Painlevé-2方程的硬失稳

β-套装和Painlevé III的硬边

Hard edge for beta-ensembles and Painlevé III

从Ramirez和Rider（2008）得到的β随机矩阵硬边的扩散方程出发，研究了它与Painleve III的拉克斯对的关系.结果在许多方面与Bloemendal和Virag（2010）对软边缘发现的结果相似。特别地，值β = 2和4（但不是β = 1）允许与Painlevé III解和拉克斯对的简单连接。然而，有一个额外的惊喜的一个特殊的参数关系，其中可以得到一个简单的解决方案的扩散方程，这是一个单参数推广的Gumbel分布。我们的考虑可以扩展到其他的Painleve方程，因为相应的扩散实际上被称为量子Painleve哈密顿量的非定常（虚时间）薛定谔方程。我们还跟踪我们的拉克斯对的硬到软的边缘极限过渡。

离散潘勒韦方程与随机矩阵平均

Discrete Painlevé equations and random matrix averages

利用Painlevé系统的$τ$ -函数理论导出了U（n）上某些随机矩阵平均值的秩$n$的递归性.这些递推关系涉及满足离散潘勒韦方程的辅助量。随机矩阵平均值包括可以被解释为特征值分布在硬边缘和在大部分矩阵合奏与酉对称的情况下。通过计算这些分布的序列的值作为$n$变化，并证明收敛到适当的极限分布的值来说明递归。

Gap probability at the hard edge for random matrix ensembles with pole singularities in the potential

We study the Fredholm determinant of an integrable operator acting on the interval $(0,s)$ whose kernel is constructed out of a hierarchy of higher order analogues to the Painlevé III equation. This Fredholm determinant describes the critical behavior of the eigenvalue gap probability at the hard edge of unitary invariant random matrix ensembles perturbed by poles of order $k$ in the double scaling regime. Using the Riemann-Hilbert method, we obtain the large $s$ asymptotics of the Fredholm determinant. Moreover, we derive a Painlevé type formula of the Fredholm determinant, which is expressed…

修正的Jacobi系综和潘勒韦方程中的临界边缘行为

Critical edge behavior in the modified Jacobi ensemble and Painlevé equations

研究了在$t>1$上受代数奇点扰动的Jacobi酉系综.对于固定的$t$，这是Kuijlaars { \it{et al.} }研究的修正的Jacobi系综。然而，这里的主要焦点是代数奇异性接近硬边时的情况，即$t\to 1^+$。在双标度极限的情况下，$t- 1$的数量级的$1/n^2$，$n$是矩阵的大小，特征值相关核示出有一个新的限制核在硬边$1$，描述的$ψ$ -功能为一定的二阶非线性方程。该方程通过莫比乌斯变换与Painlevé III方程相关。它也是Painlevé V方程的一个推广，在特殊情况下，通过Bäcklund变换，它可以化为一个特殊的Painlevé V方程.还研究了极限核到贝塞尔核的过渡，其中$n^2(t-1)$是大的或小的。在本文中，该方法是基于Deift-Zhou非线性最速下降分析的Riemann-Hilbert问题。

The generating function for the Bessel point process and a system of coupled Painlevé V equations

We study the joint probability generating function for $k$ occupancy numbers on disjoint intervals in the Bessel point process. This generating function can be expressed as a Fredholm determinant. We obtain an expression for it in terms of a system of coupled Painlevé V equations, which are derived from a Lax pair of a Riemann-Hilbert problem. This generalizes a result of Tracy and Widom [24], which corresponds to the case $k = 1$. We also provide some examples and applications. In particular, several relevant quantities can be expressed in terms of the generating function, like the gap probab…

潘勒韦方程的$τ$函数理论在随机矩阵中的应用：\PV，\PIII，LUE，JUE和CUE

Application of the $τ$-function theory of Painlevé equations to random matrices: \PV, \PIII, the LUE, JUE and CUE

$<\cdot>$表示拉盖尔酉系综的本征值PDF的平均值，我们的研究对象是$I = (0,s)$和$I = (s,\infty)$的$ \tilde{E}_N(I;a,μ) := < \prod_{l=1}^N χ_{(0,\infty)\backslash I}^{(l)} (λ- λ_l)^μ>$，其中$χ_I^{(l)} = 1$表示$ λ_l \in I$和$χ_I^{(l)} = 0$。使用冈本的发展理论的Painlevé V方程，它表明，$\tilde{E}_N(I;a,μ)$是一个$τ$ -功能与其中的哈密顿量，因此可以被描述为解决某一二阶二度微分方程，或在某些差分方程的解决方案。$μ= 0$和$μ= 2$的情况是特别感兴趣的，因为它们分别对应于最小和最大本征值的累积分布和密度函数。在$I = (s,\infty)$的情况下，$\tilde{E}_N(I;a,μ)$简单地与雅可比酉系综中的平均值相关，而这又简单地与正交群、酉辛群和循环酉系综上的某些平均值相关。后者的积分是感兴趣的组合内容。还考虑了$\tilde{E}_N(I;a,μ)$的硬边缘和软边缘比例限制。特别是，在硬边缩放的限制，它示出的限制量$E^{\rm hard}((0,s);a,μ)$可以被评估为一个$τ$ -功能与冈本的理论中的Painlevé III方程的哈密顿量。