The Frobenius complexity of Hibi rings
Janet Page
研究了特征为$p > 0$的域上Hibi环的Frobenius复杂性.特别地，对于某类Hibi环（我们称之为$ω^{(-1)}$ -级别），我们计算Frobenius复杂度的极限为$p \rightarrow \infty$。
We study the Frobenius complexity of Hibi rings over fields of characteristic $p > 0$. In particular, for a certain class of Hibi rings (which we call $ω^{(-1)}$-level), we compute the limit of the Frobenius complexity as $p \rightarrow \infty$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Syzygies of Hibi rings
本文综述了Hibi环分辨率的最新研究成果。
On the generators of the canonical module of a Hibi ring: a criterion of level property and the degrees of generators
本文研究了Hibi环的标准模的极小生成系。利用这些结果，我们给出了Hibi环的一个刻画.给出了Hibi环为2型环的一个刻划.进一步，我们证明了Hibi环的典范模的极小生成系的元素的度形成一个连续整数的集合。
Doset Hibi rings with an application to invariant theory
定义了doset Hibi环和广义doset Hibi环的概念，它们是Hibi环的子环，是正规仿射半群.本文应用（广义）doset Hibi环的理论分析了绝对正交不变量环和绝对特殊正交不变量环，证明了当基域的特征为零时，这些环是正规的，Cohen-Macaulay环，并且具有有理奇异性，否则是F-有理环.给出了这类环的Gorenstein性质的判别准则。
Almost Gorenstein Hibi rings
本文利用定义Hibi环的偏序集的结构，给出了Hibi环是水平的、非Gorenstein的、几乎Gorenstein的和是非水平的、几乎Gorenstein的判别准则.本文还根据梯形的形状给出了由2-子式定义的梯行列式环是非Gorenstein环和几乎Gorenstein环的一个判别准则。
Symbolic and Ordinary Powers of Ideals in Hibi Rings
在Carvajal-Rojas和Smolkin的意义下，给出了一类Hibi环，它在正特征域上是对角F-正则的，在零特征域上是对角$F$ -正则的.证明了这类Hibi环在所有特征上都有效地满足一致符号拓扑性质。也就是说，对于这类Hibi环中的环$R$，我们对所有$P \in \operatorname{Spec} R$都有$P^{(dn)} \subseteq P^n$，其中$d = \dim(R)$。进一步证明了正特征域上的Hibi环都是2-对角$F$ -正则的，而不包含在上述类中的最简单Hibi环在任何特征下都不是3-对角$F$ -正则的.前者意味着所有$P \in \operatorname{Spec} R$的$P^{(2d)} \subseteq P^2$。
Fiber cones, analytic spreads of the canonical and anticanonical ideals and limit Frobenius complexity of Hibi rings
设${\cal R}_{\mathbb{K}}[H]$是有限分配格$H$上的域$\mathbb{K}$上的Hibi环，$P$是$H$的并不可约元集，$ω$是${\cal R}_{\mathbb{K}}[H]$的标准理想.证明了$ω$在因子群$\mathrm{Div}({\cal R}_{\mathbb{K}}[H])$中的幂$ω^{(n)}$与$ω$的序幂相同，刻画了$n\in\mathbb{Z}$的$ω^{(n)}$的$\mathbb{K}$ -向量空间基.进一步证明了$ω$和$ω^{(-1)}$的纤维锥$\bigoplus_{n\geq 0}ω^n/\mathfrak{m}ω^n$和$\bigoplus_{n\geq0}(ω^{(-1)})^n/\mathfrak{m}(ω^{(-1)})^n$是Ehrhart环的和，Ehrhart环由$P$的元素序列在一定条件下定义，是Stanley-Reisner环的多面体复形式.此外，我们还证明了$ω$和$ω^{(-1)}$的解析扩展是这些Ehrhart环的维数的最大值。使用这些事实，我们表明，关于弗罗贝纽斯复杂性页的问题是肯定的：$\lim_{p\to\infty}\mathrm{cx}_F({\cal R}_{\mathbb{K}}[H])= \dim(\bigoplus_{n\geq0}ω^{(-n)}/\mathfrak{m}ω^…
Indispensable Hibi relations and Groebner Bases
本文考虑了偏序集上的Hibi环和Rees环.本文对Hibi关系不可缺少的偏序集的理想格和Hibi关系构成二次Groebner基的偏序集的理想格按秩字典序进行了分类。对Hibi理想的Rees环也得到了类似的分类。
A sufficient condition for a Hibi ring to be level and levelness of Schubert cycles
设$K$是域，$D$是有限分配格，$P$是$D$的所有并不可约元的集合.证明了如果对任何$x\in P$，$\{y\in P\mid y\geq x\}$是纯的，那么Hibi环$\RRRRR_K(D)$是水平的.利用这个结果和sagbi基理论的论证，我们证明了Grassmannian的Schubert子簇的齐次坐标环是水平的。
Green-Lazarsfeld property $N_p$ for Segre product of Hibi rings
本文证明了满足性质$N_2$的Hibi环与多项式环的Segre积仍满足$N_2$，在两变量情形下扩展至$N_3$，并研究了其二阶合流模的极小Koszul关系。
On the linearity of the syzygies of Hibi rings
本文研究 Hibi 环的合冲线性性，证明了满足 $N_2$、$N_3$ 的必要条件，并指出满足 $N_4$ 时环为多项式环或具线性分解，进而刻画弦图分配格与完全交 Hibi 环。
Diagonal F-thresholds and F-pure thresholds of Hibi rings
Hibi环是有限分配格$D = J(P)$上的一类分次Toric环，其中$P$是偏序集.本文计算了Hibi环的对角F-阈值和F-纯阈值。
Pseudo-Gorenstein and level Hibi rings
引入了伪Gorenstein环，刻画了有限分配格L上的Hibi环是伪Gorenstein环.利用L的并不可约元的偏序集给出了刻画.给出了Hibi环为水平环的一个必要条件.特别注意平面和超平面晶格。最后比较了Hibi环和广义Hibi环的伪Goresntein性质和水平性质。
Standard multigraded Hibi rings and Cartwright-Sturmfels ideals
本文研究Hibi环的标准多重分次，证明其由底层偏序集的链诱导，并计算多重分次Hilbert级数与多重度多项式，进而刻画Cartwright-Sturmfels型Hibi理想。
A note on the regularity of Hibi rings
利用有限分配格的并不可约元的偏序集计算了其Hibi环的正则性。
Measuring the non-Gorenstein locus of Hibi rings and normal affine semigroup rings
Cohen-Macaulay环的典范模的迹描述了它的非Gorenstein轨迹。本文研究了代数的Segre积的典范模的迹，并将所得结果应用于计算环面环的非Gorenstein轨迹。给出了Hibi环和正规半群环在删余谱上是Gorenstein的几个充必要条件。
The First Syzygy of Hibi Rings Associated with Planar distributive lattices
本文针对平面分配格对应的Hibi环，刻画了其第一合冲，推导了第一Betti数的精确公式，并给出了第一合冲为线性的平面分配格的特征。
Monomial ideals and toric rings of Hibi type arising from a finite poset
本文研究了偏序集上的单项理想，引入了广义Hibi环，并研究了它的代数和同调性质。研究这些对象的主要工具是Groebner基理论，由于Sturmfels和理论的弱polymatroidal理想的可排序的概念。
Conic divisorial ideals of toric rings and applications to Hibi rings and stable set rings
本文研究环面环的锥除子理想，提出确定方法并描述了完美图的Hibi环与稳定集环的锥除子理想，刻画了其对称性，并构造了特殊稳定集环族的NCCR。
Non-commutative crepant resolutions of Hibi rings with small class group
本文研究了某些环面环的分裂（或环面）非交换收缩分解（= NCCR）。特别是，我们认为Hibi环，这是环面环所产生的偏序集，并表明Gorenstein Hibi环类组$\mathbb{Z}^2$有分裂NCCR。在附录中，我们还讨论了具有类群$\mathbb{Z}$的Gorenstein环面环，在这种情况下，分裂NCCR的存在性是已知的。我们特别观察到的突变模块分裂NCCR的三维情况下，并显示交换图的连通性。
Generalized F-signatures of Hibi rings
$F$ -签名是由Frobenius前推中自由直和数定义的数值不变量，它度量正特征的奇异性。它可以通过关注非自由直接和数的数量来推广。本文给出了计算一类特殊的环面环Hibi环的（广义）$F$ -签名的几种方法。特别地，我们证明了它可以通过计算满足一定条件的对称群中的元素来计算。作为应用，我们还给出了多项式环的Segre积的（广义）$F$ -签名公式.
Conic divisorial ideals of Hibi rings and their applications to non-commutative crepant resolutions
本文研究了由偏序集生成的复曲面环Hibi环的除子理想。特别地，我们用相应的偏序集刻画了一类特殊的除理想锥。利用我们对锥除子理想的描述，我们还构造了一个模，给出了多项式环的Segre积的一个非交换的Cropant分解（= NCCR）.此外，应用称为变异的操作，我们给出了其他模块，给出了它的NCCR。
Enriched order polytopes and Enriched Hibi rings
Stanley引入了两类与偏序集相关的格多面体，它们被称为偏序集$P$的序多面体${\mathcal O}_P$和链多面体${\mathcal C}_P$。已知给定偏序集$P$，${\mathcal O}_P$和${\mathcal C}_P$的Ehrhart多项式等于对$P$ -划分进行计数的$P$的阶多项式。本文引入偏序集$P$的增序多面体，并利用Gröbner基理论证明了它是一个自反多面体，其Ehrhart多项式等于$P$的增链多面体的Ehrhart多项式和$P$的左增序多项式，从而计数左增$P$ -划分.富序多面体的环面环称为富Hibi环。事实证明，丰富的Hibi环是正常的，Gorenstein和Koszul。上述结果暗示了在${\mathcal O}^{(e)}_P$和${\mathcal C}^{(e)}_P$的伸缩中的格点之间存在双射。对于这样的双射，我们给出了丰富序和链多面体的刻面表示。
Componentwise linear ideals in Veronese rings
本文研究Veronese子环中的分量线性理想，在特征零条件下给出其分次理想为分量线性的刻画，类比于Aramova等人在原环上的结果。
Edge rings of bipartite graphs with linear resolutions
Ohsugi和Hibi刻画了具有$2$ -线性分解的有限连通单图的边环.另一方面，Hibi，Matsuda和作者证明了具有$q$ -线性分解的有限连通单图的边环是超曲面，其中$q \geq 3$是超曲面，并证明了$q=3$的情形.本文在有限连通简单二部图的情况下解决了这个猜想。
Regularity of joint-meet ideals of distributive lattices
设$L$是分配格，$R(L)$是相应的Hibi环.当$L$是平面格时，我们计算了$\reg R(L)$;当$L$是非平面格时，我们利用$L.$的组合数据，给出了$\reg R(L)$的一个下界.
When an amalgamated duplication of a ring along an ideal is quasi-Frobenius
本文刻画了环$R$沿一个拟Frobenius的真理想$I$（$R\bowtie I$）的合并复制.
The Frobenius Complexity of a Local Ring of Prime Characteristic
我们引入了一个新的不变量的本地环的素特征，称为Frobenius复杂性，Frobenius行动的局部环的剩余域的内射壳的措施的丰度。我们提出了一个重要的情况下，Frobenius复杂性是有限的，并证明了完全的，正规环的尺寸2或更少的Frobenius复杂性小于或等于零。此外，我们计算Frobenius复杂性的行列式环得到的$2 \times 3$矩阵的$2 \times 2$子模块，表明这个数字可以是积极的，无理数，并依赖于的特征。我们还解决了Katzman，Schwede，Singh和Zhang关于局部正规完备$\mathbb{Q}$ -Gorenstein环的Frobenius算子环的无限生成的一个猜想.
On the Frobenius Complexity of Stanley-Reisner Rings
局部环$R$的Frobenius复杂度渐进地度量了$R$的剩余域的内射壳上$R$阶Frobenius算子的丰度。已知对于Stanley-Reisner环，Frobenius复杂度是$-\infty$或$0$。该不变量由剩余域的内射壳上的Frobenius算子环的复杂度序列$\{c_ e\}_e $确定。我们将表明，$\{c_ e\}_e $是恒定的$e\geq 2,$推广工作的阿尔瓦雷斯Montaner，Boix和Zarzuela。我们的结果解决了阿尔瓦雷斯Montaner在他的一篇论文中提到的一个悬而未决的问题。
Pseudo-Frobenius numbers versus defining ideals in numerical semigroup rings
当$H$的伪Frobenius数是固定整数的倍数时，给出了域$k$上数值半群$H$的半群环$k[H]$的定义理想的结构.
On Frobenius Betti numbers of graded rings of finite Cohen-Macaulay type
针对环的Frobenius Betti数显式计算场景极少的问题，本文聚焦于有限Cohen-Macaulay型Cohen-Macaulay分次环，开展其Frobenius Betti数的显式计算研究，拓展该奇异性不变量的计算范围。
Valuations and Frobenius
研究了素特征的赋值环的Frobenius映射的性质.证明了赋值环总是F-纯的。我们引入了强F-正则性概念的一个推广，我们称之为F-纯正则性，并证明了一个赋值环是F-纯正则的当且仅当它是Noether环。对于函数域上的赋值，我们证明了Frobenius映射是有限的当且仅当赋值是整除的;在这种情况下，赋值环是Frobenius分裂的。对于函数域上的Noether赋值环，证明了赋值环是Frobenius分裂的当且仅当Frobenius是有限的，或者等价地，当且仅当赋值环是优良的.
Some ring-theoretic properties of rings via Frobenius and monoidal maps
本文通过弗罗贝尼乌斯和单体映射研究环的某些环论性质，探讨混合特征和正特征间环性质的关联。
Addendum to "Frobenius and Cartier algebras of Stanley-Reisner rings" [J. Algebra 358 (2012) 162-177]
本文给出了具有主生成（等价地，逆生成）Cartier代数的完备Stanley-Reisner环的一个纯组合刻画.
On the Frobenius complexity of determinantal rings
本文计算了素特征$p$的行列式环的Frobenius复杂性，其中$m > n \ge 2$是通过模化$m \times n$矩阵的$2 \times 2$子式得到的.我们还表明，作为$p \to \infty$，Frobenius复杂性接近$m-1$。
Rings of Frobenius operators
设R是素特征的局部环.研究了Frobenius算子环F（E），其中E是R的剩余域的内射壳.特别地，我们研究了F（E）在其零度分量上的有限生成，并证明了当R是一个行列式环时，F（E）不需要是有限生成的;然而，我们得到了F（E）的具体描述，我们使用它来证明行列式环中任意理想的F-跳跃数的离散性。
The Frobenius functor and injective modules
本文研究了交换诺特环的素特征，使得Frobenius函子应用于任何内射模再次内射。我们用这一性质刻划了一维局部环类，并证明了它包含所有的一维F-纯环。
Frobenius Categories over a Triangular Matrix Ring and Comma Categories
我们引入了$\mathcal{E}(\mathcal{X},M,\mathcal{Y})$和$\mathcal{M}(\mathcal{X},M,\mathcal{Y})$的对偶概念，并研究了它们何时有足够的内射对象或投射对象，何时是分解的或共分解的，何时是Frobenius范畴.在它们是Frobenius范畴的情况下，我们建立了它们的稳定范畴的一个等价形式。最后给出了逗号范畴的一些应用。
A Property of the Frobenius Map of a Polynomial Ring
设R是特征p>0的完满域k上的有限个多项式环，F：\to R是R的Frobenius映射，即F（r）=r^p.我们对所有R-模M和N明确地刻画了一个R-模同构Hom_R（F_*（M），N）\cong Hom_R（M，F^*（N））.一些最近和潜在的应用进行了讨论。
The Frobenius Structure of Local Cohomology
给定一个具有正素特征的局部环，在其极大理想上具有支撑的局部上同调模上存在自然Frobenius作用。本文研究了局部上同调模在Frobenius作用下只有1/2多子模不变的局部环.特别地，我们证明了F-纯Gorenstein局部环以及有限单纯复形的局部化或完备于其齐次极大理想的面环具有这一性质。我们还介绍了一个反幂零的Frobenius作用的概念上的一个Artinian模的局部环，并使用它来研究这些环的局部上同调的子模的格是不变的Frobenius满足升链条件。
$F$-depth and $F$-nilpotent rings: generalizations and applications
本文综述了素特征环中Frobenius检验指数的历史、与局部上同调上Frobenius作用幂零性的联系，并推广至较少幂零性的情形。
Frobenius methods in combinatorics
我们调查的结果之间的相互作用的方法在素特征和组合交换代数。我们展示了通过Frobenius证明的边理想，复曲面品种，Stanley Reisner环和初始理想的结果。我们还讨论了单项式的理想，使用Frobenius样映射的结果。最后，我们提出的结果$F$-纯环的启发，斯坦利-Reisner环所做的工作。
Right and Left Modules over the Frobenius Skew Polynomial Ring in the F-Finite Case
本文的主要目的是建立和开发的结果，在一个完整的素特征的（诺特）局部环$R$，其Frobenius同态$f$是有限的，Matlis-对偶函子的适当限制提供了Frobenius斜多项式环$R[x,f]$上作为$R$ -模的Artin左模范畴与右$R[x,f]$-模范畴之间的等价性。Noether的模块称为$R$ -模块。
Defining ideals of some numerical semigroup rings with arithmetic pseudo-Frobenius numbers
本文研究了数值半群环的定义理想，证明在特定条件下，当伪Frobenius数构成等差数列时，该理想为行列式型，并部分解决了相关猜想。
On the Frobenius functor and colon ideals
本文研究了正特征$p$的诺特环的Frobenius函子的交换性和两个理想的冒号运算.给出了正则环和局部UFD的新刻画。
On the (non)rigidity of the Frobenius Endomorphism over Gorenstein Rings
众所周知，对于一大类具有正特征的局部环，包括完全交环，Frobenius自同态可以作为有限投射维数的一个检验.在本文中，我们利用这一性质来研究这类环的结构。我们的一个结果表明，这样的环$R$的穿孔谱的Picard群不能有$p$ -挠。当$R$是一个局部完全相交，这恢复（与纯粹的局部代数证明）一个类似的声明完全相交的射影空间首先在SGA和特殊情况下的猜想由Gabber。我们的方法也导致许多简单的例子，刚性的Frobenius自同态不成立，即使当环Gorenstein与孤立奇点。这与完全相交环的情况形成鲜明对比。最后讨论了有限长有限投射维数模的一个相关长度准则。
Pseudo-Frobenius numbers and defining ideals in stretched numerical semigroup rings
该研究聚焦数值半群伪Frobenius数与半群环定义理想的关联，在拉伸半群环假设下解决了相关猜想，并给出切锥为Cohen-Macaulay的数值条件。
Nearly Gorenstein blow-up algebras over two-dimensional regular local rings
研究二维正则局部环上与理想相关的爆破代数（里斯代数、扩展里斯代数和相伴分次环）的近戈伦斯坦性质，通过扩展框架建立刻画及关系，得到整闭理想的完全分类。
Frobenius test exponents for parameter ideals in generalized Cohen-Macaulay local rings
研究了素特征为$p$的交换Noether局部环$R$中参数理想的Frobenius幂.对于$R$的给定理想$\fa$，存在$p$的幂$Q$，其取决于$\fa$，使得$\fa$的Frobenius闭包的$Q$次Frobenius幂等于$\fa$的$Q$次Frobenius幂。本文解决的问题，是否存在一个{ \em统一} $Q_0$的“作品”在这方面的所有参数理想的$R$同时。在最近的一篇论文中，Katzman和Sharp证明了当$R$是Cohen-Macaulay时，确实存在这样一个一致的$Q_0$。本文的目的是证明当$R$是广义的Cohen-Macaulay局部环时，存在这样一个一致的$Q_0$.各种概念和技术从交换代数，包括无条件强$d$ -序列，上同调零化子，模块的广义分数，和Hartshorne-Speiser-Lyubeznik定理采用的Katzman和夏普在科恩-麦考利的情况下。
On the Graded Annihilators of Right Modules Over The Frobenius Skew Polynomial Ring
设R是素特征的交换诺特环，M是x-可分右R[x，f]-模，且R是诺特模.在R是半局部的情况下，我们肯定地回答了Sharp和Yoshino的问题，并证明了M的R[x，f]-同态像的分次零化子集是有限的.在一般情况下，我们也给出了一个反例。
Graded annihilators of modules over the Frobenius skew polynomial ring, and tight closure
本文研究了素特征为$p$的交换Noether局部环$R$中理想的紧闭包.一些作者，包括R。Fedder，K. - I. Watanabe，K. e.史密斯，N。Hara和F. Enescu等人在紧闭包的研究中，利用自然Frobenius作用于这样一个$R$的顶局部上同调模，取得了很好的效果，本文也采用了这种方法。本文的主要部分发展了与$R$相关的Frobenius斜多项式环上左模的"特殊零化子模"的理论;然后在本文的后面部分中将该理论应用于$R$的顶部局部上同调模，并用于表明，如果$R$是Cohen-Macaulay，则它必须具有弱参数测试元素，即使它并不出色。
Frobenius representation type for invariant rings of finite groups
本文证明了特征 p 完美域上有限群的单项表示对应的不变环具有有限 Frobenius 表示型，并构造反例说明该性质在初等交换子群下不成立。
Frobenius maps on injective hulls and their applications to tight closure
本文研究了完全局部环的剩余域的内射壳上的Frobenius映射，目的是对源于紧闭包理论的对象提供构造性的描述.具体而言，本文描述了算法计算参数测试理想，和紧封闭的内射壳的剩余域的一类良好的表现环，其中包括所有准Gorenstein完全局部环的某些子模块。
Frobenius powers of non-complete intersections
对于特征为$p$的交换环$R$，设$ϕ: R \to R$是Frobenius同态，$^{ϕ^r}R$表示通过Frobenius的$r$幂定义的$R$上的$R$ -模结构。我们证明了Tor函子对Frobenius模，$\Tor^R_*(-, {^{ϕ^r}}R)$，是刚性的，对于一定的一类深度零环，其中包括环不完全相交。我们还表明，当$\depth (R) >0$和$r$足够大时，$\Tor^R_*(-, {^{ϕ^r}}R)$不是刚性的（非空的）。这回答了Avramov和Miller的一个问题：$\Tor^R_*(-, {^{ϕ^r}}R)$的刚性是否适用于非完全相交？
Growth of primary decompositions of Frobenius powers of ideals
由史密斯-斯旺森和夏普-诺塞姆的工作可知，素特征环中理想的弗罗贝纽斯幂的准素分解的线性增长性质与紧闭包理论中的局部化问题有很强的联系。最近，布伦纳和蒙斯基以否定的方式解决了本地化问题，但线性增长问题仍然悬而未决。研究域上分次环中一维齐次理想的Frobenius幂的准素分解的增长性.如果环是正分次的，我们证明了线性增长性质成立。对于非负分次环，我们能够证明存在“多项式增长”。我们提出了明确的准素分解的Frobenius权力的理想，这是已知的有无限多个相关联的素数，具有这种线性增长的属性。我们还讨论了一些其他有趣的例子。
Frobenius criteria of freeness and Gorensteinness
令$F^n(-)$是Peskine和Szpiro的Frobenius函子。本文证明了$F^n(M)$的最大Cohen-Macaulayness迫使$M$自由，只要$M$有秩.我们应用这一结果获得几个Frobenius相关的Gorensteinness的局部环$R$，其中之一，提高了以前的特征，由于Hanes和Huneke的标准。我们还在Cohen-Macaulay环上建立了一类特殊的有限长模，这类模对Frobenius是刚性的。
On the Frobenius closure of parameter ideals when the ring is F-injective on the punctured spectrum
设$(R,\frak m)$是一个维数为$d$且在删余谱上是$F$ -内射的优良广义Cohen-Macaulay局部环.设$\frak q$是$R$的标准参数理想.本文的目的是证明$$\ell_R({\frak q}^F/{\frak q})\leq \sum\limits_{i=0}^{d}\binom{d}{i}\ell_R(0^F_{H^i_{\frak m}(R)}).$$是$\frak m$的一个充分大的幂，如果$\frak q$包含在$\frak m$的一个充分大的幂中，我们有$${\frak q}^F/{\frak q} \cong \bigoplus_{i=0}^d (0^F_{H^i_{\frak m}(R)})^{\binom{d}{i}}.$$
On the interplay between the Frobenius functor and its dual
对于素特征的交换诺特环$R$，记具有由Frobenius映射给出的左结构的环$R$为$^{f}R$。我们发展了Thomas Marley关于Frobenius函子$\F(-) = - \otimes_R {^f}R$性质的工作，并证明了$\F$与其对偶$\widetilde{\F}(-) = \Hom_R({}^{f}R, -)$（由Jürgen Herzog引入）之间的相互作用.
The Acyclicity of the Frobenius Functor for Modules of Finite Flat Dimension
设$R$是素特征$p$的交换Noether局部环，$f:R\to R$是Frobenius环同态.对于$e\ge 1$，让$R^{(e)}$表示通过$f^e$被视为$R$ -模块的环$R$。Peskine，Szpiro和Herzog的结果指出，对于有限生成模$M$，$M$有有限投射维数当且仅当对所有$i>0$和所有（等价地，无穷多个）$e\ge 1$有$\operatorname{Tor}_i^R(R^{(e)},M)=0$。我们证明了这一说法适用于任意模的平坦覆盖和最小平坦决议的理论。
On Segre products, $F$-regularity, and finite Frobenius representation type
本文考察交换 Noetherian 环性质在 Segre 积下的行为，聚焦 Frobenius 相关正特征性质，并构造出非 Cohen-Macaulay 却具有有限 Frobenius 表示型的正规分次环。
A sharp bound for the Frobenius test exponents in generalized Cohen-Macaulay local rings
本文在正特征广义Cohen-Macaulay局部环中，给出了参数理想的Frobenius检验指数的一个尖锐上界。
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