Asymptotics for Hankel Determinants Associated to a Hermite Weight with a Varying Discontinuity
本文研究了由实直线上具有Fisher-Hartwig奇异性的Hermite权的矩构造的$n\times n$ Hankel行列式.我们考虑的情况下，奇异性是在体，是根型和跳跃型。我们得到大$n$渐近这些汉克尔行列式，我们观察到一个临界转变时，跳跃的大小随$n$。这些决定因素出现在稀疏的广义高斯酉系综和建设的特殊功能解决方案的Painlevé IV方程。
2018-03-07 math-ph math.CA math.CV
Explicit solutions of Schrödinger and KdV equations in terms of square roots of the generalised matrix eigenvalues
本文利用GBDT版本的Bäcklund–Darboux变换和广义矩阵特征值的平方根，构造了矩阵薛定谔方程、动力学薛定谔方程及矩阵KdV方程的显式解，并给出了包括强奇异势在内的若干例子。
2022-05-26 math-ph math.CA math.DS
Wigner matrices, the moments of roots of Hermite polynomials and the semicircle law
本文给出了$n^{th}$一次Hermite多项式$H_n$的适当正规化根的经验分布弱收敛于循环律这一著名定理的两种证明，该循环律也是Wigner矩阵的适当正规化特征值的经验分布的弱极限.在第一个证明中--基于Hermite多项式满足的递归性--我们证明了$H_n$的根的矩的生成函数是收敛的，并且它满足一个不动点方程，$c(z^2)$也满足这个不动点方程，其中$c(z)$是Catalan数$C_k$的生成函数.在第二个证明中，我们计算的领导和第二领导项的$k^{th}$时刻（作为一个多项式在$n$）的$H_n$，并表明，第一个符合$C_{k/2}$，$(k/2)^{\rm th}$加泰罗尼亚数，其中$k$是偶数和第二个是由$-(2^{2k-1}-\binom{2k-1}{k})$。我们还提到已知的结果，即魏格纳随机矩阵的特征多项式（$p_n$）的期望正好是厄米多项式（$H_n$），即$Ep_n(x)=H_n(x)$，这表明厄米多项式和魏格纳矩阵之间存在着深刻的联系。
2016-05-25 math.CA math.PR
On real and imaginary roots of generalised Okamoto polynomials
本文推导了广义Okamoto多项式实根与虚根个数的精确公式，并据此给出Sasa-Satsuma方程的部分怪波列表及第四Painlevé方程在实轴或虚轴上无极点的有理解族，同时提出一种基于Bäcklund变换的奇点分布算法化程序。
2024-02-24 math-ph math.CA math.MP
Maximal univalent disks of real rational functions and Hermite-Biehler polynomials
本文基于Hermite-Biehler定理，证明了以多项式p的相邻实根为直径的开圆盘是实有理函数R=q/p的极大单叶圆盘，从而解决了Hermite-Biehler问题的一个特例。
2010-05-10 math.CA math.CV
An estimate of the root mean square error incurred when approximating an $f \in L^2({\mathbb{R}})$ by a partial sum of its Hermite series
令$f$是$L^2({\mathbb{R}})$中的带限函数。修复$T >0$并假设$f^{\prime}$存在，并且在$[-T, T]$上可积。本文给出了用其Hermite级数的部分和在均方根上逼近$f$时所引起的误差的具体估计。具体地说，我们表明，$K=2n, \quad n \in Z_+,$ $$ \left[\frac{1}{2T}\int_{-T}^T[f(t)-(S_Kf)(t)]^2dt\right]^{1/2}\leq \left(1+\frac 1K\right)\left(\left[ \frac{1}{2T}\int_{|t|> T}f(t)^2dt\right]^{1/2} +\left[\frac{1}{2T} \int_{|ω|>N}|\hat f(ω)|^2dω\right]^{1/2} \right) +\frac{1}{K}\left[\frac{1}{2T}\int_{|t|\leq T}f_N(t)^2dt\right]^{1/2} +\frac{1}π\left(1+\frac{1}{2K}\right)S_a(K,T), $$，其中$S_Kf$是$f, \hat f $的厄米级数的$K$次部分和是$f$，$\displaystyle{N=\frac{\sqrt{2K+1}+% \sqrt{2K+3}}{2}}$和$f_N=(\hat f …
2017-08-29 math.CA math.FA
Generalised root identities for zeta functions of curves over finite fields
我们考虑了有限域上曲线zeta函数的广义根恒等式，并与相应的黎曼ζ函数的分析作了比较.我们用数值方法证明了，对于k，k_{k}满足广义根恒等式，并对μ=0，-1\：\&\：-2的特殊情况进行了详细的研究.然而，与对μ的情形不同，我们证明了在有限域上曲线的zeta函数的设置中，μ=-2的根恒等式与Weil证明的黎曼假设（RH）是一致的。将这种分析与相应的计算进行比较，可以看出，尽管Rk和Rk都有欧拉和阿达玛乘积表示，但正是计数函数N（T）的详细结构驱动了这些恒等式根端的Cesaro计算，从而确定了每个设置中RH的根恒等式的含义。
2012-02-12 math.CA math.CV math.NT
Hermite-Poulain theorems for linear finite difference operators
本文为常系数线性有限差分算子建立了Hermite-Poulain定理的类比，证明了中心差分算子Δ_{θ,h}在特定条件下的保根性质、单根性、网格不减性及根的渐近行为。
2019-01-18 math.CA
Lee--Yang zeroes of the Curie--Weiss ferromagnet, unitary Hermite polynomials, and the backward heat flow
本文研究逆向热流导出的酉Hermite多项式，将其零点分布识别为自由酉正态分布，并据此确定Curie–Weiss模型在复外场下的李-杨零点全局分布，同时揭示逆向热流在根分布层面诱导自由Brownian运动。
2024-12-30 math-ph math.CA math.CV
A note on the multivariate symmetric Hermite Interpolant
本文推广了多元对称多项式的 Hermite 插值，处理根重合情形，扩展了 Roy 和 Szpirglas 的对称 Hermite 插值基结果。
2025-08-26 math.AC math.CA
Generalised Cesaro Convergence, Root Identities and the Riemann Hypothesis
本文扩展了广义Cesàro求和方法，通过余项Cesàro求和定义根恒等式，利用傅里叶理论与余项Cesàro求和建立表达式，针对Gamma函数和黎曼ζ函数探讨根分布及渐进行为，指出μ=-2时根对称性被打破，从而推翻黎曼猜想。
2026-04-19 math.CA math.NT
Exact & Numerical Tests of Generalised Root Identities for non-integer μ
本文考虑了文[1]中引入的关于简单函数的广义根恒等式，以及关于Γ（z+1）和Γ（s）的广义根恒等式。与文献[1]不同，本文主要讨论非整数μ的情形。对于最简单的函数f（z）=z，并因此对于任意多项式，我们证明了它们对任意实数μ（并因此对任意复数μ通过解析延拓）都是满足的。利用这一点，我们给出了任意实μ下的Γ（z+1）的根恒等式导数侧的渐近公式，由此我们能够数值地证明，对于任意μ，Γ（z+1）也满足广义根恒等式，而不仅仅是整数值。最后，我们还研究了μ的非整数值的广义根恒等式。在[1]中已经证明，对于整数μ>1，（以及去除障碍物后的μ=1），本文首先给出了强有力的数值证据，证明了当任意μ>1时，当根边经典收敛时，然后，对于-1<μ<1，这仍然是真的，其中必须去除Césaro发散，并且需要对残差部分和函数进行Césaro平均（当μ<0时）。仔细考虑μ=0的邻域也揭示了在[1]中以图解方式处理的2d ln-发散的出现，以及为什么在[1]中将2d Césaro极限0分配给它是合理的。μ>0时的数值计算捆绑在可移植的R代码中;-1<μ<0时的代码，包括μ<0时所需的Césaro平均值，都在R代码中。R-scripts和XL电子表格都与本文一起提供，以及支持文件，可以很容易地用于进一步验证这些声明。
2011-11-07 math.CA math.NT
Rational Solutions of the Fifth Painlevé Equation. Generalised Laguerre Polynomials
本文研究第五潘勒韦方程的有理解，用广义拉盖尔多项式表示解，确定其性质、微分-差分方程、根结构与判别式，并给出朗斯基拉盖尔多项式系数的显式表达式。
2023-10-30 math-ph math.CA math.MP
Dressing for generalised linear Hamiltonian systems depending rationally on the spectral parameter and some applications
本文针对谱参数有理依赖的广义哈密顿系统构造 Darboux 矩阵与基本解，利用 Bäcklund-Darboux 变换和广义矩阵特征值平方根获得多变量动力系统的显式解。
2022-05-24 math-ph math.CA math.DS
Supersymmetric Quantum mechanics on the radial lines
本文研究了平面上$r$直线上的一类Hermite正交多项式，它们的公共点在原点，端点在$r$的单位根上，并证明了它们的相关Hermite函数是微分-差分算子的本征函数.提出并分析了一种在$r$径向线上的超对称谐振子。它的本征函数由这些多项式给出。
2018-11-06 math.CA
Symmetric products of Laguerre zeros
University of Coimbra（科英布拉大学）
本文证明并推广了关于Hermite多项式极端正零点的猜想，通过广义Laguerre多项式零点对称积的单调性，并解决了一个单参数扩展。
2026-09-09 math.CA
On a q-extension of Mehta's eigenvectors of the finite Fourier transform for q a root of unity
证明了q为单位根的连续q-Hermite多项式相对于经典的傅里叶变换具有简单的变换性质。这个结果然后被用来构造q-扩展的特征向量的有限傅里叶变换在这些多项式。
2009-05-21 math.CA
Distances of roots of classical orthogonal polynomials
设$(P_N)_{N\ge0}$是正交多项式的经典序列之一，即，Hermite、Laguerre或雅可比多项式。对于$P_N$的根$z_{1,N},\ldots, z_{N,N}$，我们推导出$\min_{i\ne j}|z_{i,N}-z_{j,N}|$的较低估计和与正交区间边界的距离。证明是基于最近的结果的协方差阵的特征值的中心极限定理相关的$β$ -随机矩阵合奏，这些实体出现作为条目，这些矩阵的特征值是已知的。
2022-04-08 math.CA math.PR
A Semicircle Law for Derivatives of Random Polynomials
设$x_1, \dots, x_n$是$n$独立同分布的随机变量，其均值为零，方差为单位，其余阶矩为有限。研究了根在$x_1, \dots, x_n$的随机多项式$p_n$。我们证明了对于固定为$n \rightarrow \infty$的$\ell \in \mathbb{N}$，$p_n^{}$的$(n-\ell)-$阶导数的行为类似于Hermite多项式：对于紧区间上的$x$，$${n^{\ell/2}} \frac{\ell!}{n!} \cdot p_n^{(n-\ell)}\left( \frac{x}{\sqrt{n}}\right) \rightarrow He_{\ell}(x + γ_n),$$其中$He_{\ell}$是$\ell-$阶概率者的Hermite多项式，$γ_n$是收敛到标准$\mathcal{N}(0,1)$高斯的随机变量，作为$n \rightarrow \infty$ .因此，当对一个随机多项式进行多次微分时，存在一个普遍现象：剩余的根遵循维格纳周期分布。
2020-05-20 math.CA math.PR
Interlacing Properties of Coefficient Polynomials in Differential Operator Representations of Real-Root Preserving Linear Transformations
本文研究由实正交多项式系定义的线性变换，通过其微分算子表示中的系数多项式根的交错性质，刻画了保持实根性的条件，并证明相关猜想。
2021-12-21 math.CA math.CV
