Glaisher's divisors and infinite products
拉马努金给出了一个递归关系的分拆函数的总和的除数函数$σ(n)$。1885年，J.W. Glasgow认为七个除数和密切相关的总和的除数函数。我们开发了一个演算，将生成函数与这些除数和中的每一个相关联。这产生了类似的拉马努金的递归关系的几个分区理论的功能，以及$r_k(n)$和$t_k(n)$，功能计数的方式写一个数的平方和（分别为三角形）的数字。作为这种关联的副产品，我们得到了除数函数的几个卷积、递归和同余。我们给出两个经典定理的交替证明，一个是由于勒让德和其他-拉马努金的同余$p(5n+4) \equiv 0 \pmod 5$。
2022-08-02 math.NT
On the mean square of the error term for the asymmetric two-dimensional divisor problem with congruence conditions
本文研究带同余条件的非对称二维除数函数，建立了其和式误差项均方值的渐近公式，改进了Zhai和Cao的已有结果。
2025-11-10 math.NT
A Weighted Divisor Problem
研究了一个加权除数函数$\mathop{{\sum}'}\limits_{mn\leq x}\cos(2πmθ_1)\sin(2πnθ_2)$，其中$θ_i (0<θ_i<1)$是一个有理数.将其与带同余条件的除数问题联系起来，建立了该问题的上界、均值、均方和一些幂矩。
2016-11-23 math.NT
A variation of a congruence of Subbarao for n=2^(alpha)*5^(beta)
关于满足某些同余的正整数$n$的特征，以及正整数$n$的欧拉函数$φ$和正因子和函数$σ$，有许多公开的问题。本文讨论了$$ nφ(n)\equiv2\pmod{σ(n)} $$形式的同余关系，证明了满足上述同余关系的$2^α5^β, \enspace α, β\geq0,$形式的正整数只有$n=1, 2, 5, 8$ .
2016-07-05 math.NT
About the congruence $\sum_{k=1}^n k^{f(n)} \equiv 0 \textrm{(mod n)} $
本文利用$n$的素除子刻画了$n$整除$\sum_{j=1}^n j^{k}$的对$(k,n)$。作为应用，我们研究了$f$的某些选择的集合$\mathcal{M}_f :=\{n: n \textrm{divides} \sum_{j=1}^n j^{f(n)} \}$.
2013-04-09 math.NT
A Proof of Merca's Conjectures on Sums of Odd Divisor Functions
在最近的一篇论文中，Merca提出了三个关于广义$m$ -实数的奇除数函数和与生成函数的特定卷积的同余的定理。扩展Merca的工作，我们完成了这些命题的证明。
2021-07-21 math.NT
Consecutive Rankin-Cohen Bases, Full-Spark Periods, and Divisor-Tau Congruences
本文证明Mellin周期泛函行列式严格正性，得出满支撑周期定理，进而证明连续Rankin-Cohen括号构成模形式空间基，并给出除数-tau卷积的精确公式及模素数约化结果。
2026-10-08 math.NT
Divisors of Fourier coefficients of two newforms
本研究在广义黎曼假设下，针对权值至少为2的不同非复乘新形式对，估计了其傅里叶系数差的不同素除数个数满足特定上界的素数集合，并由此得到同余素数个数的上界及新形式的唯一性结果。
2021-05-27 math.NT
On Ramanujan-type Congruences for Multiplicative Functions
对加性数论中特定函数的Ramanujan型同余的研究有着悠久而丰富的历史。最近的联系之间的除数和和过划分通过同余等差数列的动机，我们调查的存在性和分类的Ramanujan型同余函数在乘性数论。
2022-05-10 math.CO math.NT
On Congruences for Iterates of the Sum--Power Divisor Function and Conditional Implications for the Riemann Hypothesis
Khemis Miliana university（赫米斯米利亚纳大学）；Universidad Europea de Valencia (Spain)（瓦伦西亚欧洲大学）
本文研究了求和-幂除数函数迭代的同余关系，证明不存在整数n>1满足所有k≥1的同余条件，并探讨了其与黎曼假设的关系。
2025-12-25 math.NT
On Congruences Between Drinfeld Modular Forms
设${\mathbf F}_q$表示特征$p$的有限域，$n$是${\mathbf F}_q$上仿射直线上的有效因子，$v$是$n$外仿射直线上的点.本文得到了水平$vn$的${\mathbb Q}_l$-值权两个$v$-旧Drinfeld模形式和$v$-新Drinfeld模形式之间的同余关系.为了做到这一点，我们将首先构造一个上核无挠注入，从$v$-老德林费尔德模形式的空间中的一个满格到一个满格的所有德林费尔德模形式的水平$vn$。为了得到这种注入，我们使用的想法介绍了Gekeler和Reversat的一致化的雅可比的德林费尔德模量曲线。
2004-05-27 math.NT
Euler-type Recurrence Relations for Partition Functions with Congruence Conditions
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
该研究针对模$\delta$同余于0或$\pm g$的分拆函数$p_{\delta,g}(n)$，利用广义戴德金η函数与Rankin-Cohen括号推导欧拉型递推关系，还得到$\delta=5$的显式递推、拉马努金型同余及拉德马赫型公式。
2026-07-31 math.NT
Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums
对于正整数的非空有限集$A$，设$\gcd\left(A\right)$表示$A$中元素的最大公约数。令$f\left(n\right)$和$Φ\left(n\right)$分别表示使得$\gcd\left(A\right) = 1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目和使得$\gcd\left(A\cup\left\{n\right\}\right) =1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目。令$D\left(n\right)$是$f\left(n\right)$的除数和。本文得到了$f\left(n\right)$，$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的部分和.我们还得到了$D\left(n\right)$的组合解释和同余性质。在本文的最后，我们给出了有关$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的开放性问题。
2013-06-20 math.NT
On congruence half-factorial Krull monoids with cyclic class group
本文研究了有限循环类群的同余半阶乘Krull幺半群及其相关问题。具体来说，我们精确地确定所有相对较大的值，可以发生作为一个最小的距离的Krull幺半群有限循环类组，以及确切的分布素除子在这些情况下的理想类。我们的结果适用于各种经典的对象，包括极大序模和某些半群的模块。此外，我们目前的应用，定量问题的因式分解理论。更具体地说，我们确定指数的渐近公式的数量的代数整数的长度有很大的差异。
2017-09-04 math.AC math.NT
On the class number of cyclic extensions K/Q
设K/Q是一个循环扩张.本文给出了连接g= [K：Q]的素除子与K/Q的类数h的素除子因子的几个同余式。设K/Q是一个循环扩张，且[K：Q]=g.假设g不能被2整除。设g_j，j=1，. m是g的素除子。设h_i，i=1，. r是K/Q的类数h的素除子。若对h的一个素因子h_i，K/Q的类群G的h_i-分量G（h_i）是循环的，则：否则h_i整除g，否则对g的至少一个素除子g_j，h_i = 1（mod g_j）.所得结果与Washington，Masley，Girtsmair，Schoof，Jeannin等的类数表及数域服务器megrez.math.u-bordeaux.fr的结果完全一致，证明是严格初等的.
1999-05-28 math.NT
Class Number and Regulator Computation in Purely Cubic Function Fields of Unit Rank Two
我们描述并给出了计算单位秩为2的大多数纯三次函数域的除数类数和调节器的过程的计算结果。我们的实现是一个改进波拉德的袋鼠方法的基础设施，使用分布结果的类数以及信息的同余类的除数类数，和适应，有效地导航这些环面形的基础设施。此外，这是第一次将高效的“平方根”算法应用于单位秩2的全局域的基础设施。除了某些函数定义的皮卡德曲线，我们的例子是已知的最大的除数类数和监管机构以往任何时候都计算的亏格3的函数字段。
2010-01-22 math.NT
Binomial coefficients, roots of unity and powers of prime numbers
设$t\in\mathbb{N}_+$已知。在这篇文章中，我们有兴趣在这些$d\in\mathbb{N}_+$的特点，使合同$$\frac{1}{t}\sum_{s=0}^{t-1}{n+dζ_t^s\choose d-1}\equiv {n\choose d-1}\pmod{d}$$是真正的每个$n\in\mathbb{Z}$。特别地，假设$d$有一个大于$t$的素因子，我们证明了上述同余对每个$n\in\mathbb{Z}$成立当且仅当$d=p^r$，其中$p$是一个大于$t$和$r\in\{1,\ldots ,t\}$的素数。
2022-03-07 math.NT
Infinite families of Diophantine quadruples in $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ in the remaining exceptional congruence classes
研究$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$中剩余例外同余类的丢番图四元组，通过结合正则扩展方法与新族构造明确的$D(z)$-四元组，证明每个例外类含无穷多$z$值可形成两次半正则的$D(z)$-四元组。
2026-07-10 math.NT
Dyadic Structure of the Two-Block Odd Partition Function and Theta-Weighted Congruences for $pod(n)$
National University of Science and Technology Politehnica Bucharest（布加勒斯特理工大学）；Academy of Romanian Scientists（罗马尼亚科学院）
本文通过二元结构分解和theta函数求值，解释两块奇数分拆函数a(n)的递推关系，并利用生成函数因式分解建立模任意奇素数的同余式，获得模3、5、13的无限族加权同余。
2026-10-06 math.CO math.NT
Quantitative Diophantine approximation with congruence conditions
在这篇简短的论文中，我们证明了一个定量版本的欣钦-Groshev定理的同余条件。我们的论点依赖于一个经典的论点施密特计数通用格点，这反过来又依赖于一定的方差约束的空间格。
2020-11-12 math.NT
Convolution sums of some functions on divisors
本文的主要目的之一是建立函数的卷积和的除数和$\widetildeσ_s(n)=\sum_{d|n}(-1)^{d-1}d^s$和$\widehatσ_s(n)=\sum_{d|n}(-1)^{\frac{n}{d}-1}d^s$，对于某些$s$，这是第一次定义的Glaucine。我们首先介绍了三个功能$\mathcal{P}(q)$，$\mathcal{E}(q)$，$\mathcal{Q}(q)$相关的$\widetildeσ(n)$，$\widehatσ(n)$，和$\widetildeσ_3(n)$，分别，然后我们评估他们的两个参数$x$和$z$在Ramanujan的椭圆函数理论。利用这些公式，我们得到了一些恒等式，由这些恒等式我们可以推出卷积和恒等式。本文讨论了用$\widetildeσ(n)$、$\widehatσ(n)$和$\widetildeσ_3(n)$确定$r_s(n)$和$δ_s(n)$、$s=4,$ $8$的一些公式，其中$r_s(n)$表示$n$作为$s$平方和的表示数，$δ_s(n)$表示$n$作为$s$三角数和的表示数.最后，我们利用色划分的概念找到了一些划分同余。
2015-07-16 math.NT
Small solutions of quadratic forms with congruence conditions
考虑一类以$n\geq 3$为变量的具有同余条件的齐次二次型方程组，证明了两个高度有界的线性无关积分解的存在性.我们还证明了该系统的小高度积分零点的存在性，避免了一组给定的超平面。
2020-08-26 math.NT
A Determinant Congruence Conjectured by Sun
Sichuan University（四川大学）
本文证明了孙氏关于二元二次型行列式的一个加强形式猜想，通过分析范德蒙德因子和模p矩阵的秩，得到了复合数和素数情况下的同余结论。
2026-05-27 math.NT
Resolving Adenwalla's conjecture related to a question of Erdős and Graham about covering systems
本文肯定地解决了Adenwalla关于nice整数的猜想，通过构造框架和中国剩余定理的分层应用，证明了必要条件也是充分的，从而完成了对nice整数的完整刻画。
2025-04-25 math.NT
Congruences for Partition Pairs with Conditions
我们证明了同余的分区对$(π_1,π_2)$的数量，使$π_1$是非空的，$s(π_1)\le s(π_2)$，和$\ell(π_2)< 2s(π_1)$其中$s(π)$是最小的部分和$\ell(π)$是最大的部分的分区。证明使用贝利引理和广义兰伯特系列身份的陈。我们还讨论了如何分区对曲柄给这些同余的组合加细。
2015-04-09 math.NT
Divisor-sum fibers
令$s(\cdot)$表示原因子和函数，即$s(n) = \sum_{d\mid n,~d<n}d$。Erdens-Granville-Pomerance-Spiro证明，对于任何密度为零的集合$\mathcal{A}$，原像集$s^{-1}(\mathcal{A})$也有密度为零。本文证明了这个猜想的一个弱形式：如果$ε(x)$是任何趋于$0$的函数，且$\mathcal{A}$是基数至多为$x^{\frac12+ε(x)}$的整数集合，则具有$s(n) \in \mathcal{A}$的整数$n\le x$的个数是$o(x)$，as $x\to\infty$ .特别地，EGPS猜想对于具有计数函数$O(x^{\frac12 + ε(x)})$的无限集合成立。我们还反驳了一个假设从同一文件的EGPS表明，任何正数$α$和$ε$，有整数$n$与任意多个$s$ -原像之间的$α(1-ε)n$和$α(1+ε)n$。最后，我们对解$n$到$σ(n) \equiv a\pmod{n}$形式的同余作了一些评论，提出了对前两位作者最近工作中出现的一个猜想的修正。我们还改进了以前的上限的解决方案$n \leq x$的数量，使其均匀的$a$。
2017-06-09 math.NT
On the number of representations of integers by quadratic forms with congruence conditions
我们用模形式理论刻画了标题中所描述的表示数的母函数。呼吁这个特征，我们得到明确的公式的代表数作为例子。
2014-03-18 math.NT
Distribution of squarefree integers with double congruence conditions
本文研究无平方因子整数在双重同余条件下的分布，证明了等分布结果并发现偏差现象，提出有数值支持的猜想。
2026-09-16 math.NT
Class numbers and representations by ternary quadratic forms with congruence conditions
本文主要研究整三元二次型与类数之间的关系。这部分是由彼得森的问题引起的。
2020-02-05 math.NT
Near-miss Identities and Spinor Genus Classification of Ternary Quadratic Forms with Congruence Conditions
本文发现并证明了一类具有同余条件的整数三元二次型的表示数的近似恒等式。然后对相应格陪集的亏格和旋量亏格进行了分类。最后，给出了2-根幺模格的所有导体2格陪集的亏格和旋量亏格的完全分类。
2021-04-18 math.NT
Quadratic torsion subgroups of modular Jacobian varieties
设$D$是一个无奇平方的正整数，$C$是$D$的除数。对于任何二次特征标$χ$模$C$，我们证明了$J_0(DC)$的扭点群$J_0(DC)_\text{tor}$的$χ$ -部分与其尖子群的$χ$ -部分重合，远离那些坏约化的素数或旧形式和新形式之间可能发生的同余.
2020-03-06 math.NT
On irregular prime power divisors of the Bernoulli numbers
令$B_n$（$n = 0, 1, 2, ...$）表示通常的$n$次伯努利数.令$l$为正偶数，其中$l=12$或$l \geq 16$。众所周知，约化商$|B_l/l|$的分子是不规则素数的幂的乘积。设$(p,l)$与$B_l/l \not\equiv B_{l+p-1}/(l+p-1) \modp{p^2}$是一个不规则对。我们证明了对于每一个$r \geq 1$同余$B_{m_r}/m_r \equiv 0 \modp{p^r}$有一个唯一的解决方案$m_r$，其中$m_r \equiv l \modp{p-1}$和$l \leq m_r < (p-1)p^{r-1}$。序列$(m_r)_{r \geq 1}$定义了一个$p$ -进整数$χ_{(p, l)}$，它是最初由T定义的某个$p$ -进zeta函数$ζ_{p, l}$的零. Kubota和H. W.利奥波德我们给出了这些函数的一些性质，并给出了一些应用。随后，我们给出了几个计算的（截断）PDMATHBNB-进展开的$χ_{(p, l)}$的不规则对PDMATHBMT与PDMATHBNB低于1000。
2005-10-11 math.NT
Congruences via Partitions with Exactly Two Part Sizes
Chulalongkorn University（朱拉隆功大学）；Centre of Excellence in Mathematics, Ministry of Higher Education, Science, Research and Innovation, Thailand（泰国高等教育、科学、研究和创新部数学卓越中心）；Institute of Mathematical Sciences, Claremont Graduate University（克莱蒙特研究生大学数学科学学院）
本文证明了当N=An+B时，关于N的正整数划分函数的求和在模4下恒为0，结合组合方法与模算术技术。
2026-04-28 math.CO math.NT
Uniform exponential mixing and resonance free regions for convex cocompact congruence subgroups of $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$
设$Γ<\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$是一个非初等代数生成的子群，$Γ(q)$是它的同馀子群，对于每个$q\in \mathbb{N}$，它是水平$q$的同馀子群.对于所有无平方因子的素除子不存在的$q$，我们得到了具有{ \it uniform}指数误差项的$L^2(Γ(q) \backslash \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}))$矩阵系数的渐近公式.作为应用，我们建立了一个均匀的共振自由半平面的拉普拉斯算子在$Γ(q) \backslash \mathbb{H}^2$上的预解式在$q$如上。我们的方法是延长Dolgopyat的指数混合的测地流一致的同余覆盖的动力学证明，通过建立一致的谱界的同余转移算子相关的测地流。其中一个关键因素是由于Bourgain-Gamburd-Sarnak的扩展理论。
2015-09-21 math.DS math.GT math.NT
On a quadratic Waring's problem with congruence conditions
对于每个正整数$n$，令$g_Δ(n)$是最小正整数$g$，使得可以由奇平方和表示的$n$变量中的每个完全二次多项式由至多$g$奇平方和表示。本文通过研究整二次型的平方和在一定的同余条件下的表示来分析$g_Δ(n)$。我们证明了$g_Δ(n)$的增长最多是$\sqrt{n}$的指数，这是最好的已知上界的$g$ -不变量的原始二次华林问题。我们还确定每个小于或等于$4$的正整数的$g_Δ(n)$的精确值。
2019-10-17 math.NT
A Question of Erdős and Graham on Covering Systems
University of Liverpool（利物浦大学）
Erdős 和 Graham 提出的问题探讨是否存在一个整数 $n$，其大于 1 的因数能构成满足特定同余条件的覆盖系统，研究结果证明此类 $n$ 不存在。
2025-12-03 math.CO math.NT
Integral Congruences
对于属于某个整数集合的每个i，j，附加整数a（i，j）。是否存在整数x（i）使得x（j）-x（i）全等于a（i，j）mod（i，j）？一个必要条件是a（i，j）+a（j，k）全等于a（i，k）mod（i，j，k）。这个条件是充分的。
2005-10-29 math.NT
Congruence conditions for the mod $λ$ values of the Fourier coefficients of classical eigenforms
本文依据模 $\lambda$ Galois 表示的射影像，分类经典尖点特征形式 Fourier 系数满足 $a_p(f)\equiv x\bmod\lambda$ 且与素数 $p$ 同余相关的情形，并用椭圆曲线权 2 新形式举例。
2025-06-10 math.NT
Kurokawa-Mizumoto congruence and differential operators on automorphic forms
Kyoto University（京都大学）
该研究给出与Klingen-Eisenstein级数相关的向量值黑川-水本同余成立的充分条件，并借助表示论对自守形式上的微分算子作出新的诠释。
2024-06-20 math.NT
Congruence conditions on the number of terms in sums of consecutive squared integers equal to squared integers
考虑寻找$M$连续整数平方和的所有整数解的问题，从$a^{2}$开始等于平方整数$s^{2}$，它表明，如果$M\equiv3,5,6,7,8$或$10 (mod\,12)$没有解决方案，并有整数解，如果$M\equiv0,9,24$或$33 (mod\,72)$ ;或$M\equiv1,2$或$16 (mod\,24)$ ;或$M\equiv11 (mod\,12)$。$M$的所有允许值都使用必要条件来表征。如果$M$本身是一个正方形，那么$M\equiv1 (mod\,24)$和$(M-1)/24$都是五边形数，除了前两个。
2014-09-28 math.NT
A Congruence Condition For The Four-Distance Problem
将矩形的顶点放置在$\{(0, \pm 1/2), (a, \pm 1/2)\}$处，其中$a$是有理数。我们表明，如果$v_3(a) = 0$，那么任何点$(x,y)$，是合理的距离，从所有四个顶点的矩形有$v_3(x) < 0$或$v_3(y)<0$，其中$v_3(\cdot)$是3-adic赋值。特别感兴趣的情况是长开四距离问题，它询问在单位正方形的$a=1$情况下是否存在这样的有理距离点。对于四距离问题，我们的结果排除了四分之一的所有潜在的解决方案与有界的高度。
2020-06-05 math.NT
Relating elliptic curve point-counting and solutions of quadratic forms with congruence conditions
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
本文通过研究二次型与椭圆曲线点计数之间的关系，建立了一种利用theta级数和同余条件来分析整数解与椭圆曲线有理点数量的联系。
2025-10-27 math.NT
Metric Diophantine approximation with congruence conditions
本文证明了在同余条件下矩阵的丢番图逼近的Khinchine-Groshev定理的一个版本。证明依赖于一个扩展的达尼对应商的同余子群。这种对应关系与多重遍历定理一起被用来同时研究多个同余类中的有理逼近。这一部分的结果具有加权逼近的一般性，但仅限于简单的逼近函数。
2019-02-05 math.DS math.NT
MacMahon's sums-of-divisors and allied $q$-series
本文研究MacMahon除数之和级数，用Eisenstein级数显式表示，证明两个同余猜想，并给出系数钩长公式与组合表达式。
2023-11-13 math.NT
On congruences of Galois representations of number fields
利用模l的整体表示给出了代数数域的两个l-adic伽罗瓦表示在限制于一个分解群时同构的一个判据.在半稳定性条件下证明了Rasmussen-Tamagawa猜想的一个推广，推广了作者的一些结果.并应用它证明了关于模形式的傅里叶系数的一个同余结果。
2013-06-03 math.NT
Arithmetic properties of MacMahon-type sums of divisors: the odd case
本文推广 MacMahon 奇数指标除数和生成函数，并利用类似 U_t(a,q) 的技术证明其系数的新无限族 Ramanujan 型同余式。
2025-05-19 math.CO math.NT
On odd prime divisors of binary perfect polynomials
给出了二元完全多项式的奇素除子集所满足的必要条件。这使我们能够得到一个新的特征的所有已知的完美的二元多项式。
2020-08-16 math.NT
Density of solutions to quadratic congruences
数论中的一个经典结果是关于等差数列中素数密度的狄利克雷定理。我们证明了一个类似的结果，正好有k个素因子的数，k>1。根据E.M.的证明。Wright在1954年提出的方法，我们计算这样的数的自然密度，其中每个素数满足一个同余条件。作为应用，我们得到了无平方数n不大于x且有k个素因子使得一个固定的二次方程模n恰好有2^k个解的密度.
2016-04-30 math.NT
Maximal order for divisor functions and zeros of the Riemann zeta-function
本文将黎曼ζ函数的无零点区域与除数幂和函数的极大阶关联，给出了用除数的1/2次幂和函数及黎曼ζ函数部分欧拉乘积表示的黎曼假设等价条件。
2024-11-28 math.NT
Moment formulas of Siegel transforms with congruence conditions in dimension 2
本文计算了带同余条件的二维 Siegel 变换的一阶和二阶矩公式，并据此导出了 Schmidt 随机计数定理的类比及对向量施加同余约束的定量 Khintchine 定理。
2025-07-14 math.DS math.NT
Integral period relations and congruences
在比较温和和自然的条件下，建立了椭圆尖点形式的（实或虚）二次基变的积分周期关系。这回答了一个猜想飞关于{ \it同余数}控制这个基础变化和其他本征形之间的同余关系是不是基础变化。作为推论，我们建立了偶二次特征标扭曲的伴随模伽罗瓦表示的Bloch-Kato猜想。在奇的情况下，我们提出了一个猜想，将基变Bianchi模形式的二次拓扑周期，相应的Hecke代数的余切复形和Beilinson-Flach元的阿基米德调节器联系起来.
2021-07-27 math.NT
A Divisor problem for polynomials
刻画了一首一多项式多项式$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$具有\[f(p) \mid f(p^{p}),~\text{for all sufficiently large primes }p \geq N(f). \]的性质，并给出了首一多项式$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$对所有素数$p$满足$f(p) \mid f(p^{p})$的必要条件和充分条件.
2022-02-04 math.NT
On a restricted linear congruence
令$b,n\in \mathbb{Z}$、$n\geq 1$和${\cal D}_1, \ldots, {\cal D}_{τ(n)}$都是$n$的正约数。对于$1\leq l \leq τ(n)$，定义${\cal C}_l:=\lbrace 1 \leqslant x\leqslant n \; : \; (x,n)={\cal D}_l\rbrace$。本文结合数论函数的有限Fourier变换和Ramanujan和的思想，给出了以下结果的一个简短证明：具有$κ_{l}=|\lbrace x_1, \ldots, x_k \rbrace \cap {\cal C}_l|$，$1\leq l \leq τ(n)$的一次同余方程$x_1+\cdots +x_k\equiv b \pmod{n}$的解的个数是\begin{align*} \frac{1}{n}\mathlarger{\sum}_{d\, \mid \, n}c_{d}(b)\mathlarger{\prod}_{l=1}^{τ(n)}\left(c_{\frac{n}{{\cal D}_l}}(d)\right)^{κ_{l}}, \end{align*}，其中$c_{d}(b)$是Ramanujan和.这个问题的一些特殊情况和其他形式已经被几位作者研究过了。这个问题最近在数论、组合数学、计算机科学和密码学中得到了非…
2016-10-25 math.CO math.NT
Additional congruence conditions on the number of terms in sums of consecutive squared integers equal to squared integers
在$a$、$M$和$s$中寻找从$a^{2}\geq1$开始的$M$连续整数平方和等于平方整数$s^{2}$的所有整数解的问题，如果是$M\equiv3,5,6,7,8$或$10\left(mod\,12\right)$则没有解，如果是$M\equiv0,9,24% or %33\left(mod\,72\right)$ ;或$M\equiv1,2$或$16\left(mod\,24\right)$ ;或$M\equiv11\left(mod\,12\right)$则有整数解。在本文中，额外的合同条件证明了对允许值的$M$，产生的解决方案，通过使用Beeckmans的八个必要条件，进一步细化的可能值的$M$的$M$连续整数平方和等于整数平方。
2014-08-20 math.HO math.NT
