Painleve IV and degenerate Gaussian Unitary Ensembles
我们考虑那些特征值具有规定重数的高斯酉系综，并得到特征值的联合概率密度。在最简单的情况下，只有一个多重特征值t，这导致正交多项式的埃尔米特权重被一个因子扰动，该因子在t处具有多重零。我们通过一对梯形算子，对角递归系数满足一个特定的Painleve IV方程的任何真正的多重性。如果重数是偶数，则它们用广义埃尔米特多项式表示，其中t为自变量。
2006-06-28 math-ph math.MP
Generalized Hermite Polynomials and Spectral Degeneracies of a Singular Sextic Oscillator
SISSA（的里雅斯特国际高等研究院）；INFN Sezione di Trieste（意大利国家核物理研究所的里雅斯特分部）
研究奇异六次振子的准精确可解性及其代数谱，证明判别式因子分解为广义埃尔米特多项式平方等因子，建立谱简并与Painlevé IV方程有理函数零点的对应，推广Shapiro-Tater猜想。
2026-07-07 math-ph math.CA math.MP
Roots of generalised Hermite polynomials when both parameters are large
研究了广义Hermite多项式$H_{m,n}$在$m$和$n$都很大时的根.我们证明，根，当适当地重新缩放，密集地填充有界的四边形区域，称为椭圆形区域，并组织自己的变形矩形晶格，作为数值观察克拉克森。我们用椭圆积分及其退化来描述椭圆区域和变形晶格。关键词：广义厄米多项式;根渐近; Painleve IV; Boutroux曲线; Tritronquee解决方案。
2021-01-28 math-ph math.CA math.MP
Non-commutative q-Painleve VI equation
通过对非对易非等谱格点修正的Gel'fand-Dikii型系统施加适当的中心性条件，得到了相应的非自治方程。然后，我们得到了非对易、非等谱、非自治格点修正的Korteweg-de Vries方程的（2，2）相似约化，得到了具有全参数范围的非对易q-离散Painleve VI方程.我们还评论的事实是，在类似的减少从Schwarzian Korteweg-de Vries方程没有这样的“非等谱推广”是必要的。
2013-11-22 math-ph math.DS math.MP
On a non-commutative sixth $q$-Painlevé system: from discrete system to surface theory
Max-Planck-Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进学会数学研究所）
本文描述了离散可积系统背后非交换形式几何，通过非交换$ q $-P$(A_3) $方程的非交换类比，建立非交换版本的Sakai表面理论，并恢复了乘法离散Painlevé方程的级联结构。
2026-04-10 math-ph math.MP math.RA
Rational solutions of Painleve systems
虽然潘勒韦方程的解是超越的，因为它们不能用已知的初等函数来表示，但对于方程参数的特定值，确实存在有理解。在研究潘勒韦方程的有理解时，一个非常成功的方法是将这些标量方程重新表述为一个对称的耦合系统，即所谓的敷料链。已知周期性敷料链等同于Noumi和Yamada首次描述的$A_N$ -Painlevé系统。Noumi-Yamada系统，反过来，可以线性化为使用双线性方程和$τ$ -函数;相应的合理的解决方案，然后可以给出作为KP族的合理的解决方案的专业化。对潘勒韦方程和系统的有理解的分类现在可以简化为对组合对象的分析，称为玛雅图。这种分析的结果是一个显式的行列式表示的合理解决方案的经典正交多项式。在本文中，我们说明了这种方法，通过描述厄米型合理的解决方案Painlevé的Noumi-Yamada系统的循环玛雅图。通过例子，我们明确地构造的PIV，PV方程和$A_4$ Painlevé系统的厄米型解决方案。
2020-09-23 math-ph math.MP
A non-commutative discrete first Painlevé hierarchy: the Lax pair approach
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
利用与离散第一Painlevé层级相关的等单子问题的非交换类比，构造了该层级的非交换版本d-PI_m^{nc}，并证明了两个层级均可由Svinin多项式S_s^k(n)表示，同时推导了非交换Volterra晶格层级到d-PI_m^{nc}层级的约化，给出了前三个成员的显式连续极限。
2026-05-28 math-ph math.MP math.RA
Non-commutative Hermite--Padé approximation and integrability
我们引入并解决了非交换版本的厄米-Padé I型逼近问题。它的解决方案，表示quasideterminates，导致在一个自然的方式解决方案的非交换Hirota（离散Kadomtsev-Petviashvili）系统和它的线性问题的子类。我们还证明了可积的约束系统，这在最简单的情况下是非交换离散时间Toda晶格方程已知的非交换Padé逼近和矩阵正交多项式的理论。
2022-02-01 cs.NA math-ph math.MP
Asymptotics for Hankel Determinants Associated to a Hermite Weight with a Varying Discontinuity
本文研究了由实直线上具有Fisher-Hartwig奇异性的Hermite权的矩构造的$n\times n$ Hankel行列式.我们考虑的情况下，奇异性是在体，是根型和跳跃型。我们得到大$n$渐近这些汉克尔行列式，我们观察到一个临界转变时，跳跃的大小随$n$。这些决定因素出现在稀疏的广义高斯酉系综和建设的特殊功能解决方案的Painlevé IV方程。
2018-03-07 math-ph math.CA math.CV
Quasideterminant solutions of NC Painlevé II equation with the Toda solution at $ n=1 $ as a seed solution in its Darboux transformation
在本文中，我构造的达布变换的非交换Toda解在$ n=1 $的线性系统的帮助下，其兼容性条件产生零曲率表示的相关的非线性微分方程组。通过将$ n=1 $上的Toda解作为达布变换的种子解，得到了非对易Painlevé II方程的拟行列式解.进一步通过迭代，将种子解的达布变换推广到$ N$ -th形式.最后给出了量子Painlevé II方程的零曲率表示，它明确地包含了普朗克常量$ \hbar $，当$ \hbar \rightarrow 0 $时，系统退化为经典Painlevé II。
2014-05-01 math-ph math.MP nlin.SI
Matrix Biorthogonal Polynomials: eigenvalue problems and non-Abelian discrete Painlevé equations
本文利用矩阵双正交多项式的黎曼-希尔伯特问题，在复平面上的适当的曲线上进行跳跃，并将其应用于求解正交多项式及其第二类函数的Sylvester微分方程组。为了这个目的，西尔维斯特型微分皮尔逊方程的矩阵的权重被证明是有用的。几个应用程序中，以增加复杂性。首先，一般性讨论非阿贝尔Hermite双正交多项式在实数线，理解为那些的权重矩阵是一个解决方案的Sylvester型皮尔逊方程系数一阶矩阵多项式，给出。所有这些应用于讨论导致具有矩阵特征值的二阶线性微分算子的本征值问题的可能情形。接下来讨论非线性矩阵差分方程。首先，对于一般的Hermite情形，得到了递归系数的一般非线性关系（非平凡的，因为集合的非交换性）。在下一个更高难度的情况下，皮尔逊方程中允许二次多项式，但通过只考虑左皮尔逊方程来简化讨论。在这种情况下，该措施的支持是在一个适当的分支的双曲线。的递归系数示出，以满足交替离散Painlevé I方程的非阿贝尔扩展。最后，讨论了三次多项式作为左皮尔逊方程中的系数的情况下，特征的重量矩阵。然而，为了简单起见，只允许奇数多项式。在这种情况下，一个新的和更一般的矩阵扩展的离散Painlevé I方程被发现。
2018-07-18 math-ph math.CA math.MP
A fully noncommutative analog of the Painlevé IV equation and a structure of its solutions
本研究提出第四Painlevé方程的完全非交换推广形式，证明其解可由带导子的含单位元结合除环上的无穷Toda系统构造，拓展了非交换可积系统的研究范畴。
2023-10-06 math-ph math.MP nlin.SI
Fredholm determinants and pole-free solutions to the noncommutative Painleve' II equation
本文将Its-Izergin-Korepin-Slavnov可积算子的形式推广到半无限区间上的矩阵值卷积算子和核为E_1^T（x）E_2（y）/（x+y）的矩阵积分算子，从而证明了它们的预解算子可以用某些特殊Riemann-Hilbert问题的解来表示.我们还描述了一些应用程序，主要是一个非交换版本的Painleve' II（最近推出的Retakh和Rubtsov），一个相关的非交换方程的Painleve'型。我们构建了一个特殊的家庭的解决方案的非交换Painleve' II的极点自由（为实值的变量），因此类似于黑斯廷斯-麦克劳德解决方案（交换）Painleve' II。这样的解与Tracy-Widom定理中的交换解扮演着相同的角色，但是对于Airy核的矩阵版本的Fredholm行列式的计算。
2011-01-20 math-ph math.MP nlin.SI
Gap Probabilities for Edge Intervals in Finite Gaussian and Jacobi Unitary Matrix Ensembles
本文给出了有限维$ N \times N $随机矩阵Hermite酉系综和Jacobi酉系综在某些单区间和不连通双区间上的特征值谱中出现缺口的概率，这些缺口是存在反射对称性的情况，并且概率因子为定义在单区间上的另外两个相关概率。我们的调查使用系统的偏微分方程所产生的Fredholm行列式表达式的间隙概率和微分递归方程满足Hermite和Jacobi正交多项式。在我们的研究中，我们发现二阶和三阶非线性常微分方程定义的概率一般$N$的情况下。对于N=1和N=2的概率，从而方程的解是明确给出的。在Hermite情形下，从方程中得到了大能隙的渐近展开式，并研究了Hermite谱边缘的标度为$ N \to \infty $，以及Jacobi到Hermite的极限;这最后两项研究与本文报道的或以前已知的其它情形相对应。此外，在埃尔米特系综中产生的微分方程是解决一个显式的有理函数的{Painlevé-V}超越及其衍生物，并提供了类似的解决方案，在两个雅可比的情况下，但这一次涉及一个{Painlevé-VI}超越。
2000-08-23 math-ph math.FA math.MP
Replica field theories, Painleve transcendents, and exact correlation functions
在随机矩阵理论的背景下，非线性副本西格玛模型的精确可解性。与文献中报道的其他方法相反，所概述的框架不依赖于传统的“复本对称性破缺“，而是依赖于副本配分函数和Painleve超越之间以前未被注意到的精确关系。虽然预计将适用于任意对称性的矩阵模型，该方法被用来处理费米子副本的高斯酉系综（GUE），手征GUE（对称类A和AIII在Cartan分类）和Ginibre的合奏复杂的非厄米随机矩阵。进一步的应用进行了简要讨论。
2002-12-04 cond-mat.dis-nn cond-mat.mes-hall hep-th
Large-degree asymptotics of rational Painleve-IV solutions by the isomonodromy method
Painleve-IV方程有两族分别由广义Hermite多项式和广义Okamoto多项式生成的有理解。我们应用isomonodromy方法来表示所有这些合理的解决方案，通过两个相关的黎曼-希尔伯特问题，其中每个问题都涉及到两个整数值的参数相关的两个参数的Painleve-IV方程。然后，我们使用最速下降法来分析的合理的解决方案的限制，至少有一个参数是大的。我们的分析提供了严格的理由正式的渐近参数，表明在一般的解决方案Painleve-IV与大参数的行为作为一个代数函数或椭圆函数。此外，结果表明，椭圆近似在曲线矩形的并上成立，在广义Okamoto有理解的情况下，四个曲线三角形的每一个都与矩形共享一条边;代数近似在互补无界区域是有效的.我们比较理论预测的极点和零点的位置与数值图的实际极点和零点从生成多项式，并找到很好的协议。
2020-08-03 math-ph math.CA math.CV
On the general family of third-order shape-invariant Hamiltonians related to generalized Hermite polynomials
本文报道了用广义厄米多项式构造最一般的有理量子势，并对其进行了分类。这是通过利用三阶形状不变哈密顿算子和第四潘勒韦方程之间的内在关系来实现的，使得广义Hermite多项式从有理解的$-1/x$和$-2x$层次中出现。这种关系明确地建立了离散谱结构，一般来说，它是由一个间隙分开的等距本征值的有限维和无限维序列的联合组成的。广义Hermite多项式的两个指数决定了有限序列的维数和间隙。同样，本征解的完整集合可以分解为两个不相交的子集。在这种形式中，每个集合内的本征解被写为定义在实数线上的权重函数乘以多项式的乘积。这些多项式满足一个二阶微分方程，并从三项递归关系（二阶差分方程），其初始条件也是固定的广义埃尔米特多项式。
2022-03-10 math-ph math.MP quant-ph
Representations of quadratic Heisenberg-Weyl algebras and polynomials in the fourth Painlevé transcendent
本文研究了涉及第四Painlevé超越函数的哈密顿量在不可约情况下的可解性，通过交换子恒等式构造诱导表示，并给出激发态作为双变量多项式的显式公式。
2024-07-01 math-ph math.MP
Hermite-Padé approximation, multiple orthogonal polynomials, and multidimensional Toda equations
本文综述了Hermite-Padé逼近、多重正交多项式与多维Toda方程之间的联系，并介绍了向插值问题和非交换代数的推广。
2023-10-26 cs.NA math-ph math.CA
Two-step rational extensions of the harmonic oscillator: exceptional orthogonal polynomials and ladder operators
利用二阶超对称量子力学，将III型Hermite $X_m$例外正交多项式族推广到双指标的$X_{m_1,m_2}$（其中$m_1$为偶数，$m_2$为奇数，使得$m_2 > m_1$），并构造了谐振子的相应有理扩张.新的多项式被证明是可表示的Hermite和伪Hermite的混合产品，而一些相关的潜力与合理的解决方案的Painlevé IV方程。还建立了一组新颖的扩展振子阶梯算子，并证明其满足$m_2-m_1+1$阶多项式海森堡代数，或者可以用特殊类型的$(m_2-m_1+2)$阶形状不变性来解释。
2013-03-29 math-ph math.MP quant-ph
Standard and Non-Standard Quantum Models : A Non-Commutative Version of the Classical System of SU(2) and SU(1,1) Arising from Quantum Optics
这是一篇具有挑战性的论文，包括一些回顾和新的结果。由于在（quant-ph/0502174）中利用Jaynes-Commings模型和量子对角化方法构造了基于紧群SU（2）的经典系统的非对易版本，我们通过修改紧情形构造了一个基于非紧群SU（1，1）的经典系统的非对易版本.该模型中的哈密顿量不是厄米的而是伪厄米的，这就导致了两种模型的差别。例如，在SU（1，1）的经典表示论中，酉表示是从起点开始的无穷维。因此，要发展SU（1，1）非对易系统的幺正理论，需要有无穷多个非对易系统，这就意味着有一种{ \bf第二非对易化}。这是一个非常困难和有趣的问题。我们发展了一个相应的理论，但它并不总是足够的，并提出了一些具有挑战性的问题，如何经典性质可以扩展到非交换的情况下。本文的第一部分是基于标准模型（SU（2）系统），第二部分是基于非标准模型（SU（1，1）系统）。这种对比可以使标准模型和非标准模型之间的相似性和差异性变得清晰。
2005-06-24 hep-th math-ph math.MP
Desargues maps and their reductions
本文介绍了Hirota系统和非交换离散Kadomtsev-Petviashvili（KP）族的几何理论的最新进展，同时也增加了一些新的结果，使图象更加完整。我们特别注意的Desargues地图和由此产生的非线性非交换系统的多维一致性。特别是，我们展示了三维的非交换KP映射在其边缘制定的一致性。本文还讨论了Desargues映射与四边形格映射的关系。从这个角度来看，我们研究减少广田系统的离散B-KP和C-KP系统也提出了一个新的约束，导致Miwa方程。通过对离散KP族进行周期性约化，我们得到了修正格点Gelfand-Dikii方程的非等谱形式。为了从下面关闭图片，我们将额外的自相似约束应用于非等谱非自治的修改格点Korteweg-de Vries系统，以恢复已知的A_2+A_1型q-Painleve方程。
2013-08-12 math-ph math.MP nlin.SI
Orthogonal polynomials with discontinuous weights
在本文中，我们提出了一个简单的描述梯形算子形式主义适用于正交多项式与不连续的重量。出现在梯形算子中的两个系数函数A_n（z）和B_n（z）满足以前为光滑权导出的两个基本相容条件。如果权是一个绝对连续的参考权w_0与一个标准跳跃函数的乘积，则A_n（z）和B_n（z）在这些跳跃处有明显的单极点。我们通过取w_0作为Hermite权来证明该方法。对于这种简单的情况下，我们推导出，不使用的兼容性条件，一对差分方程满足的对角和非对角递归系数为一个固定的位置的跳跃。我们还推导出一对户田发展方程的递归系数，当与差分方程相结合，产生一个特定的Painleve IV。
2005-01-22 math-ph math.MP nlin.SI
Non-Abelian discrete Toda chains and related lattices
该研究推导了具有拟行列式解与多形式Lax对的二维离散Toda格非阿贝尔类似物，探讨了其与多类低维格点非阿贝尔模型的关联，并研究了离散Toda方程到Somos-N序列再到离散Painlevé方程体系的非交换类比。
2024-05-16 math-ph math.MP math.QA
Third-order ladder operators, generalized Okamoto and exceptional orthogonal polynomials
我们扩展和推广的构造Sturm-Liouville问题的一个家庭的哈密尔顿约束，以满足三阶形状不变的条件，并专注于“$-2x/3$“层次的解决方案的第四Painlevé超越。这种结构以前已经在文献中针对某些特定情况进行了讨论，但我们在这里认识到它是在最一般的情况下。相应的潜在的哈密顿算子是一个合理的扩展振荡器定义在传统的冈本多项式，从中我们确定了三个不同的零模构造的广义冈本多项式。系统的三阶梯形算子揭示了本征函数的完整集合被分解为三个不相交的解序列的联合，由一组三项递归关系产生。我们还确定了一个链接之间的本征函数的哈密顿算子和一个特殊的家庭例外厄米多项式。
2021-02-15 math-ph math.MP quant-ph
Vector orthogonal polynomials with Bochner's property
Jacobi、Hermite、Laguerre和Bessel等经典的正交多项式系统具有多项式是二阶普通微分算子的本征函数的性质。根据Bochner的一个经典定理，它们是唯一具有这种性质的系统。类似地，Charlier、Meixner、Kravchuk和Hahn的多项式都是正交的，并且是适当的二阶差分算子的本征函数。根据著名的Favard-Shohat定理，正交性条件等价于3项递归关系。向量正交多项式（VOP）满足有限项递归关系，其中有更多的条款，根据一个定理，由J. Van Iseghem，这是他们的特点。受Bochner定理的启发，我们正在寻找VOP，它也是微分（差分）算子的本征函数。我们称这些同时条件为Bochner性质。本文的目的是介绍具有Bochner性质的VOP的构造方法。这些方法是纯代数的，并且基于非交换代数的自同构。他们还使用了所谓的双频问题的想法。抽象方法的应用包括经典正交多项式的广泛推广，包括连续和离散。其他结果连接不同的家庭VOP，包括经典的，由纯代数起源的线性变换，尽管事实上，当解释分析，他们是积分变换。
2017-10-01 math-ph math.CA math.MP
