Towards a constrained Willmore conjecture
Lynn Heller, Franz Pedit
我们给出了一个概述的约束Willmore问题，并解决部分结果和数值实验所产生的一些问题。这些分支将导致更深入地了解Willmore功能的共形浸入从紧凑的表面。
We give an overview of the constrained Willmore problem and address some conjectures arising from partial results and numerical experiments. Ramifications of these conjectures would lead to a deeper understanding of the Willmore functional over conformal immersions from compact surfaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Isothermic constrained Willmore tori in 3-space
我们发现，均匀的和2叶Delaunay环面在3球提供了唯一的等温约束Willmore环面在3空间Willmore能量低于$8π$。特别地，每个Willmore能量低于$8π$且非矩形共形类的约束Willmore环面是非退化的。
Rectangular constrained Willmore minimizers and the Willmore conjecture
我们证明了著名的$2$ -lobed Delaunay环面$\;f^b\;$族在$\;S^3,\;$中由$\;b \in \mathbb R_{\geq1},\;$参数化，在从环面到共形类$\;(a, b)\;$的$3$ -空间的所有浸入中唯一地最小化Willmore能量。作为推论，我们得到了Willmore猜想在$3$ -空间中的另一个证明.这种新的策略可以推广到任意的余维提供了一个分类的等温约束Willmore环面是可能的，所有的$\;f^b\;$保持稳定的所有余维。
On the Stability of the CMC Clifford Tori as Constrained Willmore Surfaces
环面$T_r = r S^1 \times s S^1 \subset S^3$（其中$r^2 + s^2 = 1$）是受约束的Willmore曲面，即相同保形类型环面之间Willmore泛函的临界点。我们计算哪些$T_r$是稳定的临界点。
Constrained Willmore and CMC tori in the 3-sphere
约束Willmore曲面是Willmore泛函在共形变分下的临界点。如[5]所示，可以将任何共形浸入约束Willmore环面f与紧致黎曼曲面ε相关联，使得f可以根据ε上的代数数据重建。约束Willmore环面的特别有趣的例子是在三维空间型中具有恒定中曲率（CMC）的环面。在[14]和[16]中表明，这些环面的谱曲线是超椭圆的。本文在较弱的条件下证明了三维球面中的约束Willmore环面f是三维空间型中的CMC环面，如果它的谱曲线具有CMC谱曲线的结构.
Equivariant constrained Willmore tori in the 3-sphere
本文研究了三维球面上的等变约束Willmore环面。这些环面承认一个1参数群的莫比乌斯对称性和临界点的Willmore能量下的共形变化。证明了等变环面的谱曲线是由$\mathbb C$的双重覆盖给出的，并通过谱曲线的亏格g对等变约束Willmore环面进行了分类.在这种情况下，谱亏格满足$g \leq 3.$
Dressing transformations of constrained Willmore surfaces
本文利用Dressing方法构造了任意余维约束Willmore曲面的变换。一个适应的Terng-乌伦贝克理论的服装由简单的因素，在这种情况下，使我们能够定义Bäcklund变换这些表面，我们证明比安奇置换。专门为余维2，我们通过Riccati方程，由于Burstall-Ferus-Leschke-Pedit-Pinkall，Willmore曲面的达布变换推广到约束Willmore的情况下，并表明它们相当于我们的Bäcklund变换与真正的谱参数。
Large area-constrained Willmore surfaces in asymptotically Schwarzschild 3-manifolds
利用Lyapunov-Schmidt约化方法研究了黎曼3-流形中大面积约束Willmore曲面对Schwarzschild的渐近性质。特别是，我们证明了这样的流形的结束是由杰出的面积约束Willmore领域的叶状。叶是唯一的面积受限的Willmore球，具有大面积，非负霍金质量，并且到流形中心的距离至少是面积半径的小倍数。与以前的相关工作不同，我们只要求数量曲率满足温和的渐近条件。我们还给出了明确的例子，以表明这些条件的数量曲率是必要的。
Analysis of the Inhomogeneous Willmore Equation
我们研究一类四阶几何问题建模Willmore表面，共形约束Willmore表面，isoperimetrically约束Willmore表面，双调和曲面的意义上的陈，等等。我们证明了几个局部能量估计，并得出一个全球差距引理。
Constrained Willmore Surfaces
约束Willmore曲面是Riemann曲面的共形浸入，Riemann曲面是Willmore能量$W=\int H^2$在紧支撑无穷小共形变分下的临界点。例子包括空间型中的所有恒定中曲率曲面。本文在容许变分无穷小保持共形结构的约束下，更一般地研究了浸入空间上任意几何泛函的临界点.除了约束Willmore曲面外，还详细讨论了约束极小和体积临界曲面的例子，以及保形约束下面积泛函和封闭体积泛函的临界点。
Constrained Willmore Tori and Elastic Curves in 2-Dimensional Space Forms
本文考虑了三维球面中两类特殊的约束Willmore环面。第一类是由上半平面（被视为双曲平面）中的闭合弹性曲线围绕x轴的旋转给出的。第二个是封闭约束弹性曲线的原像，即，具有封闭面积约束的弹性曲线，在圆2-球面上的Hopf纤维化。我们证明了所有的共形型都可以等距地浸入到S^3中作为约束Willmore（Hopf）环面，并且用Weierstrass椭圆函数写出H^2和S^2中的所有约束弹性曲线。此外，我们确定的封闭条件的曲线和计算Willmore能源和共形型的结果环面。
The Willmore Conjecture for immersed tori with small curvature integral
Willmore猜想指出任何2-环面浸入平坦欧几里得空间的F：T^2 -> R^n满足$\int_{T^2} H^2\geq 2π^2$。我们在高斯曲率的L^p范数足够小的条件下证明了它。
Constrained Willmore Tori in the 4--Sphere
我们证明了2-环面到共形4-球面的约束Willmore浸入是“有限型“的，即具有有限亏格的谱曲线，或者是“全纯型”的，即它是超共形的或具有平面端点的欧氏极小的.这意味着，所有受约束的Willmore环面在4-球可以构造，而明确的方法，复杂的代数几何。证明使用四元数全纯几何结合可积系统的方法类似于希钦的方法来研究调和环面的3球。
First explicit constrained Willmore minimizers of non-rectangular conformal class
我们研究了$3$空间中的浸入环面在其各自的共形类中最小化Willmore能量。在矩形共形类$\;(0,b)\;$与$\;b \sim 1\;$的齐次环面$\;f^b\;$已知是唯一的约束Willmore极小（不变性）。在本文中，我们推广了这一结果，并表明，在\cite{HelNdi2}中构造的候选确实是在某些非矩形共形类$\;(a,b).\;$中的约束Willmore极小元。困难来自于这样一个事实，即这些极小元对于$\;a \neq 0\;$是非退化的，但光滑地收敛到退化的齐次环面$\;f^b\;$作为$\;a \longrightarrow 0.\;$作为我们的论点的副产品，我们证明了对于某些$\;a^b>0\;$和固定的$\;b \sim 1,\;$ $b \neq 1.$，最小Willmore能量$\;ω(a,b)\;$在$\;a \in (0, a^b)\;$中是实解析的和凹的
Constrained Willmore Surfaces: Symmetries of a Moebius Invariant Integrable System
本文主要研究约束Willmore曲面的Moebius不变量类及其对称性。我们定义了一个频谱变形的行动，一个循环的平坦度量连接; Baecklund变换，通过应用敷料行动;和，在4-空间，达布变换，基于解决方案的Riccati方程。建立了谱形变与Baecklund变换之间的可置换性，证明了四维空间中约束Willmore曲面的非平凡Darboux变换可以作为Baecklund变换的一种特殊情形得到.所有这些变换对应于零乘子保持类Willmore曲面。我们验证，对于特殊的参数选择，谱变形和Baecklund变换保持类的约束Willmore表面承认一个保守的量，特别是，类的CMC表面在3维空间形式。
Polynomial conserved quantities for constrained Willmore surfaces
我们定义了一个层次的特殊类的约束Willmore曲面的存在的多项式守恒量的一些类型，过滤的整数。具有平行顶项的类型1表征平行的中曲率表面，并且在余维1中，类型1表征恒定的中曲率表面。我们发现，这一层次结构下的频谱变形和Baecklund变换，特殊的参数选择，定义，特别是，变换成新的恒定的中曲率表面，保存的中曲率，在后一种情况下。
Minmax Hierarchies, Minimal Fibrations and a PDE based Proof of the Willmore Conjecture
我们介绍了一个一般的计划，允许产生连续的最小最大的问题，生产的临界点，更高和更高的指数，以帕莱-斯梅尔泛函在正常的巴拿赫流形配备完整的Finsler结构。我们把由此产生的极大极小问题树称为极大极小层次。我们给出了几个例子，特别是我们解释如何实现这个计划的框架内的粘性方法介绍了作者几年前，为了给一个新的证明后，著名的结果由Marques和Neves的Willmore猜想。
Candidates for non-rectangular constrained Willmore minimizers
对于每个固定的$\;b>1\;$，我们显式地构造了由其共形类$\;(a,b)$参数化的嵌入约束Willmore环面的$1$ -维族，其中$\; a \sim_b 0^+\;$使共形类的齐次环面$f^b$变形; $(0,b).$在$f^b$处的变分向量场由此由非-我们证明了惩罚Willmore稳定算子的平凡零方向与相应谱曲线的一个双点重合。此外，我们的特点为$b \sim 1$，$b \neq 1$和$a \sim_b 0^+$的家庭通过打开“最小”的双点的光谱曲线上，这是明确的方向与最小的增加威尔莫能量在$f^b$。事实上，我们在\cite{HelNdi1}中表明，这些候选者在$b \sim 1$、$b \neq 1$和$a \sim_b 0^+.$的相应共形类中最小化Willmore能量
Chern Conjecture on Minimal Willmore Hypersurfaces with Constant Scalar Curvature
本文证明了具有常标量曲率的极小Willmore超曲面的Chern猜想，通过建立关于二阶基本形式平方范数的不等式条件，验证了第二间隙的猜想。
Huisken-Yau-type uniqueness for area-constrained Willmore spheres
本文在渐近 Schwarzschild 且标量曲率非负的 Riemannian 3-流形中，证明满足面积半径远大于内半径的非负 Hawking 质量大面积约束 Willmore 球面不存在，回答了 Huisken 的问题。
Energy quantization for constrained Willmore surfaces
本文针对面积、体积和总平均曲率约束下的Willmore曲面，在共形结构有界时建立能量量子化，并证明能量阈值下的强紧性，从而得出两个已知问题最小化子的强紧性。
Links between the integrable systems of CMC surfaces, isothermic surfaces and constrained Willmore surfaces
本文统一刻画了CMC曲面、等温曲面与约束威尔莫尔曲面所对应的三个可积系统，通过平坦联络族的平行截面揭示其代数联系，并阐明各类简单因子dressing与Darboux变换之间的关系及相关族的极限结构。
Solutions of the Sinh-Gordon Equation of Spectral Genus Two and constrained Willmore Tori I
该研究探讨谱亏格g<3的椭圆型sinh-Gordon方程解的参数化、流轨道性质及等谱集影响，还利用极限情况构造约束Willmore共形映射并计算Willmore泛函。
Bourbaki Seminar 1081 : Min-max methods and the Willmore conjecture, after Fernando Codá Marques and André Arroja Neves
两年前，FC马克斯和A.A. Neves在三维球的封闭可求长二维流的框架内实现了几何测度论中的极小-极大方法，这是由于F。Almgren和J. Pitts。使用这种方法，他们成功地证明了著名的克利福德环面最小化所有非零亏格在$S^3$的封闭极小曲面之间的面积。他们的工作的另一个引人注目的结果是提供了Willmore猜想的证明。这次谈话的目的是讨论第一的一般框架，这两个定理的马克斯和内维斯。然后，我们将介绍其证明的结构和一些关键细节。然后，我们将解决这个显着的贡献微积分的范围内的表面上的变化在一个3维空间。
Analysis of Constrained Willmore Surfaces
本文研究了局部围绕“正则”点和围绕分支点的约束Willmore浸入$\R^{m\ge3}$的正则性，其中映射的浸入性质退化。我们开发本地渐近展开的浸入，它的第一，第二衍生物，给出的残留物作为循环积分计算。我们推导出明确的“点可移除性”的条件，确保浸泡是顺利的。我们的结果特别适用于Willmore浸入和平行的中曲率浸入在任何余维。
The Willmore center of mass of initial data sets
我们改进了最近论文arxiv：2101.12665中开发的Lyapunov-Schmidt分析，通过爱因斯坦场方程初始数据的面积约束Willmore表面来研究渐进叶理的几何质量中心。如果初始数据的数量曲率在无穷远处为零，我们证明这个几何质心与哈密顿质心一致。相比之下，我们表明，大面积约束的Willmore表面的位置是敏感的能量密度的分布。特别地，如果数量曲率不满足渐近对称假设，则几何质心可以不同于哈密顿质心。
Min-Max theory and the Willmore conjecture
1965年，T. J. Willmore证明了浸入欧几里得三维空间的环面的中曲率的平方的积分至少为2π^2。我们利用极小曲面的极小极大理论证明了这个猜想。
A proof of the Willmore-type conjecture in $\mathbb{C}P^2$
本文证明了 $\mathbb{C}P^2$ 中 Lagrangian 环面的 Willmore 型猜想，并构造非 Lagrangian 形变否定一般情形。
Foliation by area-constrained Willmore spheres near a non-degenerate critical point of the scalar curvature
设$(M,g)$是三维黎曼流形.本文的目的是表明，如果$P_{0}\in M$是一个非退化的临界点的数量曲率，然后一个邻域的$P_{0}$是由面积限制的Willmore球。这种叶理在Willmore能量小于$32π$的面积受限Willmore球面的叶理中是唯一的，而且在适当的重新缩放光滑收敛到欧几里德三维空间中的圆形球面的意义上，它是正则的。我们还建立了一般的多重面理和第一个多重性的结果，面积限制Willmore领域规定（小）面积在一个封闭的黎曼流形。这个主题与霍金质量有着严格的联系。
Critical weak immersed Surfaces within Sub-manifolds of the Teichmüller Space
证明了环面的面积、Willmore能量、框架能量等各种能量的临界点都是环面的。在Teichmüller空间的光滑子流形内演化的可能分支浸入等满足相应的约束Euler Lagrange方程。在亏格至多为2或子流形不与超椭圆点的子空间相交的条件下，我们导出环面的Willmore能量或框架能量的临界点是光滑解析曲面，可能远离孤立的分支点.利用作者以前工作中的一个紧性结果，我们可以得出结论：Teichmüller空间的每个闭子流形，包括点，在前面的假设下，都是满足共形约束Willmore方程的可能分支光滑Willmore极小元.
The Willmore conjecture
Willmore猜想于1965年提出，旨在寻找最好的环面。这个问题激发了很多数学多年来，帮助汇集思想的科目，如共形几何，偏微分方程，代数几何和几何测度论。在这篇文章中，我们调查的历史猜想和我们最近的解决方案，通过最小最大的方法。最后，我们讨论了该领域中仍然存在的许多悬而未决的问题。
On the Willmore energy of flat $n$-tori in $\mathbb{R}^N$ and Chen's conjecture for $n$-tori
本文证明了平坦 $n$-环面 Willmore 能量的尖锐下界，并确认 Clifford $n$-环面为唯一极小化子，从而证实 Chen 猜想；但 $n\geq3$ 时该猜想对一般浸入环面不成立。
On the Willmore problem for surfaces with symmetry
Willmore问题在给定拓扑类型的$\mathbb S^3\subset\mathbb R^4$中寻找最小化平方平均曲率能量$W = \int |\mathbf{H}_{\mathbb{R}^4}|^2 = \operatorname{area} + \int H_{\mathbb{S}^3}^2$的曲面。长期存在的Willmore猜想，即Clifford环面在亏格- $1$曲面中最小化$W$，现在是Marques和Neves的定理[19]，但是Lawson [16]的最小曲面$ξ_{g,1}\subset\mathbb S^3$在亏格$g>1$的曲面中最小化$W$的一般猜想[10]仍然是开放的。在这里，我们证明了这一猜想下的额外的假设，竞争对手的表面$M\subset\mathbb S^3$共享周围对称性的$ξ_{g,1}$。具体地说，我们每个劳森表面$ξ_{m,k}$满足类似的$W$最小化属性下的一个较小的对称群${G}_{m,k}<SO(4)$，使用的orbifold欧拉数$χ_o(M/{G}_{m,k})$的本地计算，以排除某些交叉模式的$M$与固定的大圆发电机的${G}_{m,k}$。我们还描述了一个属2的例子，Willmore问题可能无法解决的表面与其对称性。
Finite time singularities for the locally constrained Willmore flow of surfaces
在本文中，我们研究了最速下降$L^2$ -梯度流的功能$\SW_{λ_1,λ_2}$，这是总和的Willmore能量，$λ_1$加权表面积，和$λ_2$加权封闭体积，表面浸入$\R^3$。这与零“自发曲率”的Helfrich泛函相吻合。我们的第一个结果是一个浓度紧性替代和内估计的流量。对于小能量的初始数据，我们证明了嵌入性的保持性，并通过直接估计$L^2$中的Euler-Lagrange算子，得到了最大存在时间是有限的.结合这一结果与分析一个合适的爆破，使我们能够表明，对于这样的初始数据流合同在有限的时间一个圆形点。
Helfrich's Energy and Constrained Minimisation
对于每一个$g\in\mathbb{N}_0$和$ε>0$，我们构造了一个嵌入到单位球中的光滑亏格$g$曲面，其面积$8π$和Willmore能量小于$8π+ ε$ .由此，我们推出的Willmore的能量在类属$g$表面嵌入在单位球面积$8π$的最小序列收敛到一个双覆盖的所有$g\in\mathbb{N}_0$的领域。我们得到了相同的结果，某些Canham-Helfrich能量与$χ_K\leq 0$没有亏格约束，并表明，Canham-Helfrich能量与$χ_K>0$是没有界的光滑曲面类的面积$S$嵌入到一个域$Ω\Subset \mathbb{R}^3$从下面。进一步证明了嵌入域$Ω\Subset\mathbb{R}^3$中能量和面积一致有界的连通曲面类在变倍收敛下是紧的.
Embedded area-constrained Willmore tori of small area in Riemannian three-manifolds II: Morse Theory
这是第二个一系列的两篇论文中，我们构建嵌入Willmore环面小面积约束黎曼三流形。在这两篇论文的建设依赖于一个Lyapunov-Schmidt减少，困难是莫比乌斯退化的环面。在第一篇论文的建设是通过最小化，这里由莫尔斯理论;为了这个目的，我们建立新的几何扩展的衍生物的Willmore功能指数小克利福德环面退化，根据行动的莫比乌斯组，小测地球的一个小手柄。利用这些尖锐的渐近性，利用周围曲率张量和Morse不等式，给出了Willmore泛函在给定（足够小）面积的约束下存在/多重平稳嵌入环面的充分条件.
Local solutions to a free boundary problem for the Willmore functional
考虑Willmore泛函的一个自由边界问题。给定${\mathbb R}^3$中的一个光滑区域$Ω$，我们构造了Willmore圆盘，该圆盘在与$\partial Ω$沿其边界正交且具有小的预定面积的曲面类中是临界的.利用重标度法，我们首先得到具有给定二维重心的约束解，然后研究重心的变化。
Embedded area-constrained Willmore tori of small area in Riemannian three-manifolds I: Minimization
在一定的曲率条件下，我们构造了黎曼三流形中嵌入Willmore环面的小面积约束，以防止Möbius退化。的建设依赖于一个Lyapunov-Schmidt减少，为此，我们建立了新的几何展开指数小对称克利福德环面和分析的急剧的渐近行为下退化环面的莫比乌斯组的行动。在这第一项工作中，我们证明了两个存在性结果，通过最小化或最大化一个合适的约化功能，特别是我们获得嵌入面积约束Willmore环面（或，等价地，面积约束下的霍金质量的环面临界点）在紧凑的3-流形常数数量曲率和双Schwarzschild空间。在即将发表的论文中，新的存在定理将通过莫尔斯理论得到。
A proof of the Willmore conjecture
给出了Willmore猜想的一个证明。借助整体Weierstrass表示，将Willmore泛函的变分问题转化为Davey-Stewartson方程周期解对应的所有谱曲线的模空间上的约束变分问题.这个模空间的子集，对应于有界的首次积分，被证明是紧凑的。相对于另一个拓扑的模空间被证明是一个巴拿赫流形。Davey-Stewartson方程的所有周期解的子集对应于环面浸入三维欧几里得空间，其特征在于对应的谱曲线上的奇异性条件。这就证明了所有共形类的极小值的存在性和绝对极小值的确定性，这是由Clifford环面实现的。
The Willmore problem for surfaces with symmetry
本文在曲面具有对称性假设下证明了Lawson曲面在Willmore能量最小化问题中的猜想，并给出了genus 2的例子说明现有方法的局限性。
Adiabatic theory for the area-constrained Willmore flow
本文建立了三维渐近Schwarzschild流形中面积约束Willmore流下大闭曲面演化的绝热理论。我们明确地构建一个地图，定义在一定的四维流形的重心，其特征在于关键的静态和动态特性的ACW流。特别是，使用该映射，我们找到了重心的显式四维有效动力学，只要初始表面满足某些温和的几何约束（这决定了有效性），它就可以作为（无限维）ACW流的一致渐进逼近。间隔）。相反，给定任何规定的流的重心演变根据这种有效的动力学，我们构建了一个家庭的表面演变的ACW流，其重心一致接近规定的一个大的时间间隔（其大小取决于初始配置的几何约束）。
On a conjecture of De Giorgi about the phase-field approximation of the Willmore functional
本文证明De Giorgi关于Allen-Cahn能量一阶变分Γ-收敛到周长与Willmore泛函线性组合的原始猜想在k=0时成立，并给出极限测度的进一步性质。
On the Uniqueness of Clifford Torus with Prescribed Isoperimetric Ratio
Marques-Neves定理断言在所有环面（即亏格1）闭曲面中，Clifford环面具有最小的Willmore能量$\int H^2 \, dA$。由于Willmore能量是不变的M{<$}bius变换，因此可以证明存在一个单参数族，直到同素性，亏格为1的Willmore极小元。这是一个自然的猜想，这样的极小是唯一的，如果规定其等周比。在这篇文章中，我们表明，这个猜想可以减少到一个多项式递归的正性问题。
Area-constrained Willmore surfaces in Lorentzian manifolds: curvature inequalities and the Hawking quasi-local energy
本文在四维洛伦兹流形中建立面积约束Willmore曲面的定向临界理论，证明尖锐曲率不等式及刚性，并应用于Hawking拟局部能量的正性与单调性。
A strict inequality for the minimisation of the Willmore functional under isoperimetric constraint
受Kusner和Bauer-Kuwert先前工作的启发，我们证明了在等周约束下两个曲面的Willmore能量与其连接和之间的严格不等式。建立在以前的工作Keller-Mondino-Rivière，我们严格的不等式导致存在极小的等周约束Willmore问题在每一个属，提供的最小能量严格低于$8π$。除了几何的兴趣，这样的最小化问题已在文献中作为一个简化的模型在脂质双层细胞膜的理论研究。
Stability properties of 2-lobed Delaunay tori in the 3-sphere
我们证明了2-lobed Delaunay环面作为约束Willmore曲面在3-球面上是稳定的。
Geometric inequalities involving mean curvature for closed surfaces
本文证明了三维欧氏空间中闭曲面的几个几何不等式。受凸曲线的Gage不等式的启发，我们首先证明了凸曲面的Willmore能量是由一些尺度不变量限制的。特别地，在凸性条件下，我们得到了Willmore能量与等周比之间的一个最优标度律。此外，我们还解决Topping猜想有关直径和中曲率的连接闭曲面。我们证明了这一猜想的类简单连接的轴对称曲面，而且得到一个尖锐的剩余项，确保了第一个证据，最佳形状必须是直的，即使没有凸性。
Isoparametric theory and its applications
本文综述了等参理论在几个应用方面的最新进展，包括等参情形下对丘氏关于拉普拉斯算子第一特征值猜想的肯定回答，对丘氏问题部分第76个问题的否定回答，球上Willmore子流形的新例子，Besse关于Einstein条件推广问题的一系列例子，奇异球上的等参函数，反例梁的两个插图，以及手术理论等参数叶理。
New applications of Min-max Theory
我将谈论我最近的工作与费尔南多马克斯在那里我们使用阿尔姆皮茨最小最大理论解决一些悬而未决的问题在几何：威尔莫尔猜想，弗里德曼，他，王猜想的联系（联合伊恩阿戈尔），并存在无穷多个极小超曲面的流形积极里奇曲率。最后一节提出了一些开放性问题。
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