A family of $q$-hypergeometric congruences modulo the fourth power of a cyclotomic polynomial
本文证明了一个双参数$q$超几何同余族模分圆多项式的四次幂。在我们的证明的关键成分是乔治安德鲁斯的多系列扩展的沃森变换，和Karlsson-明顿型求和非常平衡的基本超几何级数由于乔治加斯珀。新的家庭的$q$ -同余，然后用来证明两个命题提出较早的作者。
2019-09-23 math.NT
A primality criterion based on a Lucas' congruence
设$p$为素数。1878年，卢卡斯证明了同余式$$ {p-1\choose k}\equiv (-1)^k\pmod{p}$$对任何非负整数$k\in\{0,1,\ldots,p-1\}$成立。在1997年由E. Deutsch和I. M杰塞尔在本文中，我们通过以下结果推广了这个相反的断言：如果$n>1$和$q>1$是整数，使得对于每个整数$k\in\{0,1,\ldots, n-1\}$都有$$ {n-1\choose k}\equiv (-1)^k \pmod{q}$$，则$q$是素数，$n$是$q$的幂。
2014-07-29 math.NT
Lucas-type congruences for cyclotomic $ψ$-coefficients
设p是任意素数，a是正整数。对于非负整数l、n和整数r，已知归一化分圆$ψ$系数$${n,r}_{l,p^a}:=p^{-[(n-p^{a-1}-lp^a)/(p^{a-1}(p-1))]} \sum_{k=r(mod p^a)}(-1)^k{n \choose k}{{(k-r)/p^a} \choose l}$$是整数.在本文中，我们表明，这个系数的行为类似于二项式系数，并满足一些卢卡斯型同余。这意味着Wan的一个同余往往是最优的，Sun和Davis的两个同余是真的。
2008-04-17 math.CO math.NT
Cyclotomic norm congruences for zeta values and modular $L$-values
The University of Chicago（芝加哥大学）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
该研究在分圆塔中建立ζ函数与模L值的同余关系，在GL₁、GL₂情形下分别推导相关同余并给出应用，为相关数论问题提供了新的研究路径。
2026-08-25 math.NT
Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (1878--2014)
1878年，Lucas证明了一个显著的结果，它提供了一种简单的方法来计算二项式系数${n\choose m}$模一个素数$p$，根据$n$和$m$的基$p$数字的二项式系数：{ \it如果$p$是素数，$n=n_0+n_1p+\cdots +n_sp^s$和$m=m_0+m_1p+\cdots +m_sp^s$是非负整数$n$和$m$的$p$ -进展开式，则\begin{equation*} {n\choose m}\equiv \prod_{i=0}^{s}{n_i\choose m_i}\pmod{p}. \end{equation*} }上述同余式，所谓的{ \it Lucas' theorem}（或{ \it Theorem of Lucas}）在数论和组合数学中起着重要的作用。本文共分六节，主要介绍了Lucas型同余的历史，Lucas模素幂定理的推广，广义二项式系数的Lucas类定理及其应用。在第一节中，我们介绍了模素数的基本同余，包括著名的卢卡斯定理。在第2节中，我们提到几个已知的证明和一些后果卢卡斯定理。在第3节中，我们提出了一些扩展和变化的卢卡斯定理模素数的权力。在第4节中，我们考虑卢卡斯性质和双重卢卡斯性质的概念，其中我们也提出了许多整数序列满足这些性质之一或某一卢卡斯型同余。在第五节中，我们收集了几个已知的关于广义二项式系数的Lucas型同余。特别地，这涉及Fi…
2014-09-06 math.NT
Lucas congruences for the Apéry numbers modulo $p^2$
本文给出 Apéry 数整函数插值的泰勒系数公式，并证明对特定基 $p$ 数字的整数 $n$，$A(n)$ 满足模 $p^2$ 的 Lucas 同余式。
2021-01-26 math.NT
Generalized Lucas congruences and linear $p$-schemes
我们观察到一个序列满足Lucas同余模$p$当且仅当它的值模$p$可以描述的线性$p$ -计划，介绍了罗兰和Zeilberger，与一个单一的状态。这个简单的观察表明卢卡斯同余概念的自然推广。为了说明这一点，我们证明了显式广义Lucas同余整数序列，可以表示为$P(x,y)^n Q(x,y)$的常数项，其中$P$和$Q$是某些劳伦多项式。
2021-11-16 math.CO math.NT
Combinatorial Sums $\sum_{k\equiv r(\mbox{mod} m)}{n\choose k}a^k$ and Lucas Quotients (II)
文[16]通过对组合和$$\sum_{k\equiv r(\mbox{mod}m)}{n\choose k}a^k.$$的研究，得到了两个无限Lucas序列族的Lucas同余式.本文证明了组合和可以用阶不超过$φ{(m)}$的递归序列表示，并给出了一些新的同余式.
2016-09-26 math.NT
The local Dold congruence for Fibonacci and Lucas sequences
Prince of Songkla University（宋卡王子大学）；Khon Kaen University（孔敬大学）；Mahidol University International College（马希隆大学国际学院）；Durham University（杜伦大学）
本文刻画 Fibonacci 与 Lucas 序列中满足 Dold 同余或可实现性的素数，计算修复乘子并给出四类素数集的密度，分别为 (3/4,1/3,1,1/3) 与 (1/2,1/2,1,1)。
2026-09-22 math.NT
Some Lucas-type congruences for q-trinomial coefficients
本文针对Andrews和Baxter提出的q-三项式系数给出若干新的q-同余式，推导得到特定形式的Lucas型同余关系，且该方法可重证Pan的q-Delannoy数Lucas型同余式。
2023-05-02 math.NT
Curious congruences for cyclotomic polynomials II
本研究推进分圆多项式高阶导数值相关研究，聚焦Lehmer的显式公式，证明了Akiyama-Kaneko提出的对应多项式具有特定简单因子的猜想。
2023-05-01 math.NT
Variations of Lucas' Theorem Modulo Prime Powers
令$p$为素数，且令$k,n,m,n_0$和$m_0$为非负整数，使得$k\ge 1$，且$_0$和$m_0$均小于$p$。K. Davis和W.韦伯建立了一个总理$p\ge 5$以下变化卢卡斯定理模素数权力持有$$ {np^k +n_0 \choose mp^k+m_0}\equiv{np^{\lfloor(k-1)/3\rfloor} \choose mp^{\lfloor(k-1)/3\rfloor}} {n_0 \choose m_0} \pmod{p^k}. $$在证明中，作者使用他们的早期结果，提出了一个广义版本的卢卡斯定理。本文给出了上述同余式的一个简单的归纳证明.我们的证明是基于一个经典的同余由于Jacobsthal，我们还使用了一些众所周知的身份二项式系数。此外，我们证明，断言也是正确的$p=2$和$p=3$，如果在上述同余之一取代$\lfloor(k-1)/3\rfloor$由$\lfloor k/2\rfloor$，和由$\lfloor (k-1)/2\rfloor$，分别。作为应用，利用Lucas型同余，我们得到了Wolstenholme素数的一个新刻画.
2012-12-29 math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
2009-12-14 math.CO math.NT
Algebraic independence of $G$-functions and congruences "à la Lucas"
给出了一种证明$G$ -函数代数独立性的新方法。我们的方法依赖于以下观察：$G$ -功能并不总是一个单一的线性微分方程，但有时也与一个无限的家庭的线性差分方程与Frobenius是通过减少模素理想。当这些线性差分方程具有一阶时，$G$ -函数的系数满足令人想起卢卡斯关于二项式系数的经典定理的同余。我们用它来推导一个类似Kolkin的代数独立性准则。我们证明了这一标准的相关性，使用p-adic工具，许多经典的家庭的$G$ -功能变成满足同余“LA卢卡斯”。
2016-03-14 math.CO math.NT
Congruences modulo cyclotomic polynomials and algebraic independence for $q$-series
证明了$q$ -阶乘比的多重和的模分圆多项式的同余关系，从而推广了许多著名的$p$ -Lucas同余关系.这样的同余将各种经典生成级数与它们的$q$ -类似物联系起来。利用这一点，我们证明了一个传播现象：当这些生成系列是代数独立的，这也是他们的$q$ -类似物的情况。
2017-01-23 math.CO math.NT
A generalization of Wolstenholme's harmonic series congruence
给出了Lucas序列的Wolstenholme调和级数同余的一个推广.
2006-08-23 math.NT
Combinatorial Sums $\sum_{k\equiv r(\mbox{mod } m)}{n\choose k}a^k$ and Lucas Quotients
本文研究了组合和$$\sum_{k\equiv r(\mbox{mod }m)}{n\choose k}a^k.$$.通过研究这一和，得到了两个无限Lucas序列族的Lucas同余式.仅对三个Lucas序列，有这样的已知结果。
2016-06-27 math.NT
A determinant formula for relative congruence zeta functions for cyclotomic function fields
罗森M.在一元不可约多项式P的情形下，给出了P阶分圆函数域的相对类数的一个行列式公式，它被看作是经典Maillet行列式的一个类似.本文给出了分圆函数域上相对同余zeta函数的一个行列式公式。我们的公式是相对类数行列式公式的推广。
2009-07-17 math.NT math.RA
Curious congruences for cyclotomic polynomials
令$Φ_n^{(k)}(x)$是$n$阶分圆多项式的$k$阶导数。推广了D.~ H.~ Lehmer，我们显示了一些奇怪的同余：$2Φ^{(3)}_n(1)$可被$ϕ(n)-2$整除和$Φ^{(2k+1)}_n(1)$可被$ϕ(n)-2k$整除，对于$k\ge 2$。同余式源于自互反多项式的一般性质。
2022-10-28 math.CO math.NT
A family of $q$-congruences modulo the square of a cyclotomic polynomial
利用Watson的$_8ϕ_7$终止变换公式，我们证明了一族以分圆多项式的平方为模的$q$ -同余。475（2019），1636- 646]。作为应用，我们导出了两个模$p^4$（$p$是奇素数）超同余及其$q$ -模拟.这也部分地证实了Swisher（H.3）猜想的一个特例。
2020-01-19 math.CO math.NT
$13$ unknowns over quadratic integer rings and Lucas congruences
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
该研究针对二次数域，证明了整数元组的3个未知元丢番图定义，得到13个未知元的递归可枚举整数关系表示，进而得出存在次数界D₀使得无法判定对应多项式方程在二次整数环上是否有解的结论。
2026-09-01 math.LO math.NT
An extension of Lucas Theorem
本文给出计算模素数二项式系数的同余判据的初等证明，并据此推广Lucas定理，应用于推导二项式系数和的恒等式与同余式。
2023-08-31 math.CO math.NT
Artin--Schreier and Cyclotomic Extensions
本文证明了同余有理函数域的任意Artin-Schreier扩张都包含在明确规定的分圆函数域和常量域扩张的合成中。
2013-07-09 math.NT
Bernoulli Numbers, Wolstenholme's Theorem, and p^5 Variations of Lucas' Theorem
本文将改进D.F.贝利[卢卡斯定理的两个p^3变体，JNT 35（1990），pp. [208-215]通过研究（p，p-3）形式的不规则对与Wolstenholme定理的改进版本之间的关系，将其推广到高阶素幂模。
2006-02-10 math.NT
Algebraic Lattices Arising from Congruence Submodules in Subfields of $p$-th Cyclotomic Fields
São Paulo State University（圣保罗州立大学）；Federal Institute of São Paulo（圣保罗联邦理工学院）；San Diego State University（圣地亚哥州立大学）
本研究从p次分圆域子域的代数整数环中特定ℤ-模族出发构造代数格，计算其中心密度下界，得到2、3、5维最优填充密度的代数格，助力经典球体填充问题研究。
2026-08-19 math.NT
Congruences between Selmer groups
本文研究了两个全等的$l$ -adic伽罗瓦表示有全等的Selmer群的情形。我们得到的结果表示分圆字符，Hecke字符和伴随的模形式。
1998-09-17 math.NT
Theory of Generalized Bernoulli-Hurwitz Numbers in the Algebraic Functions of Cyclotomic Type
在本文中，我们宣布某些代数函数，我们称之为分圆型得到的一些结果。其主要结果与Bernoulli数的von Staudt-Clausen定理和Kummer同余式以及Hurwitz数的此类定理相似。
2003-04-30 math.NT
On a congruence only holding for primes II
本文给出了分圆多项式的一个基于同余的素性判据，并指出了一种推广我们结果的方法，从而得到一族类似的素性判据。但没有实际用途。
2009-02-19 math.NT
Relationship between Vieta-Lucas polynomials and Lucas sequences
设$w_n=w_n(P,Q)$是满足递归关系\begin{equation*} w_{n+2}=Pw_{n+1}-Qw_n. \end{equation*}的数值序列，我们考虑了$(w_0,w_1)=(0,1)$和$(w_0,w_1)=(2,P)$两种特殊情况，分别用$U_n$和$V_n$表示. Vieta-Lucas多项式$V_n(X,1)$是次数为$n$的多项式。证明了同余方程$V_n(X,1)\equiv C \mod p$有解当且仅当$U_{(p-ε)/d}(C+2,C+2)$可被$p$整除，其中$ε\in\{\pm 1\}$依赖于$C$和$p$，以及$d=\gcd(n,p-ε)$ .
2022-12-15 math.NT
Jacobi sums and cyclotomic numbers: A survey report
Jacobi和、其同余和分圆数的确定一直是人们关注的对象，并且在文献中有大量有趣的结果。本文综述了丢番图系统中求Jacobi和的分圆数和系数的结果，并指出了该问题的研究现状。
2019-06-21 math.NT
Dwork-type $q$-congruences through the $q$-Lucas theorem
本文运用 $q$-Lucas 定理和已知 $q$-超同余，证明了若干 Dwork 型 $q$-同余，证实了三个先前提出的猜想，并验证了 Swisher (H.3) 猜想的较弱形式。
2023-10-23 math.NT
pi-adic approach of p-class group and unit group of p-cyclotomic fields
设p > 2为素数。设Q（zeta）是p-分分圆域。设π是域Q（zeta）的素理想，本文旨在描述一些π进同余，它们刻画了域Q（zeta）的p-类群和单位群的结构.对于单位组，这篇文章补充了1954年和1956年的论文Denes关于这个主题。所获得的结果的完整总结见论文的导言部分（第3至6页）。这篇文章的新版本与相同的标题，提交参考数学.NT/0407430 25七月2004：-纠正几个打字错误的介绍和文件，-简化了一些证明的π进同余连接到p-类群，-删除部分处理的奇异群预见在一个独立的文件.
2005-02-05 math.NT
Supercongruences on some binomial sums involving Lucas sequences
本文证明了Sun关于二项和整除性的几个证明同余。例如，借助于二次超几何变换，我们证明了对于任何素数$p\equiv 7\mod{8}$，$$ \sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k^2\frac{P_k}{8^k}\equiv0\pmod{p^2} $$，其中$P_k$是$k$ -th Pell数。此外，我们还提出了三个新的同类型的同余。
2016-11-11 math.CO math.NT
Maximal Unipotent Monodromy, congruences "à la Lucas" and Algebraic independence
令$f(z)$在$1+z\mathbb{Q}[[z]]$中，$\mathcal{S}$是素数的无限集合，使得对于所有$p\in\mathcal{S}$，我们可以将$f(z)$约化为$p$。我们让$f(z)_{\mid p}$表示$f(z)$模$p$的约简。通常，当$f(z)$是D-有限的时，$f(z)_{\mid p}$是$\mathbb{F}_p(z)$上的代数。如果$f(z)$是$X-A_p(z)X^{p^l}$形式的多项式的解，我们可以利用这类方程得到关于$\mathbb{Q}(z)$的超越性和代数独立性的结果。在本文中，我们寻找的条件上的微分算子零化$f(z)$，以保证这些特定的方程的存在性。设$f(z)$是具有强Frobenius结构的微分算子$p\in\mathcal{S}$的解，且$f(z)$零化Fuchsian微分算子$\mathcal{D}\in\mathbb{Q}(z)[d/dz]$，使得零是$\mathcal{D}$的正则奇点，且$\mathcal{D}$在零处的指数等于零.我们的主要结果表明，对于几乎每一个素数$p\in\mathcal{S}$，$f(z)_{\mid p}$是$X-A_p(z)X^{p^l}$形式的多项式的解，其中$A_p(z)$是一个有理函数，其系数在$\mathbb{F}_p$中的高度小于或等于$Cp^{2l}$，$C$是一个不依赖于$…
2023-02-09 math.NT
Some new $q$-congruences for truncated basic hypergeometric series
本文对截断的基本超几何级数给出了几个新的$q$ -同余式，其中大部分是任意阶的.我们的结果包括同余模的平方或立方的分圆多项式，并在某些情况下，其参数推广。这些都是建立了各种技术，包括多项式参数，创造性的显微镜（一种方法，最近推出的第一作者在合作Zudilin），安德鲁斯的multiseries推广的沃森变换，和归纳。我们也给出了一些相关的图，包括模四次幂的分圆多项式的同余。
2019-02-19 math.CO math.NT
On the transfer congruence between $p$-adic Hecke $L$-functions
证明了分圆扩张上CM域的$p$ -adic Hecke $L$ -函数之间的转移同余，它是Kummer同余的非交换推广.证明的内容包括希尔伯特模簇之间的比较，$q$ -展开原理，以及对Katz' Eisenstein级数的Hsieh的Whittaker模型的一些修改。作为第一个应用，我们证明了CM椭圆曲线的Hasse-Weil $L$ -函数的特殊值之间的显式同余关系。作为第二个应用，我们证明了完备局部化Iwasawa代数的代数$K_1$ -群中的非交换$p$ -adic $L$ -函数的存在性.
2014-11-05 math.NT
A Congruence Property of Solvable Polynomials
基于满足一定条件的数域上的分圆多项式的不可约性，给出了Q上可解多项式的一个同余性质。
2022-05-10 math.AC math.NT
Théorème de Chebotarev et Congruences de suites récurrentes linéaires, liens avec les algorithmes de factorisations sur $\mathbb{F}_p$
Fibonacci和Lucas序列所满足的经典同余关系反映在由黄金数生成的环中素数的分解上。这推广到建立一个对应关系，我们希望将是新的Chebotarev定理和线性序列满足的同余。这个链接是在数字域扩张的上下文中完成的。特别地，我们刻画了由线性递归序列项上的单同余完全分解的素理想。我们的结果被大量的例子所证明，包括$S_3$群的Padovan序列和与$\mathbb{PSL}_2 (\mathbb{F}_7)$群的Cartier Trink多项式相关的Padovan序列.此外，我们建立了一个链接之间的因式分解算法的Berlekamp和Cantor-Zassenhaus和这项工作的结果。
2022-08-17 math.NT
CM congruence and trivial zeros of the Katz $p$-adic $L$-functions for CM fields
利用CM同余研究Katz $p$ -adic $L$ -函数的平凡零点.证明了一般CM域上Katz $p$ -adic $L$ -函数平凡零点的存在性，并在Leopoldt假设下建立了分圆$p$ -adic $L$ -函数平凡零点处的一阶导数公式.证明中的关键要素是CM域的$p$ -adic Kronecker极限公式的一个特例和反分圆$p$ -adic $L$ -函数在平凡零点处的首项公式，通过Hilbert尖点形式的CM族和非CM Hida族之间的显式同余.
2022-03-21 math.NT
On harmonic numbers and Lucas sequences
调和数$H_k=\sum_{0<j\le k}1/j (k=0,1,2,...)$在许多数学领域中自然出现。本文研究了调和数与Lucas序列的同余关系。我们的三个定理之一如下：设u_0=0，u_1=1，且u_{n+1} =u_n-4 u_{n-1}，其中n= 1，2，3，.然后，对于任何素数p>5，我们有$$\sum_{k=0}^{p-1}u_{k+δ}H_k/2^k=0 (mod p),$$，其中如果p= 1，2，4，8（mod 15），则为$δ=0$，否则为$δ=1$。
2011-05-23 math.CO math.NT
A reciprocity map and the two variable p-adic L-function
对于p大于3的素数，我们提出了一个猜想：分圆p-单位上的分分圆域的最大非分歧外p扩张的Galois上同调中的上积值与满足模p同余的尖点特征形的p-adic L-函数值之间的关系.放弃分圆塔和飞塔，我们构造了某些空间的同构，这使我们能够将p单位的特定范数兼容系统上的倒易映射的值与本质上是Mazur和Kitagawa的两变量p-adic L函数的值进行比较。
2011-01-06 math.NT
Higher-Order Cyclotomic Congruences for $q$-Secant and Generalized $q$-Euler Numbers
College of Mathematics and Physics, Wenzhou University（温州大学数学与物理学院）
本研究借助$q$-正割数互反生成函数、高斯系数展开等工具，推导$q$-正割数的四阶$(1+q)$模同余式，并将局部展开法推广到广义$q$-欧拉数，得到素数模下的高阶分圆同余，构建了通用高阶分圆方法的首个实例。
2026-08-07 math.CO math.NT
Radical Extensions for the Carlitz--Hayes Module
设$L/K$是同余函数域的有限扩张.我们说$L/K$是{ \it根扩张}，如果$L$是由多项式根生成的$u^{M}-α\in K[u]$，其中$u^{M}$是Carlitz-Hayes作用。我们研究了一类特殊的扩张，{ \it radical cyclo-cutic}扩张。证明了任意根分圆扩张的阶为$K$的特征的幂.我们也给出了这些扩展的Carlitz-Hayes挠的界。
2013-07-17 math.NT
Proof of three conjectures on congruences
本文证明了三个关于中心二项式系数或Lucas序列的同余的定理。令$p$是奇素数，令$a$是正整数。我们表明，如果$p\equiv 1\pmod{4}$或$a>1$，则$$ \sum_{k=0}^{\lfloor\frac34p^a\rfloor}\binom{-1/2}k\equiv\left(\frac{2}{p^a}\right)\pmod{p^2}, $$，其中$(-)$表示Jacobi符号。这证实了第二作者的一个猜想。我们还证实了R. Tauraso通过证明$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{L_k}{k^2}\equiv0\pmod{p}\quad {\rm provided}\ \ p>5,$$，其中卢卡斯数$L_0,L_1,L_2,\ldots$由$L_0=2,\ L_1=1$和$L_{n+1}=L_n+L_{n-1}\ (n=1,2,3,\ldots)$定义。我们的第三个定理指出，如果$p\not=5$，那么我们可以通过以下方式确定$F_{p^a-(\frac{p^a}5)}$ mod $p^3$：$$\sum_{k=0}^{p^a-1}(-1)^k\binom{2k}k\equiv\left(\frac{p^a}5\right)\left(1-2F_{p^a-(\frac{p^a}5)}\right)\ \pmod{p^3},$$这在Sun和Taura…
2014-08-07 math.CO math.NT
New representations for all sporadic Apéry-like sequences, with applications to congruences
本文为全部15个散在Apéry型序列构造了基于Laurent多项式常数项的新表示，由此得到不含3或8的幂的二项式表达式，并据此证明超同余式、强Lucas同余及p-进赋值下界。
2025-01-05 math.NT
On the congruence ideal associated to $p$-adic families of Yoshida lifts
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究 Yoshida 提升的 p-adic 族同余，证明经典特化均为 Yoshida 提升，并建立同余理想整除 Selmer 群特征理想及伪循环性。
2026-09-09 math.NT
Divisibility properties of sporadic Apéry-like numbers
1982年，Gessel证明了与$ζ(3)$的无理性相关联的Apéry数满足Lucas同余。我们的主要结果是证明相应的同余所有零星Apéry样序列。在某些情况下，我们能够采用的方法，由于麦金托什，Samol-van Straten和罗兰-Yassawi建立这些一致性。然而，对于通常标记为$s_{18}$和$(η)$的序列，我们需要更精细的分析。作为一个应用，我们调查模这些序列是周期的号码。特别是，我们证明了Almkvist-Zudilin数是周期模$8$，一个特殊的属性，他们共享的Apéry数。我们还调查素数不划分任何条款的一个给定的Apéry序列。
2015-08-03 math.CO math.NT
Geometry of the eigencurve at CM points and trivial zeros of Katz $p$-adic $L$-functions
本文的主要目的是研究在素数$p$处不规则的权为1的尖锥θ级数对应的点$f$处的$p$ -adic特征曲线的几何性质。我们表明，$f$属于正好三个或四个不可约的组件，并研究他们的交叉多重性。特别地，我们证明了CM分量的同余理想在$f$有一个简单的零点当且仅当某个反分圆$\mathscr{L}$不变量$\mathscr{L}_-(φ)$不为零。此外，使用罗伊的强六指数定理，我们表明，至少有一个$\mathscr{L}_-(φ)$和$\mathscr{L}_-(φ^{-1})$是非零的。结合Hida和Tilouine证明的一个可除性，我们推出了$φ$的反分圆Katz $p$ -adic $L$ -函数在$s=0$处有一个简单的（平凡的）零点，如果$\mathscr{L}_-(φ)$不为零，这可以看作是Ferrero和Greenberg的一个结果的反分圆模拟.最后，我们给出了$φ$的二元Katz $p$ -adic $L$ -函数在$s=0$的线性项的一个公式，推广了Gross的一个猜想.
2021-03-31 math.NT
Automatic congruences for diagonals of rational functions
在本文中，我们使用自动序列的框架来研究组合序列模素幂。给定一个序列，其生成函数是一个有理幂级数的对角线，我们提供了一种方法，Denef和Lipshitz的工作的基础上，用于计算一个有限自动机的序列模$p^α$，但所有的许多素数$p$。这种方法给出了已知结果的完全自动证明，建立了一些新的定理，著名的序列，并允许我们解决有关Apéry数的一些问题。我们还给出了第二种方法，它适用于代数序列模$p^α$的所有素数$p$，但显着较慢。最后，我们表明，广泛的多维序列具有卢卡斯产品模$p$。
2014-04-23 cs.SC math.CO math.NT
Counting solutions without zeros or repetitions of a linear congruence and rarefaction in b-multiplicative sequences
考虑一个强$b$ -乘法序列和一个素数$p$ .研究其$p$ -稀疏包括在表征的渐近行为的总和的第一项指数的倍数$p$。“范数”$3$ -变量多项式$\mathcal N_{p,i_1,i_2}(Y_0,Y_1,Y_2)\!:=\!\prod_{j=1}^{p-1}\left(Y_0{+}ζ_p^{i_1j}Y_1{+}ζ_p^{i_2j}Y_2\right),$的整数值，其中$ζ_p$是原始的$p$ -th单位根，而$i_1,i_2{\in}\{1,2,\dots,p{-}1\},$确定了这种渐近行为.它将表明，组合方法可以应用于$\mathcal N_{p,i_1,i_2}(Y_0,Y_1,Y_2).$该方法能够推导系数之间的函数关系以及$\mathcal N_{p,i_1,i_2}(Y_0,Y_1,Y_2)$的系数的各种属性，特别是对于$i_1{=}1,i_2{=}2,3.$。该方法提供了二项式系数之间的关系。给出了两个恒等式$\prod_{j=1}^{p-1}\left(1{-}ζ_p^j\right){=}p$和$\prod_{j=1}^{p-1}\left(1{+}ζ_p^j{-}ζ_p^{2j}\right){=}L_p$（$p$次Lucas数）的新证明.还可以得到$1{+}ζ_p{-}ζ_p^2$的对称多项式的符号和模$p$的留数。提出了一种计算$\mathcal …
2016-02-09 math.NT
