On the mean square of the divisor function in short intervals
我们提供了上界的均方积分$$ \int_X^{2X}(Δ_k(x+h) - Δ_k(x))^2 dx \qquad(h = h(X)\gg1, h = o(x) {\roman{as}} X\to\infty) $$，其中$h$位于一个合适的范围。对于固定整数$k\ge2$，$Δ_k(x)$是由$ζ^k(s)$生成的除数函数$d_k(n)$的求和函数的渐近公式中的误差项。
2009-01-19 math.NT
On the Density of Ranges of Generalized Divisor Functions
除数函数$σ_{-1}$的范围在区间$[1,\infty)$中是密集的。然而，函数$σ_{-2}$的范围在区间$\displaystyle{\left[1,\frac{π^2}{6}\right)}$中不密集。我们首先将除数函数推广到所有实数$t$的一类函数$σ_{t}$。然后，我们定义了一个常数$η\approx 1.8877909$，并表明，如果$r\in(1,\infty)$，那么范围的功能$σ_{-r}$是密集的间隔$[1,ζ(r))$当且仅当$r\leqη$。我们以一个开放的问题结束。
2015-06-17 math.NT
On the distribution of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们研究了除数函数在短区间和等差数列中的行为。后一个问题是最近研究的。Fouvry，S. Ganguly，E. Kowalski，and Ph. Michel.我们证明了他们的主要定理的一个补充结果。我们还表明，在一定长度的短间隔的除数函数具有高斯极限分布。Hecke特征值的类似问题也被考虑。
2014-04-06 math.NT
On the divisor function and the Riemann zeta-function in short intervals
对于$T^ε\le U=U(T)\le T^{1/2-ε}$，我们得到了$$ \int_T^{2T}(E(t+U) - E(t))^2 dt,\quad \int_T^{2T}(Δ(t+U) - Δ(t))^2 dt, $$的渐近公式，其中$Δ(x)$是经典除数问题中的误差项，$E(T)$是$|ζ(1/2+it)|$的均方公式中的误差项.上界的形式$O_ε(T^{1+ε}U^2)$为上述积分与双二次而不是平方显示持有$T^{3/8} \le U =U(T) \ll T^{1/2}$。给出了$E(t+U) - E(t)$和$|ζ(1/2+it)|$的矩之间的关系。推广到其他一些数论误差项进行了讨论。
2007-11-08 math.NT
The distribution of integers with a divisor in a given interval
我们确定H（x，y，z）的数量级，整数n \le x在（y，z]中有一个除数，对于所有x，y和z。我们还研究了H_r（x，y，z），整数n \le x在（y，z）中恰好有r个因子的个数.当r=1时，我们对所有满足z \le x^{0.49}的x，y，z建立H_1（x，y，z）的数量级。对于任意r个\ge 2，$C>1$和$ε>0$，我们确定了当y较大时H_r（x，y，z）的数量级，以及y+y/（\log y）^{ \log 4 - 1- ε} \le z \le \min（y^{C}，x^{1/2-ε}）.作为这些界限的结果，我们解决了1960年的Erdos猜想和几个相关的猜想。证明的一个关键要素是关于均匀顺序统计量分布的一个新结果。
2008-11-06 math.NT
Binomial coefficients with divisors avoiding an interval
University of Manchester（曼彻斯特大学）；Brigham Young University（杨百翰大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西蒙·斯托伊洛数学研究所）
本文研究了一个关于二项系数是否必须有小于等于n且接近n的除数的五十周年猜想，证明当k足够大时成立，并在广义黎曼假设下证明了当k远小于n时存在反例，从而解决了Erdős和Graham的猜想。
2026-10-01 math.NT
Higher correlations of divisor sums related to primes I: triple correlations
我们得到了与素数有关的截断因子和的三重相关。我们还得到了这个因子和在素数上求和时的混合相关性，并给出了它在短区间素数上的一些应用。
2001-11-19 math.NT
Popular values of the largest prime divisor function
我们考虑整数的最大素除子在区间$[2,x]$中的分布，并特别研究了这种分布的模式，即最常出现在这个列表中的素数。除了给这种模式的渐近公式$x$趋于无穷大，我们看看这些素数的集合，对于一些值的$x$，最经常出现的整数的最大素除子的间隔$[2,x]$。我们发现许多素数从来没有这个性质。我们比较了一组“流行的素数”，这些素数在某些时候的模式，其他有趣的子集的素数。最后，我们将开发的技术应用到一个类似的问题，这是在分析的因式分解算法。
2015-04-22 math.NT
Local divisor correlations in almost all short intervals
本文研究了多重除数函数在短区间内的局部相关性问题，证明了在特定区间长度条件下，其和式的渐近公式对几乎所有参数均成立。
2025-03-04 math.NT
On the asymptotic formulae for some multiplicative functions in short intervals
本文证明了与除数函数相连的某些乘性函数在求和的短区间上的均值。
2013-11-27 math.NT
On Ranges of Variants of the Divisor Functions that are Dense
对于实数$t$，令$s_t$是由$\displaystyle{s_t(p^α)=\sum_{j=0}^α(-p^t)^j}$对所有素数$p$和正整数$α$定义的乘法算术函数。我们证明了函数$s_{-r}$的值域在区间$(0,1]$中是稠密的，只要$r\in(0,1]$。然后，我们找到一个常数$η_A\approx1.9011618$，并表明，如果$r>1$，那么范围的功能$s_{-r}$是一个密集的子集的间隔$\displaystyle{\left(\frac{1}{ζ(r)},1\right]}$当且仅当$r\leq η_A$。我们以一个开放的问题结束。
2015-07-04 math.NT
Divisors on overlapped intervals and multiplicative functions
本研究定义了基于重叠区间特征函数的多项式$L_n(q)$，证明其在$q=1$和$q=-1$处的取值可对应两个与二次型表示数相关的著名积性函数A002324与A096936，建立了除数分布与积性函数的联系。
2023-05-02 math.NT
On the mean values of some multiplicative functions on the short interval
本文研究了与除数函数相联系的几类乘性函数在短求和区间上的均值。证明了这些平均值的渐近性。
2013-02-03 math.NT
Divisor-bounded multiplicative functions in short intervals
我们将Matomäki-Radziwiwiwi-functions定理推广到一个无界的乘性函数的大集合，这些函数在素数上是一致有界的，但不一定是1有界的。我们的结果使我们能够估计这样一个函数$f$的平均值在典型的间隔长度$h(\log X)^c$，与$h = h(X) \rightarrow \infty$和其中$c = c_f \geq 0$是由分布的$\{|f(p)|\}_p$在一个明确的方式。我们提出三个应用。首先，我们证明了经典的Rankin-Selberg型渐近公式的部分和$|λ_f(n)|^2$，其中$\{λ_f(n)\}_n$是一个原始的非CM全纯尖点形式的归一化傅立叶系数序列，持续在典型的短区间长度$h\log X$，如果$h = h(X) \rightarrow \infty$。我们还将这个结果推广到序列$\{|λ_π(n)|^2\}_n$，其中$λ_π(n)$是标准$L$ -函数的$n$系数，其中$GL_m$，$m \geq 2$具有酉中心特征标的自守表示$π$满足广义Ramanujan猜想。第二，使用最近的发展理论的自守形式，我们估计方差的平均值的所有正实矩$\{|λ_f(n)|^α\}_n$的间隔长度$h(\log X)^{c_α}$，$c_α > 0$明确，为任何$α> 0$，作为$h = h(X) \rightarrow \infty$。最后，我们证明了…
2021-11-12 math.NT
A note on the exponential sums of the localized divisor functions
我们证明了与局部$k-$除数函数相关的指数和的上界，即，将正整数$n$写成$k\ge 2$正整数的乘积的方法的计数函数，每个正整数都属于一个指定的区间。特别地，这给出了$k-$除数函数$d_k(n)$的指数和的估计。
2015-12-01 math.NT
Poisson--Dirichlet approximation for counting integers with divisors in an interval
University of Turku（图尔库大学）
本文通过简单不等式和Arratia耦合技术，提出了一种将素因子在ℓ¹(R)子集中的整数计数渐进行为转化为边界接近度概率的通用策略。
2026-08-27 math.NT math.PR
On the number of prime factors of values of the sum-of-proper-divisors function
令$ω(n)$（分别$Ω(n)$）表示素因子的数量（分别为自然数$n$的复数。1917年，Hardy和Ramanujan证明了$ω(n)$的正规阶是$\log\log n$，$Ω(n)$也是如此;粗略地说，一个典型的自然数$n$大约有$\log\log n$素因子。我们证明了一个类似的结果为$ω(s(n))$，其中$s(n)$表示$n$的真因子之和：对于任何$ε> 0$和所有$n \leq x$不属于一个集的大小$o(x)$，\[ |ω(s(n)) - \log\log s(n)| < ε\log\log s(n) \]和相同的是真实的$Ω(s(n))$。
2015-09-14 math.NT
On the fourth power moment of $Δ(x)$ and $E(x)$ in short intervals
设$Δ(x)$和$E(x)$分别为除数函数和黎曼ζ函数均方的误差项。在本文中，他们的四次幂矩的Jutila型的短间隔被认为是。得到了$U$在一定范围内的渐近公式。
2008-05-11 math.NT
Connectivity of Markoff mod-p graphs and maximal divisors
本文借助已有谱隙结果证明大素数下 Markoff 模 p 图连通，并提出极大因子概念及其计数界，将连通性阈值较全因子方法改进约140个数量级。
2023-08-15 math.NT
A short-interval Hildebrand-Tenenbaum theorem
本文在短区间内证明了Hildebrand-Tenenbaum定理的渐近等价性，并给出了k-重除数函数在短区间内的均值上界。
2025-12-11 math.NT
Powered numbers in short intervals II
本文在短区间内研究幂数，结合筛法、多项式恒等式和集合密度理论，推导出基于abc猜想的更优结果。
2026-01-08 math.NT
The behaviour of a certain additive function in large intervals between consecutive primes
本文研究连续素数之间大区间内特定整数素因子所决定的加性函数的行为，结合素数大间隙相关结果、Erdős–Kac 定理及 Kubilius 模型得到主要结论。
2024-08-31 math.NT
Divisors of shifted primes
我们从下面的移动素数p+s<x的数量，有一个除数在一个给定的区间（y，z]。凯文·福特已经得到了这个量的预期数量级的上界以及参数y和z的特殊情况下的下界。我们在这里提供了参数y和z的宽范围内的相应下界。正如预期的那样，这些界限在很大程度上取决于我们对等差数列中素数的了解。作为这些界限的应用，我们确定了乘法表中出现的移位素数的数量，直到乘法常数。
2010-05-15 math.NT
Integers with a divisor in (y,2y]
我们给出了一个相对较短的证明的主要定理的中心情况之一，从文件“的分布整数与除数在一个给定的区间”，数学。NT/0401223。也就是说，我们确定整数<=x的数量的数量级，其中除数在（y，2 y]中。下界使用了与上述论文不同的论证。作为推论，我们推导出数量级的数量不同的产品在一个N × N乘法表。
2013-03-17 math.NT
The Variance and Correlations of the Divisor Function in $\mathbb{F}_q [T]$, and Hankel Matrices
证明了$\mathcal{A} := \mathbb{F}_q [T]$中除数函数在短区间上的方差的精确公式，其中$\mathcal{A} := \mathbb{F}_q [T]$是素数幂。稍微修改一下证明，我们就可以得到$d(A) d(A+B)$形式的相关性的精确公式，其中我们在$\mathcal{A}$中的特定间隔内对$A$和$B$进行平均。我们还考虑了$d(KQ+N) d (N)$形式的相关性，其中$Q$是素数，$K$和$N$是在一定区间上的平均值。如果$\mathrm{deg } K < \mathrm{deg } Q -1$，那么这些相关性出现在狄利克雷$L$ -函数的四阶矩的非对角项中。我们考虑的情况下，$\mathrm{deg } K \geq \mathrm{deg }Q -1$，并获得一个精确的相关公式。此外，我们证明，$d(KQ+N)$和$d (N)$是不相关的$K$和$N$的给定范围。我们解决这些问题的方法是利用$\mathbb{F}_q$上加法特征的正交关系，将问题转化为涉及$\mathbb{F}_q$上Hankel矩阵秩的问题.大部分的文件是致力于证明有关这些矩阵的秩和核结构的几个结果，从而证明他们的数论性质。我们简要地讨论了我们的方法扩展到时刻高于第二（方差）的间隔; $k$ -第除数函数;和相关的除数函数与应用程序的时刻的Dirichlet $L$ -…
2021-12-13 math.NT math.RA
On the second moment for primes in an arithmetic progression
在广义黎曼假设下，得到了在短区间内单个等差数列中素数的二阶矩的渐近解的一个常数因子内的下界.先前的结果在给定模量的所有进展上进行平均。该方法使用一个短的约数和近似的冯Mangoldt函数，连同一些新的结果，这种约数和近似的二进制相关的等差数列。
2000-04-24 math.NT
Prime and Möbius correlations for very short intervals in $\mathbb{F}_q[x]$
我们调查的函数场类似物的分布素数，和总理$k$元组，在“非常短的间隔”的形式$I(f) := \{ f(x) + a : a \in \mathbb{F}_p \}$为$f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$和$p$总理，以及取消的莫比乌斯$μ$功能和它的相关性的函数场类似物的总和（类似的总和出现在乔拉猜想）。对于通用$f$，即，对于莫尔斯多项式$f$，误差项的大小大致为$O(\sqrt{p})$（典型的主项为$p$阶）。对于非通用的$f$，我们证明了独立性仍然适用于“通用”的一组移位。我们还可以展示在莫比乌斯/乔拉型和中根本没有消去的例子（事实上，莫比乌斯型和中的（平方根）消去与乔拉型和中的（平方根）消去是{PDMATHAMT等价}的），以及启发式“素数是独立的”严重失败的区间。这些结果是从算术类函数相关性的一般定理推导出来的;其中包括素数上的特征函数、莫比乌斯$μ$函数和除数函数（例如，可以处理Titchmarsh除数问题的函数域类似物。我们还证明类似的，但稍弱，结果在更微妙的固定特征设置，即，对于$f(x) \in \mathbb{F}_q[x]$为$f(x) +a$形式，对于$a \in \mathbb{F}_q$为$f(x) +a$形式的区间，其中$p$是固定的，而$q=p^{l}$增长。
2020-07-04 math.NT
Primes in short intervals on curves over finite fields
证明了有限域上任意亏格的光滑射影几何不可约曲线上短区间素数定理的一个类似定理。在这种情况下，“大小为E”的短区间是充分正因子E的整体瓣的空间通过适当的有理函数f的任何加法平移。我们的主要定理给出了在“大q”极限中曲线上短区间内不可约元的渐近计数，在f和E中是一致的。这一结果提供了一个函数域模拟的一个未解决的短区间猜想的数域，并扩展了一个定理的Bary-Soroker，Rosenzweig，和第一作者，这可以被理解为一个例子，我们的结果的特殊情况下，一个除数E支持在一个单一的有理点上的投影线。
2018-03-31 math.AG math.NT
On the closure of the image of the generalized divisor function
对于任何实数$s$，令$σ_s$为广义除数函数，即，由$σ_s(n) := \sum_{d \, \mid \, n} d^s$定义的算术函数，适用于所有正整数$n$。证明了对任意$r > 1$，$σ_{-r}(\mathbf{N}^+)$的拓扑闭包是有限个两两不相交的闭区间$I_1, \ldots, I_\ell$的并.此外，对于$k=1,\ldots,\ell$，我们证明了正整数集合$n$使得$σ_{-r}(n) \in I_k$有正有理渐近密度$d_k$。事实上，我们提供了一种方法来给出$I_1, \ldots, I_\ell$和$d_1, \ldots, d_\ell$的精确闭合形式表达式，假设以足够的精度知道$r$。作为一个例子，我们表明，对于$r = 2$，它的结果$\ell = 3$，$I_1 = [1, π^2/9]$，$I_2 = [10/9, π^2/8]$，$I_3 = [5/4, π^2 / 6]$，$d_1 = 1/3$，$d_2 = 1/6$和$d_3 = 1/2$。
2015-07-29 math.NT
Lois locales de la fonction $ω$ dans presque tous les petits intervalles
对于$k\geq 1$为整数，而$x\geq 1$为实数，令$π_k(x)$为小于$x$且恰好具有$k$不同素因子的整数的个数。基于Matomäki和Radziwiikovich最近的工作，我们研究了几乎所有$x$，当$h$很小时，$π_k(x+h)-π_k(x)$的渐近行为。我们获得了最佳的结果$k\asymp\log_2 x$和接近最佳的结果$5\leq k\leq\log_2 x$。我们的方法也适用于$y$ -易碎整数在几乎所有的间隔$[x,x+h]$时，$\frac{\log x}{\log y}\leq (\log x)^{1/6-\varepsilon}$。
2016-07-28 math.NT
On some mean square estimates for the zeta-function in short intervals
令$Δ(x)$表示Dirichlet除数问题中的误差项，$E(T)$表示$|ζ(1/2+it)|$的均方渐近公式中的误差项。如果$E^*(t) = E(t) - 2πΔ^*(t/2π)$与$Δ^*(x) = -Δ(x) + 2Δ(2x) - 1/2Δ(4x)$和我们设置$\int_0^T E^*(t)\,dt = 3πT/4 + R(T)$，那么我们得到$$ \int_T^{T+H}(E^*(t))^2\,dt \gg HT^{1/3}\log^3T $$和$T^{2/3+ε}\le H \le T$的$$ HT\log^3T \ll \int_T^{T+H}R^2(t)\,dt \ll HT\log^3T, $$。
2012-12-12 math.NT
On the Sign Changes of a Weighted Divisor Problem
设$S\big(x; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)=\mathop{{\sum}'}_{mn\leq x} \cos\big(2πm\frac{a_1}{q_1}\big)\sin\big(2πn\frac{a_2}{q_2}\big)$与$x\geq q_1q_2, 1\leq a_i\leq q_i$，和$(a_i, q_i)=1$（$i=1, 2$）。我们研究了$S\big(x; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)$的符号变化，证明了对于足够大的常数$C$，对于任意大的$T$，$S\big(x; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)$在区间$[T,T+C\sqrt{T}]$内改变符号.同时，我们证明了对于一个小常数$c'$，存在无穷多个长度为$c'\sqrt{T}\log^{-7}T$的子区间$[T,2T]$，其中$\pm S\big(t; \frac{a_1}{q_1}, \frac{a_2}{q_2}\big)> c_5 (q_1q_2)^\frac{3}{4}t^\frac{1}{4}$总是成立。
2016-11-23 math.NT
A generalization of the practical numbers
如果每个$m \leq n$都可以写成$n$的不同约数之和，则正整数$n$是实用的。人们可以通过将算术函数$f$应用于$n$的每个约数，并询问是否给定区间内的所有整数都可以表示为$f(d)$的和，其中$d$是$n$的不同约数，来推广实际数的概念。我们将把这种$n$称为“$f$ -实用”。本文首次引入了$f$ -实用数。我们给出了当所有的$f$ -实用数都可以通过一个简单的充要条件构造时的准则，证明了构造具有任意渐近密度的$f$ -实用集是可能的，并证明了一系列与许多著名算术函数$f$的$f$ -实用数的分布有关的结果.
2017-03-23 math.NT
Small Gaps Between Primes I
我们使用短除数和来近似素数元组和素数在短间隔的时刻。通过将这些结果与经典矩问题相联系，我们能够证明连续素数的正比例在素数之间的平均间距的四分之一以内。
2005-04-16 math.NT
The Variance of the Sum of Two Squares over Intervals in $\mathbb{F}_q [T]$: I
对于度为$2n \geq 2$的$B \in \mathbb{F}_q [T]$，考虑书写$B=E^2 + γF^2$的方式的数量，其中$γ\in \mathbb{F}_q^*$是固定的，以及$E,F \in \mathbb{F}_q [T]$与$\mathrm{deg} \hspace{0.25em} E = n$和$\mathrm{deg} \hspace{0.25em} F = m < n$。我们用$S_{γ; m} (B)$表示。我们得到了一个精确的公式$S_{γ; m} (B)$在$\mathbb{F}_q [T]$的区间上的方差。我们使用作者以前用于除数函数的方差和相关性的加性特征和汉克尔矩阵的方法。在第2节中，我们简要介绍了我们的方法，并简要讨论了我们的结果可能的扩展到$B=E^2 + T F^2$的写作方式的数量。
2022-04-09 math.NT
On the divisor problem with congruence conditions
设$d(n; r_1, q_1, r_2, q_2)$是满足$n_i\equiv r_i\pmod{q_i}$（$i=1,2$）的分解数，$Δ(x; r_1, q_1, r_2, q_2)$是$d(n; r_1, q_1, r_2, q_2)$与$x\geq (q_1q_2)^{1+\varepsilon}, 1\leq r_i\leq q_i$和$(r_i, q_i)=1$（$i=1, 2$）的和函数的误差项.我们研究了$Δ(x; r_1, q_1, r_2, q_2)$的幂矩和符号变化，证明了对于足够大的常数$C$，$Δ(q_1q_2x; r_1, q_1, r_2, q_2)$在区间$[T,T+C\sqrt{T}]$内改变符号.同时，我们证明了对于一个小的常数$c'$，存在无穷多个长度为$c'\sqrt{T}\log^{-7}T$的子区间$[T,2T]$，其中$\pm Δ(q_1q_2x; r_1, q_1, r_2, q_2)> c_5x^\frac{1}{4}$总是成立.
2019-08-14 math.NT
A Rationality Condition for the Existence of Odd Perfect Numbers
给出了一个包含乘积的平方根的奇完满数存在的合理性条件，该乘积由一列代表单位乘以其中一个代表单位的基数的两倍组成.该约束还提供了可以满足${{σ(N)}\over N}=2$的奇数密度的上限，其中$N$属于具有大于$10^{300}$的下限的固定区间。代表单位的素除子的特征用于确定包含代表单位的乘积是否可以是完满平方。证明了具有不同素基的算术本原因子只有在指数不同时才相等，但由解素方程的解导出的一组情况除外.证明这一结果需要证明一个更一般的素数方程的解的不存在性，这是一个相当于加泰罗尼亚猜想的问题。得到了关于代表单位的素除子的指数的结果，并结合归纳法证明了一个关于不存在满足合理性条件的素除子的一般定理.
2000-11-24 math.NT
Integers divisible by a shifted prime in a given interval
Université de Montréal（蒙特利尔大学）
本文研究了区间$(y,z]$内形如$p-1$的素数移位除数相关的整数计数函数$H^*(x,y,z)$，发现其相变规律并推广了Ford2017年的成果。
2026-08-28 math.NT
A Resolution of Erdős Problem 768: the Sylow Divisor Condition
Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
本文解决了 Erdős 问题 768，证明满足特定除数条件的整数比例渐近于 exp(-(c+o(1))√(log x) log log x)，其中 c=1/(2√(log 2))。
2026-07-14 math.NT
Higher Correlations of Divisor Sums Related to Primes II: Variations of the error term in the prime number theorem
我们计算截断除数和$λ_{R}(n)$的三重相关。$λ_{R}(n)$在某些平均值上的行为就像素数计数冯曼戈尔特函数$Λ(n)$所做的或被要求做的那样。我们还计算了混合（因子为$Λ(n)$）相关性。结果的时刻到第三次，因此，影响的素数分布在短时间内，是相同的，我们得到的（在第一篇论文与此标题）通过使用更简单的近似$Λ_{R}(n)$。然而，当使用$λ_{R}(n)$时，奇异级数近似中的误差通常比$Λ_{R}(n)$允许的误差小得多。在Dirichlet $L$ -函数的广义Riemann假设下，得到了素数定理中误差项变分的$Ω_{\pm}$ -结果.以前，我们对GRH的了解仅限于$Ω$ -该变化绝对值的结果。在这项工作的最后一部分的一个重要组成部分是最近的结果由于蒙哥马利和Soundararajan这使得我们有可能免除一个大的误差项在评估某一奇异系列平均。我们相信我们关于$λ_{R}(n)$和$Λ_{R}(n)$的结果可以应用于有关素数的各种问题。
2004-12-18 math.NT
Long runs of integers with small prime factors and the divisor function of $n!$
本文改进 Erdős 等人关于除数函数在阶乘上的增长下界，通过加权 Erdős–Rankin 构造和平均化论证，将下界提升至与 Rankin 素数间隙下界同阶。
2026-09-15 math.NT
Counting real algebraic numbers with bounded derivative of minimal polynomial
本文考虑了定次数$n$和有界高度$Q$的代数数$α$的计数问题，使得$α$的极小多项式$P_α(x)$的导数$|P_α'(α)| < Q^{1-v}$有界.这个问题在丢番图逼近的度量理论问题上有许多应用。我们证明了在$\left(-\frac12, \frac12\right)$上定义的$α$的个数对于$Q>Q_0(n)$和$1.4 \le v \le \frac{7}{16}(n+1)$不超过$c_1(n)Q^{n+1-\frac{1}{7}v}$。我们的结果是基于对A的整数多项式的不可约因子逼近零阶引理的改进。Gelfond的专著“超越数和代数数“。该改进基于两个多项式的结式表示为移位多项式的Sylvester矩阵的行列式，对距离所有有界次数和高度的代数数足够远的实点上的除数的绝对值提供了更强的估计.保留字：丢番图逼近，豪斯多夫维数，超越数，结式，西尔维斯特矩阵，不可约因子，格尔方引理。
2018-11-26 math.NT
Generations of correlation averages
本文讨论了除数函数$d_3$的\thinspace修正Selberg积分的一个离散形式，即在短区间$|n-x|\le H$上，$d_3(n)=\sum_{abc=n}1$附加到Cesaro权$1-|n-x|/H$上的经典Selberg积分的一个离散形式，其上界的可能结果.主要地，直接结果是$d_3$的Selberg积分的非平凡界，通过临界线上的黎曼ζ函数的矩改进了Ivić基于标准方法的最近结果。我们进行，而不是基本的参数，首先应用“基本色散方法”，以建立一个链接之间的“加权塞尔伯格积分”\thinspace的任何算术函数$f$和平均值的相关性$f$在短时间内。此外，我们提供了一个条件推广我们的结果类似的问题上的除数函数$d_k$的任何$k\ge 3$。进一步讨论了黎曼ζ函数的$2k-$阶矩的一些重要结果。最后，我们还讨论了一般函数$f$为使其Selberg积分的估计能用我们的方法逼近所应满足的基本性质.
2012-11-23 math.NT
Arithmetic of seminormal weakly Krull monoids and domains
研究了具有非平凡导体的正规$v$ -Noether弱Krull幺半群的算法，这些幺半群具有有限的类群和所有类中的素除子.这些幺半群包含了整体域中全纯环的正规阶。的重要性质的正规性，使我们能够给出精确的算术结果类似的著名结果Krull幺半群有有限的类群和素除子在每个类。例如，这使我们能够证明长度集的并集是区间，并提供半因子性的特征。
2015-08-04 math.AC math.NT
Higher uniformity of arithmetic functions in short intervals II. Almost all intervals
University of Turku（图尔库大学）；Northwestern University（西北大学）；University of Kentucky（肯塔基大学）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文研究了算术函数在短区间中的均匀性，通过发展传染引理和放大近似函数方程，证明了Gowers范数渐近小，并建立了Hardy-Littlewood猜想和除数相关猜想的短平均。
2026-01-23 math.NT
Equal subset sums and close divisors
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文证明了Ford-Green-Koukoulopoulos猜想：几乎每个整数的除数分布与随机集合的等和子集存在精确关系，并证明弱熵阈值与严格熵阈值一致，方法结合旗细化、熵凹性和均匀平移的近似子集和上界。
2026-09-23 math.CO math.NT
Some multidimensional integrals in number theory and connections with the Painlevé V equation
我们研究分段多项式函数$γ_k(c)$，出现在渐近的平均数的除数和在短的时间间隔。具体来说，我们表示这些多项式的傅里叶逆变换的汉克尔行列式，满足Painlevé V方程。我们证明了$γ_k(c)$在其过渡点处是非常光滑的，并且还确定了$γ_k(c)$在$k=c/2$的大邻域内的渐近性。最后，我们考虑椭圆等分圈的渐近性中出现的系数。
2019-12-08 math.NT
Arithmetic Bias in the Distribution of Mersenne Prime Exponents and the Divisor Structure of p-1
UNED（西班牙国立远程教育大学）
本文通过引入归一化除数参数 S(p) 分析已知梅森素数指数，发现其除数复杂度显著高于邻近素数，并基于分圆分解提出 Wagstaff 模型的启发式改进，揭示 p-1 的除数结构导致的弱算术偏差。
2026-07-31 math.NT
Numerically explicit estimates for the distribution of rough numbers
本文针对不超过x且无小于等于y素因子的正整数计数函数Φ(x,y)，推导了de Bruijn于1950年提出的相关渐近公式的数值显式估计版本。
2023-10-03 math.NT
Maximally additively reducible subsets of the integers
本文研究整数集合的加法因子，证明了包含0或不包含0的特定区间在对应子集中具有最多因子，并利用 lunar 乘法解决了相关猜想。
2019-08-14 math.CO math.NT
The variance of the number of sums of two squares in $\mathbb{F}_q[T]$ in short intervals
本文在 $\mathbb{F}_q[T]$ 中大 $q$ 极限下解决了短区间内两平方数和计数的方差估计问题，揭示了其与 $z$-测度的联系，并基于此提出了与数值数据高度吻合的整数环境猜想。
2020-12-15 math.NT math.PR
Additive functions in short intervals, gaps and a conjecture of Erdős
与治疗的局部行为的添加剂功能的目的，我们开发类似物的Matomäki-Radziwill定理，使我们能够近似的平均值的一般添加剂功能在一个典型的短间隔的长期平均。作为这种治疗的一部分，我们使用的Matomäki-Radziwill定理的一个变种的除数界乘性函数最近证明的作者。我们考虑这些方法的两组应用程序。我们的第一个应用表明，对于加性函数$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$，平均间隙$|g(n)-g(n-1)|$的大小的任何非平凡节省意味着$g$必须具有小的一阶矩，即，平均而言，$g(n)$与其平均值的差异很小。对于间隙的二阶矩，我们也得到了这样一个结果的一个变体。这补充了艾略特和希尔德布兰德的结果。作为第二个应用程序，我们取得了部分进展的一个老问题的Erdens有关的特点$\log n$作为唯一的“几乎处处“增加添加剂功能（常数因子）。证明了如果一个加性函数几乎处处非减，则它几乎处处可由一个常数乘以一个对数很好地逼近。我们还表明，如果$g$是一个完全加性的功能，使密度的一组例外$\frac{1}{X}|\{n \leq X : g(n) < g(n-1)\}|$像$O((\log X)^{-2-ε})$衰减，使$g$不是非常大，往往在素数（在精确的意义上），然后$g$是等同于常数乘以对数。
2021-08-27 math.NT
Central limit theorems for random multiplicative functions over function fields
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Smith College（史密斯学院）；University of Toronto（多伦多大学）
本文研究函数域上随机乘法函数的部分和趋近复标准正态分布的条件，推导了四种情形下的中心极限定理，并建立了光滑多项式在短区间内的Hildebrand不等式、函数域上的Shiu定理变体及粗糙多项式在短区间内的Chebyshev界。
2025-12-07 math.NT math.PR
Transforming the Erdős-Kac theorem
本文通过 delta 方法变换 Erdős-Kac 定理，构造方差稳定、宽度最优的 score 等区间估计，并用模糊覆盖概率验证其在小正整数上的可靠性。
2025-06-10 math.NT math.PR math.ST
