An Improved Integrality Gap for Asymmetric TSP Paths
非对称旅行商路径问题（ATSPP）是一个给定具有指定顶点s和t的非对称度量空间$(V,d)$，目标是找到通过V中所有顶点的最小长度的s-t路径的问题。（而不是$s-t$路径）访问所有节点：对于ATSP，$ρ$近似保证意味着ATSPP的$O(ρ)$近似。然而，对于这些问题的线性规划松弛的完整性间隙，没有这样的连接是已知的：ATSPP的当前最佳近似算法是$O(\log n/\log\log n)$，而ATSPP的自然LP松弛（子图消除LP）的完整性间隙的最佳界限是$O(\log n)$。在本文中，我们关闭这个差距，并改善目前的最佳界的完整性差距从$O(\log n)$到$O(\log n/\log\log n)$。所得到的算法使用LP解中的窄$s$ - $t$切割的结构来构造（随机）树生成树，该树生成树可以被廉价地扩充以包含欧拉$s$ - $t$行走。我们还建立在Oveis Gharan和Saberi的结果，并显示了强形式的Goddyn的猜想薄生成树意味着完整性差距的subtour消除LP松弛ATSPP是有界的一个常数。最后，我们给出了一个更简单的家庭的情况下，这个LP的完整性差距至少是2。
2015-01-06 cs.DS
Sherali-Adams Integrality Gaps Matching the Log-Density Threshold
对数密度方法是一个强大的算法框架，近年来已经产生了最著名的各种问题的近似，包括Denmark- $k$ -子图和二分小集顶点扩展。这些近似已被证明是最佳的基础上的各种实例的一般猜想：这是很难区分一个完全随机的组合结构，其中包含一个类似的种植子结构具有相同的“日志密度”。证明了在边概率为$n^{-α}$的随机超图中，对任意$k$和$α$，Sherali-Adams的$\tildeΩ(\log n)$轮不能排除边密度为$k^{-α-o(1)}$的$k$ -子超图的存在性.即使目标函数的界限被提升，这也是成立的。这给出了与上述区分问题中的间隙完全匹配的强完整性间隙，以及最著名的近似，用于Denmark $k$ -子图，最小$p$ -边子图，它们的超图扩展，以及小集二分顶点扩展（或等价地，最小$p$ -并集）。以前，这种完整性差距仅为Denmark $k$ -子图的一个特定参数设置所知。
2018-04-20 cs.DS
The Lasserre Hierarchy in Almost Diagonal Form
Lasserre层次结构是一个系统的过程，用于构建一系列越来越紧的松弛，捕获凸配方中使用的最佳可用的近似算法的各种优化问题。尽管越来越多的兴趣，有很少的技术来分析Lasserre完整性差距。满足半正定要求是构造Lasserre间隙例子的主要障碍之一。我们提出了一种新的表征的Lasserre层次结构的矩矩阵的基础上，不同的对角矩阵的秩一（几乎对角形式）。我们提供了一个模块化的配方，以获得半正定的可行性条件，通过迭代对角化秩一矩阵。利用这一点，我们证明了两个基本的能力覆盖问题的Lasserre层次的完整性差距的强下界。对于最小背包问题，我们表明，完整性差距仍然任意大，即使在级别$n-1$的Lasserre层次。对于最小和的延迟工件调度问题，我们证明了完整性差距是无界的水平$Ω(\sqrt{n})$（即使当目标函数集成为约束）。这些界限本身就很有趣，因为这两个问题都承认FPTAS。
2014-04-02 cs.DS
Integrality gaps for strengthened LP relaxations of Capacitated and Lower-Bounded Facility Location
度量无容量约束设施选址问题（UFL）在近似算法中享有特殊地位，是各种技术的试验平台。UFL的两种推广是容量限制设施选址（CFL）和下界设施选址（LBFL）。在前者中，每个设施都有一个容量，这是可以分配给它的最大需求，而在后者中，每个开放设施都需要满足给定的最小需求量。CFL和LBFL都可以在一个常数因子内近似，但它们各自的自然LP松弛具有无界的完整性间隙。根据Shmoys和Williamson的说法，CFL的基于松弛的算法的存在是近似算法中的十大开放问题之一。在本文中，我们给出了关于这个问题的第一个结果。我们提供了大量的证据，对CFL的存在一个良好的LP松弛显示两个家庭的加强配方无界的完整性差距。我们考虑的第一个家族是从标准松弛开始重复应用提升和投影Lovász-Schrijver过程所产生的LP的层次结构。我们证明了在$Ω(n)$轮之后产生的CFL的LP松弛，其中$n$是实例中设施的数量，具有无界的完整性间隙。注意，已知Lovász-Schrijver程序在最多$n$轮中产生CFL的精确公式。我们还介绍了家庭的适当放宽推广到其逻辑极端的经典明星放松，等价形式的自然LP。我们描述了LBFL和CFL的适当松弛的完整性差距，并显示出阈值现象，它从无界下降到1。
2013-07-18 cs.DS
A Lasserre Lower Bound for the Min-Sum Single Machine Scheduling Problem
最小和单机排序问题（记为1|| sum f_j）推广了大量的排序问题。第一常数近似保证最近才获得，并且是基于用所谓的Knapsack-Cover不等式加强的自然时间索引LP松弛（参见Bansal和Pruhs，Cheung和Shmoys以及Mestre和Verschae最近的4+ε近似）。这些松弛有一个完整性差距为2，因为最小背包问题是一个特殊情况。没有APX硬度结果是已知的，仍然可以想象存在PTAS。有趣的是，当目标函数作为约束加入时，Lasserre层次松弛将最小背包问题的完整性间隙减小到1+ε。本文研究了最小和单机排序问题在Lasserre层次算法下的复杂性。我们证明了这个模型的第一个下界，显示的完整性差距是无界的水平Ω（\sqrt{n}），即使是在O（n log n）的时间内由Moore-Hodgson算法，即最小数目的误工问题的一个变种。我们考虑一个自然的配方，将目标函数作为一个约束，并证明了部分对角化的矩阵与放松和利用这种特性的结果。
2015-11-27 cs.DS
Understanding Set Cover: Sub-exponential Time Approximations and Lift-and-Project Methods
最近，Cygan、Kowalik和Wykurz [IPL 2009]给出了集合覆盖问题的亚指数时间逼近算法，逼近比优于ln（n）。根据这一结果，很自然地会问，是否可以使用提升和投影方法来实现这种改进。我们提出了一个更简单的组合算法，它具有几乎相同的时间近似的Cygan等人的算法权衡。并且其自然地适合于基于提升和项目的方法。在高层次上，我们的方法类似于Karlin，Mathieu和Nguyen [IPCO 2011]最近的工作，他们研究了背包的已知PTAS（类似于我们的组合集合覆盖算法）及其与背包的LP和SDP松弛层次的联系。对于集覆盖，我们表明，事实上，使用的技巧“提升目标函数“，我们可以匹配我们的组合算法使用的LP层次的Lovasz和Schrijver的性能。我们还表明，这个技巧是必不可少的：即使在更强的LP层次的Sherali和Adams，完整性差距保持至少（1-eps）ln（n）在水平欧米茄（n）（当目标函数没有解除）。正如Aleknovich，Arora和Tourlakis [STOC 2005]所示，来自SDP层次（特别是LS+）的集合覆盖松弛具有类似的大完整性间隙。这与Knapsack相反，Karlin等人表明（更强的）Lasserre SDP层次结构在O（1）层将完整性差距减少到（1+eps）。为了完整性，我们证明LS+也将背包的完整性差距减少到（1+eps）。这个结…
2012-10-25 cs.DS math.CO
The Bidirected Cut Relaxation for Steiner Tree has Integrality Gap Smaller than 2
针对Steiner树问题，本文证明双向切割松弛（BCR）的整性间隙上界为1.9988，首次严格表明其优于恰好为2的自然无向松弛。
2024-08-08 cs.DM cs.DS
A Logarithmic Additive Integrality Gap for Bin Packing
对于装箱，输入由尺寸为$s_1,...,s_n \in [0,1]$的$n$项目组成，这些项目必须分配给最小数量的尺寸为1的箱子。最近，第二作者给出了一个基于LP的多项式时间算法，该算法采用差异理论的技术来找到最多使用$OPT + O(\log OPT \cdot \log \log OPT)$箱的解决方案。在本文中，我们提出了一个近似算法，有一个添加剂的差距只有$O(\log OPT)$箱，它符合一定的组合下界。任何进一步的改进都必须使用更多的代数结构。我们的改进是基于差异理论技术和一种新的2阶段包装的组合：首先，我们把物品装到容器中，然后我们把容器装到大小为1的箱子中。除了更有效之外，我们相信我们的算法比Rothvoss的算法干净得多。
2015-03-30 cs.DS math.CO
Improving the Integrality Gap for Multiway Cut
在多路切割问题中，我们给出了一个无向图，它的边权值为非负，且图中有一组$k$终端节点，目标是将图中的节点集划分为$k$非空部分，每个非空部分只包含一个终端，使得穿过划分的边的总权值最小. $k\ge 3$的多路切割问题是APX困难的。对于任意$k$，最知名的近似因子是$1.2965$，源于[Sharma and Vondrák，2014]，而最知名的不可近似因子是$1.2$，源于[Angelidakis，Makarychev and Manurangsi，2017]。在这项工作中，我们通过构造CKR松弛的完整性间隙实例来改进$1.20016$的下限。在改善差距的技术挑战是缺乏几何工具来理解高维单纯形。我们的实例是一个非平凡的$3$维实例，它克服了这个技术挑战。我们分析的差距的情况下，将其视为一个凸组合的$2$维的实例和一个统一的3维实例。我们相信，这种技术可以进一步利用，以构建更大的完整性差距的实例。我们的证明技术的一个组成部分是对[Mirzakhani and Vondrák，2015]中关于\emph{Sperner admissible labelings}的结果的推广，该结果可能具有独立的组合兴趣。
2018-11-21 cs.DS math.OC
Asymmetric Traveling Salesman Path and Directed Latency Problems
本文研究了有向图上两个密切相关的问题的完整性缺口和可逼近性。给定一个在底层非对称度量中的n个节点的集合V和两个指定的节点s和t，这两个问题都要求找到访问所有其他节点的s-t路径。在非对称旅行商路径问题（ATSPP）中，目标是最小化这条路径的总费用;在有向延迟问题中，目标是最小化这条路径上从s到每个节点的距离之和。这两个问题都是NP难问题。ATSPP的最著名的近似算法的比率为O（log n），直到最近的结果将其提高到O（log n/ log log n）。然而，它的线性规划松弛的完整性间隙只有一个O（sqrt（n））的界已经知道。对于定向延迟，对于任何常数eps > 0，先前已知的最佳近似算法具有O（n^（1/2+eps））的保证。我们提出了一个新的算法的ATSPP问题，具有O（log n）的近似比，但其分析也限制了完整性差距的标准LP松弛ATSPP由相同的因素。这解决了Chekuri和Kazakhstan [2007]提出的一个开放问题。然后，我们进行更深入的研究，这个线性程序及其变化，这导致了一个算法的k人ATSPP（其中k S-T路径的最小总长度的要求）和O（log n）-近似的定向延迟问题。
2010-06-01 cs.DS
Polynomial Integrality Gap of Flow LP for Directed Steiner Tree
在有向Steiner树（DST）问题中，我们给出了一个$n$上的有向图$G=(V,E)$，其边代价为$c \in \mathbb{R}_{\geq 0}^E$，根顶点$r \in V$，以及$k$终端集$K \subseteq V \setminus \{r\}$.我们的目标是找到一个最小成本的$G$子图，其中包含从$r$到每个终端$t \in K$的路径。几十年来，DST一直是一个臭名昭著的问题，因为对于任何常数$ε> 0$，$O(k^ε)$的最佳多项式时间逼近比与$O\left(\frac{\log^2 k}{\log \log k}\right)$的最佳准多项式时间逼近比之间存在很大差距。为了理解这个缺口，我们研究了标准流LP松弛的完整性缺口的问题。我们发现LP具有$Ω(n^{0.0418})$的完整性缺口。先前，LP的完整性间隙仅已知为$Ω\left(\frac{\log^2n}{\log\log n}\right)$ [Halperin等人，SODA'03 \& SIAM J.~计算。]和$Ω(\sqrt{k})$ [Zosin-Khuller，SODA'02]在某些情况下与$\sqrt{k}=O\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right)$。我们的结果给出了这个标准LP的完整性间隙的第一个已知下界，该标准LP是$n$中的多项式，顶点数。…
2022-11-11 cs.DM cs.DS math.OC
A Constant-Factor Approximation for Directed Latency in Quasi-Polynomial Time
本文给出了有向延迟问题在拟多项式时间内的第一个常数因子近似。这里，目标是访问非对称度量中的所有节点，其中单个车辆从仓库$r$开始，以最小化节点等待车辆访问的平均时间。近似保证是对多项式时间$O(\log n)$近似的改进[Friggstad，Salavatipour，Svitkina，2013]，并且没有更好的准多项式时间近似算法。为了实现这一点，我们必须扩展最近的一个结果，该结果表明非对称TSP路径LP松弛的完整性间隙受常数限制[Köhne，Traub和Vygen，2019]，这本身建立在突破性结果的基础上，即标准非对称TSP的完整性间隙也是常数[Svensson，Tarnawsi和Vegh，2018]。我们表明，标准的非对称TSP路径完整性间隙是有界的一个常数，即使削减要求的LP松弛放松从$x(δ^{in}(S)) \geq 1$到$x(δ^{in}(S)) \geq ρ$为一些常数$1/2 < ρ\leq 1$。我们还给出了一个更好的近似保证在特殊情况下的有向延迟在遗憾的指标，其目标是找到一个路径$P$最小化的平均时间节点$v$等待超过$c_{rv}$，即$\frac{1}{|V|} \cdot \sum_{v \in V} (c_v(P)-c_{rv})$。
2020-04-15 cs.DS
Submodular Max-Min Allocation under Identical Valuations
DIENS, École normale supérieure, PSL University, Paris, France（法国巴黎高等师范学院，PSL大学）；LIP, ENS Lyon, France（法国里昂高等师范学院）
本文研究了在相同估值下子模函数的最大-最小分配问题，提出了一种贪心算法，得到0.4的近似比，改进了之前的0.37结果，并给出了子模估值的整数规划间隙的上界。
2026-04-14 cs.DS
On the Integrality Gap of the Prize-Collecting Steiner Forest LP
在奖金收集斯坦纳森林（PCSF）问题中，我们给出了一个无向图$G=(V,E)$，边成本$\{c_e\geq 0\}_{e\in E}$，终端对$\{(s_i,t_i)\}_{i=1}^k$，以及每个终端对的惩罚$\{π_i\}_{i=1}^k$;目标是找到一个森林$F$，以最小化$c(F)+\sum_{i: (s_i,t_i)\text{ not connected in }F}π_i$。Steiner森林问题可以看作是$π_i=\infty$对所有$i$的特殊情况.人们普遍认为，自然（和充分研究）的线性规划（LP）松弛PCSF的完整性差距是最多2。我们通过证明这个LP的完整性缺口至少是$9/4$来消除这种信念。这甚至适用于平面图。我们还表明，使用此LP，不能设计一个拉格朗日乘子保持（LMP）算法的近似保证比$4$。因此，我们的结果显示了奖励收集和非奖励收集的LP弛豫的完整性间隙之间的分离（即，标准）Steiner森林，以及通过PCSF的LMP和非LMP近似算法相对于最优LP解可实现的近似比。对于奖金收集Steiner树（PCST）的特殊情形，证明了自然LP松弛存在基本可行解，且所有边变量都为正，所有值坐标至多为$1/3$.因此，我们排除了使用直接迭代舍入方法近似PCST的可能性，保证比$3$更好。
2017-06-20 cs.DM cs.DS math.OC
The Salesman's Improved Paths: 3/2+1/34 Integrality Gap and Approximation Ratio
给出了度量$s-t$路径TSP的一个新的强多项式时间算法和改进的分析。它发现一个巡回赛的成本小于1.53倍的最佳的子巡回赛消除LP，而已知的例子表明，1.5是一个下界的完整性差距。一个关键的新想法是删除一些边的Christofides'树，这是伴随着新的论点的分析：边删除断开的树，然后部分重新连接的“奇偶校验校正”。我们表明，所产生的“连接校正”可以实现一个小的额外成本。一方面，该算法和分析扩展了以前的工具，如最佳的许多Christofides算法。另一方面，寻求强大的新工具，如分析重连成本的流问题，和越来越多的限制性的生成树，其中每一个仍然可以找到的贪心算法的建设。我们表明，这些树可以取代最好的可能Christofides算法中的凸组合的生成树。这些新方法可以将完整性比和近似保证提高到1.53以下，正如FOCS 2016上出现的本文的初步缩短版本中所述。在本文中，算法和分析已被显著简化，并添加了证明和解释的细节。
2018-08-28 cs.DM cs.DS math.CO
Breaking symmetries to rescue Sum of Squares in the case of makespan scheduling
平方和（\sos{}）的层次结构给出了一个自动化的技术来创建一个家庭越来越紧的凸松弛的二进制程序。有几个问题，这一层次的一个恒定数量的轮给出完整性差距匹配最知名的近似算法。然而，对于许多其他问题，ad-hoc技术在最坏情况下比\sos{}给出更好的近似比，如相应的下限实例所示。值得注意的是，在许多情况下，这些实例在大置换群的作用下是不变的。这就产生了这样一个问题，即在一个公式中的对称性如何降低由\sos{}层次结构获得的松弛的性能。在本文中，我们研究这一情况下的最小完工时间问题相同的机器。我们的第一个结果是表明，\sos{}的$Ω(n)$轮应用于\emph{configuration linear program}产生至少$1.0009$的完整性差距，其中$n$是作业的数量。我们的结果是基于对称群的表示理论的工具。然后，我们考虑较弱的\emph{assignment linear program}和添加一个精心挑选的对称性破缺不等式，删除了一个子集的机器置换对称。我们发现，应用$2^{\tilde{O}(1/\varepsilon^2)}$轮SA层次结构，这个更强的线性规划减少了完整性差距$1+\varepsilon$，从而产生一个基于线性规划的多项式时间近似方案。我们的研究结果表明，对于这个经典的问题，对称性是主要的障碍，防止\sos{} / SA层次给出松弛的多项式复杂度的完整…
2020-05-16 cs.DS
Firefighting on Trees Beyond Integrality Gaps
消防员问题和它的一个变体，称为火灾遏制资源最小化（RMFC），是最佳抑制有害传播过程的自然模型。尽管在几个方面取得了相当大的进展，这些问题的近似性仍然很难理解。即使底层图是树，也是如此，树是本文中研究最多的图结构之一，也是本文的重点。在他们最简单的版本中，火从一个固定的顶点逐步从燃烧到相邻的非燃烧顶点，并且在每个时间步，$B$许多非燃烧顶点可以被保护免于着火。对于给定的$B$，消防员问题要求最大化不会着火的顶点的数量，而RMFC（在树上）要求找到最小的$B$，允许保存树的所有叶子。在这项工作之前，最著名的近似比是$O(1)$ -近似的消防员问题和$O(\log^* n)$ -近似的RMFC，都是LP为基础的，基本上匹配的两个自然LP松弛的完整性差距。我们提出了一个PTAS的消防员问题和一个$O(1)$ -近似RMFC，都定性匹配已知的硬度结果，这两个近似改进。我们的研究结果是通过结合已知的LP与几种新的技术，它允许有效地枚举子集的超常数大小的一个好的解决方案，以获得更强的LP。
2016-03-14 cs.DM cs.DS
On the Tree Augmentation Problem
在树扩充问题中，我们给出一棵树$T=(V,F)$和一组具有正整数代价$\{c_e:e \in E\}$的边$E \subseteq V \times V$。目标是通过最小成本边集$J \subseteq E$来扩充$T$，使得$T \cup J$是$2$ -边连接的。我们得到以下结果。最近，Adjiashvili [SODA 17]为该问题引入了一种新的LP，并使用它来打破$2$ -近似障碍，例如当$E$中边缘的最大成本$M$由常数限制时;他的算法计算时间上的$1.96418+ε$近似解$n^{{(M/ε^2)}^{O(1)}}$。使用一个更简单的LP，我们实现了$\frac{12}{7}+ε$在时间上的比率$2^{O(M/ε^2)} poly(n)$。这给出了比$2$更好的对数成本的比率，而不仅仅是常数成本。对于这个问题，最古老的开放问题之一是对于单位成本（当$M=1$时），标准LP松弛（所谓的Cut-LP）是否具有小于$2$的完整性间隙。我们解决了这个悬而未决的问题，证明了单位成本的完整性缺口的切割LP是最多$28/15=2-2/15$。此外，我们将证明另一个自然LP松弛，这是比以前的工作简单得多，有完整性差距最多$7/4$。
2018-12-22 cs.DS
Integrality Gaps and Approximation Algorithms for Dispersers and Bipartite Expanders
我们研究的问题，近似的质量分散。一个$([N],[M])$上的二分图$G$是$(ρN,(1-δ)M)$ -分散器，如果对于任意一个$ρN$的子集$S\subseteq [N]$，其邻集$Γ(S)$至少包含$(1-δ)M$不同的顶点.我们的主要结果是强大的完整性差距的Lasserre层次和近似算法的分散。\begin{enumerate} \item For any $α>0$, $δ>0$, and a random bipartite graph $G$ with left degree $D=O(\log N)$, we prove that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether $G$ is an $(N^α,(1-δ)M)$-disperser or not an $(N^{1-α},δM)$-disperser. \item For any $ρ>0$, we prove that there exist infinitely many constants $d$ such that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether a random bipartite graph $G$ with right degree $d$ is a $(ρN, (1-…
2015-10-17 cs.CC cs.DM cs.DS
A Rounding by Sampling Approach to the Minimum Size k-Arc Connected Subgraph Problem
在k-弧连通子图问题中，给定一个有向图G和一个整数k，目标是找到一个代价最小的子图，使得任意一对顶点之间至少存在k-弧不相交路。我们给出了一个简单的（1 + 1/k）-近似的未加权的变种的问题，其中所有的弧G具有相同的成本。这改进了Gabow等人[GGTW 09]的1 + 2/k近似。类似于该问题的2-近似算法[FJ 81]，我们的算法简单地采用k入树形图和k出树形图的并集。主要区别在于两种树形的选择。在这里，受最近应用抽样方法舍入的启发（参见例如[AGM+ 10，MOS 11，OSS 11，AKS 12]），我们通过从基于问题的线性规划松弛的极值点解定义的k个树形图的并集上的分布中抽样随机选择树形图。在分析中，我们利用极值点解的稀疏性来确定样本树并的大小。为了补充算法，我们还证明了最小费用强连通子图问题（即，当k = 1时）至少为3/2 - c，对于任何c > 0。我们的完整性缺口实例受到非对称旅行商问题[CGK 06]的完整性缺口实例的启发，因此提供了两个问题的近似性之间联系的进一步证据。
2012-05-08 cs.DS math.CO
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
Web of Lossy Adapters for Interface Interoperability: An Algorithm and NP-completeness of Minimization
通过对不同的方法使用不同的接口适配器，可以构建一个最大覆盖的接口适配器网络，使接口适配过程中的损失最小。我们引入一个多项式时间算法，可以实现这一点。然而，我们也表明，最大限度地减少包括在一个最大覆盖网络的接口适配器的适配器的数量是一个NP完全问题。
2009-07-21 cs.DS cs.SE
Edge covering with budget constrains
我们研究两个相关的问题：找到一组k个顶点和最小边数（kmin），并找到一个具有至少m ′条边和最小顶点数（mvms）的图。Goldschallow和Hochbaum \cite{GH97}证明了mvms问题是NP困难的，并给出了该问题的3-近似算法.我们改进了\cite{GH97}，给出了2的比率。从Carnes和Shmoys \cite{CS08}的工作中得出了该问题的2（1+ε）-近似。我们将逼近比提高到2。问题的算法。我们证明了\kmin的自然LP具有2-o（1）的完整性间隙。我们通过证明除非已知的稠密k-子图的实例允许一个常数比，否则问题是APX-困难的，从而改进了\cite{GH97}的NP-完全性。对于稠密k-子图的这个实例，已知的最佳逼近保证是O（n^{2/9}）\cite{BCCFV}。我们证明了对于任何常数ρ>1，对\kmin问题的ρ的逼近保证意味着对\mwms的ρ（1+o（1））逼近.最后，我们定义我们给出了一个精确的算法的密度版本的kmin。
2013-11-04 cs.DS
On the Integrality Gap of Directed Steiner Tree LPs with Relatively Integral Solutions
Kasetsart University（泰国农业大学）
针对有向斯坦纳树问题，提出一种基于流的线性规划松弛，在相对整数条件下证明其具有多对数整数性间隙，并给出随机多项式时间 $O(\log^3 k)$ 近似算法。
2025-10-10 cs.DM cs.DS
Improved Approximation Algorithms for the Min-Max Selecting Items Problem
我们给出了一个简单的确定性的$O(\log K / \log\log K)$近似算法的Min-Max选择项目的问题，其中$K$是场景的数量。虽然我们的主要目标是简单性，但由于Kasperski，Kurpisz和Zielikski（信息处理Letters（2013）），该结果也优于之前的$O(\log K)$最佳近似比。尽管使用了悲观估计的方法，该算法在RAM计算模型中也具有多项式运行时间。我们还表明，由Kasperski和Zielienski（运筹学年鉴（2009）），这是以前的工作和我们的基础上，这个问题的LP制定，具有至少$Ω(\log K / \log\log K)$的完整性差距。
2013-04-27 cs.DS
Lower Bounds on $0$-Extension with Steiner Nodes
本文研究允许 Steiner 节点的 $0$-Extension 变体，证明同一半度量 LP 松弛即便使用超线性数量 Steiner 节点，整性隙仍有 $\Omega(\log\log |T|)$ 下界。
2024-01-17 cs.DS
Polyhedral Aspects of Feedback Vertex Set and Pseudoforest Deletion Set
本文对无向图反馈顶点集问题（FVS）进行多面体研究，提出整数间隙至多为2且多项式时间可解的新ILP松弛，并证明已有公式对FVS的间隙也为2，这些成果受伪森林删除集问题与最密子图问题联系的启发。
2024-05-30 cs.DS
Fine-Grained Completeness for Optimization in P
我们开始研究细粒度的完整性定理的精确和近似优化的多项式时间制度。受P中决策问题的第一个完全性结果的启发，（Gao，Impagliazzo，Kolokolova，Williams，TALG 2019）以及NP优化问题的经典类MaxSNP和MaxSNP-完备性（Papadimitriou，Yannakakis，JCSS 1991），我们定义了多项式时间类似物MaxSP和MinSP，它们包含P中的许多自然优化问题，包括最大内积，最近邻搜索的一般形式和$k$ -XOR问题的优化变体。具体来说，我们定义MaxSP作为一类问题定义为$\max_{x_1,\dots,x_k} \#\{ (y_1,\dots,y_\ell) : ϕ(x_1,\dots,x_k, y_1,\dots,y_\ell) \}$，其中$ϕ$是一个量化器自由的一阶属性在一个给定的关系结构（与MinSP类似定义）。在$m$大小的结构上，我们可以在$O(m^{k+\ell-1})$中及时解决每个这样的问题.我们的结果是：- 我们确定最大/最小内积问题（的稀疏变体）在 * 确定性 * 细粒度约简下是完整的：最大/最小内积的强次二次算法将通过多项式因子击败$O(m^{k+\ell-1})$的基线运行时间。- 这种完整性转移到近似：最大/最小内积也是完整的，在这个意义上，一个强次二次$c$ -近似将给出一个$(c+\varepsil…
2021-07-04 cs.CC cs.DS
Minimizing the Union: Tight Approximations for Small Set Bipartite Vertex Expansion
在最小k并集问题（MkU）中，我们给出了一个有n个集合的集合系统，并要求选择k个集合以最小化它们的并集的大小。尽管是一个非常自然的问题，它已经收到了令人惊讶的关注少：唯一已知的近似算法是一个$O(\sqrt{n})$ -近似由于[Chlamtácrit等人APPROX '16]。这个问题也可以被看作是小集顶点扩展问题（SSVE）的二分版本，我们称之为小集二分顶点扩展问题（SSBVE）。SSVE，其中我们被要求找到一组k个节点，以最大限度地减少其顶点扩展，还没有像它的基于边的对应物小集合扩展（SSE）那样得到很好的研究，但最近受到了极大的关注，例如[Louis-Makarychev APPROX '15]。然而，由于连接到唯一的游戏和硬度近似的重点主要是对集的大小$k = Ω(n)$，而我们专注于一般的情况下，$k$，其中没有多项式近似是已知的。对于任意常数$\varepsilon > 0$，我们给出了SSBVE的$n^{1/4+\varepsilon}$近似，从而改进了这个问题的上界。我们的算法遵循Denmark $k$ -Subgraph（DkS）和相关问题的脚步，通过为随机模型设计一个紧算法，然后将其扩展到对任意实例提供相同的保证。此外，我们表明，这是严格的合理的复杂性假设下：它不能近似比$O(n^{1/4})$假设扩展的所谓的“密集与随机”猜想DkS超图。我们发现，同一界也匹…
2016-11-23 cs.DS
On the Configuration-LP of the Restricted Assignment Problem
我们考虑经典的不相关机器排序问题。在这个问题中，一组工作是分配给一组机器和最大负载（完工时间）是要最小化。作业$j$的处理时间$p_{ij}$取决于作业分配到的计算机$i$。Lenstra，Shmoys和Tardos给出了这个问题的多项式时间$2$ -近似。在本文中，我们专注于一个突出的特殊情况下，限制分配问题，其中$p_{ij}\in\{p_j,\infty\}$。配置LP是一个线性规划松弛的限制性分配问题。Svensson证明了积分解和分数解之间的乘法间隙，即积分间隙，至多为$2 - 1/17 \approx 1.9412$。在本文中，我们显着简化他的证明，并获得了一个界的$2 - 1/6 \approx 1.8333$。作为一个直接的后果，这提供了一个多项式$(2 - 1/6 + ε)$估计算法的限制分配问题，通过近似的配置LP。已知完整性间隙的最佳下限是$1.5$，并且不存在具有比$1.5$更好的保证的估计算法，除非$\mathrm{P} = \mathrm{NP}$。
2017-01-13 cs.DS
Improving Christofides' Algorithm for the s-t Path TSP
对于任意度量的s-t路径TSP，我们给出了一个确定性的（1+sqrt（5））/2-近似算法.给定一个对称度量成本的n个顶点，包括两个预先指定的端点，问题是要找到一个最短的汉密尔顿路径之间的两个端点; Hoogeveen表明，自然变种的Christofides'算法是一个5/3-近似算法这个问题，这个渐近紧界实际上一直是最好的近似比已知到现在。我们修改该算法，使其选择初始生成树的基础上的最佳解决方案的Held-Karp松弛，而不是一个最小的生成树，我们证明了这个简单的，但至关重要的修改导致改进的近似比，超越了20岁的障碍集的自然Christofides的算法变体。我们的算法还证明了路径变化的Held-Karp松弛的完整性间隙的上界为（1+sqrt（5））/2。本文设计的技术可以应用到其他优化问题，以及：这些应用程序包括改进的近似算法和改进的LP完整性差距上界的奖品收集s-t路径问题和单位重量的图形度量s-t路径TSP。
2011-11-02 cs.DS
Minimum Weight Perfect Matching via Blossom Belief Propagation
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Korea Advanced Institute of Science Technology（韩国科学技术院）
最大乘积置信传播（BP）是一种流行的消息传递算法，用于计算由图模型（GM）表示的分布上的最大后验（MAP）分配。已经表明，BP可以解决许多组合优化问题，包括最小权匹配，最短路径，网络流和顶点覆盖，在以下共同假设下：相应的线性规划（LP）松弛是紧的，即，不存在完整性间隙。然而，当LP显示完整性缺口时，没有已知的模型可以通过BP的顺序应用系统地解决。在本文中，我们开发了第一个这样的算法，创造了BP算法，用于解决任意图的最小权匹配问题。顺序算法的每一步都需要在由花朵的收缩和扩张构造的修改图上应用BP，即，奇数组顶点。我们的方案保证BP运行的终止时间为O（n^2），其中n是原始图中的顶点数。从本质上讲，BP提供了一个分布式版本的著名埃德蒙兹的开花算法，通过一次跳过许多子步骤与一个单一的BP。此外，我们的结果提供了一个解释埃德蒙兹的算法作为一个序列的LP。
2015-09-23 cs.AI cs.DS stat.ML
An improved exact algorithm and an NP-completeness proof for sparse matrix bipartitioning
我们研究稀疏矩阵二分-一个问题，我们最大限度地减少并行稀疏矩阵向量乘法的通信量。我们证明，减少从图二分法，这个问题是$\mathcal{NP}$ -完全的情况下，每一边的二分必须包含一个线性分数的非零。我们提出了一种改进的精确分支定界算法，它找到了最小的通信量为一个给定的矩阵和最大允许的不平衡。该算法是基于最大流界和包装界，扩展了以前的匹配和包装界。我们在一个名为MP（Matrix Partitioner）的新程序中实现了该算法，该程序解决了SuiteSparse集合中的839个矩阵，每个矩阵都在24小时的CPU时间内达到最优。此外，MP在大约3天内解决了矩阵笼6的难题。新程序的平均速度比以前的程序MondriaanOpt快十倍以上。使用839个最优解矩阵的基准测试结果表明，将Mondriaan包的中粒度/迭代细化方法与PaToH包的超图二分化器相结合，平均在最优解的10%以内产生稀疏矩阵二分化。
2020-05-07 cs.DS
On the Configuration-LP for Scheduling on Unrelated Machines
机器排序中最重要的公开问题之一是在不相关的机器上调度一组工件以最小化完工时间的问题。最著名的近似算法为这个问题保证近似因子为2。已知用比3/2更好的比率来近似是NP困难的。缩小这一差距已经开放了20多年。最知名的近似因子是通过基于LP的算法实现的。最强的已知线性规划制定的问题是配置LP。我们发现，配置LP有一个完整性差距为2，即使是不相关的图平衡的特殊情况下，每个工作可以分配给最多两台机器。特别是，我们的结果意味着，一个大家庭的削减并没有帮助减少的完整性差距的规范分配-LP。此外，我们提出的情况下的问题，可以近似一个更好的因素比2。他们构成了宝贵的见解，构建一个NP-硬度减少，提高了已知的下限。最近，Svensson研究了限制指派的情况，其中每个工件只能被指派给一组给定的机器，并且在这些机器上具有相同的处理时间。他指出，在这种情况下，组态-LP具有33/17<2的完整性间隙。因此，我们的结果意味着，不相关的图平衡的情况下是显着更复杂的限制分配的情况下。然后我们转向另一个目标函数：最大化最小机器负载。对于每个工件最多只能分配给两台机器的情况，我们给出了一个纯组合的2-近似算法，除非P=NP。这改进了Chakrabarty等人的计算成本高的基于LP的（2+eps）-近似算法。
2010-11-22 cs.DM cs.DS
Local search breaks 1.75 for Graph Balancing
图平衡是指对一个加权多重图的边进行定向，使其最大加权入度最小化的问题。由于引入的问题，已知的最好的算法实现了近似比$1.75$，它是基于舍入线性规划与这个确切的完整性差距。还已知不存在$(1.5 - ε)$ -近似算法，除非$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$。我们能做得比$1.75$更好吗？我们证明了一个不同的LP制定，配置LP，具有严格较小的完整性差距。图平衡是最后一组相关的问题，从文献中，它是开放的配置LP是否比以前更强，简单的LP松弛。我们的证明基础上的本地搜索方法，已成功地应用到更一般的限制性分配问题，这反过来又是一个突出的特殊情况下，不相关的机器上的最大完工时间最小化。与一些技术的新颖性，我们能够得到一个界的$1.749$的情况下，图平衡。目前还不清楚我们提出的局部搜索算法是否在多项式时间内终止，这意味着该界是非构造性的。然而，这是一个强有力的证据，一个更好的近似算法是可能的，使用配置LP，它允许最优估计在一个因子优于$1.75$。我们的技术的一个特别有趣的方面是我们在局部搜索中处理小边缘的方式。我们设法利用LP中的小边缘上执行的配置约束。这可能对其他问题也有意义，例如限制性分配。
2018-11-02 cs.DS
An Approximation Algorithm for Monotone Submodular Cost Allocation
Tokyo University of Agriculture and Technology（东京农工大学）
本文提出了一种针对单调子模成本分配问题的近似算法，证明了其整数规划间隙为k/2，并给出了几乎匹配的下界。
2026-09-17 cs.DM cs.DS
Integrality Gap Bounds for the Goemans-Linial SDP on Finite Abelian Cayley Graphs
Maastricht University（马斯特里赫特大学）
本文研究有限阿贝尔凯莱图上Goemans-Linial半定规划的整性间隙，证明指数不超过4时该松弛精确，给出生成元阶不超过R时的R/2近似，还构造了整性间隙为16/15的无限族图。
2026-09-07 cs.DM cs.DS math.CO
Approximation Algorithms for Socially Fair Clustering
Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究院）
我们提出了一个$(e^{O(p)} \frac{\log \ell}{\log\log\ell})$近似算法的社会公平的聚类与$\ell_p$目标。在这个问题中，我们给出了度量空间中的一组点。每个点属于一个（或多个）$\ell$组。我们的目标是找到一个$k$ -medians、$k$ -means或更一般的$\ell_p$ -clustering，它同时适合所有组。更准确地说，我们需要找到一组$k$中心$C$，以便最小化$\sum_{u \text{ in group }j} d(u,C)^p$的所有组$j$上的最大值。社会公平聚类问题由Ghadiri，Samadi和Vempala [2021]以及Abbasi，Bhaskara和Venkatasubramanian [2021]独立提出。我们的算法改进和推广了他们的$O(\ell)$ -近似算法的问题。该问题的自然LP松弛具有$Ω(\ell)$的完整性间隙。为了得到我们的结果，我们引入了一个加强的LP松弛，并表明它有一个完整性间隙$Θ(\frac{\log \ell}{\log\log\ell})$固定的$p$。此外，我们提出了一种双标准逼近算法，该算法推广了Abbasi等人[2021]的双标准逼近。
2021-07-15 cs.DS cs.LG stat.ML
