In this paper, I construct the Darboux transformations for the non-commutative Toda solutions at $ n=1 $ with the help of linear systems whose compatibility condition yields zero curvature representation of associated systems of non-linear differential equations. I also derive the quasideterminant solutions of the non-commutative Painlevé II equation by taking the Toda solutions at $ n=1 $ as a seed solution in its Darboux transformations. Further by iteration, I generalize the Darboux transformations of the seed solutions to $ N$-th form. At the end I describe the zero curvature representation of quantum Painlevé II equation that involves Planck constant $ \hbar $ explicitly and system reduces to the classical Painlevé II when $ \hbar \rightarrow 0 $.
Darboux solutions of non-abelian quantum Painlevé II equation in terms of quasideterminants
本文提出了量子Painlevé II方程的非阿贝尔形式，并利用达布变换导出了它的拟行列式解。这个非阿贝尔量子Painlevé II方程可以被认为是由V.Retakh和V.Rubtsov提出的它的纯非对易类似物的一个特殊情况。在这些计算中，量子Painlevé II对称形式与交换关系的H。Nagoya方法导出了Nonabel量子Painlevé II方程，并给出了变量$z$与解$ f(z)$（如$ z f - f z = \frac{1}{2} i \hbar f $）之间的一种新的对易关系.最后，利用拟行列式将该方程组的达布解推广到$N$形式.
Hamiltonian representation of isomonodromic deformations of twisted rational connections: The Painlevé $1$ hierarchy
Université de Lyon（里昂大学）；Université Jean Monnet Saint-Étienne（圣艾蒂安让·莫内大学）；CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan（法国国家科学研究中心 5208 联合实验室，卡米尔·若当研究所）；Institut Universitaire de France（法兰西学院）
Lectures on exceptional orthogonal polynomials and rational solutions to Painlevé equations
这些是2018年10月5日至12日在杜阿拉（喀麦隆）举行的\textit{AIMS-Volkswagen Stiftung Workshop on Introduction to Orthogonal Polynomials and Applications}教授的特殊多项式课程的讲义。他们总结的基本结果和建设的特殊多项式，在过去的十年中发展。此外，还给出了潘勒韦方程PIV及其高阶推广的有理解的构造的一些新结果，这些高阶推广属于$A_{2n}^{(1)}$ -Painlevé族.该构造基于薛定谔算子的缀饰链，其势是谐振子的有理扩展。这里介绍的一些材料（Sturm-Liouville算子，经典正交多项式，Darboux-Crum变换等）。是经典的，可以在许多教科书中找到，而一些结果（属，交错和循环玛雅图）是新的，并首次在这套讲义。
