Recurrence coefficients for discrete orthogonal polynomials with hypergeometric weight and discrete Painlevé equations
在过去的十年中，离散的潘勒韦方程出现在许多重要的数学和物理问题中。因此，把一个给定的非自治递归式识别为离散的潘勒韦方程，并根据酒井的分类方案确定其类型，理解它是否等价于某个已知的（模型）例子，特别是找到一个坐标的显式变化将其转换为这样的例子，成为中心问题之一。幸运的是，Sakai的几何理论为回答这个问题提供了一个几乎是算法的过程。在本文中，我们说明了这一过程，通过研究一个例子来自离散正交多项式的理论。正交多项式和潘勒韦方程之间有许多联系，包括微分方程和离散方程。特别地，离散正交多项式的三项递推关系的系数通常可以用离散潘勒韦方程的解来表示。本文研究了具有一般超几何权的离散正交多项式，并证明了它们的递推系数在变量作某些改变后满足标准的离散Painlevé-V方程。我们还提供了一个显式的变量变化，将这个方程的标准形式。
2019-10-24 math-ph math.AG math.CA
Discrete Painlevé equations, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle and N-recurrences for averages over U(N) -- \PIIIa and \PV $τ$-functions
在这项工作中，我们表明，$ N\times N $ Toeplitz行列式的符号$ z^μ\exp(-{1/2}\sqrt{t}(z+1/z)) $和$ (1+z)^μ(1+1/z)^ν\exp(tz) $ -已知的$τ$ -功能的\PIIIa和\PV系统-其特征在于非线性递归的反射系数的相应的正交多项式系统的单位圆。结果表明，这些递推关系完全等价于与有理曲面$ D^{(1)}_{6} \to E^{(1)}_{7} $（离散Painlevé { \rm II}）和$ D^{(1)}_{5} \to E^{(1)}_{6} $（离散Painlevé { \rm IV}）退化相关的离散潘勒韦方程.此外，它示出的差分方程推导的方法的基础上的Toeplitz格和Virasoro的约束，减少时，为了精确求和，相当于我们的递归。分别给出了反射系数的广义超几何函数$ {{}^{\vphantom{(1)}}_0}F^{(1)}_1, {{}^{\vphantom{(1)}}_1}F^{(1)}_1 $的表达式。
2003-05-14 math-ph math.CA math.MP
Hankel determinant and orthogonal polynomials for a Gaussian weight with a discontinuity at the edge
我们计算渐近的汉克尔行列式和正交多项式相对于一个不连续的高斯权重，在一个关键的制度，其中的不连续性是接近边缘的相关平衡措施支持。他们的行为描述的Ablowitz Segur家庭的解决方案的Painlevé II方程。我们的结果补充了[Xu，Zhao，2011]中的结果。作为结果的推论，我们猜想了Airy核Fredholm行列式的渐近性和Painlevé II超越的全积分恒等式，并且证明了Painlevé II方程的Ablowitz-Segur解的极点的一个新结果.我们还强调我们的结果在随机矩阵理论中的应用。
2016-03-26 math-ph math.MP
Painleve-type asymptotics for the defocusing Hirota equation in transition region
本文研究了具有衰减初值的经典Hirota方程在直线上的Cauchy问题。基于Hirota方程的拉克斯对的谱分析，首先将Cauchy问题的解表示为Riemann-Hilbert问题的解.进一步应用非线性最速下降分析方法得到了该方程解在临界过渡区$|\frac{x}{t} - \frac{α^2}{3β}|t^{2/3} \leq M$的长时间渐近性，其中$M$为正常数.结果表明，Hirota方程的长时间渐近性可以用Painlevé $\mathrm{II}$方程的解来表示.关键词：广田方程，最速下降法，Painlevé $\mathrm{II}$方程，长时间渐近性
2022-02-06 math-ph math.MP
Lectures on exceptional orthogonal polynomials and rational solutions to Painlevé equations
这些是2018年10月5日至12日在杜阿拉（喀麦隆）举行的\textit{AIMS-Volkswagen Stiftung Workshop on Introduction to Orthogonal Polynomials and Applications}教授的特殊多项式课程的讲义。他们总结的基本结果和建设的特殊多项式，在过去的十年中发展。此外，还给出了潘勒韦方程PIV及其高阶推广的有理解的构造的一些新结果，这些高阶推广属于$A_{2n}^{(1)}$ -Painlevé族.该构造基于薛定谔算子的缀饰链，其势是谐振子的有理扩展。这里介绍的一些材料（Sturm-Liouville算子，经典正交多项式，Darboux-Crum变换等）。是经典的，可以在许多教科书中找到，而一些结果（属，交错和循环玛雅图）是新的，并首次在这套讲义。
2019-12-14 math-ph math.CA math.MP
The defocusing NLS equation with nonzero background: Painlevé asymptotics in two transition regions
本文在分析了现有文献的基础上，本文将过渡区$|ξ|:=\big|\frac{x}{2t}\big| \approx 1$中的Painlevé渐近性推广到具有非零背景的散焦Schr $\ddot{\text{o}}$ dinger方程的Cauchy问题.利用$\bar\partial$ -生成的非线性最速下降法和双标度极限计算了解在两个过渡区（定义为$$ \mathcal{P}_{\pm 1}(x,t):=\{ (x,t) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+, \ \ 0<|ξ-(\pm 1)|t^{2/3}\leq C\}, $$）中的长时间渐近性，发现长时间渐近性与非线性最速下降法的结果一致.两个过渡区域$ \mathcal{P}_{\pm 1}(x,t)$中的时间渐近性可以用Painlevé II方程表示。我们也可以用阿里函数来明确地表示首项。
2023-02-24 math-ph math.MP
Gaussian Unitary Ensembles with Jump Discontinuities, PDEs and the Coupled Painlevé IV System
该研究针对带跳跃间断点的高斯权重生成的Hankel行列式，借助阶梯算子与补充条件推导其对数导数满足的二阶偏微分方程，进一步通过Riemann-Hilbert问题建立辅助量与耦合Painlevé IV系统解的关联。
2024-10-30 math-ph math.MP
Elliptic asymptotic behaviour of $q$-Painlevé transcendents
本文研究 $q$-Painlevé 超越函数在 $|q-1|\ll1$ 渐近区域中的椭圆函数极限行为，证明主导阶行为由椭圆函数描述，缓慢调制由完全椭圆积分近似。
2025-06-06 math-ph math.CA math.MP
On the Logarithmic Asymptotics of the Sixth Painleve' Equation (Summer 2007)
研究了第六类潘勒韦方程在临界点具有对数渐近性的解.我们计算的单值群的单值保持变形的方法的解决方案，我们表征的渐近行为的单值本身。
2011-02-22 math-ph math.GN math.MP
Stationary reduction method based on nonisospectral deformation of orthogonal polynomials, and discrete Painlevé-type equations
China University of Mining and Technology（中国矿业大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Fuyao University of Science and Technology（福州福耀科技大学）
提出基于正交多项式非等谱形变的稳态约化方法，应用于多种（双）正交多项式，推导出多类高阶离散Painlevé型方程及可积差分系统，并给出特解与Lax对。
2026-09-28 math-ph math.MP nlin.SI
Painlevé III asymptotics of Hankel determinants for a perturbed Jacobi weight
我们研究了与权重$$w(x;t)=(1-x^2)^β(t^2-x^2)^αh(x),~x\in(-1,1),$$相关的Hankel行列式，其中$β>-1$，$α+β>-1$，$t>1$，$h(x)$在包含$x\in[-1,1]$的$[-1,1]$和$h(x)>0$的域中解析。基于Deift-Zhou非线性最速下降分析，研究了Hankel行列式$n\to \infty$和$t\to 1$的双标度极限.我们得到的Hankel行列式的渐近近似，评价的Jimbo-Miwa-Okamoto $σ$ -功能的Painlevé III方程。得到了扰动雅可比多项式的首项系数和递推系数的渐近性。
2015-05-19 math-ph math.MP
Differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials and their relation to the Painlevé equations via the geometric approach
在本文中，我们提出了一个一般的计划，如何联系微分方程的半经典正交多项式的递归系数的Painlevé方程使用的几何框架的冈本空间的初始条件。我们在两个例子中演示了这个过程。对于出现在\cite{HC17}中的半经典拉盖尔多项式，我们展示了递归系数如何与第四个Painlevé方程相连接。对于离散正交多项式与超几何重量出现在\cite{FVA18}，我们讨论的关系的递归系数的第六Painlevé方程，推广的结果\cite{DFS19}，其中一个类似的方法被用于一个离散系统相同的递归系数。虽然这里的离散系统和微分系统具有相同的几何结构，但微分系统的初始条件空间的构造是不同的，并且揭示了必须进行的额外考虑。我们还讨论了一些相关的主题的背景下的几何方法，如哈密顿形式的微分方程的递归系数，Riccati解决方案的特殊参数值，和相关的离散Painlevé方程。
2021-12-06 math-ph math.AG math.CA
Asymptotics of Fredholm determinant solutions of the noncommutative Painlevé II equation
本文利用 Riemann-Hilbert 方法，研究了非交换 Painlevé II 方程无极点解的渐近行为，其解由 Airy 算子矩阵版本的 Fredholm 行列式表示，渐近性由经典 Painlevé V 方程的一族特殊解给出。
2025-05-22 math-ph math.MP
Singular asymptotics for the Clarkson-McLeod solutions of the fourth Painlevé equation
我们考虑第四类潘勒韦方程的Clarkson-McLeod解。这类解的行为类似于$κD_{α-\frac{1}{2}}^2(\sqrt{2}x)$和$x\rightarrow +\infty$，其中$κ$是任意实常数，$D_{α-\frac{1}{2}}(x)$是抛物柱面函数。利用Deift-Zhou非线性最速下降法，得到了当$κ\left( κ-κ^*\right )>0$为某一实常数$κ^*$时，解为$x\to-\infty$的奇异渐近性.连接公式也被显式计算。这证明并推广了Clarkson和McLeod的猜想：当参数$κ>κ^*>0$时，Clarkson-McLeod解在负实轴上有无穷多个简单极点.
2022-04-02 math-ph math.MP
Hard loss of stability in Painlevé-2 equation
研究了带小参数的Painlevé-2方程的一个特殊渐近解.该解具有对应于分叉现象的临界点$t_*$。当$t<t_*$时，构造的解变化缓慢，而当$t>t_*$时，解振荡非常快。我们详细研究了过渡层，并获得了一个光滑的渐近解，使用一系列的缩放和匹配程序。
2001-01-01 math-ph math.MP
Stokes Phenomena in Discrete Painlevé I
本文研究了第一类离散Painlev\{e}方程在自变量变大时的极限渐近行为。使用渐近级数展开，我们确定了两种类型的解决方案，这是极点自由的复平面包含正实轴的一些部门。使用指数渐近技术，我们确定这些解决方案中存在的斯托克斯现象的影响，因此在该地区的渐近级数表达式是有效的。从仔细分析的开关行为跨斯托克斯线，我们发现，第一种类型的解决方案是唯一定义的，而第二种类型包含两个自由参数，并有效性的区域可以扩展为适当选择这些参数。
2015-03-04 math-ph math.MP
Painlevé VI, Painlevé III and the Hankel Determinant Associated with a Degenerate Jacobi Unitary Ensemble
本文研究了Jacobi权扰动生成的Hankel行列式，它与退化Jacobi酉系综的最大和最小特征值分布密切相关。利用正交多项式的梯形算子方法，我们发现Hankel行列式的对数导数满足一个非线性二阶微分方程，通过平移变换，它成为Painlevé VI方程的Jimbo-Miwa-Okamoto $σ$ -形式.我们还表明，经过适当的双重缩放，微分方程减少到Jimbo-Miwa-Okamoto $σ$ -形式的Painlevé III。最后，我们分别在两种重要情形下得到了Hankel行列式为$t\rightarrow1^{-}$和$t\rightarrow0^{+}$的渐近性态.
2019-08-31 math-ph math.MP
Discrete Painlevé equations, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle and $N$-recurrences for averages over U(N) -- \PVI $τ$-functions
单位圆上的正交多项式理论是为一般的权类而发展的，它导致多项式及其相关函数的递归关系和导数的系统，以及出现在理论中的某些系数函数的函数差分方程。一个自然制定的黎曼-希尔伯特问题的解决方案的正交多项式和相关功能的上述系统。特别是对于单位圆$ w(z) = \prod^m_{j=1}(z-z_j(t))^{ρ_j} $，由$ m \in \mathbb{Z}_{> 0} $奇点，差分方程的正交多项式次数$ n $（拉盖尔-弗洛伊德方程）和微分方程的变形变量$ z_j(t) $（施莱辛格方程）的经常半经典的重量的情况下，推导出完全表征系统。它是在最简单的非平凡的情况下$ m=3 $，相当普遍和简单的差分方程是等价的离散Painlevé方程与退化的有理曲面$ D^{(1)}_4 \to D^{(1)}_5 $，没有其他。在三个方面的比较与其他方法在这个问题上-的Toeplitz格和Virasoro的约束，isomonodromic变形的$ 2\times 2 $线性Fuchsian微分方程，和代数方法的基础上仿射Weyl群对称性-它示出了所有是完全等价的，当减少了顺序的精确求和，上述离散Painlevé方程通过显式变换公式。由广义超几何函数$ {{}^{\vphantom{(1)}}_2}F^{(1)}_1 $给出了酉群$ U(N) $上的基本矩阵积分。
2003-08-28 math-ph math.CA math.MP
Connection Formulae for Asymptotics of the Fifth Painlevé Transcendent on the Imaginary Axis: I
找到了第五类Painlevé方程一般复解的渐近展开式的首项$t\to\imath\infty$，这些渐近性由相应的线性常微分方程的单值数据参数化. $$ \frac{d}{dλ}Y= \left(\frac t2σ_3 + \frac{A_0}λ+\frac{A_1}{λ-1}\right)Y. $$参数化允许导出渐近的连接公式。我们提供了数值验证的结果。还考虑了连接公式的重要特殊情况。
2019-04-14 math-ph math.CA math.MP
Stokes Phenomena in Discrete Painlevé II
我们考虑了第二类离散潘勒韦方程在自变量变大时的极限渐近行为。使用渐近幂级数，我们找到的解决方案是渐近极点自由的复平面的某些区域内。这些渐进解表现出斯托克斯现象，这通常是经典幂级数方法所看不到的。随后，我们采用指数渐近技术来研究这种现象，并获得与斯托克斯曲线的快速切换行为的数学描述。通过这种分析，我们确定了复平面上渐近近似有效的区域，并发现这些渐近解的行为与第二连续潘勒韦方程的tronquée和tri-tronquée解具有许多共同的特征。
2016-06-30 math-ph math.MP nlin.SI
Exactly solvable anharmonic oscillator, degenerate orthogonal polynomials and Painleve' II
本文研究 Shapiro–Tater 猜想，将四次非谐振子出现重本征值的参数点与 Vorob'ev-Yablonskii 多项式零点及 Painlevé II 有理解极点联系起来，并揭示其与退化正交多项式的深刻关联。
2023-08-21 math-ph math.CA math.MP
Bi-orthogonal systems on the unit circle, regular semi-classical weights and the discrete Garnier equations
证明了在单位圆上对应于正则半经典权的双正交多项式组及其相关函数构成了Garnier系统的一类一般经典解，通过明确地构造其Hamilton形式并证明它与Garnier系统的Hamilton形式一致.这样的系统也可以通过离散Painlevé型的递归关系来表征，例如在具有一个自由变形变量的情况下，发现系统的特征在于离散第五Painlevé方程的解。在这里，我们推导出的规范形式的离散第五Painlevé方程的多变量推广到卡尼尔系统，即任意数量的变形变量。
2010-05-27 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of Polynomials Orthogonal With Respect to a Generalized Freud Weight With Application to Special Function Solutions of Painlevé-IV
该研究推导了双切区域内广义Freud权正交多项式的渐近性，进而得到用抛物柱面函数表示的几类Painlevé-IV解的渐近公式，证明采用Riemann-Hilbert问题与Deift-Zhou非线性最速下降法。
2024-06-22 math-ph math.CA math.CV
Elliptic asymptotic representation of the fifth Painlevé transcendents
Keio University（庆应义塾大学）
本文通过Jacobi sn函数在类奶酪状带状区域内近似第五型Painlevé超越函数，其椭圆主部依赖于相位移作为单一积分常数，该常数由相关等蒙脱变形的单值数据参数化。
2026-03-17 math-ph math.CA math.MP
Asymptotics of a Fredholm determinant involving the second Painlevé transcendent
研究了可积Fredholm算子$K_{\textnormal{PII}}$作用在区间$(-s,s)$上的行列式$\det(I-K_{\textnormal{PII}})$，其核由第二类潘勒韦方程的Hastings-McLeod解所对应的$Ψ$ -函数构造.这个Fredholm行列式描述了随机厄米特矩阵的特征值间隙概率的临界行为，该厄米特矩阵是从酉包络中选择的，在极限平均特征值密度的二次零附近的大双标度极限中。利用Riemann-Hilbert方法，我们计算了$\det(I-K_{\textnormal{PII}})$的大$s$ -渐近性.
2012-11-02 math-ph math.MP nlin.SI
Painlevé XXXIV Asymptotics for the Focusing mKdV Equation with Finite-Genus Background and Discrete Spectrum
Peking University（北京大学）；Fudan University（复旦大学）
通过Deift-Zhou非线性最速下降法，研究聚焦修正KdV方程在有限亏格拟周期初始数据下的柯西问题，在临界区域导出解的长时渐近，其中使用局部Painlevé XXXIV参数化解决驻点与分支切割端点的碰撞，并纳入离散谱（呼吸子），得到一致有效的展开。
2026-06-01 math-ph math.MP
Painlevé IV, $σ-$Form and the Deformed Hermite Unitary Ensembles
本文研究了一个带一跳的变形Hermite权$w(z,t,γ)=e^{-z^2+tz}|z-t|^γ(A+Bθ(z-t))$生成的Hankel行列式，其中$A\geq 0$，$A+B\geq 0$，$t\in\textbf{R}$，$γ>-1$和$z\in\textbf{R}$ .利用相应的一元正交多项式的梯形算子及其相应的相容条件，得到了描述$α_n$，$β_n$，$R_n(t)$和$r_n(t)$之间关系的一系列差分微分方程.特别地，我们发现辅助量$R_n(t)$和$r_n(t)$满足耦合Riccati方程，而$R_n(t)$满足一个特殊的Painlevé IV方程.在此基础上，我们证明了与Hankel行列式和$R_n(t)$有关的两个量$σ_n(t)$和$\hatσ_n(t)$分别满足连续和离散的$σ-$形式方程.最后，我们还讨论了$R_n(t)$的大$n$渐近性，得到了Hankel行列式的对数展开式和一元正交多项式的二阶微分方程的渐近性.
2021-03-07 math-ph math.MP
Clarkson-McLeod solutions of the fourth Painlevé equation and the parabolic cylinder-kernel determinant
第四个潘勒韦方程的Clarkson-McLeod解的行为类似于$κD_{α-\frac{1}{2}}^2(\sqrt{2}x)$和$x\rightarrow +\infty$，其中$κ$是某个实常数，$D_{α-\frac{1}{2}}(x)$是抛物柱面函数。利用Deift-Zhou非线性最速下降法，我们得到了这类解的渐近性态为$x\to-\infty$ .这就完成了克拉克森和麦克劳德猜想的渐近性，这一系列的解决方案的证明。本文还导出了Clarkson-McLeod解的全积分和解族的$σ$形式的渐近近似。此外，我们找到了一个行列式表示的$σ$ -形式的Clarkson-McLeod解决方案通过一个可积算子与抛物柱核。
2023-01-14 math-ph math.MP
Orthogonal Polynomials with Complex Densities and Quantum Minimal Surfaces
本文通过研究量子极小曲面与正交多项式递推系数的关系，推导出量子极小曲面中正解的初始条件显式公式。
2025-12-07 math-ph math.MP
Gap probability of the circular unitary ensemble with a Fisher-Hartwig singularity and the coupled Painlevé V system
我们考虑了在$z=1$上同时具有跳跃型和根型Fisher-Hartwig奇异性的圆幺正系综.在Fisher-Hartwig奇点处的系综的重新标度导致汇合超几何核。通过研究Toeplitz行列式的渐近性，我们证明了系综中随机矩阵在单位圆上关于奇点的对称弧中没有特征值的概率可以通过四维耦合Painlevé V系统的Hamilton积分来明确地计算.这导致了融合超几何核行列式的Painlevé类型表示。此外，大间隙的渐近性，包括常数项，通过计算的总积分的哈密顿量。特别是，我们重现的汇合超几何核行列式Deift，Krasovsky和Vasilevska，和正弦核行列式作为一种特殊情况下，包括常数项的大间隙渐近先前由戴森。
2020-06-07 math-ph math.MP
The Painlevé-type asymptotics of defocusing complex mKdV equation with finite density initial data
本文针对有限密度初值的散焦复 mKdV 方程，借助 RH 表述、\ar∂ 非线性最速下降和双尺度极限，证明过渡区的长时间渐近由 Painlevé-II 超越函数刻画。
2025-03-15 math-ph math.MP
Painlevé V and time dependent Jacobi polynomials
在本文中，我们研究最简单的变形序列的正交多项式，即取代原来的（或参考）的重量$w_0(x)$定义在一个区间上的$w_0(x)e^{-tx}.$。这是一个众所周知的事实，在这样的变形下的递归系数表示为$α_n$和$β_n$演变在$t$根据户田方程，产生的时间相关的正交多项式，使用Sogo的术语。所得到的“时间相关”雅可比多项式满足线性二阶方程。我们将证明该颂歌的系数与特定的Painlevé V密切相关。此外，我们还证明了与“时间相关”雅可比权重相关的一元正交多项式的$z^{n-1}$系数满足，直到$t,$中的翻译Jimbo-Miwa $σ$ -当递归系数$P_{V};$取决于$t$中的平移和线性分数变换$P_{V}(α^2/2,-β^2/2, 2n+1+α+β,-1/2).$时，组合一对非线性差分方程和一对Toda方程。这将反过来使我们能够证明，与一类Toeplitz加Hankel算子相关的某个Fredholm行列式与Painlevé方程有联系。
2009-05-15 math-ph math.CA math.MP
Nonlinear $q$-Stokes phenomena for $q$-Painlevé I
本文考虑第一类$q$ -差分潘勒韦方程在极限$|q|\rightarrow 1$和$n\rightarrow\infty$下解的渐近性态.使用渐近幂级数，我们描述了四个家庭的解决方案，包含自由参数隐藏超越所有的订单。这些渐近解表现出Stokes现象，这通常是不可见的经典幂级数方法。为了研究这种现象，我们采用指数渐近技术，以获得与斯托克斯曲线的快速切换行为的数学描述。通过这种分析，我们还确定了复平面中的渐近行为是由幂级数表达式描述的区域，并发现斯托克斯曲线被称为$q$ -螺旋曲线。
2018-07-02 math-ph math.MP nlin.SI
Connection Formulae for Asymptotics of Solutions of the Degenerate Third Painlevé Equation. I
本文用等单值变形方法研究了退化的第三类Painlevé方程$u^{\prime \prime} = \frac{(u^{\prime})^{2}}{u} - \frac{u^{\prime}}τ + \frac{1}τ(-8 εu^{2} + 2ab) + \frac{b^{2}}{u}$，其中$ε,b \in \mathbb{R}$和$a \in \mathbb{C}$，以及相应的τ函数.得到了一般正则解作为$τ\to \pm 0$和$\pm i0$解与一般正则解作为$τ\to \pm \infty$和$\pm i \infty$解的渐近性的联系公式。
2003-12-03 math-ph math.CA math.MP
Rational Solutions of Painlevé V from Hankel Determinants and the Asymptotics of Their Pole Locations
本文通过将tau函数与汉克尔行列式关联构造Painlevé V方程有理解，分析其极点（对应多项式tau函数的根）的渐近行为，证明次数无穷大时根渐近填充解析弧界定区域并给出量子化条件下的近似位置。
2025-11-14 math-ph math.MP nlin.SI
Asymptotics of orthogonal polynomials with complex varying quartic weight: global structure, critical point behaviour and the first Painleve' equation
研究了带四次指数权exp [-N（1/2z^2 + t/4z^4）]的一元正交多项式pn（z）的递推系数的渐近性，其中t是复数.我们的目标是：A）描述t中全局不同渐近行为（不同属）的区域; B）识别所有临界点; C）详细研究临界点附近的完整邻域中的渐近性（双标度极限），包括Painleve 'I解y（v）的极点和极点附近，已知这些极点在该极限中提供了领先的校正项。我们的结果是：A）我们发现了全局（在t）渐近的递归系数和"平方范数"的正交多项式的不同配置的轮廓的整合。开发了特殊代码来分析所有可能的情况。B）除了已知的临界点t_0 =-1/12外，我们还发现了新的临界点t_1 = 1/15和t_2 = 1/4。（3）在我们称之为三重标度极限的临界点t_0，t_1附近，我们导出了y（v）的极点处及其附近的递推系数的首阶行为（以及误差估计）。我们证明了递归系数在y（v）的极点附近有无界的"尖峰"，并计算了不同情况下这些尖峰的"普适"形状。Riemann-Hilbert问题（RHP）的非线性最速下降法是本文的主要技术。我们注意到，临界点附近的RHP是非常相似的RHP描述的半经典极限的聚焦NLS附近的梯度突变点，作者以前解决。
2011-08-10 math-ph math.MP nlin.SI
The non-linear steepest descent approach to the singular asymptotics of the sinh-Gordon reduction of the Painlevé III equation
受tt*-Toda方程最简单情形启发，研究人员采用非线性最速下降法，通过Riemann-Hilbert问题的单值化数据参数化解，得到sinh-Gordon型Painlevé III（$D_6$）方程实解在原点与无穷远行为的连接公式。
2024-10-29 math-ph math.CA math.MP
Trans-Series Asymptotics of Solutions to the Degenerate Painlevé III Equation: A Case Study
本文通过等单值形变形方法，将退化 Painlevé III 方程（DP3E）解的跨级数渐近用相关线性辅助问题的单值性数据参数化，并获得了相关哈密顿量、辅助函数及 sigma 形式解的渐近，同时推导了 DP3E 的李点对称性作用。
2025-08-09 math-ph math.CA math.MP
Large-degree asymptotics of rational Painleve-IV functions associated to generalized Hermite polynomials
Painleve-IV方程有三族由广义Hermite多项式生成的有理解。每个族都由两个正整数m和n索引。这些函数可应用于非线性波方程、随机矩阵、流体动力学和量子力学。数值研究表明，零点和极点形成一个变形的n × m矩形网格。适当地缩放，零点和极点似乎密集地填充某些曲线矩形，因为m和n趋于无穷大，r=m/n固定。推广Bertola和Bothner研究有理Painleve-II函数的方法，将广义Hermite有理Painleve-IV函数表示为单位圆上的正交多项式.利用Deift-Zhou非线性最速下降法，当n趋于无穷大，m=r*n，r固定时，在极限下渐近分析了相应的Riemann-Hilbert问题.我们得到了边界曲线的一个明确的特征，并确定了无极点区域的函数的领先阶渐近展开。
2017-06-27 math-ph math.CA math.MP
Fredholm determinant solutions of the Painlevé II hierarchy and gap probabilities of determinantal point processes
研究了一类积分算子的Fredholm行列式，其核可表示为一类特殊类型的二重围道积分。这样的Fredholm行列式出现在各种随机矩阵和统计物理模型中。我们表明，Fredholm行列式的对数导数直接相关的解决方案的Painlevé II层次。这证实并推广了Le Doussal、Majumdar和Schehr最近提出的一个猜想。此外，我们还得到了Painlevé超越在$\pm\infty$的渐近性和相应点过程的大间隙渐近性.
2019-02-26 math-ph math.MP math.PR
Characteristic polynomials of complex random matrices and Painlevé transcendents
研究了$N \times N$非厄米特随机矩阵的特征多项式的幂期望和关联函数。对于$1$ -点和$2$ -点相关函数，我们得到了Painlevé超越的几个特征，包括在有限的$N$和渐近的$N \to \infty$ .在渐近分析中，两个制度的利益被区分：边界渐近的相关函数的参数可以接触的限制本征值的支持和散装渐近的边界，他们是严格的支持内。对于复杂的Ginibre系综，这涉及Painlevé IV在边界处作为$N \to \infty$。我们的方法，连同结果在\cite{HW17}表明，这应该出现在一个更广泛的类的平面模型。对于散装渐近，我们的结果之一可以解释为合并的两个“平面Fisher-Hartwig奇点”，其中Painlevé V出现在渐近。我们还讨论了我们的结果与正规矩阵模型与$d$倍旋转对称性称为\textit{lemniscate ensemble}，最近在\cite{BGM, BGG18}研究的对应关系。我们的方法是灵活的，足以适用于非高斯模型，如截断酉系综或诱导Ginibre系综，我们表明，在前一种情况下，Painlevé VI出现在有限的- $N$。边界附近的缩放导致Painlevé V，与Ginibre合奏相反。
2020-06-01 math-ph math.CA math.CV
An Overview of Geometric Asymptotic Analysis of Continuous and Discrete Painlevé Equations
经典的潘勒韦方程是如此的广为人知，以至于当我们得知其解的渐近描述仍然不完整时，可能会感到惊讶。这个问题主要在于复杂域中解族的描述。在渐近描述是已知的，他们在文献中指出，作为有效的大型连接域，其中包括可移动的极点的家庭的解决方案。然而，渐近分析必须假设解是有界的，因此这些域必须在对应于可移动极点的位置处被穿孔，从而导致渐近结果可能不是一致有效的。为了克服这些问题，我们最近进行了渐近分析冈本的几何空间中的初始值的第一和第二潘勒韦方程。在本文中，我们回顾了这种方法，并指出如何将其扩展到离散的潘勒韦方程。
2013-11-25 math-ph math.AG math.CA
The sine-law gap probability, Painlevé 5, and asymptotic expansion by the topological recursion
本文的目的是通过拓扑递推的方法，重新推导出Painlevé $5$可积系统与双尺度厄米矩阵模型的普适本征值关联函数之间的关系.更具体地说，我们证明，\textbf{to all orders}，WKB渐近展开的$τ$ -功能，以及所产生的Painlevé $5$拉克斯对行列式公式是相同的大$N$双标度渐近展开的配分函数和关联函数的任何厄米矩阵模型周围的一个经常的点。换句话说，我们重新推导出“正弦律”的普遍散装渐近的大型随机矩阵，并提供了一个替代微扰证明的普遍性，在散装只有代数方法。最后，我们展示了一阶级数展开到$O(N^{-5})$。
2014-08-19 hep-th math-ph math.MP
Asymptotics of Tracy-Widom distributions and the total integral of a Painlevé II function
Tracy-Widom分布函数涉及从正无穷开始的Painlevé II函数的积分。本文将Tracy-Widom分布函数表示为从负无穷远处开始的积分。这些新的表示有两个结果。第一个是评估的Painlevé II方程的黑斯廷斯-麦克劳德解决方案的总积分。第二个问题是Tracy-Widom分布函数在分布参数趋于负无穷大时渐近展开式常数项的计算。对于GUE Tracy-Widom分布函数，这给出了Deift、Its和Krasovsky最近工作的另一种证明。GOE和GSE Tracy-Widom分布函数的常数项是新的。
2007-04-26 math-ph math.FA math.MP
Painleve XXXIV asymptotics for the defocusing mKdV equation with step-like initial data in transition regions
Fudan University（复旦大学）；Shanghai University（上海大学）
针对具有阶梯状初始数据的散焦 mKdV 方程，利用非线性最速下降法推导出两个过渡区域中解的长时渐近展开，主项匹配背景常数，次主项以 O(t^{-2/3}) 衰减且系数由 Painlevé XXXIV 模型给出。
2026-06-16 math-ph math.AP math.MP
Asymptotic analysis of a Family of Painlevé Functions with Applications to CUE Derivative Moments
本文通过Riemann-Hilbert方法研究一类Painlevé函数的渐近行为，并将其应用于CUE随机矩阵导数矩的分析，揭示其与黎曼ζ函数矩的关系。
2025-11-22 math-ph math.MP math.NT
On the connection problem for the second Painlevé equation with large initial data
利用Bassom等人提出的一致渐近方法，考虑了第二类Painlevé方程（PII）的连接问题的两种特殊情况.给出了PII在负（正）实轴上的实解相对于初值的分类。通过乘积，严格证明了Bender和Komijani最近揭示的PII在实轴上的非线性本征值问题的一个性质，并导出了Stokes乘子的渐近行为.
2021-03-11 math-ph math.CA math.MP
Pole-free solutions of the first Painlevé hierarchy and non-generic critical behavior for the KdV equation
我们建立了真正的极点自由解决方案的存在性，甚至所有成员的Painlevé我层次。我们还获得了这些解决方案的渐近性，并描述其相关性的KdV方程的解决方案在小色散极限的临界渐近行为的描述。这是在一般临界点的情况下理解的，我们在这里将其推广到非一般临界点的情况。
2011-07-01 math-ph math.CA math.CV
Classification of Real Solutions of the Fourth Painleve Equation
Painleve超越通常被认为是复变的复变函数，但在应用中，它往往是真正的情况下，感兴趣的。在一个合理的假设下（关于与Painleve IV相关的动力系统的行为，如最近的一篇论文中所讨论的），我们根据Painleve IV（或者更确切地说，对称Painleve IV）的渐近行为和奇点，给出了一些结果。我们证明了对称Painleve IV的全局非奇异实解的存在性，对于任意非零的参数值，这些解的空间维数及其渐近性取决于参数的符号。我们表明，对于一个通用的选择的参数，存在一个独特的有限序列的奇异性对称Painleve IV有一个两参数家庭的解决方案，这个奇异序列。也存在单无限和双无限序列的奇点的解决方案，我们确定这样的序列是可能的（假设通用渐近的情况下，一个单无限序列）。Painleve IV的大多数（但不是全部）特殊解对应于参数的非通用值，但我们也提到了这些解的一些结果。
2019-05-28 math-ph math.CA math.MP
$q$-Racah ensemble and $q$-P$\left(E_7^{(1)}/A_{1}^{(1)}\right)$ discrete Painlevé equation
本文的目的是调查失踪的部分的故事之间的关系正交多项式系综和潘勒韦方程。也就是说，我们认为$q$ -拉卡多项式合奏，并表明，在这种情况下，一个间隔间隙概率可以表示通过离散$q$ -P $\left(E_7^{(1)}/A_{1}^{(1)}\right)$方程的解决方案。我们的方法也给出了一个新的拉克斯对这个方程。这拉克斯对有一个有趣的额外的对合对称结构。
2019-04-04 math-ph math.AG math.MP
Large time and distance asymptotics of the one-dimensional impenetrable Bose gas and Painlevé IV transition
本文研究一维不可穿透玻色气体的含时关联函数，推导其在类空与类时区域的大时间距离渐近，发现相变并由 Painlevé IV 方程特解描述。
2025-05-22 math-ph math.MP math.ST
Asymptotics of the determinant of the modified Bessel functions and the second Painlevé equation
本文通过引入对数项研究扩展Gross-Witten-Wadia酉矩阵模型，利用Deift-Zhou非线性最速下降法求解Riemann-Hilbert问题，建立了Toeplitz行列式的渐近近似，并与非齐次Painlevé II方程的解相联系。
2024-02-17 math-ph math.MP nlin.SI
Transition asymptotics for the Painlevé II transcendent
我们考虑第二类Painlevé方程$u_{xx}=xu+2u^3$的实值解$u=u(x|s),x\in\mathbb{R}$，它是用相应的Flaschka-Newell有理微分方程组的单值数据$s\equiv(s_1,s_2,s_3)\subset\mathbb{C}^3$参数化的.我们的分析描述的过渡，作为$x\rightarrow-\infty$，振荡功率衰减渐近之间的$|s_1|<1$（Ablowitz-Segur）的功率增长行为的$|s_1|=1$（Hastings-McLeod）和从后者的奇异振荡功率增长的$|s_1|>1$（Kapaev）。证明了转移渐近性是Boutroux型的，即它们用Jacobi椭圆函数表示。作为我们的结果的应用，我们得到的Airy核行列式$\det(I-γK_{\textnormal{Ai}})|_{L^2(x,\infty)}$在双标度极限$x\rightarrow-\infty,γ\uparrow 1$以及渐近的$K_{\textnormal{Ai}}$的频谱。
2015-02-26 math-ph math.CA math.MP
Painlevé I double scaling limit in the cubic random matrix model
我们得到了三次位势$N\times N$ Hermitian随机矩阵模型的递推系数和配分函数在临界点处的双标度渐近性质。我们证明了递归系数允许$N^{-2/5}$的幂的渐近展开，并且在首阶中，递归系数的渐近行为由Painlevé I方程的Boutroux tronquée解给出。我们还得到了配分函数的双标度极限，并证明了tronquée解的极点是配分函数的零点的极限.所使用的工具包括Riemann-Hilbert方法和Deift-Zhou非线性最速下降法的相应家庭的复杂的正交多项式和他们的递归系数，连同户田方程的参数空间。
2015-11-18 math-ph math.CA math.MP
