A note on the Triple Product Property subgroup capacity of finite groups
Ivo Hedtke
在群论快速矩阵乘法的背景下，TPP容量被用来限制矩阵乘法的指数$ω$。本文证明了有限群的TPP子群容量的一个新的更尖锐的上界
In the context of group-theoretic fast matrix multiplication the TPP capacity is used to bound the exponent $ω$ of matrix multiplication. We prove a new and sharper upper bound for the TPP subgroup capacity of a finite group
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Upgrading Subgroup Triple Product Property Triples
2003年，COHN和UMANS提出了一种快速矩阵乘法的群论方法。这涉及找到满足三重积性质（TPP）的群$G$的大子集作为约束矩阵乘法的指数$ω$的手段。最近，Hedtke和Murthy讨论了几种寻找TPP三元组的方法。因为子集三元组的搜索空间太大，所以只能关注子组三元组。我们提出的方法来升级一个给定的TPP三元组到更大的TPP三元组。如果不可能升级，我们使用归约方法（基于随机试验和简化）来创建一个较小的TPP三元组，该三元组可用作升级方法的输入。如果我们在子组三元组的升级方法的一个步骤之后应用子集三元组的升级过程，我们在最好的情况下实现了三元组大小的100%的扩大。
A note on the triple product property for finite groups with abelian normal subgroups of prime index
本文研究了有限群中具有素数指数阿贝尔正规子群的三乘积性质，证明了子群三乘积比率的上限为 $p^2/(2p-1)$，并提出了针对此类群的广义猜想。
On the triple product property for subgroups of finite groups of nilpotency class $2$
本文研究了有限Nilpotent群类2的子群的三乘积性质，证明了不同条件下该性质的上界。
Equivalence of the categories of group triples and of hypergroups over the group
本文的主要结果是群上的（右）超群范畴与由群、子群和子群的（右）横截构成的三元组范畴是等价的。
Decomposition Theorems for Triple Spaces
三重空间是齐次空间$G/H$，其中$G=G_0\times G_0\times G_0$是三重乘积群，$H\simeq G_0$是$G$的对角子群。本文研究了具有$G_0=\SL(2,\R)$，$\SL(2,\C)$或$\SO_e(n,1)$ for $n\ge 2$的三元空间的几何.我们确定阿贝尔子群$A\subset G$，其中有一个极分解$G=KAH$，我们确定的最小抛物子群$P\subset G$，轨道$PH$是开放的$G/H$。
Separability and complete reducibility of subgroups of the Weyl group of a simple algebraic group of type $E_7$
设$G$是定义在代数闭域$k$上的连通约化代数群.本文的目的是提出一种方法来找到三元组$(G,M,H)$以下三个性质。特性1：$G$简单，$k$具有特性2。性质2：$H$和$M$是$G$的闭还原子群，使得$H<M<G$和$(G,M)$是还原对。属性3：$H$是$G$ -完全可约，但不是$M$ -完全可约。我们展示我们的方法，提出了一个新的例子，这样的三元组在$G=E_7$。然后，我们考虑的合理性问题和共轭类的问题作为我们的建设的重要应用。
Irreducible subgroups of simple algebraic groups - a survey
设$G$是特征为$p \geqslant 0$的代数闭域$K$上的单线性代数群，$H$是$G$的真闭子群，$V$是非平凡有限维不可约有理$KG$ -模.如果$V$作为$KH$ -模不可约，则称$(G,H,V)$是不可约三元组.确定这些三元组是代数群的表示论中的一个基本问题，它在研究经典群的子群结构时自然产生。在20世纪80年代，塞茨和特斯特曼将Dynkin早期关于连通子群的工作扩展到所有代数闭域。在这篇文章中，我们将调查最近的进展，分类的不可约三元组的所有正维子群的简单代数群。
Search and test algorithms for Triple Product Property triples
2003年，COHN和UMANS提出了一种快速矩阵乘法的群论方法。这涉及找到满足三重积性质（TPP）的群$G$的大子集作为约束矩阵乘法的指数$ω$的手段。我们提出了两个新的特征的TPP，这是有用的理论考虑和TPP测试算法。有了这个，我们描述了所有已知的TPP测试，并在GAP算法中实现它们。我们还比较了它们的运行时间。此外，我们表明，搜索子群TPP三元组的非平凡大小的非阿贝尔群可以限制到该组的所有非正规子群的集合。最后，我们描述了极大子群和子集TPP三元组的蛮力搜索算法。此外，我们提出的结果子集蛮力搜索的顺序小于25和选定的结果的子群蛮力搜索2组，$SL(n,q)$和$PSL(2,q)$的所有群体。
Large subgroups of simple groups
设$G$是一个有限群.如果$G$的真子群$H$的阶满足有界$|H|^3 \ge |G|$，则称$H$的真子群$H$是大的。本文确定了有限单群的所有极大子群，并对单代数群建立了一个类似的结果（在本文中，极大性是用维数定义的）.讨论了单群（有限群和代数群）的三重因式分解。
Strongly Quasiconvex subgroups in graphs of groups
给定一个图的群$\mathcal{G} = (Γ, \{G_v\}, \{G_e\})$，其顶点群满足一定的条件，并且$G$非圆柱地作用在其Bass-Serre树$T$上.令$H$是$G$的一个随机生成的子群。本文证明了下列命题等价：$H$有有限高，$(G, T, H)$是$A/QI$ -三元组，$H$在$G$中是强拟凸且几乎自由的.我们还给出了一个条件，以确定是否在一个群的强拟凸保持汞合金。
Acylindrically hyperbolic groups and their quasi-isometrically embedded subgroups
我们从几何群论中的一些例子中抽象出A/QI三元组的概念。这样一个三元组（G，X，H）由一个作用在Gromov双曲空间X上的群G组成，该群沿着一个拟等距嵌入该作用的生成子群H非圆柱地作用。例子包括相对双曲群的强拟凸子群，映射类群的凸余紧子群，Out（Fn）的许多已知的凸余紧子群，以及由作用于Gromov双曲空间的群的独立斜驶WPD元素的幂生成的群。本文首先研究了A/QI三元组的交和组合性质。在G是双生成的假设下，我们利用Sisto方法证明了H是稳定的.本文应用Kapovich-Rafi定理和Dowdall-Taylor定理分析了相应的锥流的Gromov边界。我们以一些例子和问题结束。
Collineation group as a subgroup of the symmetric group
令$Ψ$为投影化（即，一维向量子空间的集合）在域上的维度为$\ge 3$的向量空间的集合。设$H$是集合$Ψ$的置换群$\mathfrak{S}_Ψ$的闭（在逐点收敛拓扑中）子群。设$H$包含射影群和$Ψ$的任意自双射，它将共线点三元组变换为非共线点三元组。从\cite{KantorMcDonough}可知，如果$Ψ$是有限的，则$H$包含$\mathfrak{S}_Ψ$的交替子群$\mathfrak{A}_Ψ$。我们在下面的定理\ref{density}中证明，如果$Ψ$是无限的，则$H=\mathfrak{S}_Ψ$。
Association schemes on triples from affine special semilinear groups
本文研究仿射特殊半线性群子群作用诱导的三元组结合方案，通过 ASL(k,n) 与 Gal(GF(n)) 子群的半直积作用，确定所得 AST 的大小、第三价数和交叉数。
Finite simple groups with two maximal subgroups of coprime orders
本文基于Liebeck和Saxl关于奇阶极大子群的结果，分类了所有包含两个互素阶极大子群的有限非交换单群的三元组结构。
The Index Problem for Subgroup Intersections
本文用伽罗瓦对应将子群交集的索引问题转化为群论问题，简化并推广了先前关于数域索引三元组的研究。
Irreducible almost simple subgroups of classical algebraic groups
设G是特征为$p \ge 0$且具有自然模W的代数闭域K上的简单经典代数群。设H是G的一个闭子群，V是一个非平凡的p-限制不可约张量不可分解有理KG-模，使得V对H的限制是不可约的.本文对这种形式的三元组（G，H，V）进行了分类，其中$V \ne W, W^{*}$和H是G不可约作用在W上的不连通几乎单正维闭子群.此外，将这个结果与以前的工作相结合，我们完成了不可约三元组（G，H，V）的分类，其中G是K上的单代数群，H是正维数的极大闭子群.
Gassmann triples with special cycle types and applications
本文研究有限群陪集作用中的特殊循环类型，证明其迫使几乎共轭子群实际共轭，并将结果应用于数域的 Dedekind zeta 函数确定性与 Riemann 流形覆盖的等距性。
On triple factorisations of finite groups
本文引入并发展了一个研究有限群$G$的$G=ABA$形式的三重分解的一般框架，其中包含$G$的$A$和$B$子群.我们称这样的分解为非退化的，如果$G\neq AB$。考虑$G$的行动由右乘$B$的右陪集导致一个非平凡的上限为$|G|$通过应用有关子集的限制运动的结果。对于$A<C<G$和$B<D<G$，即使$G=ABA$是非简并的，因子分解$G=CDC$也可能是简并的。类似地，形成双因子可能导致退化的三因子分解。一个理由是减少非退化的三重因式分解的研究，其中$G$的行为忠实和recittively对陪集的$A$。这涉及到三重因式分解的圈积构造的研究。
Quasisimple groups with a proper subgroup having the same vector orbits in characteristic $2$
本文确定了当 $G$ 为拟单群、$H$ 为 $G$ 的子群且 $V$ 为 $GF(2)G$-模时，使得 $G$ 和 $H$ 在 $V$ 的向量上具有相同轨道的不可变三元组 $(G,H,V)$。
Triple factorisations of the general linear group and their associated geometries
有限群的三重分解形式为$G=PQP$的$G$在李学和几何学的研究中是必不可少的。在几何上，每个三重因式分解$G=PQP$对应于一个$G$ -标志传递点/线几何，使得“每对点与至少一条线关联”。我们称这种几何\emph{collinearly complete}，而对偶性（互换点和线的角色）产生了\emph{concurrently complete}几何的概念。本文研究了一般线性群$\mathrm{GL}(V)$的三重分解为$PQP$，其中子群$P$和$Q$要么固定一个子空间，要么固定$V$的一个分解为$V_1\oplus V_2$与$\dim(V_{1})=\dim(V_{2})$ .
On irreducible subgroups of simple algebraic groups
设$G$是特征为$p\geqslant 0$的代数闭域$K$上的单代数群，$H$是$G$的真闭子群，$V$是非平凡不可约$KG$ -模，它是$p$ -限制的、张量不可分解的和有理的.假设$V$到$H$的限制是不可约的。本文研究了当$G$是经典群且$H$是正维群时，这种形式的三元组$(G,H,V)$.结合Dynkin，Seitz，Testerman等人的早期工作，我们的主要定理将三元组$(G,H,V)$的分类问题简化为$G$是正交群，$V$是自旋模，$H$规范化了自然$KG$ -模的正交分解.
Commutator subgroups and crystallographic quotients of virtual extensions of symmetric groups
本文研究对称群虚拟扩张的换位子群与晶体学商群，给出纯虚拟三重群及两个换位子群的显式有限表示，并证明 $VL_n/PVL_n^{'}$ 为晶体学群且构造了无穷多个挠元素。
Absolutely irreducible modules via James triples
本文研究如何将 Gordon James 针对对称群的绝对不可约模构造方法推广到一般有限群，通过识别合适的子群数据构造模，使其因子模绝对不可约或为零。
Families of Association Schemes on Triples from Two-Transitive Groups
本文研究双传递群作用产生的三元组结合方案，通过两点稳定子轨道确定其大小、第三价及交叉数，并证明射影群与零散群所得方案具有交换性。
Non-G-completely reducible subgroups of the exceptional algebraic groups
设G是定义在特征p>0的代数闭域k上的例外代数群，H是G的子群.然后以下塞尔我们说H是G-完全可约或G-cr如果，每当H是包含在一个抛物子群P的G，那么H是在一个列维子群的抛物。在Liebeck和Seitz工作的基础上，我们找到了所有三元组（X，G，p），使得存在一个闭的、连通的、简单的非G-cr子群H<G，其根系为X.
Representations of the general linear groups which are irreducible over subgroups
我们对所有三元组$(G,V,H)$进行分类，使得$SL_n(q)\leq G\leq GL_n(q)$，$V$是$G$在特征互质于$q$的代数闭域$\FF$上的维数大于1的表示，$H$是$G$的真子群，使得限制$V\dar_{H}$是不可约的.这个问题是关于有限经典群的极大子群的Aschbacher-Scott程序的一个自然部分。
Groups having all elements off a normal subgroup with prime power order
考虑有限群$G$具有一个正规子群$N$，使得$G \setminus N$的所有元素都有素数幂阶.证明了若存在一个素数$p$，使得$G \setminus N$中的所有元素都有$p$ -幂序，则$G$是$p$ -群或$G = PN$，其中$P$是Sylow $p$ -子群，$(G,P,P \cap N)$是Frobenius-Wielandt三元组.证明了如果$G \setminus N$的所有元素都有素数幂阶，且这些阶能被两个素数$p$和$q$整除，则$G$是$\{ p, q \}$ -群，而$G/N$是Frobenius群或$2$-Frobenius群.如果$G \setminus N$的所有元素都有素数幂阶，并且这些阶至少能被三个素数整除，则$G$的所有元素都有素数幂阶，并且$G/N$是不可解的。
Irreducible geometric subgroups of classical algebraic groups
设$G$是特征为$p \ge 0$且具有自然模$W$的代数闭域$K$上的简单经典代数群.设$H$是$G$的闭子群，$V$是非平凡不可约张量不可分解的$p$ -限制有理$KG$ -模，使得$V$对$H$的限制是不可约的.在本文中，我们分类所有这样的三元组$(G,H,V)$，其中$H$是$G$的极大闭不连通正维子群，$H$保持$W$上的自然几何结构。
Circulant association schemes on triples
结合方案和相干配置（以及相关的玻色-梅斯纳代数和相干代数）在组合学中具有许多应用。在20世纪90年代，Mesner和Bhattacharya引入了一个三维的广义关联方案，他们称之为三元组关联方案（AST），并构建了几个AST家族的例子。他们的许多例子使用了2-传递的置换群：AST的非平凡三元关系是基础集合的两两不同点的有序三元组的集合，这些点被群左不变;给定的置换群是AST的自同构的子群。在本文中，我们考虑的AST不一定承认2-传递群作为自同构群，而是作为自同构的对称群的传递循环子群。这样的AST被称为循环AST，相应的三元关系被称为循环关系。我们给出了一个完整的表征循环AST的AST-定期分区的基础集。我们还表明，一种特殊类型的循环，我们称之为薄循环，在描述循环AST的结构中起着关键作用。我们列出了几个悬而未决的问题。
On subgroups with narrow Schreier graphs
研究具有窄 Schreier 图的有限生成群对，证明虚拟纤维子群与无穷双重陪集的等价性，并给出群作用于 CAT(0) 立方复形时虚拟满射到整数的结论。
Rigidity for F_4(p)
本文证明了F_4（p）中对好素数p（即，p>3），从而表明这些群作为正则伽罗瓦群出现在Q（t）上，并且在Q上也是如此。我们表明，这些三元组在代数群中产生刚性三元组，并证明它们在特征0中生成一个有趣的子群。
Congruence subgroups and crystallographic quotients of small Coxeter groups
本文研究小 Coxeter 群的全等子群性质，证明无限且非 virtually abelian 的小 Coxeter 群不满足该性质，并确定孪生群与三重群的晶体学商群及其维数和 holonomy 表示。
Triple transitivity and non-free actions in dimension one
群$G$的传递度是所有整数$k$的上确界，使得$G$容许忠实的$k$-传递作用。已知很少有障碍物对无限群的传递度施加上界。本文的结果提供了两类新的群，其传递度可以计算，作为分类的所有$3$-传递行动的这些群体的推论。更准确地说，假设$G$是圆$\mathsf{Homeo}(\mathbb{S}^1)$的同胚群或树$\mathsf{Aut}(\mathbb{T})$的自同构群的子群。在自然的假设下的作用$G$的$\mathbb{S}^1$或$\partial \mathbb{T}$的稳定剂，我们使用这个行动的动力学表明，每一个忠实的行动$G$的一个集合，至少是$3$-传递必须共轭的行动$G$的一个轨道在$\mathbb{S}^1$或$\partial \mathbb{T}$。
Indecomposable non-degenerate 2-permutational solutions of the Yang-Baxter equation
该研究完整刻画了杨-巴克斯特方程2-置换水平的不可分解非退化解，通过构造通用解同态像及基于群乘积的解族，提供了找到此类解的工具，并指出其自同构群正则。
On Clifford theory with Galois action
设$\widehat{G}$是有限群，$N $是$\widehat{G}$和$θ\in \operatorname{Irr}N$的正规子群.设$\mathbb{F}$是复数的一个子域，并假定$θ$在$\mathbb{F}$上的伽罗瓦轨道在$\widehat{G}$中是不变的。我们证明了存在另一个具有相同形式的三元组$(\widehat{G}_1,N_1,θ_1)$，使得$\widehat{G}$ over $θ$和$\widehat{G}_1$ over $θ_1$的特征标理论在域$\mathbb{F}$上基本上是“相同的”，并且使得以下成立：$\widehat{G}_1$具有包含在$N_1$中的循环正规子群$C$，使得对于$C$的某些线性特征符$λ$，并且使得$N_1/C$同构于域扩张$\mathbb{F}(λ)/\mathbb{F}(θ_1)$的（阿贝尔）伽罗瓦群。更确切地说，“相同”意味着两个三元组产生由A定义的Brauer-Clifford群$\operatorname{BrCliff}(G,\mathbb{F}(θ))$的相同元素。图鲁尔
Virtual Endomorphisms of Nilpotent Groups
群G的虚自同态是从H到G的同态f，其中H是G的有限指数m的子群。三元组（G，H，f）在单根m元树上产生G的状态封闭（或自相似）表示t。本文研究了当G是幂零的时象G^t的性质。特别地，证明了若G是无挠生成的幂零群，则G^t的可解度以m的素除子个数为界.
On a Class of Self-Similar Polycyclic Groups
本文研究一类自相似多循环群，定义自相似多循环群族SSP，分析其结构性质、生成集特征及n模3的算术影响，分类H幂零类至多为2的群及p=2时的有限2-群。
An infinite family of 2-groups with mixed Beauville structures
我们构造了一个无限的三元组族$(G_k,H_k,T_k)$，其中$G_k$是阶递增的2-群，$H_k$是$G_k$的指数-2子群，$T_k$是$H_k$的生成元对。我们表明，三元组$u_k = (G_k,H_k,T_k)$是混合Beauville结构，如果$k$不是2的幂。这是第一个已知的2-群的无限族承认混合Beauville结构。此外，相关联的Beauville表面$S(u_3)$是真实的，并且对于不是2的幂的$k > 3$，Beauville表面$S(u_k)$不是$\bar{S(u_k)}$的双全纯。
Stability and the Morse boundary
稳定子群和Morse边界是收集和研究双曲生成群的双曲性的两个系统方法。在本文中，我们通过将任何测地度量空间视为稳定子空间的可数并来统一和推广这些策略：我们证明每个稳定子群都是该集合中集合的准凸子集，并且Morse边界被恢复为这些双曲子空间的通常Gromov边界的直接极限。我们使用这种方法，连同Leininger-Schleimer的结果，推导出没有纯粹的几何障碍的映射类组的非虚自由凸余紧子群的存在。此外，我们定义了两个新的准等距不变的概念的尺寸：稳定的尺寸，这措施的最大渐近尺寸的一个稳定的子集;和Morse容量的尺寸，这自然概括Buyalo的容量尺寸的边界双曲空间。我们证明了直角Artin群的每个稳定子集都是树的拟等距子集;并且映射类群的稳定维数由曲面复杂度的倍数从上有界。在相对双曲群的情况下，我们证明了有限稳定维数是从外围子群继承的。最后，我们证明了所有经典的小消去群和某些Gromov怪物群的稳定维数至多为2。
Commutators of pure twin groups and rondles
本文建立了关于三点修改的有限阶rondle不变量与纯孪生群子群的下中心级数之间的关系，并构造了无穷多个无穷序列的素平面曲线，使得每个序列中的曲线在任意固定阶数下共享相同的不变量。
Rational rigidity for E_8(p)
我们证明了某些有理刚性三元组E8的存在性，从而证明了这些群在素域上作为有理数域上的伽罗瓦群出现。我们表明，这些三元组在代数群中产生刚性三元组，并证明它们在特征0中生成一个有趣的子群。作为副产品，我们得到了一个显着的对称性之间的特征标表有限约化群和它的对偶群。我们还给出了包含正则幂幺元的例外群中的可能扩群的分类。
Strange divisibility in groups and rings
我们证明了一个一般的整除定理，这意味着，例如，在任何组中，生成对的数量（以及三元组等）。是换位子群阶数的倍数。另一个推论说，在任何结合环中，勾股三元组（以及四元组等）的数目是乘法群阶数的倍数。
Probabilistically nilpotent groups of class two
对于有限群$G$，令$d_2(G)$表示三元组$(x, y, z) \in G^3$使得$[x, y, z] = 1$的比例。我们确定了有限群$G$的结构，使得$d_2(G)$有界远离零：如果$d_2(G) \geq ε> 0$，$G$有一个4类幂零正规子群$H$，使得$[G : H] $和$|γ_4(H)|$都有界于$ε$ .我们还证明了，如果$G$是一个无限群，其交换子有界地多个共轭，或者如果$G$满足某种更一般的交换子覆盖条件，则$G$是有限乘类3幂零乘有限的.
Group geometrical axioms for magic states of quantum computing
设$H$是自由群$G$的指数$d$的非平凡子群，$N$是$G$中$H$的正规闭包. $G$的子群$H$中的陪集组织提供了一组$P$置换门，其公共本征态是泡利群的稳定态或用于通用量子计算的幻态。幻态的子集由与最小信息完整测量相关联的MIC状态组成。它表明，在大多数情况下，MIC状态的存在需要两个条件（i）$N=G$和（ii）没有几何（陪集的三元组不能产生相等的成对稳定子群），或这些条件都不满足。我们的主张是通过从我们最近的论文中遇到的一些流形的基本群$G=π_1(M)$的子群中定义低维MIC态来验证的，例如附在三叶结和8字形结上的$3$ -流形，以及由$0$ -手术定义的$4$ -流形.根据几何上下文性（当几何直线上的陪集不都相互交换时发生）对上述规则进行分类。
Algebraic and geometric properties of homeomorphism groups of ordinals
本文研究序数序拓扑同胚群的代数与几何性质，证明低阶情形强扭曲且一致完美并分类正规生成元，高阶情形给出半直积分解及交换化与最小正规生成集。
On Abelian Group Representability of Finite Groups
一组准均匀随机变量$X_1,...,X_n$可以从有限群$G$和其子群的$n$生成，对应的熵向量取决于$G$的子群结构。我们知道，考虑任意有限群所得到的熵向量集比只考虑交换群所得到的熵向量集要丰富得多。在这篇论文中，我们开始更详细地研究不同的非阿贝尔群族关于它们产生的熵向量。特别地，我们解决了一个给定的非阿贝尔群$G$和一些固定子群$G_1,...,G_n$最终是否给出与具有子群$A_1,...,A_n$的阿贝尔群$A$相同的熵向量的问题，在这种情况下，我们说$(A, A_1,..., A_n)$表示$(G, G_1, ..., G_n)$。如果对于子群$G_1,...,G_n$的任何选择，存在表示$G$的某个阿贝尔群$A$，则我们将$G$称为可表示为$n$的阿贝尔（群）。我们完全刻画了二面体，拟二面体和双循环群的阿贝尔表示性，以及当$n=2$时的情况，我们证明了一个群是阿贝尔表示的当且仅当它是幂零的。这个问题的动机是理解网络编码的非线性编码策略和网络信息理论容量区域。
Multiplicity-free representations of algebraic groups
设$K$是特征为零的代数闭域，$G$是$K$上的连通约化代数群.我们解决的问题，分类三元组$(G,H,V)$，其中$H$是一个适当的连通子群的$G$，和$V$是一个有限维的不可约$G$ -模块，这样的限制$V$ $H$是多重性自由-也就是说，它的每个组成因素出现的多重性1。大量的经典工作，可以追溯到外尔，Dynkin，豪，Stembridge和其他人，以及最近的工作的作者，可以设置在这方面。本文在$H$和$G$都是$A$型单代数群，且$H$不可约地嵌入$G$的情况下，确定了所有这样的三元组.虽然有许多有趣的三元组$(G,H,V)$，但定义嵌入$H<G$和$G<GL(V)$的表示的最高权重的可能性非常有限。例如，除了两个例外情况之外，两个权重只能支持至多两个基本权重;并且在许多示例中，权重中的一个或另一个对应于$G$或$H$的自然模的交替或对称平方。
A group-theoretic approach to Shannon capacity of graphs and a limit theorem from lattice packings
本研究提出香农容量问题的群论方法，统一推广已有下界，强化环图极限结论至所有分数图，构造格结构独立集并规避了已知的线性构造障碍。
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