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关于$L_p$问题的唯一性：$\mathbb{R}^3$中常PDMATHAAB-曲率情形

On the uniqueness of $L_p$-Minkowski problems: the constant $p$-curvature case in $\mathbb{R}^3$

Yong Huang, Jiakun Liu, Lu Xu

备注：
references updated
发表信息：
Adv. in Math. 281 (2015), 906-927
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摘要：

研究了满足$K(x)=u(x)^{1-p}$的$C^4$光滑凸体$\mathbb{K}\subset\mathbb{R}^{n+1}$，其中$x\in\mathbb{S}^n$，$K$是$\partial\mathbb{K}$的高斯曲率，$u$是$\mathbb{K}$的支撑函数，$p$是常数.在$n=2$的情况下，无论是当$p\in[-1,0]$或$p\in(0,1)$除了捏条件，我们表明，$\mathbb{K}$必须是单位球。这部分回答了Lutwak，Yang和Zhang关于$\mathbb{R}^3$中$L_p$ -Minkowski问题的唯一性的一个猜想.此外，我们给出了一个明确的捏常数只依赖于$p$时$p\in(0,1)$。

英文摘要：

We study the $C^4$ smooth convex bodies $\mathbb{K}\subset\mathbb{R}^{n+1}$ satisfying $K(x)=u(x)^{1-p}$, where $x\in\mathbb{S}^n$, $K$ is the Gauss curvature of $\partial\mathbb{K}$, $u$ is the support function of $\mathbb{K}$, and $p$ is a constant. In the case of $n=2$, either when $p\in[-1,0]$ or when $p\in(0,1)$ in addition to a pinching condition, we show that $\mathbb{K}$ must be the unit ball. This partially answers a conjecture of Lutwak, Yang, and Zhang about the uniqueness of the $L_p$-Minkowski problem in $\mathbb{R}^3$. Moreover, we give an explicit pinching constant depending only on $p$ when $p\in(0,1)$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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