关于 $\mathbb{C}P^2$ 中 Willmore 型猜想的一个证明
A proof of the Willmore-type conjecture in $\mathbb{C}P^2$
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本文证明了 $\mathbb{C}P^2$ 中 Lagrangian 环面的 Willmore 型猜想，并构造非 Lagrangian 形变否定一般情形。
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2002 年，Montiel 和 Urbano 猜想 $\mathbb{C}P^2$ 中的 Clifford 环面在所有环面或所有 Lagrangian 环面中极小化 Willmore 型泛函 $\mathcal{W}^-=\int_{T^2}(2+|H|^2)\\,dA$。本文在 Lagrangian 情形下证实该猜想，并在一般情形下否定它。我们证明 $\mathbb{C}P^2$ 中每个亏格 $g\geq 1$ 的定向闭 Lagrangian 曲面的 $\mathcal{W}^-$ 能量不低于 Clifford 环面的能量。此外，我们构造了 Clifford 环面的非 Lagrangian 形变，沿此形变 $\mathcal{W}^-$ 严格减小。
英文摘要
In 2002, Montiel and Urbano conjectured that the Clifford torus in $\mathbb{C}P^2$ minimizes the Willmore-type functional $ \mathcal{W}^-=\int_{T^2}(2+|H|^2)\,dA,$ either among all tori or among all Lagrangian tori. In this paper, we confirm this conjecture in the Lagrangian setting and disprove it in the general setting. We establish that every oriented closed Lagrangian surface of genus $g\geq 1$ in $\mathbb{C}P^2$ has $\mathcal{W}^-$-energy no less than that of the Clifford torus. Moreover, we construct non-Lagrangian deformations of the Clifford torus along which $\mathcal{W}^-$ strictly decreases.
