The max-min fair allocation problem seeks an allocation of resources to players that maximizes the minimum total value obtained by any player. Each player $p$ has a non-negative value $v_{pr}$ on resource $r$. In the restricted case, we have $v_{pr}\in \{v_r, 0\}$. That is, a resource $r$ is worth value $v_r$ for the players who desire it and value 0 for the other players. In this paper, we consider the configuration LP, a linear programming relaxation for the restricted problem. The integrality gap of the configuration LP is at least $2$. Asadpour, Feige, and Saberi proved an upper bound of $4$. We improve the upper bound to $23/6$ using the dual of the configuration LP. Since the configuration LP can be solved to any desired accuracy $δ$ in polynomial time, our result leads to a polynomial-time algorithm which estimates the optimal value within a factor of $23/6+δ$.
A Lasserre Lower Bound for the Min-Sum Single Machine Scheduling Problem
最小和单机排序问题（记为1|| sum f_j）推广了大量的排序问题。第一常数近似保证最近才获得，并且是基于用所谓的Knapsack-Cover不等式加强的自然时间索引LP松弛（参见Bansal和Pruhs，Cheung和Shmoys以及Mestre和Verschae最近的4+ε近似）。这些松弛有一个完整性差距为2，因为最小背包问题是一个特殊情况。没有APX硬度结果是已知的，仍然可以想象存在PTAS。有趣的是，当目标函数作为约束加入时，Lasserre层次松弛将最小背包问题的完整性间隙减小到1+ε。本文研究了最小和单机排序问题在Lasserre层次算法下的复杂性。我们证明了这个模型的第一个下界，显示的完整性差距是无界的水平Ω（\sqrt{n}），即使是在O（n log n）的时间内由Moore-Hodgson算法，即最小数目的误工问题的一个变种。我们考虑一个自然的配方，将目标函数作为一个约束，并证明了部分对角化的矩阵与放松和利用这种特性的结果。
在多路切割问题中，我们给出了一个无向图，它的边权值为非负，且图中有一组$k$终端节点，目标是将图中的节点集划分为$k$非空部分，每个非空部分只包含一个终端，使得穿过划分的边的总权值最小. $k\ge 3$的多路切割问题是APX困难的。对于任意$k$，最知名的近似因子是$1.2965$，源于[Sharma and Vondrák，2014]，而最知名的不可近似因子是$1.2$，源于[Angelidakis，Makarychev and Manurangsi，2017]。在这项工作中，我们通过构造CKR松弛的完整性间隙实例来改进$1.20016$的下限。在改善差距的技术挑战是缺乏几何工具来理解高维单纯形。我们的实例是一个非平凡的$3$维实例，它克服了这个技术挑战。我们分析的差距的情况下，将其视为一个凸组合的$2$维的实例和一个统一的3维实例。我们相信，这种技术可以进一步利用，以构建更大的完整性差距的实例。我们的证明技术的一个组成部分是对[Mirzakhani and Vondrák，2015]中关于\emph{Sperner admissible labelings}的结果的推广，该结果可能具有独立的组合兴趣。
On the Integrality Gap of the Prize-Collecting Steiner Forest LP
在奖金收集斯坦纳森林（PCSF）问题中，我们给出了一个无向图$G=(V,E)$，边成本$\{c_e\geq 0\}_{e\in E}$，终端对$\{(s_i,t_i)\}_{i=1}^k$，以及每个终端对的惩罚$\{π_i\}_{i=1}^k$;目标是找到一个森林$F$，以最小化$c(F)+\sum_{i: (s_i,t_i)\text{ not connected in }F}π_i$。Steiner森林问题可以看作是$π_i=\infty$对所有$i$的特殊情况.人们普遍认为，自然（和充分研究）的线性规划（LP）松弛PCSF的完整性差距是最多2。我们通过证明这个LP的完整性缺口至少是$9/4$来消除这种信念。这甚至适用于平面图。我们还表明，使用此LP，不能设计一个拉格朗日乘子保持（LMP）算法的近似保证比$4$。因此，我们的结果显示了奖励收集和非奖励收集的LP弛豫的完整性间隙之间的分离（即，标准）Steiner森林，以及通过PCSF的LMP和非LMP近似算法相对于最优LP解可实现的近似比。对于奖金收集Steiner树（PCST）的特殊情形，证明了自然LP松弛存在基本可行解，且所有边变量都为正，所有值坐标至多为$1/3$.因此，我们排除了使用直接迭代舍入方法近似PCST的可能性，保证比$3$更好。
Breaking symmetries to rescue Sum of Squares in the case of makespan scheduling
平方和（\sos{}）的层次结构给出了一个自动化的技术来创建一个家庭越来越紧的凸松弛的二进制程序。有几个问题，这一层次的一个恒定数量的轮给出完整性差距匹配最知名的近似算法。然而，对于许多其他问题，ad-hoc技术在最坏情况下比\sos{}给出更好的近似比，如相应的下限实例所示。值得注意的是，在许多情况下，这些实例在大置换群的作用下是不变的。这就产生了这样一个问题，即在一个公式中的对称性如何降低由\sos{}层次结构获得的松弛的性能。在本文中，我们研究这一情况下的最小完工时间问题相同的机器。我们的第一个结果是表明，\sos{}的$Ω(n)$轮应用于\emph{configuration linear program}产生至少$1.0009$的完整性差距，其中$n$是作业的数量。我们的结果是基于对称群的表示理论的工具。然后，我们考虑较弱的\emph{assignment linear program}和添加一个精心挑选的对称性破缺不等式，删除了一个子集的机器置换对称。我们发现，应用$2^{\tilde{O}(1/\varepsilon^2)}$轮SA层次结构，这个更强的线性规划减少了完整性差距$1+\varepsilon$，从而产生一个基于线性规划的多项式时间近似方案。我们的研究结果表明，对于这个经典的问题，对称性是主要的障碍，防止\sos{} / SA层次给出松弛的多项式复杂度的完整…
Integrality Gaps and Approximation Algorithms for Dispersers and Bipartite Expanders
我们研究的问题，近似的质量分散。一个$([N],[M])$上的二分图$G$是$(ρN,(1-δ)M)$ -分散器，如果对于任意一个$ρN$的子集$S\subseteq [N]$，其邻集$Γ(S)$至少包含$(1-δ)M$不同的顶点.我们的主要结果是强大的完整性差距的Lasserre层次和近似算法的分散。\begin{enumerate} \item For any $α>0$, $δ>0$, and a random bipartite graph $G$ with left degree $D=O(\log N)$, we prove that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether $G$ is an $(N^α,(1-δ)M)$-disperser or not an $(N^{1-α},δM)$-disperser. \item For any $ρ>0$, we prove that there exist infinitely many constants $d$ such that the Lasserre hierarchy cannot distinguish whether a random bipartite graph $G$ with right degree $d$ is a $(ρN, (1-…
Improved Approximation Algorithms for the Min-Max Selecting Items Problem
我们给出了一个简单的确定性的$O(\log K / \log\log K)$近似算法的Min-Max选择项目的问题，其中$K$是场景的数量。虽然我们的主要目标是简单性，但由于Kasperski，Kurpisz和Zielikski（信息处理Letters（2013）），该结果也优于之前的$O(\log K)$最佳近似比。尽管使用了悲观估计的方法，该算法在RAM计算模型中也具有多项式运行时间。我们还表明，由Kasperski和Zielienski（运筹学年鉴（2009）），这是以前的工作和我们的基础上，这个问题的LP制定，具有至少$Ω(\log K / \log\log K)$的完整性差距。
