A note on subgroup commutativity degrees of finite groups
Marius Tărnăuceanu
本文给出了有关有限群$G$的子群交换度的一些新结果。这些都是通过考虑$G$所有截面的子群交换度的最小值得到的。
In this note we give some new results concerning the subgroup commutativity degree of a finite group $G$. These are obtained by considering the minimum of subgroup commutativity degrees of all sections of $G$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Finite groups with two relative subgroup commutativity degrees
本文证明了存在无穷多个具有两个相对子群交换度的有限群。给出了有限群至少有三个相对子群交换度的充分条件，证明了$D_6$是唯一具有两个相对交换度的有限二面体群.最后，我们研究了包含有限群的所有子群交换度的集合的稠密性。
Relative cyclic subgroup commutativity degrees of finite groups
本文引入并研究了有限群的相对循环子群交换度。证明了存在一个有限群的$n$度满足$n$的交换度，并给出了一类相对循环子群交换度较少的有限群。利用这个新概念，我们能够证明包含有限群的所有循环子群交换度的集合在$[0, 1]$中是不稠密的.
Addendum to "Subgroup commutativity degrees of finite groups" $\left[\text{J. Algebra 321 (2009), 2508-2520}\right]$
我们指出了有限群的子群交换度概念的自然推广，并列出了关于这些新概念的公开问题。
Cyclic subgroup commutativity degrees of finite groups
本文引入并研究了有限群$G$的循环子群交换度的概念。这个量测量$G$的两个随机循环子群交换的概率。对于某些特殊的群类，得到了显式公式。给出了有限群是岩泽群的一个判别准则。
The subgroup commutativity degree of finite P-groups
群G的子群交换度在[6]中被定义为G的两个子群交换的概率，或者等价地，两个子群的乘积又是一个子群。[6]的问题4.3问是否存在除二面体、拟二面体或广义四元数（均为2次幂基数）之外的群族，当群的大小趋于无穷大时，其子群交换度趋于0。Aivazhoun [1，2]对偶特征域上的射影特殊线性群族和单Suzuki群族给出了肯定的回答。在这个简短的说明中，我们指出了具有这个性质的另一族群，即有限P-群。
Higher commutativity and nilpotency in finite groups
考虑生成幂零子群的有限群中的有序元组。给定一个整数$q$，我们考虑类小于$q$的幂零子群的偏序集及其相应的陪集偏序集.这些偏序集产生了一族由幂零子群类参数化的有限狄利克雷级数，这反过来又反映了由这些子群确定的概率和拓扑不变量。讨论了这些级数与群的分类空间的滤子的关系。
On some probabilistic aspects of (generalized) dicyclic groups
本文研究了（广义）双循环群的子群交换度和循环子群交换度等概率性质。我们发现明确的公式，这些概念，我们提供了另一个例子的一类群体的（循环）子群交换度渐近消失。
Considerations on the subgroup commutativity degree and related notions
有限群$G$的子群交换度的概念近年来在群论的几个领域引起了人们的兴趣，因为它给出了随机选取的$G$的子群对$(H,K)$满足条件$HK=KH$的概率的度量。本文研究了一个更强的概念，并找到了它与交换度的关系。
Subgroup S-commutativity degrees of finite groups
本文推广了有限群的子群交换度$sd(G)$，通过考察子群格$\mathrm{L}(G)$的合适子格来衡量群距离拟哈密顿群分类的程度，并展示了新的下界。
Probabilistic aspects of ZM-groups
本文研究了ZM-群的（循环）子群交换度和（循环）分解数等概率性质。我们表明，这些数量可以计算使用这些群体的共轭类的大小。最后指出一类群的（循环）子群交换度渐近为零。
Some bounds on commutativity degree
有限群$G$的子群$H$的相对交换度，记作$\Pr(H, G)$，是$G$的一个元素与$H$的一个元素交换的概率。本文给出了$\Pr(H, G)$的上、下界及其推论。我们还研究了$\Pr(H, G)$及其推广在群偶等倾下的不变性。
Minimal non-Iwasawa finite groups
本文首先给出极小非Iwasawa有限群的结构。然后确定了模的极小非Iwasawa有限群。另外，我们还发现了极小非Iwasawa有限群与子群交换度之间的联系，并给出了一类非幂零模有限群$G_n$，$n\in\mathbb{N}$的例子，当$n$趋于无穷大时，其子群交换度趋于$1$.
The degree of commutativity and lamplighter groups
一个群$G$的交换度度量了在$G$中选择两个元素交换的概率。对于有限群，已有许多结果研究这一问题。在[AMV 17]中，这被推广到无限群。本文计算了形式为$\mathbb{Z}\wr \mathbb{Z}$和$F\wr \mathbb{Z}$的圈积的交换度，其中$F$是任意有限群.
Weak commutativity and finiteness properties of groups
我们考虑从$G\ast G$得到的群$\mathfrak{X}(G)$，通过迫使第一自由因子中的每个元素$g$与第二自由因子中的$g$的副本交换。从这个结构中产生了看似复杂的双表示群：$\mathfrak{X}(G)$是双表示的当且仅当$G$是双表示的，但是如果$F$是有限秩的非阿贝尔自由群，那么$\mathfrak{X}(F)$有一个有限指数的子群，其第三同调不是双生成的。
Factorization number and subgroup commutativity degree via spectral invariants
本文利用子群不可置换图的邻接矩阵与拉普拉斯矩阵建立新的组合公式，从而用谱不变量表示有限群的因子分解数和子群交换度。
Finiteness conditions for the weak commutativity construction
同构群$G$和$G^{φ}$之间的弱交换性算子$χ$由Sidki引入为\begin{equation*} χ(G)=\left\langle G \cup G^{φ}\mid \lbrack g,g^{φ}]=1\,\forall \,g\in G\right\rangle \text{.} \end{equation*}。已知算子$χ$保持群的性质，如有限性、可解性以及对于有限生成群的幂零性。证明了：若$G$是一个局部有限群，且有$exp(G)=n$，则$χ(G)$是局部有限的，且有有限的$n$ -有界指数.进一步，我们研究了子群$D(G) = \langle [g_1,g_2^φ] \mid g_i \in G\rangle \leqslant χ(G)$在集合$\{[g_1,g_2^φ] \mid g_i \in G\}$中的有限性准则。
Commutativity of involutive two-valued groups
本文证明了任意对合二值群均具备可交换性，从而使得此前依赖交换性假设的二值群分类结果（含有限生成情形的完整分类）在无该假设下依然成立。
On the Bieri-Neumann-Strebel-Renz invariants of the weak commutativity construction $\X(G)$
对于一个弱生成群$G$，我们计算了弱交换性构造$\X(G)$的Bieri-Neumann-Strebel-Renz不变量$Σ^1(\X(G))$.识别$S(\X(G))$与$S(\X(G) / W(G))$，我们显示了当$W(G)$被逆生成时是相等的$Σ^2(\X(G),\Z) \subseteq Σ^2(\X(G)/ W(G),\Z)$和$Σ^2(\X(G)) \subseteq $ $ Σ^2(\X(G)/ W(G))$，并且我们根据$G$的$Σ$不变量明确地计算了$Σ^2(\X(G)/ W(G),\Z)$和$ Σ^2(\X(G)/ W(G))$。我们完全计算了群$ν(G)$的1维和2维$Σ$ -不变量，并证明了如果$G$是n维生成群，其换位子群是n维的，则非交换张量平方$G \otimes G$是n维的.
Group Partitions via Commutativity and Related Topics
设$G$为非阿贝尔群，$A\subseteq G$为阿贝尔子群，$n\geqslant 2$为整数。我们说$G$具有关于$A$的$n$ -阿贝尔划分，如果存在$G$的$A$和$n$不相交的交换子集$A_1, A_2, \ldots, A_n$的划分，使得对于每个$i=1, 2, \ldots, n$都有$|A_i|>1$.我们首先分类所有nonabel群，同构，其中有一个$n$ -阿贝尔分区$n=2, 3$。然后，我们给出了与某些有限群相关的交换图的生成树个数的计算公式。最后给出了求某些特定群的交换图的生成树个数的方法。
A Note on Parabolic Subgroups of a Coxeter Group
本文证明了Coxeter群的任意子集的抛物闭包是一个抛物子群。为了得到这一结论，建立了关于抛物子群根系的几个技术引理。
Commutativity theorems for groups and semigroups
本文证明了各类半群的交换性定理的一个选择。例如，如果在一个分离的或完全正则的半群$S$中，我们有$x^p y^p = y^p x^p$和$x^q y^q = y^q x^q$，对于所有的$x,y\in S$，其中$p$和$q$是互质的，那么$S$是交换的。在分离半群或逆半群$S$中，如果存在三个连续的整数$i$使得对所有$x,y\in S$都有$(xy)^i = x^i y^i$，则$S$是交换的。最后，如果$S$是一个对所有$x,y\in S$都满足$(xy)^3=x^3y^3$的分离或逆半群，且立方映射$x\mapsto x^3$是内射的，则$S$是交换的.
A Note on Hyperbolically Embedded Subgroups
设$G$为群，$H$为$G$的子群。本文在Bowditch关于相对双曲群的方法的基础上，用精细图的方法给出了双曲嵌入子群的一个等价定义。
A note on subgroup coverings of finite groups
本文确定了可表示为任意三个非冗余/相异真子群之并的有限群。刻画了可唯一地写成三个真子群之并的有限群。
A note on subgroups of the Loch Ness Monster Surface's Mapping Class Group
本文给出了一个初等证明，证明了每一个可数群都是尼斯湖水怪曲面的映射类群的子群。
Detecting laws in power subgroups
一个群律在幂子群中是可检测的，如果对于所有互质的$m$和$n$，一个群$G$满足该群律当且仅当幂子群$G^m$和$G^n$都满足该群律。我们证明了对所有正整数$c$，幂子群中至多$c$的类的幂零性是可检测的，$k$至多4的$k$ -Engel定律也是可检测的。相反，幂子群的可检测性对于给定导出长度的可解性是失败的：我们构造一个有限群$W$，使得$W^2$和$W^3$是亚阿贝尔群，但$W$具有导出长度$3$。我们分析的复杂性的可检测性的交换性的幂子群，在有限的介绍，编码证明的结果。
A note on approximate subgroups of GL_n(C) and uniformly nonamenable groups
本文的目的是给出Hrushovski关于GL_n（C）的近似子群几乎幂零的一个定理的另一个证明。这种方法推广到一致非顺从群。
Notes on relatively hyperbolic groups and relatively quasiconvex subgroups
本文定义了Osin意义下的相对双曲群的相对拟凸子群，并证明了这类子群具有期望的性质。同时给出了与Osin意义下相对双曲群定义等价的几个定义。
A note on maximal subgroups of countable groups
本文证明任意可数群的极大子群集合的基数只能是可数或 $2^{\aleph_0}$，解决了该集合基数的二分性问题。
A note on groups with the minimal conditions for nonabelian and abelian subgroups
本文给出了局部有限群上的Shunkov定理的一个新的证明，同时也给出了Shunkov群上的Suchkova-Shunkov定理的一个推广.
A note on the supersolvability of a finite group with prime index of some subgroups
本文证明了群$G$是超可解的当且仅当对任意素数$p\in π(G)$，存在一个指数为$p$的超可解子群.
A note on the Triple Product Property subgroup capacity of finite groups
在群论快速矩阵乘法的背景下，TPP容量被用来限制矩阵乘法的指数$ω$。本文证明了有限群的TPP子群容量的一个新的更尖锐的上界
A note on cyclic semiregular subgroups of some 2-transitive permutation groups
本文确定了2-传递置换群PGL（2，n），PSL（2，n），PGU（3，n），PSU（3，n），Sz（n）和Ree（n）的半正则子群，其中n是素数p的适当幂.
A note on invariant transversals for normal subgroups
本文研究了有限群中阿贝尔正规子群的不变横截面存在性，并给出了相关猜想的反例。
A note on torsion length and torsion subgroups
本文通过构造具有任意挠长的polycyclic群及挠子群商群非有限展示的有限展示群示例，解答了Kourovka笔记本中的两个问题。
A note on maximal subgroups of free idempotent generated semigroups over bands
证明了带B上的自由幂等元生成半群的所有极大子群对于属于带簇V的所有B都是自由的当且仅当V由左正规带或右正规带组成.
A note on nilpotent subgroups of automorphism groups of RAAGs
我们观察到直角Artin群的自同构群包含幂零的非交换子群，即$H_3(\mathbb{Z})$三维整数海森堡群，只要它们允许某种类型的元素，称为相邻transvection。这是Charney-Vogtmann的一个结果的（小）推广。
Geometric presentations for Thompson's groups
证明了Thompson群$F$和$V$分别是结合性几何群和结合性与交换性的几何群.我们推导了$F$和$V$的新表示式。这些介绍导致考虑$V$的某个亚组和该亚组的扩展。我们证明，后者是几何群的结合连同法律$x(yz) = y(xz)$，结合连同扭曲版本的这个法律涉及自分配，分别。
A note on groups with self-normalizing cyclic subgroups
本文证明了：若群$G$的所有非平凡循环子群都是自正规的，且$G$对所有非平凡元素$x$和$y$都满足蕴涵$$ \ o(x)\neq o(y)\Rightarrow o(xy)\neq o(x), o(y), $$，则$G$是$p$ -群或单群.
A note on finite groups with few conjugacy classes of subgroups
该研究基于有限群\(G\)的子群共轭类数量\(Con(G)\)给出其可解性条件，对\(Con(G)\leq5\)的有限群分类，并给出\(A_5\)新特征。
A note on conjugacy problem for finite Sylow subgroups of infinite linear groups
本文证明了在存在至少一个有限Sylow 2-子群的条件下，伪有限$\mathfrak{M}_c$群中Sylow 2-子群的共轭性，并通过Platonov的反例说明伪有限性假设不可或缺。
A note on the normal subgroup lattice of ultraproducts of finite quasisimple groups
在[A. Stolz和A. Thom，On the lattice of正规子群in ultraproducts of compact simple groups，PLMS 108（1），2014]指出有限单群的超积的正规子群的格总是线性有序的。在这种形式下，对于李型的典型群，这在大多数情况下是错误的。我们纠正的声明，并指出一个版本的“相对”有界生成结果的经典quasisimple群及其影响的结构上的格的正规子群的超积quasisimple群。
A note on blocks of finite groups with TI Sylow $p$-subgroups
本文针对特征零代数闭域上的有限群块，构造了一个函子等价但不完全等距的具体例子，从而说明函子等价并不蕴含完全等距。
A note on the number of cyclic subgroups of a finite group
设$G$是一个有限群，$L_1(G)$是它的循环子群的偏序集，并考虑数量$α(G)=\frac{|L_1(G)|}{|G|}$ .研究了具有$α(G)=\frac{3}{4}$的有限幂零群类$\cal{C}$.证明了如果$G$属于这个类，则它是满足一定条件的2-群.同时，我们还研究了几类有限群在$\cal{C}$上的显形.
Centralizers and classifying spaces for commutativity of $SL_2(\mathbb{Z}[1/p])$
该研究计算了$SL_2(\boldsymbol{\text{Z}}[1/p])$在两种拓扑下的交换分类空间同伦型，利用几何群论明确其极大阿贝尔子群为非中心元素的中心化子，推进了群的拓扑分类研究。
A note on right-angled Artin subgroups of one-relator groups
本文通过基本的Bass-Serre理论和一个关系群的经典性质，证明了当右角艺术群嵌入到一个一个关系群中时，Γ是一个有限森林。
A note on abelian subgroups of maximal order
在第一作者和我最近的一篇论文中，M. Isaacs证明了：如果m = m（G）是有限群G的交换子群的极大序模，则|G|整除m！（[A118，Thm. 5.2]）。这篇简短的笔记的目的是改进M！（见定理2.1）。然后，我们将承担确定我们定理的（隐式）不等式何时变成等式的任务。尽管表面上看来，这种决心可能并不微不足道。为了实现这一点，我们将建立一个独立的结果（定理2.3），然后我们将看到定理2.1和2.3结合起来进一步加强定理2.1（见定理3.4）。
A note on characterized and statistically characterized subgroups of $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$
本文针对圆群的特征化子群与统计特征化子群问题，给出了比已有结果更简短的完全不同的证明。
Higher Commutativity in Finite Groups, Rigidity, Extremal bounds, and Heisenberg-Type Families
本文研究了有限群中交换性的刚性和极值行为，以及低秩表示论和TQFT计数桥，提出了关于循环指数刚性的公式，并在类2指数-p世界中开发了辛约简，得到了闭合公式和所有r的层次结构。
A note on Flavell's theorem associated with Frobenius groups
设G是一个具有Frobenius核K的弗罗贝尼乌斯群。设G包含一个非平凡子群D \subseteq K，使得正规化子N_G（D）\not \subseteq K.当D不是2-群时，Flavell不用特征标理论证明了K是G的子群。在此基础上，进一步证明了当D是2-群时，K是子群。
A note on meta and para-$\mathfrak{Nil}$-Hamiltonian groups_v3
本文研究亚-$\mathfrak{Nil}$-哈密顿群与仿-$\mathfrak{Nil}$-哈密顿群在包含有限指数可解子群或有限阶非幂零子群条件下，其自身或导子群的有限性。
A note on torsion subgroups of groups acting on finite-dimensional CAT(0) cube complexes
在这篇文章中，我们陈述并证明了一个防止某些群在有限维CAT（0）立方复形上正确作用的一般准则。作为一个应用，我们证明了，对于每一个非平凡有限群$F$，自由群上的点灯群$F \wr \mathbb{F}_2$不正确地作用在有限维CAT（0）立方体复形上（尽管它正确地作用在无限维CAT（0）立方体复形上）。我们还从这个一般准则推出，粗略地说，给定一个作用在有限维CAT（0）立方复形上的群$G$和一个无限挠子群$L \leq G$，或者规范化子$N_G(L)$接近自由阿贝尔，或者对于每个$k \geq 1$，$N_G(L)$包含一个与大小为$\geq k$的$L$子群交换的非阿贝尔自由子群。
A note on the $ Π$-property of some subgroups of finite groups
该研究通过考察满足$Π$-性质的子群，推导得出有限群$p$-超可解性与$p$-幂零性的若干判定条件，同时推广了相关已有结论。
Finite groups with small number of cyclic subgroups
本文研究了循环子群个数不大于大于6的有限群。
Finitely presented subgroups of systolic groups are systolic
本文证明了收缩群的每一个可表示子群都是收缩群。
On finite groups with dismantlable subgroup lattices
本文研究了子群格可分解的有限群。
A note on restriction of Characters of Alternating groups to Sylow Subgroups
本文将可被$p$整除的交替群的不可约特征标限制在它们的Sylow $p$ -子群上，并研究了其线性分支的个数。
A note on Oliver's p-group conjecture
设$S$是一个$p$ -群，其中$p$是奇素数，Oliver提出了Thompson子群$J(S)$总是包含在Oliver子群$\mathfrak{X}(S)$中的猜想.这意味着他对$|J(S)\mathfrak{X}(S):\mathfrak{X}(S)|=1$进行了验证。设$\mathfrak{X}_1(S)$是$S$的一个子群，使得$\mathfrak{X}_1(S)/\mathfrak{X}(S)$是$S/\mathfrak{X}(S)$的中心。本文证明了$J(S)\leq \mathfrak{X}(S)$当且仅当$J(S)\leq \mathfrak{X}_1(S)$ .作为一个简单的应用，我们证明了$|J(S)\mathfrak{X}(S):\mathfrak{X}(S)|\neq p$。
Finite groups with a certain number of cyclic subgroups II
本文描述了具有$|G|-2$循环子群的有限群$G$.这部分地解决了\cite{3}末尾的开放问题。
A Note on Invariantly Finitely $L$-Presented Groups
在本文的第一部分中，我们介绍了$L$ -表示的Tietze变换。这些变换使我们能够将Tietze关于群的定理推广到不变的$L$ -表示群.此外，它们使我们能够证明，“不变地被$L$ -呈现”是一个抽象的属性的一组不依赖于生成集。在本文的第二部分中，我们考虑了群的群生成的正规子群。Benli证明了当一个群的商是无限循环群时，它的一个生成正规子群是不变的$L$ -表现群。我们将这一结果推广到的情况下，其中的的Cirr提出的群分裂其Cirr生成的子群和的情况下，商是阿贝尔与挠自由秩最多为2。
A note on closed subgroups of compact Lie groups
本文将紧李群中有限子群的分类归结为拟单群的分类，证明了映射空间中共轭类的个数是有限的，且每个共轭类都是Zebraki闭的，并对“强控制融合”对称对进行了分类.
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