Congruences for two types of Apery-like sequences
Zhi-Hong Sun
本文给出了关于两类Apéry型序列$\{G_n(x)\}$和$\{V_n(x)\}$的同余的许多结果和图解.
In this paper we present many results and conjectures on congruences involving two types of Apéry-like sequences $\{G_n(x)\}$ and $\{V_n(x)\}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
New congruences involving Apéry-like numbers
本文给出了几类Apéry型序列的同余式。
On two congruences involving Apéry and Franel numbers
本文推广了V. J.- W. Guo和J. \cite{gz-jnt-2012}的一个同余式，得到了一个涉及Franel数的同余式，从而证实了Z. Zeng-J. W. Sun \cite [猜想57（ii）]{sun-njdx-2019}.
Identities and congruences involving orthogonal polynomials and Apéry-like numbers
本文建立三项递推序列的一般恒等式，应用于正交多项式和Apéry类数，给出相关恒等式与同余式。
Congruences arising from Apéry-type series for zeta values
最近，R. Tauraso对$ζ(2)$和$ζ(3).$建立了著名的Apéry级数的有限$p$ -模拟本文给出了由$ζ(4)$和$ζ(5).$的Apéry型级数截断而产生的有限中心二项式和的几个同余式，并证明了$ζ(2)$的Zeilberger级数的$p$ -模拟，证实了Z. W.太阳
Congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。则$\{W_n\}$是类Apéry序列。本文导出了许多涉及$\{W_n\}$的同余式，特别是利用二元二次型确定了$m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$的$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$，其中$p>3$是素数.我们还证明了广义Apéry-like数的几个同余式，并对涉及二项式系数和Apéry-like数的同余式给出了29个挑战性的证明.
Proof of some conjectures of Z.-W. Sun on congruences for Apery polynomials
对于所有非负整数$n$，由$A_n(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^2{n+k\choose k}^2 x^k$定义的April多项式。我们确认了Z的几张照片W. Sun关于和$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k(2k+1) A_k(x)$与$x\in Z$的同余。
Conjectures on congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
在这篇文章中，我们提出了许多具有挑战性的假设，涉及二项式系数和Apéry-like数的同余。
On congruences involving Apéry numbers
本文证明了Z.-W. Sun猜想的一个涉及Apéry数求和的同余式，对任意素数p>3和正奇数m，存在仅依赖m的p-adic整数c_m使该同余式成立。
Two congruences concerning Apéry numbers
设$n$为非负整数。第$n$个Apéry数由$$ A_n:=\sum_{k=0}^n\binom{n+k}{k}^2\binom{n}{k}^2. $$ Z定义。W. Sun曾研究过Apéry数的同余性质，并给出了一些证明。例如，Sun指出，对于任何素数$p\geq7$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)A_k\equiv p-\frac{7}{2}p^2H_{p-1}\pmod{p^6} $$和任何素数$p\geq5$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)^3A_k\equiv p^3+4p^4H_{p-1}+\frac{6}{5}p^8B_{p-5}\pmod{p^9}, $$，其中$H_n=\sum_{k=1}^n1/k$表示$n$ -th调和数，而$B_0,B_1,\ldots$是众所周知的伯努利数。在本文中，我们将证实这两个命题。
Divisibility properties of sporadic Apéry-like numbers
1982年，Gessel证明了与$ζ(3)$的无理性相关联的Apéry数满足Lucas同余。我们的主要结果是证明相应的同余所有零星Apéry样序列。在某些情况下，我们能够采用的方法，由于麦金托什，Samol-van Straten和罗兰-Yassawi建立这些一致性。然而，对于通常标记为$s_{18}$和$(η)$的序列，我们需要更精细的分析。作为一个应用，我们调查模这些序列是周期的号码。特别是，我们证明了Almkvist-Zudilin数是周期模$8$，一个特殊的属性，他们共享的Apéry数。我们还调查素数不划分任何条款的一个给定的Apéry序列。
More congruences from Apery-like formulae
本文给出了$\sum_{k=0}^{(p-3)/2}x^k{2k\choose k}/(2k+1)^d$型和的模$p^{6-d}$的同余式，其中$p>5$是素数，对于$d=1,2,3$.
New congruences for sums involving Apery numbers or central Delannoy numbers
Apéry数$A_n$和中心Delannoy数$D_n$由$$A_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}^2{2k\choose k}^2, \quad D_n=\sum_{k=0}^{n}{n+k\choose 2k}{2k\choose k}. $$定义。W. Sun，我们证明了下列同余：\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{2 r +1}A_k & \equiv \sum_{k=0}^{n-1} \varepsilon^k（2k+1）^{2 r +1}D_k \equiv 0 \pmod n，其中$n\geqslant 1$，$r\geqslant 0$，和$\varepsilon=\pm1$ .对于$r=1$，我们进一步证明了\sum_{k=0}^{n-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv 0 \pmod{n^3}，\quad \sum_{k=0}^{p-1}（2k+1）^{3}A_k & \equiv p^3 \pmod{2p^6}，其中$p>3$是素数.下面的同余式\sum_{k=0}^{n-1} {n+k \choose k}^2{n-1 \choose k}^2 \equiv 0 \pmod{n}在我们的证明中起着重要的作用。
A modular supercongruence for $_6F_5$: an Apéry-like story
本文证明了权为6的模形式的$p$次傅里叶系数与截断的${}_6F_5$ -超几何级数之间的模$p^3$超同余.新成分的证明是比较两个有理逼近$ζ(3)$，以产生非平凡的调和和身份，并减少由此产生的同余之间的调和和通过一个同余之间的Apéry数和另一个Apéry序列。
New conjectures involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
本文对二项式系数与Apéry-like数模$p^3$的和的同余关系进行了大量的研究，其中$p$是奇素数.
Proof of some congruence conjectures of Z.-H. Sun involving Apéry-like numbers
该研究证明了孙智宏提出的一个涉及类Apéry数的素数模p⁴同余猜想，明确了含Franel数的求和式与Euler数的同余关系。
Generalizations of the Christoffel-Darboux formula and congruences involving Apéry-like numbers
本文将正交多项式的克里斯托费尔-达布公式推广到一般三项递推序列，研究两类特定递推序列$g_n(x)$、$v_n(x)$的恒等式与同余关系，推进了相关数论问题的研究。
On the binomial transforms of Apéry-like sequences
本文研究了15个类Apéry序列在$u_n\equiv α^n \pmod{N_α}$形式下的同余问题，通过二项式变换这一统一方法确定了所有序列的$\max\{N_α|α\in \mathbb{Z}\}$值。
Congruences concerning Jacobi polynomials and Apéry-like formulae
设$p>5$为素数。我们证明了一般形式$\sum_{k=0}^{(p-3)/2}\binom{2k}{k}t^k/(2k+1)^{d+1}$和$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\binom{2k}{k}t^k/k^d$与$d=0,1$的和的模$p^{3-d}$同余。我们还考虑了前一个和的特殊情况$t=(-1)^{d}/16$，其中同余保持模$p^{5-d}$。
Supercongruences for Apery-like numbers
众所周知，当相关的生成函数满足一个二阶微分方程时，出现在Aestheten证明zeta（2）的无理性中的数具有许多有趣的同余性质。我们证明了超同余的一个概括的数字出现在Beukers'和Zagier的研究的积分解决方案的类微分方程。
Lucas congruences for the Apéry numbers modulo $p^2$
本文给出 Apéry 数整函数插值的泰勒系数公式，并证明对特定基 $p$ 数字的整数 $n$，$A(n)$ 满足模 $p^2$ 的 Lucas 同余式。
Super congruences concerning binomial coefficients and Apéry-like numbers
设$p$是一个素数，其上有$p>3$，$a,b$是两个有理数$p-$.本文给出了$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac p{k+b}\pmod {p^2}$的一般同余式.对于$n=0,1,2,\ldots$，令$D_n$和$b_n$分别为Domb和Almkvist-Zudilin数。我们还建立了$$\sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{16^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{D_n}{4^n}, \quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-3)^n},\quad \sum_{n=0}^{p-1}\frac{b_n}{(-27)^n}\pmod {p^2}$$在某些二元二次型方面的同余。
Congruences for sporadic sequences and modular forms for non-congruence subgroups
在证明zeta（2）R.阿维尼翁引入了数b_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}^2{n+k \choose k}。Stienstra和Beukers证明了对素数p > 3的Aynomial数满足同余式b（（p-1）/2）= 4a^2- 2 p mod p，如果p = a^2+b^2（其中a是奇数）。后来，Zagier发现了一些Aiden数的推广，即所谓的零星序列，最近Osburn和Straub证明了除了Zagier的六个零星序列中的一个之外的所有类似的同余（三个案例已经知道是真的），并证明了第六个序列的同余。本文通过研究非同胚子群的某些尖点形式的傅里叶系数之间的Atkin和Swinnerton-Dyer同余，证明了剩余同余。
Gessel-Lucas congruences for sporadic sequences
对于每一个$15$已知的零星Apéry样序列，我们证明了同余模$p^2$是自然扩张卢卡斯同余模$p$。这扩展了结果Gessel的数字所使用的Apéry在他的证明的非理性的$ζ(3)$。此外，我们证明了这些序列满足模$p^{2r}$的两项超同余。使用特殊的常数项表示最近发现的Gorodetsky，我们证明了这些超同余在两种情况下，以前保持开放。
Multivariate Apéry numbers and supercongruences of rational functions
Apéry数$A (n)$的许多显着性质之一，在Apéry的$ζ(3)$的非理性证明中引入，是它们满足素数$p \geq 5$的两项超同余\begin{equation*} A (p^r m) \equiv A (p^{r - 1} m) \pmod{p^{3 r}} \end{equation*}。类似的同余式被证明对所有的Apéry型序列成立。我们提供了一个新的视角上的Apéry数满足的超同余表明，他们扩展到所有泰勒系数$A (n_1, n_2, n_3, n_4)$的有理函数\begin{equation*} \frac{1}{(1 - x_1 - x_2) (1 - x_3 - x_4) - x_1 x_2 x_3 x_4} . \end{equation*}的Apéry数是对角系数的这个功能，这是简单的比以前已知的有理函数与此属性。我们的主要结果提供了类似的结果为一个无限的序列，分区$λ$，其中还包括Franel和杨-Zudilin数以及Apéry数对应于$ζ(2)$索引的家庭。以Almkvist-Zudilin数为例，进一步证明了其他Apéry序列的多元超同余。
Congruences via modular forms
证明了模形式的幂级数展开式系数在t中的两个同余式，其中t是模函数。因此，我们解决了陈，库珀和西卡最近的两个问题。此外，我们提供了一个表的同余出现在类似的幂级数展开式和在研究的积分解决方案的类微分方程的数字。
Higher Apery-like numbers arising from special values of the spectral zeta function for the non-commutative harmonic oscillator
引入并研究了描述非对易谐振子谱zeta函数特殊值$ζ_Q(2)$和$ζ_Q(3)$的广义类Bucky数。事实上，我们给出了它们之间的递推关系，它显示了它们之间的阶梯结构。此外，我们认为“合理的一部分”的更高的类似数字。我们讨论了它们之间的几种同余关系，并把它们看作是Aesthetic数之间的一种类似关系。
q-Congruences, with applications to supercongruences and the cyclic sieving phenomenon
通过证明一个相应的$q$ -超同余，建立了Almkvist和Zudilin提出的一个超同余.通过一个包含单位根上高阶导数的一般准则，对二项式系数和Apéry数建立了类似的$q$ -超同余.我们的方法使我们发现了循环筛选现象的新例子，涉及$q$ -Lucas数。
Weighted bilinear identities and supercongruences for Apéry-like polynomials
本文为两类Apéry型多项式建立加权双线性求和恒等式，结合端点值同余式得到模p^3和p^4的超同余式及特殊求值，并证实了Sun的一个猜想。
New representations for all sporadic Apéry-like sequences, with applications to congruences
本文为全部15个散在Apéry型序列构造了基于Laurent多项式常数项的新表示，由此得到不含3或8的幂的二项式表达式，并据此证明超同余式、强Lucas同余及p-进赋值下界。
Apéry-like numbers and families of newforms with complex multiplication
利用Hecke特征标，我们构造了两个具有复乘的新形式的无限族，一个是用$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$，另一个是用$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ .每个族中所有形式的$p$阶傅里叶系数的值可以用一个公式来描述，我们明确地给出了这个公式。这使我们能够建立一个公式有关的$p$ -th傅里叶系数的形式，不同的权重，在每个家庭。然后，我们证明了这些新形式的$p$ -th傅里叶系数之间的同余关系在所有奇数的重量和价值来自两个Zagier的零星Apéry序列。
The 2-log-convexity of the Apery Numbers
给出了一种证明满足三项递归关系的序列的2-对数凸性的方法。我们证明了Aubert数、Cohen-Rhin数、Motzkin数、Fine数、3阶和4阶的Franel数以及大Schroder数都是2-log凸的。数值证据表明，所有这些序列是k-对数凸的任何$k\geq 1$可能除了一个常数的条款在开始。
Congruences Among Power Series Coefficients of Modular Forms
许多作者研究了模形式$f$在模函数$t$中的幂级数展开式的系数之间的同余关系。在最近的一篇论文中，R. Osburn和B. Sahu研究了几个幂级数展开式，并证明了系数的同余关系与$ζ(3)$的无理性的Apéry数所满足的同余关系相似。我们表明，许多的例子Osburn和Sahu的成员的无限家庭。
Congruences involving $g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$
为$n=0,1,2,...$定义$g_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}kx^k$。这些数$g_n=g_n(1)$与Apéry数和Franel数密切相关。本文建立了涉及$g_n(x)$的几个基本同余.例如，对于任何素数$p>5$，我们有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k}\equiv 0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{g_k(-1)}{k^2}\equiv 0\pmod p.$$这类似于Wolstenholme对任何素数$p>3$的经典同余$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k\equiv0\pmod{p^2}\quad{and}\quad\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k^2}\equiv0\pmod p$$。
A Note on Sun's Conjectures on Apéry-like Sums Involving Lucas Sequences and Harmonic Numbers
本文利用Davydychev--Kalmykov的相关结果，证明了Zhi-Wei Sun提出的关于涉及Lucas序列与调和数的类Apéry和的四个猜想恒等式。
Lucas congruences using modular forms
本文利用模形式证明众多 Apéry 型序列对任意素数满足 Lucas 同余，从而证实 S. Cooper 的四个相关猜想并重新解释已有结果。
Automatic congruences for diagonals of rational functions
在本文中，我们使用自动序列的框架来研究组合序列模素幂。给定一个序列，其生成函数是一个有理幂级数的对角线，我们提供了一种方法，Denef和Lipshitz的工作的基础上，用于计算一个有限自动机的序列模$p^α$，但所有的许多素数$p$。这种方法给出了已知结果的完全自动证明，建立了一些新的定理，著名的序列，并允许我们解决有关Apéry数的一些问题。我们还给出了第二种方法，它适用于代数序列模$p^α$的所有素数$p$，但显着较慢。最后，我们表明，广泛的多维序列具有卢卡斯产品模$p$。
Apéry-like sequences defined by four-term recurrence relations
本文系统梳理三次三项递推定义的类 Apéry 序列，并重点分析 k=4 的四项递推情形，发现新序列及十个自启动序列，研究其同余与渐近性质并提出 Lucas 同余和超同余猜想。
On a conjecture of J. Shallit about Apéry-like numbers
对于所有整数$n\geqslant 0$，输入$a(n)=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}$和$b(n)=v_{3}(a(n))$，其中$v_{3}$是$3$ -adic赋值。在这项工作中，我们将确认有关$b(n)$的公式，由J. Shallit在2000年。作为应用，我们证明了序列$(b(n))_{n\geqslant 0}$是$3$ -正则的.
Reduction on the congruences of partial sums of P-recursive sequences
本文简化了P-递归序列部分和同余式的证明方法，放宽望远镜算子要求，利用序列同余性质，确认了孙的猜想并发现中心三项式系数的新同余式。
A third-order Apery-like recursion for $ζ(5)$
在1978年，阿斯塔纳给出了序列的有理逼近$ζ(2)$和$ζ(3)$产生的非理性的每一个这些数字。其中一个关键成分的阿塞尔的证明是二阶差分方程的多项式系数满足上述近似的分子和乘数。最近，一个类似的二阶差分方程的$ζ(4)$已被发现。该注释包含了上述结果对于数$ζ(5)$的可能推广。
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
Polynomial reduction for holonomic sequences and applications in $π$-series and congruences
多项式约简，首先设计的超几何条款，可以用来自动证明和生成新的超几何恒等式从旧的。本文将约化方法推广到完整序列。作为应用，我们描述了一种算法的方法来证明和生成新的多求和身份。特别地，我们给出了包含Domb数和Franel数的新的$π$ -级数族.
Congruences and relations for r-Fishburn numbers
最近安德鲁斯和塞勒斯证明了一些惊人的同余式的菲什伯恩号码。我们将他们的结果推广到更一般的数列。结果证明了Fishburn数的一个新的模23同余，并证明了它们对一个相关序列的模5同余。我们还扩展和证明了一些未发表的mattures的Garthwaite和Rhoades。
Generalized Lucas congruences and linear $p$-schemes
我们观察到一个序列满足Lucas同余模$p$当且仅当它的值模$p$可以描述的线性$p$ -计划，介绍了罗兰和Zeilberger，与一个单一的状态。这个简单的观察表明卢卡斯同余概念的自然推广。为了说明这一点，我们证明了显式广义Lucas同余整数序列，可以表示为$P(x,y)^n Q(x,y)$的常数项，其中$P$和$Q$是某些劳伦多项式。
Some conjectures on congruences
设$p$为奇素数。本文收集了作者关于模$p$或$p^2$同余的各种理论，涉及到二项式系数和、Lucas序列、幂剩余和特殊的二元二次型。
The congruence of Wolstenholme and generalized binomial coefficients related to Lucas sequences
利用关于基本Lucas序列的广义二项式系数，我们建立了推广经典的Wolstenholme同余和其他相关的强同余的同余.
A two-step supercongruence for an Apéry-like sequence
本文证明了一个Apéry型序列的两步超同余猜想，通过超几何转换、差分算子谱分析及有限域恒等式，给出了更强的赋值结果，并利用有限计算处理例外素数。
Order-3 pi-formulas, Apery-like kernels, and Clausen functoriality for Conservative Matrix Fields
本文研究了三阶递推公式与Apery-like核的关系，揭示了Catalan核与Gauss平方系数序列的联系，并在Sym²框架下统一了保守矩阵场的泛函性。
Combinatorial congruences and Stirling numbers
本文得到了一些复杂的含二项式系数的组合同余式，并证实了作者和Davis的两个结论。它们与我们对序列$\sum_{j=0}^l{l\choose j}S(j,m)a^{l-j}(l=m,m+1,...)$模素数$p$的周期性的研究密切相关，其中$a$和$m>0$是整数，并且这些$S(j,m)$是第二类斯特林数。我们还证明了$(p-1)p^{[\log_p m]}$是序列$\sum_{j=r(mod p-1)}{l\choose j}S(j,m)(l=m,m+1,...)$模$p$的一个周期，从而给出了Glasgow同余的一个新的推广.
On congruence conjectures of Andrews and Bachraoui
本文通过将生成函数与模形式和拟theta函数联系，解决了安德鲁斯和第三作者关于受限二色分区同余的两个猜想及极限序列消失身份的问题。
Congruence properties of combinatorial sequences via Walnut and the Rowland-Yassawi-Zeilberger automaton
某些著名的组合序列，如Catalan数和Motzkin数，当取模一个素数幂时，可以用有限自动机计算。因此，许多关于这样的序列的定理可以使用Walnut来证明，Walnut是用于证明自动序列的各种属性的决策过程的实现。在本文中，我们探讨了一些结果（旧的和新的），可以证明使用这种方法。
Congruences of the $q$-Fibonacci sequence related with its transcendence
利用Schur引入的$q$ -Fibonacci序列的Andrews显式公式，证明了$q$ -Fibonacci序列与原Fibonacci序列的某些同余关系.作为推论，我们证明了在广义黎曼假设下，它在整数模无穷大素数的$\mathbb{Q}$ -代数$\mathscr{A}$中产生一个超越元。
Identities and congruences for a new sequence
令$[x]$为不超过$x$的最大整数。本文引入了由$U_0=1$和$U_n=-2\sum_{k=1}^{[n/2]}\binom n{2k}U_{n-2k}\quad(n\ge 1)$给出的序列$\{U_n\}$，并建立了涉及$\{U_n\}$的许多递归公式和同余式.
Cyclotomic Congruences and Lucas Sequences
本文研究了卢卡斯序列中素数进入点行为的限制，并推测存在强切比雪夫偏倚。
Telescoping method and congruences for double sums
近年来，Z W.孙提出了几个复杂的代数同余式有限总和的条款，涉及组合序列，如中心三项式系数，Domb数和Franel数。这些和是超几何项的双重和。使用伸缩方法和某些数学软件包，我们将这样的双重求和转换为一个单一的总和。通过这种新的方法，我们确认了几个开放的太阳。
Power multiples in binary recurrence sequences: an approach by congruences
本文介绍了一种基于初等同余的方法来寻找任意二进制递归序列（q>2）中的q次幂倍数。该程序允许证明在许多情况下不存在这样的倍数。
A note on congruence properties of the generalized bi-periodic Horadam sequence
本文考虑Horadam序列{w_n}的推广，它由递推式w_n = aw_n-1 + cw_n-2定义，当n为偶数时，w_n = bw_n-1 + cw_n-2，当n为奇数时，具有任意初始条件w_0，w_1和非零的实数a，b，c.研究了广义Horadam序列{w_n}的一些同余性质.
Prime and Touchard Congruences of Mixed-Type Bell Numbers
本文建立混合型斯特林数与贝尔数的组合算术框架，连通分拆结构、Touchard 多项式与素幂同余式，结合 p 进赋值理论证明相关同余式，推广组合序列经典算术性质。
A method for determining the mod-$p^k$ behaviour of recursive sequences
本文提出一种推导满足代数微分方程的组合序列模素数幂同余式的方法，将既有方法从 $p=2$ 推广到任意素数，并用于多类组合数的同余证明。
Explicit constructions for Ramanujan-type congruences
本文通过模形式的显式构造，为包括eta商、弱全纯模形式和mock模形式在内的生成函数建立Ramanujan型同余式，统一恢复已知同余式并得到新的非同余结果与显式同余式。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。