Anisotropic flows without global terms and dual Orlicz Christoffel-Minkowski type problem
本文研究了无全局项的各向异性曲率流的长时间存在性，并利用其平稳解解决对偶Orlicz Christoffel-Minkowski型问题，涵盖多种已知问题并部分回答了一般指定曲率问题。
2024-01-02 math.AP math.DG
A class of inverse curvature flows and $L^p$ dual Christoffel-Minkowski problem
本文考虑了欧氏空间$\mathbb{R}^{n+1}$中的一类具有速度$ψu^αρ^δf^{-β}$的闭、光滑、星形超曲面的扩张流，其中$ψ$是单位球面上的光滑正函数，$u$是超曲面的支撑函数，$ρ$是径向函数，$f$是一次光滑、对称、齐次超曲面，凸锥上超曲面的主曲率的正函数。当$ψ=1$时，我们证明了当$α+δ+β\le1, β>0$和$α\le0$时，流存在于所有时间并收敛到无穷大，而在情况$α+δ+β>1,α,δ\le0$，流在有限时间内爆破，并且我们假设初始超曲面是严格凸的。在这两种情况下，适当重新缩放的流收敛到以原点为中心的球体。特别地，Gerhardt \cite{GC,GC3}和Urbas \cite{UJ2}的结果可以通过放入$α=δ=0$来恢复。我们以前的作品\cite{DL,DL2}可以通过把$δ=0$恢复。利用这些流的收敛性，我们给出了$L^p$-Minkowski问题和$L^p$-Christoffel-Minkowski问题解的唯一性定理的一个新的证明.同样，我们提出了$L^p$对偶Christoffel-Minkowski问题，并证明了$L^p$对偶Minkowski问题和$L^p$对偶Christoffel-Minkowski问题解的唯一性定理.最后，我们讨论了一类各向异性流（即一般函数$ψ$）的长期存在性和收敛性。最后的结果不仅给出了$L^p$对偶M…
2022-06-24 math.AP math.DG
The capillary Christoffel-Minkowski problem
Key Laboratory of Pure and Applied Mathematics, School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院纯与应用数学重点实验室）；Mathematisches Institut, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg（弗莱堡大学数学研究所）；Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院恩尼奥·德乔治数学研究中心）；Dipartimento di Matematica, Università di Pisa（比萨大学数学系）
本文提出毛细凸体的k-th毛细面积测度，并引入毛细Christoffel-Minkowski问题，通过求解Hessian型方程与Robin边界条件，证明了在自然充分条件下解的存在性和唯一性。
2025-12-19 math.AP math.DG
The $L_{p}$ dual Christoffel-Minkowski problem for $1<p<q\leq k+1$ with $1\leq k\leq n$
本文研究 $L_p$ Christoffel-Minkowski 型问题，通过梯度估计证明了在 $1<p<q\leq k+1$ 条件下存在偶光滑严格凸解。
2025-08-06 math.AP math.DG
The capillary $L_{p}$ dual Christoffel-Minkowski problem for $1<p<q\leq k+1$ with $1\leq k\leq n$
School of Mathematics；Statistics Wuhan University Wuhan 430072, P. R. China
本文针对毛细管 $L_p$ 对偶 Christoffel-Minkowski 问题，通过梯度估计，在 $1<p<q\leq k+1$ 参数范围内证明了偶、光滑、严格凸解的存在性。
2026-09-30 math.AP math.DG
A unified flow approach to smooth $L^p$ Christoffel-Minkowski problem for $p>1$
本文研究了$\mathbb{R}^{n+1}$中光滑、闭、一致凸超曲面以$ψσ_k(λ)^α$为速度的各向异性扩张流，其中$α$为正常数，$σ_k(λ)$为主曲率半径的$k$阶初等对称多项式，$ψ$为定义在$\mathbb{S}^n$上的一个预赋正光滑函数.我们证明，在一些假设下的$ψ$，解决方案的流量后，规范化存在的所有时间和顺利收敛到解决著名的$L^p$ Christoffel-Minkowski问题$u^{1-p}( x ) σ_k \left( \nabla^2u+uI\right)=cψ(x)$为$p>1$。
2023-01-16 math.DG
Mixed Christoffel-Minkowski problems for bodies of revolution
针对轴对称凸体的混合Christoffel-Minkowski问题，提出变换混合面积测度与体积的简便方法，改进Firey的面积测度局部估计，无需正则性条件给出完整解答，还得到一族轴对称凸估值的Hadwiger型定理。
2025-10-02 math.AP math.DG math.MG
Explicit solutions to Christoffel-Minkowski problems and Hessian equations under rotational symmetries
本文在旋转对称性下，给出了凸旋转体Christoffel-Minkowski问题的显式解，并研究了混合面积测度的存在性问题，通过构造显式的凸解来解决混合Monge-Ampère方程，特别地处理了R^n上的k-Hessian方程的Dirichlet问题。
2026-05-20 math.AP math.DG math.FA
Capillary Christoffel-Minkowski problem
本文将Guan和Ma关于球面凸函数对应严格凸超曲面$σ_k$曲率的结果，推广到半空间毛细管环境中，证明当$θ\in(0,π/2)$时，满足条件的函数对应严格凸毛细管超曲面的$σ_k$曲率。
2025-04-12 math.AP math.DG math.MG
A flow method for a generalization of $L_{p}$ Christofell-Minkowski problem
本文研究了$L_{p}$ -Christoffel-Minkowski问题的推广.考虑了各向异性曲率流，并证明了该流的长时间存在性。然后在一定的初始条件下，得到了$c=1$问题光滑解的存在性。
2022-04-21 math.AP math.DG
Hyperbolic $p$-sum and Horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space
经典的Brunn-Minkowski理论利用Minkowski和研究欧氏空间中凸体的几何。它起源于H。Brunn在1887年的论文和H.闵可夫斯基1903年的论文。由于双曲空间中两个集合之和没有公认的定义，因此自1903年以来，双曲空间中就没有Brunn-Minkowski理论。本文在双曲空间中，对任意的$p>0$，引入了两个集合的和，称之为双曲$p$ -和.然后利用我们的双曲$p$ -和在双曲空间中建立了一个Brunn-Minkowski理论，我们称之为时球$p$ -Brunn-Minkowski理论.设$K$是双曲空间$\mathbb{H}^{n+1}$中的光滑均匀凸有界域.通过利用我们的双曲$p$ -和计算$K$的$k$ -次修正质量积分的变化，我们引入了单位球$\mathbb{S}^n$上与$K$相关的准球面$k$ -次$p$ -表面积测度.对于$k=0$，我们引入了准球面$p$ -Minkowski问题，这是一个规定的准球面$p$ -表面积测量问题.通过设计和研究一个新的保体积流，解决了当给定测度为偶数时，对所有$p \in (-\infty,+\infty)$，半球$p$ -Minkowski问题解的存在性.对于$1 \leq k \leq n-1$，我们引入了准球面$p$ -Christoffel-Minkowski问题，它是准球面$k$ -次$p$ -表面积测量问题…
2022-11-13 math.AP math.DG math.MG
A class of anisotropic expanding curvature flows
考虑n+1维欧几里得空间中光滑、闭、一致凸超曲面的扩张流，速度为fu^{alpha}{sigma}_k^{beta}，其中u为超曲面的支撑函数，alpha，beta为两个常数，且beta>0，sigma_k为超曲面主曲率半径的第k个对称多项式，k为整数且1 ≤ k ≤ n.证明了当常数α，β在适当的范围内，函数f满足严格球凸条件时，该流始终存在唯一的光滑一致凸解，并在归一化后光滑收敛到一个孤子，该孤子是一个椭圆型方程的解.当β =1时，孤子方程就是Lp Christoffel-Minkowski问题的方程。这样，我们的论证为著名的L_p Christoffel-Minkowski问题（p>= k+1，其中p=2-alpha）提供了一个证明，这与Ivaki最近的结果一致.
2019-05-12 math.AP math.DG
Orlicz-Minkowski flows
研究了一类各向异性非齐次Gauss曲率流的长时间存在性和性态，如果其定常解存在，则其解是正则Orlicz-Minkowski问题的解.作为应用，我们得到了正则偶Orlicz-Minkowski问题的新旧结果，相应的$L_p$版本是$p>-n-1$的偶$L_p$-Minkowski问题.此外，利用抛物近似方法，我们给出了一般Orlicz-Minkowski问题的一些存在性结果的新证明;对于$p>0$的$L_p$版本是偶$L_p$ -Minkowski问题，对于$p>1$的$L_p$ -Minkowski问题.最后，我们利用一个不带整体项的曲率流来求解一类$L_p$ -Christoffel-Minkowski型问题。
2020-04-30 math.AP math.DG math.MG
A class of curvature type equations
本文研究了一类完全非线性曲率方程的可解性，这类方程可以看作是凸几何中Christoffel-Minkowski问题方程的推广.我们还将研究相应退化方程的狄利克雷问题，作为Krylov研究的方程的推广。
2019-09-24 math.AP math.DG
Uniqueness of solutions to a class of non-homogeneous curvature problems
本文利用 Heintze-Karcher 不等式证明一类各向同性混合 Christoffel-Minkowski 及 Minkowski 型问题的光滑凸解只能是中心球面，并推出 Orlicz-Minkowski 与 $L_p$-Gaussian-Minkowski 问题的唯一性。
2023-07-14 math.AP math.DG
Generalized Minkowski formulas and rigidity results for anisotropic capillary hypersurfaces
该研究提出半空间中各向异性毛细超曲面的新Hsiung-Minkowski积分公式，证明相关Alexandrov型定理与刚性结果，得到各向异性Orlicz-Christoffel-Minkowski问题解的唯一性，为p≥1的L_p-Minkowski问题解的唯一性提供新证明。
2025-05-18 math.DG
Hypersurfaces of Prescribed Curvature Measure
我们考虑相应的曲率测度的Christoffel-Minkowski问题。星形$(n-k)$ -具有给定$k$阶曲率测度的凸体（$k>0$）的存在性是一个长期存在的问题.本文通过对$\mathbb S^n$上相应的曲率方程建立一个关键的$C^2$先验估计来解决这一问题。
2011-03-11 math.AP math.DG
Uniqueness of solutions to a class of isotropic curvature problems
本文运用局部Brunn-Minkowski不等式，为Gauss曲率流闭自相似解的唯一性提供了简洁证明，并将该结论推广至多种非线性情形及偶Christoffel-Minkowski型问题。
2023-04-25 math.AP math.DG
Deforming a convex hypersurface by anisotropic curvature flows
本文研究了欧氏n-空间中凸超曲面的全非线性曲率流.该流包含主曲率半径的k阶初等对称函数和一个支撑函数。在适当的假设下，我们给出了该流的长时间存在性和收敛性的证明.作为应用，我们给出了Orlicz-Christoffel-Minkowski问题光滑解的存在性.
2020-11-20 math.AP math.DG
Lorentzian area measures and the Christoffel problem
我们引入了一类特殊的$\R^{d+1}$的无界闭凸集，称为F-凸集（F代表未来）。为了定义它们，我们使用签名$(+,...,+,-)$的Minkowski双线性形式而不是通常的标量积，并且我们要求高斯映射是双曲空间$\H^d$上的满射。重要的例子是所谓的全局双曲极大平坦洛伦兹流形的泛覆盖的嵌入。基本的工具首先推导，类似于凸体的经典研究。例如，F-凸集由它们的支撑函数确定，该支撑函数定义在$\H^d$上。定义了$i$，$0\leq i\leq d$阶面积测度.与凸体情况一样，它们是$ε$中多项式的系数，$ε$是凸集的$ε$近似的体积。在这里，面积测量是相对于洛伦兹结构定义的。然后重点研究了一阶面积测度。寻找一个测度（这里是$\H^d$）是F-凸集的第一个面积测度的充要条件是Christoffel问题。我们得到了许多关于这个问题的结果。如果我们限制到“Fuchsian”F-凸集（那些在线性等距作用于$\H^d$上的余紧下不变的F-凸集），则问题完全解决，类似于凸体的情况。在这种情况下，测度可以在紧致双曲流形上给出。特别注意光滑和多面体的情况下。在这些情况下，Christoffel问题相当于分别规定平均曲率曲率半径和边长。
2015-02-04 math.DG
Parabolic approaches to curvature equations
本文利用曲率流方法，在单连通黎曼空间和Lorentzian de Sitter空间中求解一类椭圆型曲率方程的严格凸类空解，其中方程的函数依赖于位置和法向量.特别是在欧几里得空间中，我们解决了一类规定的曲率测度问题，中间$L_p$ -Aleksandrov和对偶Minkowski问题以及它们的对应问题，即$L_{p}$ -Christoffel-Minkowski型问题.在某些情况下，除了正性之外，我们不对各向异性施加任何条件，并且在其余情况下，我们的条件类似于由于Caffarelli-Guan-Ma（Commun. Pure Appl.Math.60（2007），1769- 1791）。我们的方法不依赖于单调熵泛函，它是适合于处理曲率问题，不具有变分结构。
2020-10-24 math.AP math.DG
The Christoffel problem for the disk area measure
Goethe-Universität Frankfurt（法兰克福歌德大学）；Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；CUNEF Universidad（CUNEF大学）
研究圆盘面积测度的混合基督费尔问题，通过积分表示和微分方程推导凸体支撑函数的重建条件及解的正则性要求。
2026-01-27 math.AP math.DG math.MG
The discrete logarithmic Minkowski problem for the electrostatic $\mathfrak{p}$-capacity
静电容量的闵可夫斯基问题描述了静电容量产生的度量，这是闵可夫斯基问题的一个著名变体。本文将此问题推广为具有$\mathfrak{p}$ -容量的$L_p$ Minkowski问题.特别地，对数情况$p=0$涉及锥体积，因此具有几何意义。本文在给定测度的支撑在一般位置的情况下，解决了离散对数Minkowski问题（$1<\mathfrak{p}<n$）.
2021-11-14 math.AP math.DG
On the uniqueness of $L_p$-Minkowski problems: the constant $p$-curvature case in $\mathbb{R}^3$
研究了满足$K(x)=u(x)^{1-p}$的$C^4$光滑凸体$\mathbb{K}\subset\mathbb{R}^{n+1}$，其中$x\in\mathbb{S}^n$，$K$是$\partial\mathbb{K}$的高斯曲率，$u$是$\mathbb{K}$的支撑函数，$p$是常数.在$n=2$的情况下，无论是当$p\in[-1,0]$或$p\in(0,1)$除了捏条件，我们表明，$\mathbb{K}$必须是单位球。这部分回答了Lutwak，Yang和Zhang关于$\mathbb{R}^3$中$L_p$ -Minkowski问题的唯一性的一个猜想.此外，我们给出了一个明确的捏常数只依赖于$p$时$p\in(0,1)$。
2015-08-20 math.AP math.DG
Flow by Gauss curvature to the $L_p$-Gaussian Minkowski problem
本文研究了高斯概率空间中的$L_p$ -Brunn-Minkowski理论中的$L_p$ -Gaussian Minkowski问题.我们使用Aleksandrov的变分方法和Lagrange乘子来证明对数Gauss Minkowski问题的存在性。在欧氏空间$\mathbb{R}^{n+1}$中构造了一个适当的闭凸超曲面的高斯曲率流，证明了它的长时间存在性，并分别在$p>0$和$-n-1<p\leq 0$具有偶数指定函数的情况下，光滑地收敛到规范化$L_p$ Gaussian Minkowski问题的光滑解.我们还分别在$p\geq n+1$和$0<p<n+1$具有偶函数的情形下，给出了$L_p$ -Gaussian Minkowski问题在光滑范畴中的抛物性证明.
2022-12-04 math.AP math.DG
A Minkowski type inequality with free boundary in space forms
本文将空间形式中支撑在脐超曲面上的闵可夫斯基不等式推广到自由边界情形，建立了最优加权闵可夫斯基不等式的自由边界版本。
2024-05-13 math.AP math.DG
Regularities for solutions to the $L_p$ dual Minkowski problem for unbounded closed sets
最近，人们提出了点闭凸锥中无界闭凸集的$L_p$对偶Minkowski问题，并给出了该问题的一个弱解.在光滑条件下，该问题等价于求解一类Monge-Ampère型方程的狄利克雷问题.本文通过研究一类Monge-Ampère泛函的变分性质，证明了在$p\geq 1$情形下该Monge-Ampère型方程解的存在性、正则性和唯一性.此外，还讨论了$p<1$和$q\geq n$情形下的全局Hölder正则性的存在性和最优性.
2024-04-29 math.AP math.DG
Similarity surfaces, connections, and the measurable Riemann mapping theorem
本文通过构造由多边形粘合的相似曲面序列，研究复平面上Beltrami方程解的逼近，独立证明了解关于Beltrami形式的解析依赖性，并证明紧支集C²数据下Christoffel符号定义的平行移动序列收敛于特定仿射联络对应的平行移动。
2025-08-04 math.CV math.DG
On the $L_p$-Brunn-Minkowski and dimensional Brunn-Minkowski conjectures for log-concave measures
本文在统一的框架下研究了Brunn-Minkowski型不等式中对称性的作用，如Böröczky，Lutwak，Yang和Zhang的$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想，Gardner和Zvavitch的维数Brunn-Minkowski猜想.我们得到了一些新的结果。证明了当$K\subset L,$时，$L_p$ -Minkowski猜想的乘法形式对$p\geq 1-Cn^{-0.75}$的勒贝格测度成立，这改进了Kolesnikov和Milman在一个物体包含在另一个物体中的部分情况下的估计.我们还表明，乘法版本的$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想的标准高斯测度的情况下，集包含足够大的球（其半径取决于$p$）。特别地，当$K$和$L$包含$\sqrt{0.5 (n+1)}B_2^n.$时，Gaussian Log-Brunn-Minkowski猜想成立.我们对对数凹测度提出了一个先验更强的猜想，推广了$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想和维数猜想，并在集合是扩张的且测度是Gaussian的情况下验证了该猜想.我们还表明，对数-布伦-闵可夫斯基猜想，如果验证，将产生这个更一般的家庭的不平等。我们的结果建立在Kolesnikov和Milman以及Colesanti，Livshyts，Marsiglietti开发的方法上。我们进一步验证，这些结…
2020-08-29 math.AP math.DG math.MG
Minkowski inequalities and constrained inverse curvature flows in warped spaces
本文研究黎曼扭曲空间中的局部受限逆曲率流，证明了其长时间存在性与平滑收敛性，并利用单调量及逆平均曲率流推导出多维空间中新的闵可夫斯基型不等式。
2020-05-22 math.AP math.DG math.MG
Prescribed $L_{p}$ curvature problem for convex capillary hypersurface
Peking University（北京大学）；Albert-Ludwigs-Universität Freiburg（弗赖堡大学）；Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）
本文研究了欧几里得半空间中凸毛细超曲面的 prescribed $L_p$ 曲率问题，通过转化问题为 Hessian 商类型方程，证明了解的存在性和唯一性，并应用该方法解决了毛细 $L_p$ Christoffel-Minkowski 问题及相关特征值问题。
2026-09-29 math.DG
Logarithmic Brunn--Minkowski Inequality under $n-2$ Reflection Symmetries
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学学院）
该研究证明了具有n-2个正交超平面对称性的原点对称凸体的对数Brunn-Minkowski不等式，讨论其等号情况与对数Minkowski问题的唯一性，并将不等式推广到特定对数凹测度。
2026-09-29 math.AP math.DG math.MG
On the Minkowski deficit for surfaces of revolution
本文通过函数不等式证明了凸旋转曲面的Minkowski不等式，并建立了Minkowski亏量与经线等周亏量间的锐利关系。
2026-09-16 math.DG
The equivariant Minkowski problem in Minkowski space
Minkowski空间中的经典Minkowski问题要求，对于$\mathbb{H}^d$上的正函数$ϕ$，在Minkowski空间中的凸集$K$具有$C^2$类空边界$S$，使得$ϕ(η)^{-1}$是在具有正常$η$的点处的Gauss-Kronecker曲率。类似于欧几里德的情形，可以将这个问题的一个弱形式公式化：给定$\mathbb{H}^d$上的Radon测度$μ$，Minkowski空间中的广义Minkowski问题要求一个凸子集$K$，使得$K$的面积测度是$μ$。本文研究了这个问题的一个等变形式：给定$\mathbb{H}^d$的等距的一致格$Γ$，给定$Γ$不变的Radon测度$μ$，给定Minkowski空间的等距群$Γ_τ$，以$Γ$为线性部分，存在唯一的凸集，其面积测度$μ$在$Γ_τ$的作用下不变.证明使用的功能，这是covolume相关联的每一个不变的凸集。这一结果转化为平坦时空中具有紧双曲柯西曲面的闵可夫斯基问题的解。唯一性的一部分，以及规律性的结果，遵循从性质的蒙日-安培方程。存在性部分可以转化为Monge-Ampère方程的一个存在性结果。T.~证明了正则形式Barbot，F.~ Béguin和A.~ Zeghib用于$d=2$，V.~ Oliker和U.~西蒙代表$Γ_τ=Γ$。我们的方法完全不同。此外，我们表明，这些情况下是非常具体的：在一般情况…
2017-01-04 math.DG
The Dirichlet problem of the constant mean curvature equation in Lorentz-Minkowski space and in Euclidean space
研究了中曲率方程的狄利克雷问题在欧几里得空间和Lorentz-Minkowski空间中的异同.虽然狄利克雷问题的可解性遵循标准技术的椭圆型方程，我们专注于展示如何在洛伦兹-闵可夫斯基空间的类空条件允许下降的假设上的平均凸性，这是需要在欧几里得的情况下。
2019-12-17 math.DG
Bertrand Partner D-Curves in Minkowski 3-space
本文研究三维Minkowski空间中位于曲面上的曲线的Bertrand曲线的概念。在Darboux框架下，我们定义了这些曲线为Bertrand D-曲线，并给出了它们的特征。我们还找到了这些曲线的测地曲率、法曲率和测地挠率之间的关系。在Minkowski三维空间中，Bertrand D-曲线的定义和刻画在某些特殊情况下也包含Bertrand曲线的定义和刻画。
2010-07-13 math.DG
Envelopes created by pseudo-circle families in the Minkowski plane
针对闵可夫斯基平面中伪圆族包络与欧氏情形性质有别的问题，本文解答了其存在性、表示、数量及定义关系四个基本问题。
2024-07-10 math.DG
Bounds for Minkowski Billiard Trajectories in Convex Bodies
本文利用Ekeland-Hessen-Zehnder辛容量给出了${\mathbb R}^{n}$中光滑凸体上最短周期台球轨迹长度的几个界和不等式.我们的结果既适用于经典台球，以及更一般的情况下，闵可夫斯基台球。
2012-08-30 math.DG math.SG
Uniqueness and continuity of the solution to $L_p$ dual Minkowski problem
Lutwak，Yang和Zhang \cite{LYZ2018}介绍了$L_p$对偶曲率测度，它统一了对偶Brunn-Minkowski理论和Brunn-Minkowski理论中的其他几种几何测度。受\cite{LYZ2018}研究的启发，我们考虑了$L_p$对偶Minkowski问题解的唯一性和连续性.为了将LYZ的重要工作（\ref{uniquepolytope}定理）推广到一般凸体的情形，我们建立了一些新的Minkowski型不等式，这些不等式与$L_p$对偶Minkowski问题的最优化问题密切相关.当$q< p$时，得到了一般凸体的$L_p$对偶Minkowski问题解的唯一性.此外，我们还得到了凸体的$L_p$对偶Minkowski问题解的连续性。
2021-03-24 math.DG math.MG
Prescribing Gauss curvature of surfaces in 3-dimensional spacetimes, Application to the Minkowski problem in the Minkowski space
本文研究了洛伦兹时空中具有常曲率或给定高斯曲率的曲面的存在性。我们特别证明了，每个（非初等）3维极大全局双曲空间紧时空的常数非负曲率是由紧凑的类空曲面常高斯曲率。在常负曲率的情况下，这样的叶理存在于凸核之外。证明了这些叶理的存在性，并给出了C.葛哈德，你可以得出几个推论。例如，它们允许在3维Minkowski空间中解决Minkowski问题，这些数据在协紧Fuchsian群的作用下不变。
2008-04-07 gr-qc math-ph math.DG
