Prime divisors of sequences of integers
本文发展了Furstenberg关于素数无穷大的证明，并证明了关于整数序列的素除子的几个结果，包括著名的Schur定理。特别地，我们给出了一个经典结果的简单证明，该结果表明，k>1阶整数的非退化线性递归序列具有无穷多个素除子。
2017-11-06 math.NT
On the variance of sums of divisor functions in short intervals
给定一个正整数$n$，$k$ -倍除数函数$d_k(n)$等于正整数的有序$k$ -元组的数量，其乘积等于$n$ .在Lindelöf假设下，研究了$d_k(n)$和在短区间上的方差，并建立了$k=3$和$k \ge 4$在一定长度的短区间上的方差的渐近公式.
2015-02-04 math.NT
Integers without divisors from a fixed arithmetic progression
设a为整数，q为素数.本文给出了等差数列a模q中正整数个数n1的一个渐近公式< x with the property that no divisor d >。
2006-04-03 math.NT
Integers with a large smooth divisor
研究了一个函数$Θ(x,y,z)$，它计算正整数$n\le x$的个数，该正整数的除数$d>z$具有如下性质：对于每个素数$p$，$p\le y$整除$d$ .我们还指出了我们的结果的一些密码应用。
2006-01-19 math.NT
The number of prime factors of integers with dense divisors
我们证明了，对于整数$n$，其连续因子的比率以上有界的任意常数，素因子的数量的正常顺序是$C \log \log n$，其中$C=(1-e^{-γ})^{-1} = 2.280...$和$γ$是欧拉常数。我们探讨了几个应用程序，并解决了Margenstern关于实际数的猜想。
2021-11-11 math.NT
Divisors of an Integer in a Short Interval
本研究定义并考察短区间内整数因数的计数函数，关注区间长度不超过起点时因数的分布。
2025-03-15 math.NT
On integers $n$ for which $X^n-1$ has a divisor of every degree
一个正整数$n$被称为$φ$ -practical，如果多项式$X^n-1$在$\mathbb{Z}[X]$中有一个直到$n$的每一次的除数。本文证明了对于正常数$C$为$x \rightarrow \infty$，$[1, x]$中的$φ$ -实际数的计数渐近于$C x/\log x$.
2015-11-11 math.NT
A paucity problem associated with a shifted integer analogue of the divisor function
假设$θ$是无理数。于是，几乎所有可以被写为移位整数$n+θ$ $(n\in {\mathbb N})$的$k$倍积的元素$ν\in {\mathbb Z}[θ]$因此基本上被唯一地表示.
2021-07-31 math.NT
On the mean square of the divisor function in short intervals
我们提供了上界的均方积分$$ \int_X^{2X}(Δ_k(x+h) - Δ_k(x))^2 dx \qquad(h = h(X)\gg1, h = o(x) {\roman{as}} X\to\infty) $$，其中$h$位于一个合适的范围。对于固定整数$k\ge2$，$Δ_k(x)$是由$ζ^k(s)$生成的除数函数$d_k(n)$的求和函数的渐近公式中的误差项。
2009-01-19 math.NT
On Frobenius problem with restrictions on common divisors of coefficients
令$m,s,t$是正整数，其中$t\leq s-2$和$a_1,a_2,\ldots,a_s$是正整数，使得$(a_1,a_2,\ldots,a_{s-1})=1$。本文证明了每一个足够大的正整数都可以写成$a_1μ_1+a_2μ_2+\ldots+a_sμ_m$的形式，其中正整数$μ_1,μ_2,\ldots,μ_s$没有大于$1$的正整数的$m$次幂的公约数，但$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$的值的每一个$t$都有大于$1$的正整数的$m$次幂的公约数.此外，我们表明，每一个足够大的正整数可以写为一个正整数$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$的总和，没有公约数是$m$ -次幂的正整数大于$1$，但每个$s-1$的值的$μ_1,μ_2,\ldots,μ_s$有一个公约数是$m$ -次幂的正整数大于$1$。
2022-09-26 math.NT
On the Distribution of the Greatest Common Divisor of Gaussian Integers
对于一对随机高斯整数选择均匀和独立的一组高斯整数的范数$x$或更少的$x$走向无穷大，我们发现渐近的平均范数的最大公因数，与明确的错误条款。我们还提出了更高的时刻与计算数据支持的结果，第二，第三，第四，第五时刻。Diaconis和Erdös研究了整数的类似问题。
2015-03-01 math.NT
Dirichlet divisor problem on Gaussian integers
我们改进了现有的黎曼ζ函数的矩估计。因此，我们能够得到新的估计的渐近行为的$\sum_{N α\le x} \mathfrak{t}_k(α)$，其中$N$代表的一个复数的范数和$\mathfrak{t}_k$是$k$ -维除数函数的高斯整数。
2018-12-22 math.NT
Multidimensional exponential divisor function over Gaussian integers
令$\taue_k \colon \Z\to\Z$是乘性函数，使得$ \taue_k(p^a) = \sum_{d_1... d_k=a} 1 $。本文介绍了高斯整数环$\Zi$上的$\taue_k$的推广.通过证明一个一般性结果确定了它们的极大序模，并建立了它们的平均序模的渐近公式。
2012-11-04 math.NT
Some new results on consecutive equidivisible integers
我们已经找到了连续正整数的最大可能游程，每个正整数对于$k$的某些固定值都有恰好的$k$因子。此外，我们展示了运行的10个连续的正整数每个正好有12个因子和两个运行的14个连续的正整数每个正好有24个因子。
2015-10-23 math.NT
The Vandermonde Determinant of the Divisors of an Integer
研究针对整数正因子有序序列定义的 Vandermonde 行列式型算术函数 $V(n)$，核心问题是对其进行估计。
2025-10-04 math.NT
On the greatest common divisor of integer parts of polynomials
本文受Bergelson和Richter的问题启发，研究了正整数与多项式整数部分构成互素元组的计数问题，并给出了误差项强度依赖于首项系数丢番图性质的渐近公式。
2023-12-02 math.NT
An Erdős-Kac theorem for integers with dense divisors
本文证明了连续因子之比有上界的大整数其素因子个数服从近似正态分布，并将该结果在两个不同方向上进行了推广。
2023-10-25 math.NT
Exponential sums over integers without large prime divisors
本文通过更精确地利用无大素因子整数的因数分解并结合Type I和Type II界，改进了此类整数及其 $ν$ 次幂上的指数和的现有界限。
2025-05-05 math.NT
On the Density of Ranges of Generalized Divisor Functions
除数函数$σ_{-1}$的范围在区间$[1,\infty)$中是密集的。然而，函数$σ_{-2}$的范围在区间$\displaystyle{\left[1,\frac{π^2}{6}\right)}$中不密集。我们首先将除数函数推广到所有实数$t$的一类函数$σ_{t}$。然后，我们定义了一个常数$η\approx 1.8877909$，并表明，如果$r\in(1,\infty)$，那么范围的功能$σ_{-r}$是密集的间隔$[1,ζ(r))$当且仅当$r\leqη$。我们以一个开放的问题结束。
2015-06-17 math.NT
On a Problem by Erdős and Mirsky on the ratio of the number of divisors of consecutive integers
针对Erdős和Mirsky关于连续整数因数个数之比的问题，研究了满足存在无穷多整数$n$使$\alpha=\log\frac{d(n+1)}{d(n)}$的实数$\alpha$集合的闭包$\mathcal{L}$，并给出其密度的改进下界。
2025-03-31 math.NT
Distribution Laws of Smooth Divisors
Deshouillers、Dress和Tenenbaum的经典结果断言，平均而言，整数的约数分布遵循反正弦定律。本文研究了整数的光滑因子，即不含大素因子的因子的分布。我们表明，平均而言，这些因子分布的概率定律，我们将描述。
2018-06-15 math.NT
Rough integers with a divisor in a given interval
我们确定，乘法常数，整数$n\le x$的数量，没有素因子$\le w$和一个除数在$(y,2y]$。我们的估计在$x,y,w$中是一致的。我们应用这一点来确定$N\times N$乘法表中的不同整数的数量的顺序是免费的素因子$\le w$，以及不同的分数的形式$\frac{a_1a_2}{b_1b_2}$与$1\le a_1 \le b_1\le N$和$1\le a_2\le b_2 \le N$的数量。
2019-09-17 math.NT
On the distribution of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们研究了除数函数在短区间和等差数列中的行为。后一个问题是最近研究的。Fouvry，S. Ganguly，E. Kowalski，and Ph. Michel.我们证明了他们的主要定理的一个补充结果。我们还表明，在一定长度的短间隔的除数函数具有高斯极限分布。Hecke特征值的类似问题也被考虑。
2014-04-06 math.NT
The mean number of divisors for rough, dense and practical numbers
本文给出了无小素因子整数、连续约数比有界整数及实用数的约数平均个数的渐近估计，并证实了 Margenstern 的猜想。
2023-06-26 math.NT
Integers with a divisor in (y,2y]
我们给出了一个相对较短的证明的主要定理的中心情况之一，从文件“的分布整数与除数在一个给定的区间”，数学。NT/0401223。也就是说，我们确定整数<=x的数量的数量级，其中除数在（y，2 y]中。下界使用了与上述论文不同的论证。作为推论，我们推导出数量级的数量不同的产品在一个N × N乘法表。
2013-03-17 math.NT
A formula of counting divisors in integers rings: a generalization of the divisor function $d_0(n)$
Departamento de Matemáticas, UAM-I（墨西哥自治大学伊萨瓦尔分校数学系）
本文通过建立整数环中理想结构与加性组合学理论之间的联系，证明了在具有循环类群的整数环中，每个非零理想均可分解为一个最大主因子和一个总长度受达文波特常数限制的理想乘积。通过这种分解，找到了理想I=(α, β)生成元的除数。本文的核心成果是利用有限阿贝尔群上的特征理论，推导出一个闭合公式，用于精确计数给定序列的零和子序列数目。该公式在建立主理想与零和序列之间的对应关系下，提供了对任意给定理想主理想除数的精确计数，从而计数理想I=(α, β)生成元的公共除数。这一结果构成了从唯一分解环到具有有限类群的任何迪克因环的除数函数d₀(n)的自然推广。最后，本文基于这些零和子序列的计数，对O_K中的不可约元进行了特征化。
2026-05-18 math.NT
Coefficient convexity of divisors of x^n-1
我们说一个具有整数系数的多项式f是强系数凸的，如果f的系数集仅由连续的整数组成。我们建立了各种结果，表明具有整数系数的因子x^n-1具有强系数凸的趋势，并且具有小系数。详细研究了n=p^2*q且p和q为素数的情形。
2011-10-13 math.NT
Runs of Consecutive Integers Having the Same Number of Divisors
本文研究小于 N 且约数个数相同的连续整数最长段的长度上界，先用初等方法得到指数 λ=1/2，再利用 Jacobsthal 函数估计改进到 λ=1/3。
2023-02-03 math.NT
Generalized cyclotomic polynomials associated with regular systems of divisors and arbitrary sets of positive integers
本文引入与正则除数系和任意正整数集相关的广义分圆多项式，证明其具有整数系数并可分解为经典分圆多项式的乘积，同时给出新的 Menon 型恒等式。
2024-05-02 math.NT
On the Asymptotic Behavior of a Multiplicative Arithmetic Function Related to the Divisor Function Over Perfect Squares Integers Generated by Shifting
Faculty of Matter Sciences and Computer Sciences, Department of MathematicsFIMA Laboratory, University of Djilali Bounaama（吉拉利·布纳马大学物质科学与计算机科学学院数学系）
本文研究了与完美平方整数相关的除数函数的渐进行为，推导了特定求和式的渐近公式。
2026-02-24 math.NT
Linear recurrences of order at most two in nontrivial small divisors and large divisors
对于每一个正整数$N$，定义$$S'_N \ =\ \{1 < d < \sqrt{N}: d|N\}\mbox{ and }L'_N \ =\ \{\sqrt{N} < d < N : d|N\}.$$最近，Chentouf的特点是所有正整数$N$，使一组小因子$\{d\le \sqrt{N}: d|N\}$满足线性递归的顺序最多为2。我们通过排除平凡因子$1$的考虑，这大大增加了分析的复杂性，非平凡扩展的结果。我们的第一个结果刻画了所有正整数$N$使得$S'_N$满足至多二阶的线性递归。此外，我们的第二个结果的特点是所有积极的$N$，使$L'_N$满足线性递归的顺序最多为2，从而大大扩展了最近的结果，特点是$N$与$L'_N$是在一个等差数列。
2022-10-01 math.NT
On the Greatest Common Divisor of Shifted Sets
给定一组$n$正整数$\{a_1, \ldots, a_n\}$和一个整数参数$H$，研究了其元素被整数$h_i$和$|h_i| \le H$，$i =1, \ldots, n$作小的加法移位，使得$a_1+h_1, \ldots, a_n+h_n$的最大公因数与$a_1, \ldots, a_n$的最大公约数有很大的不同.我们还考虑了一个类似的问题，为最小公倍数。
2014-02-05 math.NT
On the divisor function and the Riemann zeta-function in short intervals
对于$T^ε\le U=U(T)\le T^{1/2-ε}$，我们得到了$$ \int_T^{2T}(E(t+U) - E(t))^2 dt,\quad \int_T^{2T}(Δ(t+U) - Δ(t))^2 dt, $$的渐近公式，其中$Δ(x)$是经典除数问题中的误差项，$E(T)$是$|ζ(1/2+it)|$的均方公式中的误差项.上界的形式$O_ε(T^{1+ε}U^2)$为上述积分与双二次而不是平方显示持有$T^{3/8} \le U =U(T) \ll T^{1/2}$。给出了$E(t+U) - E(t)$和$|ζ(1/2+it)|$的矩之间的关系。推广到其他一些数论误差项进行了讨论。
2007-11-08 math.NT
Integers with large practical component
如果$1$和$n$之间的所有整数都可以写为$n$的不同约数之和，则正整数$n$被称为实用的。本文给出了整数$\le x$中具有实际除数$\ge y$的个数的一个渐近估计.
2015-06-25 math.NT
The distribution of integers with a divisor in a given interval
我们确定H（x，y，z）的数量级，整数n \le x在（y，z]中有一个除数，对于所有x，y和z。我们还研究了H_r（x，y，z），整数n \le x在（y，z）中恰好有r个因子的个数.当r=1时，我们对所有满足z \le x^{0.49}的x，y，z建立H_1（x，y，z）的数量级。对于任意r个\ge 2，$C>1$和$ε>0$，我们确定了当y较大时H_r（x，y，z）的数量级，以及y+y/（\log y）^{ \log 4 - 1- ε} \le z \le \min（y^{C}，x^{1/2-ε}）.作为这些界限的结果，我们解决了1960年的Erdos猜想和几个相关的猜想。证明的一个关键要素是关于均匀顺序统计量分布的一个新结果。
2008-11-06 math.NT
On sums of arithmetic functions involving the greatest common divisor
令$\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})$是正整数$d_{1},\ldots,d_{k}$的最大公因数，对任意整数$k\geq 2$，并令$τ$和$μ$分别表示除数函数和莫比乌斯函数。对任意算术函数$g$，对任意实数$x>5$和任意整数$k\geq 3$，定义了和$$ S_{g,k}(x) :=\sum_{n\leq x}\sum_{d_{1}\cdots d_{k}=n} g(\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})) $$.本文给出了$k\geq 3$的和$S_{τ,k}(x)$和$S_{μ,k}(x)$的渐近公式.
2021-02-07 math.NT
On certain arithmetic functions involving exponential divisors
整数$d$被称为$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}>1$的指数除数，如果$d=\prod_{i=1}^r p_i^{c_i}$，其中$c_i \mid a_i$对于每个$1\le i \le r$。具有相同素因子的整数$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, m=\prod_{i=1}^r p_i^{b_i}>1$称为指数互质，如果对每个$1\le i\le r$都有$(a_i,b_i)=1$。研究了一类含指数因子和指数互质整数的算术函数的渐近性质。
2009-10-10 math.NT
Some Properties and Applications of Non-trivial Divisor Functions
$j$ th除数函数$d_j$是一个非常著名的算术函数，它计算正整数到$j$正整数因子的有序分解;特别是，$d_2(n)$给出了$n$的除数。然而，$j$ th非平凡因子函数$c_j$，它将正整数的有序真因子分解计算为$j$因子，每个因子都大于或等于2，研究得相当少。我们还考虑了相关的除数函数$c_j^{(r)}$，其定义是由$d_j$的除数递归求和的动机。在回顾了$d_j$的性质之后，我们研究了$c_j$和$c_j^{(r)}$的类似性质，特别是关于它们的狄利克雷级数和生成函数，以及二项式系数和和超几何级数的表示。我们还将它们的比表示为二项式系数和和超几何级数，并在某些情况下找到了显式的Dirichlet级数和Euler乘积。作为非平凡和相关除数函数的示例性应用，我们展示了如何使用它们来计数Ollerenshaw和Brée考虑的类型的主要可逆方阵，从而计数整数的和与距离系统。
2018-06-02 math.NT
A summation of the number of distinct prime divisors of the lcm
令$x$为正整数。给出了$ω(\operatorname{lcm}(m,n))$对所有正整数$m$和$n$与$mn \le x$求和的渐近结果.这回答了最近一篇论文中提出的一个悬而未决的问题。
2021-01-18 math.NT
Practical numbers and the distribution of divisors
如果每个$m\le n$都可以写成$n$的不同约数之和，则整数$n$被称为实用的。正如Margenstern所推测的那样，我们证明了$x$以下的实际数的数量是渐进于$c x/\log x$的。对于$x$以下连续因子的最大比至多为$t$的整数个数，我们给出了一个渐近估计，对$t\ge 2$一致有效.
2015-03-03 math.NT
On the unboundedness of common divisors of distinct terms of the sequence $a_n=2^{2^n}+d$ for $d>1$
众所周知，对于任何不同的正整数$k$和$n$，数$2^{2^k}+1$和$2^{2^n}+1$是互素的。本文考虑了用正整数$d>1$代替1的情形
2016-01-25 math.NT
On the residue class distribution of the number of prime divisors of an integer
{ \em Liouville函数}由$\gl(n):=(-1)^{Ω(n)}$定义，其中$Ω(n)$是$n$计数重数的素除子数。设$\z_m:=e^{2πi/m}$是一个本原$m$ -th单位根.作为Liouville函数的推广，我们研究了函数$\gl_{m,k}(n):=\z_m^{kΩ(n)}$ .利用这些函数的性质，我们给出了$Ω(n)$在剩余类之间的一个弱等分布结果.更正式地说，我们表明，对于任何正整数$m$，存在一个$A>0$，使所有的$j=0,1,...,m-1,$，我们有$$#\{n\leq x:Ω(n)\equiv j (\bmod m)\}=\frac{x}{m}+O(\frac{x}{\log^A x}).$$最佳可能的误差项进行了讨论。特别是，我们表明，对于$m>2$的误差项不是$o(x^\ga)$的任何$\ga<1$。
2009-06-05 math.NT
Newman's conjecture for the partition function modulo integers with at least two distinct prime divisors
本文证明了在素因子个数为d的正整数集合中，满足划分函数Newman猜想的正整数M的密度为1，并将该类猜想推广至弱全纯模形式，应用于t-core划分与广义Frobenius划分。
2025-05-29 math.NT
Greatest common divisors of values of integer polynomials and an application to maximal tori
本文给出计算两个整系数多项式在所有整数点取值的最大公因数的方法，并将其用于确定例外李型群中全部极大环面的初等因子结构。
2023-08-21 math.GR math.NT
On the Common Prime Divisors of Polynomials
具有整数系数的多项式$P$的素因子是$P(x) \equiv 0 \pmod{p}$可解的那些素数$p$。主要结果是：任意几个多项式的公共素除子恰是某个多项式的素除子。将这个结果与Ax的一个定理相结合，我们得到：对于任意整数系数多元多项式方程组$F$，$F$模$p$可解的素数集$p$是某个一元多项式的素因子集.此外，我们证明了多项式的素除子的密度的结果。本文是对代数数论和伽罗瓦论的一个简单介绍。
2020-06-01 math.NT
On the divisors of x^n-1 in F_p[x]
在最近的一篇论文中，我们考虑了整数n，其中多项式x^n - 1在Z[x]中有直到n的每一次因子，并且我们给出了它们分布的上界和下界。本文考虑了多项式x^n-1在F_p[x]中有直到n的每一次因子的情形，其中p是有理数素数。假设广义黎曼假设成立，我们证明了这样的整数n有渐近密度0。
2012-06-15 math.NT
The distribution of divisors of polynomials
设$F(x)$是一个不可约多项式，其系数为整数，次数至少为2。对于$x\ge z\ge y\ge 2$，用$H_F(x, y, z)$表示整数$n\le x$的个数，使得$F(n)$至少有一个除数$d$和$y<d\le z$。我们确定的数量级的$H_F(x, y, z)$一致的$y+y/\log^C y < z\le y^2$和$y\le x^{1-δ}$，表明该顺序是相同的顺序$H(x,y,z)$，在$(y,z]$的除数的正整数$n\le x$的数量。这里$C$是一个任意大的常数，$δ>0$是任意小的常数。
2020-01-24 math.NT
Factorization of Dyck words and the distribution of the divisors of an integer
该研究探讨戴克词$\u27e8\negthinspace\u27e8 n \u27e9\negthinspace\u27e9_\u03bb$的不可约因式分解与整数$n$的除数分布的关联，并给出$\u03bb$-稠密可除数的刻画，拓展了数论与组合字理论的交叉联系。
2023-05-02 math.NT
Binomial coefficients with divisors avoiding an interval
University of Manchester（曼彻斯特大学）；Brigham Young University（杨百翰大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西蒙·斯托伊洛数学研究所）
本文研究了一个关于二项系数是否必须有小于等于n且接近n的除数的五十周年猜想，证明当k足够大时成立，并在广义黎曼假设下证明了当k远小于n时存在反例，从而解决了Erdős和Graham的猜想。
2026-10-01 math.NT
Divisor problem in arithmetic progressions modulo a prime power
本文得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$中整数$n \le x$上除数函数平均值的一个渐近公式，其中$q=p^k$对素数$p\ge 3$和充分大的整数$k$成立.特别地，我们打破了这类公式的经典障碍$q \le x^{2/3}$，推广了R.~ Khan（2015），使其在$k$中统一。
2016-02-11 math.NT
Explicit and Effective Estimates for the error term in the Generalised Divisor Problem
School of Science, UNSW Canberra（新南威尔士大学堪培拉学院理学院）
本文对广义除数问题中误差项Δ_k(x)的误差项进行了显式和有效估计，特别是k在3到9之间的整数，改进了已知显式界限中的x幂次，并提供了推导所有k≥3整数误差项界限的方法。
2026-03-17 math.NT
On the distribution of divisors of monic polynomials over function fields
本文讨论了Laudau著名定理的函数域类似物，Laudau定理计算了具有$t$素因子的整数的个数，R. Hall等人研究了整数因子在剩余类中的分布我们推广Selberg-Delange方法来处理下列问题。给出了次数为$n$的首一多项式具有$t$不可约因子的个数，给出了次数为$n$的首一多项式在某些剩余类中具有$t$不可约因子的个数以及首一多项式的因子的剩余类分布.
2017-09-16 math.NT
A note on the exponential sums of the localized divisor functions
我们证明了与局部$k-$除数函数相关的指数和的上界，即，将正整数$n$写成$k\ge 2$正整数的乘积的方法的计数函数，每个正整数都属于一个指定的区间。特别地，这给出了$k-$除数函数$d_k(n)$的指数和的估计。
2015-12-01 math.NT
Multiplicative structures of values of the sum-of-divisors function
研究了$σ(p^{q-1})=Az$形式的方程，其中$p$是素数，$q$是固定奇素数，$A$是固定整数，$z$是固定有限集中素数组成的整数.我们将改进这类方程解的大小和个数的上界。
2005-12-08 math.NT
