Willmore猜想

Chern猜想关于具有常标量曲率的极小Willmore超曲面

Chern Conjecture on Minimal Willmore Hypersurfaces with Constant Scalar Curvature

本文证明了具有常标量曲率的极小Willmore超曲面的Chern猜想，通过建立关于二阶基本形式平方范数的不等式条件，验证了第二间隙的猜想。

Bourbaki研讨会1081：最小-最大方法和Willmore猜想，在Fernando Codá Marques和André Arroja Neves之后

Bourbaki Seminar 1081 : Min-max methods and the Willmore conjecture, after Fernando Codá Marques and André Arroja Neves

两年前，FC马克斯和A.A. Neves在三维球的封闭可求长二维流的框架内实现了几何测度论中的极小-极大方法，这是由于F。Almgren和J. Pitts。使用这种方法，他们成功地证明了著名的克利福德环面最小化所有非零亏格在$S^3$的封闭极小曲面之间的面积。他们的工作的另一个引人注目的结果是提供了Willmore猜想的证明。这次谈话的目的是讨论第一的一般框架，这两个定理的马克斯和内维斯。然后，我们将介绍其证明的结构和一些关键细节。然后，我们将解决这个显着的贡献微积分的范围内的表面上的变化在一个3维空间。

关于 $\mathbb{C}P^2$ 中 Willmore 型猜想的一个证明

A proof of the Willmore-type conjecture in $\mathbb{C}P^2$

本文证明了 $\mathbb{C}P^2$ 中 Lagrangian 环面的 Willmore 型猜想，并构造非 Lagrangian 形变否定一般情形。

Willmore环面的间隙定理及其在Willmore流中的应用

A Gap Theorem for Willmore Tori and an application to the Willmore Flow

在1965年Willmore证明，积分的平方中曲率的环面沉浸在$R^3$至少是$2π^2$，并达到这一极小值，当且仅当环面是一个默比乌斯变换的克利福德环面。这一点最近由Marques和Neves证明。在本文中，我们表明环面有一个缺口的下一个临界点的Willmore能源，我们讨论了应用程序的Willmore流。我们还证明了从Clifford环面到高亏格曲面的能隙。

关于De Giorgi对Willmore泛函的相场逼近猜想

On a conjecture of De Giorgi about the phase-field approximation of the Willmore functional

本文证明De Giorgi关于Allen-Cahn能量一阶变分Γ-收敛到周长与Willmore泛函线性组合的原始猜想在k=0时成立，并给出极限测度的进一步性质。

关于 $\mathbb{R}^N$ 中平坦 $n$-环面的 Willmore 能量及 Chen 对 $n$-环面的猜想

On the Willmore energy of flat $n$-tori in $\mathbb{R}^N$ and Chen's conjecture for $n$-tori

本文证明了平坦 $n$-环面 Willmore 能量的尖锐下界，并确认 Clifford $n$-环面为唯一极小化子，从而证实 Chen 猜想；但 $n\geq3$ 时该猜想对一般浸入环面不成立。

On the Uniqueness of Clifford Torus with Prescribed Isoperimetric Ratio

The Marques-Neves theorem asserts that among all the torodial (i.e. genus 1) closed surfaces, the Clifford torus has the minimal Willmore energy $\int H^2 \, dA$. % It is a natural conjecture that if one prescribes the isoperimetric Since the Willmore energy is invariant M{ö}bius transformations, it can be shown that there is a one-parameter family, up to homotheties, of genus 1 Willmore minimizers. It is then a natural conjecture that such a minimizer is unique if one prescribes its isoperimetric ratio. In this article, we show that this conjecture can be reduced to the positivity question of…

On the Willmore problem for surfaces with symmetry

The Willmore Problem seeks the surface in $\mathbb S^3\subset\mathbb R^4$ of a given topological type minimizing the squared-mean-curvature energy $W = \int |\mathbf{H}_{\mathbb{R}^4}|^2 = \operatorname{area} + \int H_{\mathbb{S}^3}^2$. The longstanding Willmore Conjecture that the Clifford torus minimizes $W$ among genus-$1$ surfaces is now a theorem of Marques and Neves [19], but the general conjecture [10] that Lawson's [16] minimal surface $ξ_{g,1}\subset\mathbb S^3$ minimizes $W$ among surfaces of genus $g>1$ remains open. Here we prove this conjecture under the additional assumption that…

$S^{5}$中Ejiri环面的一个特征

A characterization of the Ejiri torus in $S^{5}$

$S^5$中的Ejiri环面是Willmore曲面与任何空间型中的任何极小曲面不共形等价的第一个例子。Li和Vrancken将$S^{n}$中张量积的Willmore曲面归约为$S^3$中的弹性曲线，从而对所有Willmore曲面进行了分类，Ejiri环面作为特例出现。本文首先证明了在所有张量积的Willmore环面中，$S^5$中Ejiri环面的Willmore泛函达到最小值$2π^2\sqrt{3}$。证明了当余维数足够大时，所有张量积的Willmore环面都是不稳定的。我们还表明，Ejiri环面是不稳定的$S^5$。此外，与Li和Vrancken类似，我们在$S^3$中用弹性曲线约化张量积的约束Willmore曲面，从而对它们进行了分类.当余维足够大时，所有这样得到的约束Willmore环面也是不稳定的。我们猜想具有介于$2π^2$和$2π^2\sqrt{3}$之间的Willmore泛函的Willmore环面是Clifford环面或Ejiri环面.

具有对称性的Willmore问题

The Willmore problem for surfaces with symmetry

本文在曲面具有对称性假设下证明了Lawson曲面在Willmore能量最小化问题中的猜想，并给出了genus 2的例子说明现有方法的局限性。

微分几何中的三个顽固猜想

The three obdurate conjectures of differential geometry

该研究探究对称性在微分几何三大顽固猜想中的作用，发现对称性破缺且采用更一般外围度量时三个猜想均不成立，并详解了对称性在首个猜想中的微妙作用机制。

S^3中的嵌入极小环面与Lawson猜想

Embedded minimal tori in S^3 and the Lawson conjecture

我们证明了S^3中任何嵌入的极小环面都与Clifford环面全等。这回答了H. B.小劳森1970年