Observability inequality for the wave equation
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文针对波动方程，仅用Carleman估计推导可观测性不等式，为相关研究提供了新的核心工具
2026-08-03 math.AP
Carleman Inequalities for the Heat Equation with Fourier Boundary Conditions: Applications to Null Controllability Problems
本文为带有傅里叶边界条件的热方程建立了卡尔门不等式，并通过耦合抛物方程解决零可控性问题，提出迭代数值方法。
2026-02-17 math.AP math.OC
Discrete Carleman estimates and application to controllability for a fully-discrete parabolic operator with dynamic boundary conditions
考虑一维热传导方程在动态边界条件下的全离散逼近，并给出其能控性结果。这个结果的证明是基于相应的伴随系统的放松的可观性不等式。这是通过对离散参数$h$和$Δt$与大Carleman参数之一相连的模型使用合适的Carleman估计来完成的。
2022-09-28 math.AP math.OC
Carleman inequalities for fractional Laplacians and unique continuation
我们得到了Morrey空间中具有位势的分数阶Schr dinger算子的唯一延拓结果。这是基于分数拉普拉斯算子的Carleman不等式。
2015-03-18 math.AP
Carleman type inequalities for fractional relativistic operators
本文给出了分数阶相对论算子的Carleman估计。我们考虑这种算子的热方程的变号解。证明了某些能量泛函的单调性不等式和凸性，从而得到了具有线性指数权的Carleman估计。我们的方法是基于谱方法和谓词演算。
2022-01-26 math.AP
Fractional powers of the backward heat operator and Carleman type inequalities
本文将反向热算子的分数次幂推导为分数拉普拉斯算子的高维极限，并据此得到该分数次幂的卡尔曼型不等式。
2025-04-16 math.AP
Carleman estimates for the Korteweg-de Vries equation with piecewise constant main coefficient
Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，雅克-路易·利翁斯实验室）
研究具有不连续主系数和界面条件的KdV方程的可观测性，提出新的双参数Carleman估计，应用于局部精确可控性和Lipschitz稳定性反问题。
2026-06-23 math.AP math.OC
Hardy-Carleman Type Inequalities for Dirac Operators
证明了Dirac算子的广义Hardy-Carleman型不等式。新的不等式推导出涉及特定的传统上使用的权函数。特别地，建立了Agmon不等式和Treve型不等式的一个版本.狄拉克粒子在（潜在的）磁场的情况下也被认为是。所使用的方法是直接的，并基于二次型技术。
2015-03-22 math.AP math.SP
Carleman inequalities and unique continuation for the polyharmonic operators
我们得到了多重调和算子的带权$e^{v\cdot x}$的$L^p-L^q$ Carleman估计的一个完整的刻画.本文的结果推广了Kenig-Ruiz-Sogge关于Laplacian算子的Carleman不等式.从而放松解空间的可积性假设，得到了高阶薛定谔方程新的唯一连续性质。
2022-08-21 math.AP math.CA
Discrete Carleman estimates and three balls inequalities
我们证明了离散磁薛定谔算子的对数凸性估计和三球不等式。这些定量连接的离散设置中，唯一的连续属性失败和连续设置中，唯一的连续属性是已知的适当的规律性假设下举行。作为一个关键的辅助结果，这可能是独立的利益，我们提出了一个Carleman估计这些离散算子。
2021-01-26 math.AP
Carleman estimates and controllability results for fully-discrete approximations of 1-D parabolic equations
本文证明了抛物型算子全离散逼近的Carleman估计，其中离散参数$h$和$\triangle t$与大Carleman参数有关.我们使用这个估计得到放松的可观性不等式产生，对偶，可控性结果的完全离散的线性和半线性抛物型方程。
2020-12-03 cs.NA math.AP math.NA
A Carleman estimate and an energy method for a first-order symmetric hyperbolic system
本文针对一阶对称双曲系统，在系数矩阵满足正性条件时建立Carleman估计，并由此导出由边界数据观测初值的$L^2$可观测性估计。
2021-10-24 math.AP
Observability inequalities for degenerate transport equations
本文证明了一类退化迁移方程的一个能观性不等式。首先对退化方程引入一个时间上的局部Carleman估计，然后利用能量估计得到一个时间上的全局能观性不等式。
2021-07-26 math.AP
Observability estimate for the wave equation with variable coefficients
本文研究变系数波动方程$(h^{jk}(x))_{n\times n}$（$n\in\mathbb{N})$）的可观测性估计。我们考虑观察点位于域外和观察点位于域内。基于超双曲算子的Carleman估计和对观测区域的精细处理，我们得到了两个具有显式可观测常数的可观测性估计。主要改进包括：（1）我们改进了等待时间$T$的要求;（2）我们改进了观察区域的大小（参见图1和图2中的$(h^{jk}(x))_{n\times n}=I_n)$的情况）。
2021-12-17 math.AP math.OC
Carleman estimate for full-discrete approximations of the complex Ginzburg-Landau equation with dynamic boundary conditions and applications to controllability
本文为带动态边界条件的一维Ginzburg-Landau方程全离散逼近建立离散Carleman估计，进而推导松弛可观测性不等式，最终证明其可控性。
2025-03-26 math.AP
Observability properties of the singular Grushin equation
CEREMADE, Université Paris-Dauphine PSL, CNRS UMR 7534（巴黎第九大学 PSL 研究数学与决策中心）；Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
本文研究了带有反平方势的Grushin方程的可观察性性质，并发现其最小观测时间依赖于奇性的维度。
2026-09-23 math.AP math.OC
Observability on lattice points for heat equations and applications
在格点上建立了全空间中具有位势的热方程非负解的能观性不等式。作为应用，利用上述能观性不等式得到了热方程的一些能控性结果。
2018-12-02 math.AP math.OC
A Carleman estimate for the fractional heat equation and its application in final state observability
本文给出了非局部热方程的整体Carleman估计。更精确地说，设$Ω\subset\RR^d$是一个有界域，而$\CO\subsetΩ$是一个开子域，$s\in(0,1)$。我们表明，存在常数$C_1,C_2,r_0, T_0>0$和一个权重函数$α:Ω\to(0,\infty)$，使任何解决方案$u$ %考虑以下系统% \begin{eqnarray}\label{oben1} \left\{ \begin{array}{rcl} \timed u(x,t)+(-\De)^s u (x,t) &=&f(x,t) \quad\mbox{for}\quad (x,t)\in \Om \times (0,\infty), \\ u(x,t) &=& 0 \quad\mbox{for}\quad(x,t)\in \partial \Om \times (0,\infty), \end{array}\right. \end{eqnarray}满足所有$r\ge r_0$和$T>0$ \begin{eqnarray}\label{Carle} % \lefteqn{ \int_0^T\Big[ \int_\Om e^{-2r\frac {α(x)}{t(T-t)}} |f(x,t)|^2\,dx+C_1\int_\CO e^{-2r\frac {α(x)}{t(T-t)}} \frac {r…
2020-04-19 math.AP
Critical time for the observability of Kolmogorov-type equations
研究了一类具有二次退化的二维Kolmogorov型方程的能观性。我们给出了临界时间的上界。这些界限在对称设置中重合，在这些情况下给出尖锐的结果。证明是基于Carleman估计和一个家庭的非自伴薛定谔算子的谱性质，特别是本地化的第一个本征值和Agmon型估计相应的本征函数。
2020-06-02 math.AP math.OC math.SP
The Variable Coefficient Thin Obstacle Problem: Carleman Inequalities
在这篇文章中，我们提出了一种新的策略解决（变系数）薄障碍问题。我们的方法是基于（可变系数）Carleman估计。这产生半连续的消失顺序，下和一致的上增长界的解决方案和足够的紧凑性，以进行爆破过程。此外，Carleman估计意味着沿某些序列存在齐次爆破极限，并最终导致一个几乎最优的正则性声明。由于它是一个非常强大的工具，它允许我们考虑在设置Sobolev度量的问题，即系数仅为$W^{1,p}$规则的一些$p>n+1$。这些结果为我们进一步分析自由边界、解的最优（$C^{1,1/2}$ -）正则性和解在正则自由边界的一阶渐近展开提供了基础，这将在后续文章中在$W^{1,p}$，$p>2(n+1)$，正则系数的框架内进行。
2015-05-29 math.AP
Observability inequalities for the heat equation with bounded potentials on the whole space
本文建立了全空间上有界位势热方程的一个能观性不等式。粗略地说，这样一种不等式是说，解的总能量可以由局域在子域中的能量控制，而子域在整个空间上是均匀分布的。该不等式的证明主要借鉴了抛物频率函数法，该方法在证明抛物型方程解的唯一连续性方面起着重要作用。作为一个直接的应用，我们证明了零能控性对整个空间上具有有界位势的热方程成立。
2019-10-10 math.AP math.OC
Carleman estimates for parabolic equations with interior degeneracy and Neumann boundary conditions
本文考虑了一个在空间域内部具有退化项和Neumann边界条件的抛物问题。特别是，我们将专注于适定性的问题和Carleman估计相关的伴随问题。本论文的新颖之处在于，第一次被认为是一个内部退化和Neumann边界条件的问题，使以前的结果可以适应这种情况。因此，建立了新的可观性不等式。
2017-12-19 math.AP
Observability inequalities for heat equations with potentials
本文研究时变 Lipschitz 位势热方程的能观性不等式，利用位势的空间与时间正则性改进 Carleman 常数，并导出零能控性的定量正则控制及一维最优常数。
2025-07-27 math.AP math.OC
A weighted identity for stochastic partial differential operators and its applications
本文建立了一类随机偏微分算子（具有复主部）的逐点加权恒等式。该恒等式为研究某些确定性/随机偏微分方程的能控性、能观性和逆问题提供了统一的方法。基于这个恒等式，我们可以推导出一些确定性偏微分方程、随机热方程、随机薛定谔方程和随机输运方程的所有已知Carleman估计和能观性结果.同时，作为其新的应用，我们研究了线性随机复Ginzburg-Landau方程的反问题。
2015-08-20 math.AP math.OC
Observability Inequalities and Measurable Sets
本文给出了$Ω\times(0,T)$上热方程的两个能观性不等式.在第一种情况下，观察来自$Ω\times(0,T)$中的正测度子集，而在第二种情况下，观察来自$\partialΩ\times(0,T)$中的正表面测度子集。证明了当$Ω$是有界Lipschitz局部星形区域时的Lebeau-Robbiano谱不等式.给出了上述能观性不等式的一些应用。
2013-06-12 math.AP
Controllability of a simplified time-discrete stabilized Kuramoto-Sivashinsky system
本文研究了时间离散的四阶和二阶抛物型方程耦合系统的能控性和能观性。该系统可以看作是著名的稳定Kumamoto-Sivashinsky方程的简化。与连续情形不同，我们只能证明一个松弛的能观性不等式，它给出了一个$ϕ(\triangle t)$ -能控性结果。该结果表明，我们不能精确地达到零，而是当离散化参数$\triangle t$变为0时，其大小变为0的小目标。证明依赖于一个已知的Carleman估计的二阶时间离散抛物型算子和一个新的Carleman估计的时间离散四阶方程。
2021-03-23 math.AP
Interior control of waves on time dependent domains
得到了不定常域上波动方程的一个新的内部控制结果。这是通过推导一个合适的Carleman估计和证明相应的可观性不等式。本文考虑具有不定常低阶系数的波动方程，不作任何时间解析性假设。此外，我们得到改进的控制区域相比，标准的Carleman方法。
2022-07-26 math.AP
Hidden Boundary Trace Regularity and an Observability Estimate with Interior Remainder for Boundary-Degenerate Hyperbolic Equations
本文研究了二维退化双曲方程的隐边界迹正则性，建立了加权Sobolev空间中的well-posedness，并证明了法向导数的L^2迹估计。通过适应各向异性退化的Carleman权重，推导出具有低阶内部余项的长时间观测估计，同时识别了临界阈值处的框架级障碍。
2026-05-02 math.AP math.OC
Inverse Observability Inequalities for Integrodifferential Equations in Square Domains
在本文中，我们将考虑振动的正方形粘弹性膜添加到波动方程的另一项，其中考虑到记忆。为此，我们将研究一类正方形区域上的积分微分方程。利用积分微分算子谱性质的精确估计，我们将证明一个逆能观性不等式。
2017-04-07 math.AP
Comments on observability and stabilization of magnetic Schr{ö}dinger equations
我们主要的兴趣是将薛定谔方程的可观测性不等式和稳定性的已知结果推广到磁薛定谔方程.这是在磁势存在的情况下。在与Schr{<$}dinger方程相同的几何条件下，通过推广通常的乘子方法，建立了系统的能观性不等式和指数镇定.我们还证明，椭圆Carleman不等式的帮助下，对数稳定的结果，通过预解估计。虽然这种方法是经典的，但这些关于对数稳定化的结果即使对于薛定谔方程也是新的。
2019-09-02 math.AP
Observability and unique continuation inequalities for the Schrödinger equations with inverse-square potentials
该研究将自由 Schrödinger 方程的能观性与唯一延拓不等式推广到半轴上的反平方势情形，并利用解表示、Hankel 变换不确定性原理及紧支集插值不等式完成证明。
2023-10-31 math.AP
Exact Controllability for Stochastic Transport Equations
本文研究了随机迁移方程的精确能控性问题，通过对漂移项施加边界控制和对扩散项施加内部控制来实现.通过对偶性论证，该能控性问题可化为倒向随机迁移方程的能观性问题，并通过一个新的整体Carleman估计得到所需的能观性估计.此外，我们提出了一些结果缺乏精确可控性，这表明两个控制的行动是必要的。在某种程度上，这表明随机偏微分方程的可控性问题不同于确定性偏微分方程。
2013-10-21 math.AP math.OC
A unified approach to solving some inverse problems for evolution equations by using observability inequalities
本文综述了近年来关于发展方程反问题的一些结果。其目标是提供一个统一的方法来解决各种类型的发展方程。我们考虑的反问题包括通过改变初始条件从边界测量确定未知系数。基于可观测性不等式和一个特殊的初始条件的选择，我们提供了唯一性和稳定性估计的恢复体积和边界低阶系数的波动和热方程。这里给出的一些结果比它们的原始版本略有改进。
2019-12-06 math.AP
Carleman estimate and application to an inverse source problem for a viscoelasticity model in anisotropic case
考虑一个具有记忆项的各向异性双曲型方程：$$ \partial_t^2 u(x,t) = \sum_{i,j=1}^n \partial_i(a_{ij}(x)\partial_ju) + \int^t_0 \sum_{| α| \le 2} b_α(x,t,η)\partial_x^αu(x,η) dη+ F(x,t) $$对于$x \in Ω$和$t\in (0,T)$或$\in (-T,T)$，这是一个粘弹性模型方程。首先，我们建立了一个Carleman估计这个方程的超定边界数据上一个合适的横向子边界$Γ\times (-T,T)$。其次，在假设$\partial_tu(\cdot,0) = 0$和$T>0$充分大，$Γ\subset \partialΩ$满足一定几何条件下，利用Carleman估计建立了由$\partial_νu|_{Γ\times (0,T)}$对$| u(\cdot,0)|_{H^3(Ω)}$的双侧估计.这种估计是一种能观性不等式，与精确能控性有关。最后，我们将Carleman估计应用于确定$F(x,t)$中空间变化因子的反源问题，并建立了双边Lipschitz稳定性估计.
2017-01-11 math.AP
Observability of the heat equation, geometric constants in control theory, and a conjecture of Luc Miller
本文首先研究了有界区域$M$的子域$ω$上热方程的短时能观常数。该常数的形式为$e^{\frac{K}{T}}$，其中$K$仅取决于$M$和$ω$的几何形状。Luc Miller（JDE，2004）证明$K$（普遍）与从$ω$到$M$的一点的最大距离的平方成比例。我们在特定的几何形状，$K$可能会像$|\log(r)|^2$爆炸时，$ω$是一个球的半径$r$，从而反驳了猜想。然后，我们证明在一般情况下，相关的上界这个爆破。我们还证明了该猜想对热方程的正解是成立的。证明依赖于本征函数（和）的最大消失率的研究。他们也产生了其他几何常数的下限和上界隧道常数或近似控制成本。作为中间步骤的证明，我们提供了一个统一的Carleman估计Lipschitz度量。后者也意味着一致的谱不等式和可观性估计的热方程在一个有界类的Lipschitz度量，这是独立的利益。
2018-06-04 math.AP math.OC
Characterizations of complete stabilizability
我们通过一些弱可观测性不等式给出了控制系统$[A,B]$完全可镇定性的几个特征，即，$y'(t)=Ay(t)+Bu(t)$，$t\geq 0$，其中$A$生成Hilbert空间$X$上的$C_0$ -半群，$B$是从另一个Hilbert空间$U$到$X$的线性有界算子。然后，我们在两个方向上扩展了上述特征：第一，控制算子$B$是无界的;第二，控制系统是时间周期的。从谱投影的角度给出了弱能观性不等式成立的充分条件。作为应用，我们给出了几个例子，它们不是零能控的，但可以通过弱能观性不等式证明是完全能镇定的。
2022-01-07 math.AP math.OC
Observability for wave equations with critically singular potentials
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
本文针对带有临界奇异势的波动方程，结合全局Carleman估计，在满足凸性条件的有界区域上证明了适用于所有维度的边界可观测性估计。
2026-09-21 math.AP
Observability and Null Controllability for Parabolic Systems with Delay and Memory
Indian Institute of Space Science and Technology（印度空间科学与技术学院）
本文研究了同时包含记忆和延迟效应的发展方程的零能控性问题，采用延迟与记忆型零能控性概念，利用对偶论证、Carleman估计和移动控制策略推导出实现能控性的充分条件，并通过数值模拟验证了理论结果。
2026-10-06 math.AP math.OC
Uncertainty principle, minimal escape velocities and observability inequalities for schrödinger equations
我们发展了一个新的抽象推导薛定谔型方程在两个时间点的可观测性不等式。我们的方法包括两个步骤。第一步证明了$L^2(\mathbb{R}^n)$上与非负自伴算子$H$相关联的Nazarov型测不准原理。在第二步中，我们使用$e^{-itH}$的渐近行为的结果，特别是，最小的速度估计介绍了Sigal和Soffer。这种可观测性不等式与薛定谔方程的唯一延拓问题以及可控性密切相关。
2019-11-06 math-ph math.AP math.MP
Heat equation on the Heisenberg group: observability and applications
本文研究了矩形区域$$Ω= (-1,1)\times\mathbb{T}\times\mathbb{T}$$上Heisenberg热方程的可观测性和Lipschitz稳定性，以$-1<a<b<1$为观测区域，观测区域为$ω=(a,b) \times \mathbb{T} \times \mathbb{T}$或管$ω= (a,b) \times ω_y \times \mathbb{T}$.我们证明了对于任意时间$T>0$可观测性失效，但在正的最小时间之后可观测性和Lipschitz稳定性都成立，这取决于$ω$与$Ω$边界之间的距离：$$T_{\min} \geqslant \frac{1}{8} \min\{(1+a)^2,(1-b)^2\}.$$我们的证明遵循一种混合策略，该策略结合了Lebeau和Robbiano的方法，该方法依赖于傅立叶分解，与Carleman不等式的热方程，解决了傅立叶模式。我们扩展到无界域$(-1,1)\times\mathbb{T}\times\mathbb{R}$的分析。
2021-04-06 math.AP
Quantitative unique continuation for parabolic equations with Neumann boundary conditions
本文建立了有界区域上具有Neumann边界条件的抛物型方程解在一时刻唯一连续的全局定量估计。我们的证明主要基于Carleman交换子估计和一个全局频率函数参数，这是从最近的工作[5]中得到的。作为应用，我们得到了上述方程的所有解在时间上的可测集的可观测性不等式。
2022-02-21 math.AP math.OC
Controllability of parabolic equations with inverse square infinite potential wells via global Carleman estimates
Queen Mary University（伦敦玛丽女王大学）；Brown University（布朗大学）
本文通过全局Carleman估计，首次在多维空间中解决了抛物方程在逆平方无限势阱中的可控性问题。
2025-03-10 math.AP
Inverse coefficient problem for Grushin-type parabolic operators
Imanuvilov和Yamamoto在1998年提出的基于Carleman估计的一致抛物型方程的Lipschitz稳定性方法，似乎很难应用于本文所研究的Grushin型算子的情形.事实上，这样的估计仍然缺少抛物算子退化的内部空间域。然而，我们能够证明Lipschitz稳定性结果的反系数问题，这样的运营商，在任意空间维度的局部分布的测量。为此，我们遵循的策略，结合傅立叶分解和Carleman不等式的某些热方程的非光滑系数（解决的傅立叶模式）。
2013-12-08 math.AP math.OC
Sharp integral inequalities for harmonic functions
受Carleman等周不等式证明的启发，本文研究了上半空间上关于调和函数的一些尖锐的积分不等式.我们还得到了相应积分系统非负解的正则性和Liouville型定理。
2006-11-11 math.AP math.FA
Quantitative estimates for the forced Navier-Stokes equations and applications
University of Bath（巴斯大学）
本文通过局部化和Carleman不等式，对强制纳维-斯托克斯方程的临界解进行定量估计，并应用于布西尼塞方程的爆炸率分析。
2026-02-10 math.AP
Local exact controllability for the 2 and 3-d compressible Navier-Stokes equations
本文的目的是给出二维和三维可压缩Navier-斯托克斯方程在定常目标轨迹上当控制作用于整个边界时的局部精确能控性结果。然后，我们的研究是基于一些线性化版本的系统，这是由于一个子系统的耦合项有点弱的分析伴随系统的可观性。在这一步中，我们在负索伯列夫空间中强烈使用Carleman估计。
2015-12-21 math.AP math.OC
Control of waves on Lorentzian manifolds with curvature bounds
本文证明具有曲率界的洛伦兹流形上波动方程的边界可控性，通过新颖的全局Carleman估计获得可观测性不等式及唯一延拓结果，并应用于反问题。
2021-12-17 math.AP
Observability Inequalities and the Logvinenko--Sereda Theorem for the Dunkl Transform
School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）；School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University（贵州师范大学数学科学学院）
本文针对Dunkl热方程建立了可观测性、Hölder型插值及谱不等式的等价性，并给出了Bernstein不等式与谱常数为$e^{C(1+N)}$的Logvinenko--Sereda定理。
2026-09-25 math.AP
An inverse Cauchy problem of a stochastic hyperbolic equation
本文研究随机双曲型方程的反柯西问题，利用 Carleman 恒等式建立观测性估计并构造 Tikhonov 型泛函求正则化近似，结合核学习理论提出数值重构算法，实验验证了其可行性与准确性。
2024-10-16 math.AP
Quantitative observability for the Schrödinger equation with an anharmonic oscillator
本文针对具有非谐振子势的薛定谔方程，构造了短时间区间上的定量可观测性不等式，给出观测常数的显式表达，并通过谱不等式、唯一紧性论证及 Szegö 极限定理刻画了可观测集合的几何特征。
2025-01-02 math.AP math.OC
Control of Kawahara equation using flat outputs
本研究针对有界域线性Kawahara方程，采用平坦性方法在解析函数空间内实现精确可控性，为高阶色散系统的控制提供了新路径。
2024-07-15 math.AP math.OC
Three-region inequalities for the second order elliptic equation with discontinuous coefficients and size estimate
本文给出了具有跳跃间断系数的二阶椭圆型方程解的一个定量的唯一性估计，即三区域不等式。不等式的推导依赖于我们以前工作中证明的Carleman估计。然后，我们应用三区域不等式研究了具有一个边界测量的尺寸估计问题。
2015-09-20 math.AP
Analyticity and observability for fractional heat equation on $\mathbb{R}^n$
本文研究了具有解析低阶项的分数阶热方程解在全空间上的定量空间解析界和唯一延拓不等式。首先，我们证明了该方程的解在任何时候都有一个一致的正解析半径，并且当系数是超解析的时，该方程的解有一个对数型超解析界。其次，我们证明了厚集上的一个Hölder型插值不等式，它与系数的解析半径有显式的依赖关系。最后，利用伸缩级数方法，建立了厚集的可观测性不等式。作为证明的副产品，我们得到了加权空间中的厚集的古典热方程的低阶项的可观测性不等式。
2021-08-23 math.AP
A new family of sharp conformally invariant integral inequalities
证明了$n$维单位球上函数的一类单参数锐积分不等式。这些不等式是共形不变的，并且对于与常数函数等价的函数，在共形变换下得到了尖锐常数。作为一个极限情形，我们得到了一个不等式，它把平面上的调和函数的Carleman不等式推广到高维上的多调和函数.
2012-01-30 math.AP math.CA math.FA
