagon model
对于每个$s\in\{2,4\}$，$R_s(n)$的生成函数，$n$分成奇数部分或与$0$全等的部分的数量，$\pm s\pmod {10}$，自然出现在统计力学的硬六边形模型的罗德尼·巴克斯特的解决方案的第三阶段。对于每一个$s\in\{1,3\}$，$R^*_s(n)$的生成函数，$n$分成不与$0$、$\pm s\pmod {10}$和$10-2s \pmod {20}$全等的部分的数目，自然出现在统计力学的硬六边形模型的罗德尼·巴克斯特解的第四区域中。本文研究了$R_s(n)$与$R^*_s(n)$的奇偶性，给出了包含分拆数$p(n)$与算术级数平方和的新的奇偶性结果.
2020-06-02 math.CO math.NT
Bijections and congruences involving lattice paths and integer compositions
该研究通过建立不同变体Dyck路径与整数分拆的新双射，解释计数公式4^{n-1}的组合意义，推导路径同余与分拆奇偶性结果，还揭示其与多个组合数学对象的关联，深化了相关结构认知。
2024-03-08 math.CO math.NT
Some congruences involving central q-binomial coefficients
受Sun和Tauraso最近工作的启发，我们证明了一些涉及中心q-二项式系数的Green-Krammer恒等式的变体，如$$ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q \equiv (\frac{n}{5}) q^{-\lfloor n^4/5\rfloor} \pmod{Φ_n(q)}, $$，其中$\big(\frac{n}{p}\big)$是Legendre符号，$Φ_n(q)$是$n$ th分圆多项式.作为结果，我们推导出，$$ \sum_{k=0}^{3^a m-1} q^{k}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{3^a})/(1-q)}, \sum_{k=0}^{5^a m-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{5^a})/(1-q)}, $$为$a,m\geq 1$，第一个是一个部分q模拟的Strauss-Shallit-Zagier同余模幂为3。提出了几种相关的解决方案。
2010-01-31 math.CO math.NT
New congruences for sums involving Apery numbers or central Delannoy numbers
Apéry数$A_n$和中心Delannoy数$D_n$由$$A_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}^2{2k\choose k}^2, \quad D_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}. $$定义。W. Sun，我们证明了下列同余：\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{2 r +1}A_k & \equiv \sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon^k（2k+1）^{2 r +1}D_k \equiv 0 \pmod n，其中$n\geqslant 1$，$r\geqslant 0$，和$\varepsilon=\pm1$ .对于$r=1$，我们进一步证明了\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv 0 \pmod{n^3}，\quad \sum_{k=0}^{p-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv p^3 \pmod{2p^6}，其中$p>3$是素数.下面的同余式\sum_{k=0}^{n-1} {n+k \choose k}^2{n-1 \choose k}^2 \equiv 0 \pmod{n}在我们的证明中起着重要的作用。
2012-05-25 math.CO math.NT
A remarkable congruence involving Appell polynomials
本文利用投影演算的方法给出了一个关于Appell多项式的重要同余式。最后，给出了乱列多项式的一些应用。
2020-12-22 math.NT
Conjectures on congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
在这篇文章中，我们提出了许多具有挑战性的假设，涉及二项式系数和Apéry-like数的同余。
2020-08-17 math.NT
q-Congruences, with applications to supercongruences and the cyclic sieving phenomenon
通过证明一个相应的$q$ -超同余，建立了Almkvist和Zudilin提出的一个超同余.通过一个包含单位根上高阶导数的一般准则，对二项式系数和Apéry数建立了类似的$q$ -超同余.我们的方法使我们发现了循环筛选现象的新例子，涉及$q$ -Lucas数。
2019-12-01 math.CO math.NT
Two congruences involving harmonic numbers with applications
调和数$H_n=\sum_{0<k\le n}1/k\ (n=0,1,2,\ldots)$在数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。借助于一些组合恒等式，我们建立了以下两个新的同余式：$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_k\equiv\frac13\left(\frac p3\right)B_{p-2}\left(\frac13\right)\pmod{p}$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}kH_{2k}\equiv\frac7{12}\left(\frac p3\right)B_{p-2}\left(\frac13\right)\pmod{p},$$，其中$B_n(x)$表示$n$次Bernoulli多项式.作为应用，我们确定了$\sum_{n=1}^{p-1}g_n$和$\sum_{n=1}^{p-1}h_n$模$p^3$，其中$$g_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\quad\mbox{and}\quad h_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2C_k$$与$C_k=\binom{2k}k/(k+1)$ .
2016-02-24 math.CO math.NT
Congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于整数$b$和$c$，广义中心三项式系数$T_n(b,c)$表示$(x^2+bx+c)^n$展开式中$x^n$的系数。这些$T_n=T_n(1,1)\ (n=0,1,2,\ldots)$是通常的中心三项式系数，$T_n(3,2)$与组合学中的Delannoy数$D_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k$一致。本文系统地研究了含广义中心三项式系数的同余。以下是一些典型的结果：对于每个$n=1,2,3,\ldots$，我们有$$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)T_k(b,c)^2(b^2-4c)^{n-1-k}\equiv0\pmod{n^2}$$，特别是$n^2\mid\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)D_k^2$ ;如果$p$是奇素数，则有$$\sum_{k=0}^{p-1}T_k^2\equiv\left(\frac{-1}p\right)\ \pmod{p}\ \ \ {\rm and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}D_k^2\equiv\left(\frac 2p\right)\ \pmod{p},$$，其中$(-)$表示Legendre符号。我们还提出了几个approachures其中一些涉及参数表示素数的某些二元二次型。
2014-06-17 math.CO math.NT
A congruence involving the quotients of Euler and its applications (III)
本文给出了整数模下的几个新的二项式系数同余式，它们是蔡\textit{et al.}（2002，2007）前两个工作的继续.
2016-04-02 math.NT
Super-congruences involving trininomial coefficients
这项工作的目的是建立同余关系$\left( \operatorname{mod}p^{2}\right) $涉及三项式系数$\binom{np-1}{p-1}_{2}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right)/2}_{2}$所产生的多项式$1+x+x^{2}.$的幂的扩展在主要结果中，我们扩展了一些已知的同余关系涉及二项式系数$\binom{np-1}{p-1}$和$\binom{np-1}{\left( p-1\right) /2}$，并建立同余链接二项式系数和调和数。
2019-10-21 math.NT
Some congruences involving powers of Delannoy polynomials
定义了Delannoy多项式$D_n(x)$：$$ D_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}x^k. $$我们证明了，如果$x$是一个整数，$p$是一个不整除$x(x+1)$的素数，则有\begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)D_k(x)^3 &\equiv p\left(\frac{-4x-3}{p}\right) \pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)D_k(x)^4 &\equiv p \pmod{p^2}, \\ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k(2k+1)D_k(x)^3 &\equiv p\left(\frac{4x+1}{p}\right) \pmod{p^2}, \end{align*}，其中$\big(\frac{\cdot}{p}\big)$表示Legendre符号.前两个同余证实了Z的一个猜想。W. Sun [Sci. China 57（2014），1375- 1400].第三个同余式证实了Z的另一个猜想的一个特例。W. Sun [J.数论132（2012），2673- 2699].证明了对任意整数$x$和奇素数$p$，都成立\begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k(2k+1)D_k(x)^4…
2014-12-10 math.CO math.NT
$6$-regular partitions: new combinatorial properties, congruences, and linear inequalities
我们考虑$n$的$6$ -正则分拆的个数，即$b_6(n)$，并给出了$b_6(n)$的模$3$（在等差数列中）同余的无限族.我们还考虑了$n$的分区到不同的部分不全等的$\pm 2$模$6$，$Q_2(n)$，并调查之间的连接$b_6(n)$和$Q_2(n)$这些分区功能提供新的组合解释。在此背景下，我们发现了新的无限族的线性不等式涉及欧拉的配分函数$p(n)$。作为公开问题，提出了包含$6$ -正则配分函数$b_6(n)$和不同配分函数$Q_2(n)$的无限族线性不等式.
2023-02-02 math.CO math.NT
Cubic congruences and sums involving $\binom{3k}k$
令$p$是大于$3$的素数，令$a$是有理p-adic整数。本文试图确定$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k\pmod p$，并实现三次同余与和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}ka^k$之间的联系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$a_1,a_2,a_3$是有理p-adic整数，$P=-2a_1^3+9a_1a_2-27a_3$，$Q=(a_1^2-3a_2)^3$和$PQ(P^2-Q)(P^2-3Q)(P^2-4Q)\not\equiv 0\pmod p$ .本文证明了同余$x^3+a_1x^2+a_2x+a_3\equiv 0\pmod p$的解的个数只依赖于$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{4Q-P^2}{27Q})^k\pmod p$ .设$q$是一个素数，其形式为$3k+1$，因此$4q=L^2+27M^2$与$L,M\in\Bbb Z$。当$p\not=q$和$p\nmid L$时，我们建立了$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{M^2}q)^k$和$\sum_{k=1}^{[p/3]}\binom{3k}k(\frac{L^2}{27q})^k$模p的同余关系，从而证明了$x^3-qx-qM\equiv 0\pmod p$有三个…
2013-11-20 math.CO math.NT
Congruences involving the reciprocals of central binomial coefficients
我们提出了几个同余模幂的素数$p$关于以下类型的总和$\sum_{k=1}^{p-1}{m^k\over k^r}{2k\choose k}^{-1}$揭示了一些有趣的连接与类似的无穷级数。
2009-12-20 math.NT
Proof of some conjectural congruences involving Domb numbers
本文主要证明了Z. H. Sun \cite{SH2}：设$p>3$为素数。如果是$p\equiv1\pmod3$和$p=x^2+3y^2$，则有$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{4^k}\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{16^k}\equiv4x^2-2p-\frac{p^2}{4x^2}\pmod{p^3}, $$，如果是$p\equiv2\pmod3$，则有$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{4^k}\equiv-2\sum_{k=0}^{p-1}\frac{D_k}{16^k}\equiv\frac{p^2}2\binom{\frac{p-1}2}{\frac{p-5}6}^{-2} \pmod{p^3}, $$，其中$D_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}k^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$代表第$n$个Domb数。
2021-12-10 math.CO math.NT
Identities and congruences involving the Fubini polynomials
本文研究了Fubini多项式$F_{x}^{n}:=F_{n}(x)$的阴影表示，得到了涉及这类多项式的一些性质.对于任意素数$p$和任意整系数多项式$f$，我们证明了$(f(F_{x}))^{p}\equiv f(F_{x})$，并给出了其它有趣的同余式.
2017-06-27 math.NT
Congruence identities of regularized multiple zeta values involving a pair of index sets
利用嵌套和将Riemann zeta值推广为多重zeta值（MZVs），通过发散无穷级数的正则化将多重zeta值推广为正则化多重zeta值（RMZVs）.本文证明了深度为$n-1$的RMZV与其乘积所张成的向量空间中包含一对指标集的深度为$n$的RMZV的同余同余关系.我们还得到了奇偶性结果的一个证明，以及MZVs的一个同余和公式。
2014-04-20 math.NT
Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers
设$p$是素数，$a$是正整数。本文研究了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$模一个素数$p$，其中$d$和$m$是整数，且$-h<d<=p^a$和$m\not=0 (mod p)$ .我们还研究了涉及高阶Catalan数$C_k^{(h)}=\binom[(h+1)k,k]/(hk+1)$和$\bar C_k^{(h)}=\binomal[(h+1)k,k]*h/(k+1)$的同余。我们的工具包括线性递归和三次剩余理论。文中给出了一些典型结果。(i)如果$p^a=1 (mod 6)$则$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[3k,k]/6^k=2^{(p^a-1)/3}-1 (mod p).$$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[3k,k]/7^k=\cases-2&if p^a=\pm2 (mod 7), \\1&otherwise.$$（ii）我们有$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[4k,k]/5^k=\cases1 (mod p) if p\not=11 and p^a=1 (mod 5), \1/11 (mod p)&if p^a=2,3 (mod 5), \9/11 (mod p) if p^a=4 (mod 5). $$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}C…
2009-09-28 math.CO math.NT
Some Congruences Involving Binomial Coefficient and Fermat Quotient
MOE-LCSM, School of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University（湖南师范大学数学与统计学院）
本文研究了涉及二项式系数和费马商的某些同余式，探讨了相关求和形式的性质。
2025-12-01 math.NT
Congruences involving alternating multiple harmonic sum
我们表明，对于任何素数素数$p\not=2$ $$\sum_{k=1}^{p-1} {(-1)^k\over k}{-{1\over 2} \choose k} \equiv -\sum_{k=1}^{(p-1)/2}{1\over k} \pmod{p^3}$$通过表达l.h.s.作为交替的多个谐波和的组合。
2009-12-24 math.NT
New congruences involving products of two binomial coefficients
设$p>3$为素数，$a$为正整数。我们证明了如果$p\equiv1\pmod 4$或$a>1$则$$\sum_{k=0}^{\lfloor\frac34p^a\rfloor}\frac{\binom{2k}k^2}{16^k}\equivł(\frac{-1}{p^a}\r)\pmod{p^3}$$和$(-)$是Jacobi符号，这证实了Z.- W.太阳我们还建立了以下新的同余式：\begin{align*}\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{2k}k\binom{3k}k}{27^k}\equiv&ł(\frac p3\r)\frac{2^p+1}3\pmod{p^2}, \\\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{6k}{3k}\binom{3k}k}{(2k+1)432^k}\equiv&ł(\frac p3\r)\frac{3^p+1}4\pmod{p^2}, \\\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}{(2k+1)64^k}\equiv&ł(\frac{-1}p\r)2^{p-1}\pmod{p^2}. \end{align*}注意，在2003年Rodriguez-Villeguez提出了关于$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\bino…
2016-01-19 math.CO math.NT
Supercongruences on some binomial sums involving Lucas sequences
本文证明了Sun关于二项和整除性的几个证明同余。例如，借助于二次超几何变换，我们证明了对于任何素数$p\equiv 7\mod{8}$，$$ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k^2\frac{P_k}{8^k}\equiv0\pmod{p^2} $$，其中$P_k$是$k$ -th Pell数。此外，我们还提出了三个新的同类型的同余。
2016-11-11 math.CO math.NT
Factors of certain sums involving central q-binomial coefficients
最近，Ni和Pan证明了关于中心$q$ -二项式系数的和的一个$q$ -同余式，这是由Guo证明的.本文给出了这个$q$ -同余式的一个推广，并证明了另一个$q$ -同余式，该同余式也是由Guo提出的.我们的证明使用Ni和潘的技术和一个简单的$q$ -同余郭和Schlosser观察。
2021-02-03 math.NT
A Curious Congruence Involving Alternating Harmonic Sums
设$p$是素数，${\mathcal{P}_{p}}$是与$p$互素的正整数的集合.我们建立了以下有趣的同余式\[\sum\limits_{\begin{smallmatrix} i+j+k={{p}^{r}} i,j,k\in {\mathcal{P}_{p}} \end{smallmatrix}}{\frac{{{(-1)}^{i}}}{ijk}}\equiv \frac{{{p}^{r-1}}}{2}{{B}_{p-3}}\, (\bmod \, {{p}^{r}}).\]
2014-07-22 math.NT
Backward Touchard congruence
著名的Touchard同余式指出，$B_{n+p}B_n+B_{n+1}$模$p$，其中$p$是一个素数，$B_n$表示贝尔数。本文研究了$B_{n-p}$的整除性质及其在$p$的高次幂和$r$ -Bell数上的推广.特别是，我们所考虑的问题的孙-Zagier同余，这是另外改进的\mbox{a new}之间的关系推导$r$ -贝尔和乱序数的密切关系。最后，我们得到了模$p$的Bell数的周期的一些结果.
2021-10-12 math.CO math.NT
