关于粗糙数分布的数值显式估计
Numerically explicit estimates for the distribution of rough numbers
AI总结：
本文针对不超过x且无小于等于y素因子的正整数计数函数Φ(x,y)，推导了de Bruijn于1950年提出的相关渐近公式的数值显式估计版本。
摘要：
对于 $x\ge y>1$ 且 $u:= \log x/\log y$，设 $Φ(x,y)$ 表示不超过 $x$ 且没有小于等于 $y$ 的素因子的正整数的个数。1950年，de Bruijn[1]研究了用量 \n\\[μ_y(u)e^γx\log y\prod_{p\leq y}\left(1-\frac{1}{p}\right)\\]\n逼近 $Φ(x,y)$ 的问题，其中 $γ=0.5772156...$ 是欧拉常数，且\n\\[μ_y(u):=\int_{1}^{u}y^{t-u}ω(t)\\,dt.\\]\n他证明了渐近公式\n\\[Φ(x,y)=μ_y(u)e^γx\log y\prod_{p\leq y}\left(1-\frac{1}{p}\right)+O\left(\frac{xR(y)}{\log y}\right)\\]\n对所有 $x\ge y\ge2$ 一致成立，其中 $R(y)$ 是一个与素数定理中的误差估计相关的正递减函数。本文得到了de Bruijn结果的数值显式版本。
英文摘要：
For $x\ge y>1$ and $u:= \log x/\log y$, let $Φ(x,y)$ denote the number of positive integers up to $x$ free of prime divisors less than or equal to $y$. In 1950 de Bruijn [1] studied the approximation of $Φ(x,y)$ by the quantity \[μ_y(u)e^γx\log y\prod_{p\leq y}\left(1-\frac{1}{p}\right),\] where $γ=0.5772156...$ is Euler's constant and \[μ_y(u):=\int_{1}^{u}y^{t-u}ω(t)\,dt.\] He showed that the asymptotic formula \[Φ(x,y)=μ_y(u)e^γx\log y\prod_{p\leq y}\left(1-\frac{1}{p}\right)+O\left(\frac{xR(y)}{\log y}\right)\] holds uniformly for all $x\ge y\ge2$, where $R(y)$ is a positive decreasing function related to the error estimates in the Prime Number Theorem. In this paper we obtain numerically explicit versions of de Bruijn's result.
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