Axially Symmetric Willmore Minimizers with Prescribed Isoperimetric Ratio
本文证明了在给定 isoperimetric ratio 的球面型轴对称曲面中 Willmore 能量 minimizers 的存在性与光滑性，并分析了该比值趋于零时 minimizers 的行为。
2023-04-10 math.AP math.DG
Quantitative Stability of the Clifford Torus as a Willmore Minimizer
研究证明在特定条件下，Clifford torus是Willmore极小值的定量稳定形式。
2025-11-24 math.DG
Bubble classification of immersions at the boundary of the moduli space with $8π$ Willmore energy
Institute for Applied Mathematics, University of Bonn（波恩大学应用数学研究所）；Salzburg University（萨尔茨堡大学）
本文研究了边界模空间中具有8πWillmore能量的浸入映射序列的渐近气泡行为，通过Möbius变换得到最大尺度的两个球面和最小尺度的p+1个猫薄壳，并应用于Willmore极小化序列的约束分析。
2026-04-07 math.DG
Bubble tree of a class of conformal mappings and applications to Willmore functional
我们开发了一个泡沫树结构和证明的紧性结果$W^{2,2}$分支共形浸入封闭的黎曼曲面，具有不同的共形结构，其极限可能退化，在一个紧凑的黎曼流形一致有界的区域和Willmore能量。利用紧致性构造了紧致黎曼流形中的Willmore型曲面.这包括：（a）在${\mathbb S}^n$中存在至少有2个不可去奇点的Willmore 2-球面;（b）在紧致流形$N$中存在具有指定面积的Willmore泛函极小元，条件是（i）亏格为0时面积很小，（ii）面积接近Schoen-Yau和Sacks面积极小化曲面的面积。Uhlenbeck在从正亏格曲面到$N$和$π_2(N)$的不可压缩映射的同伦类中是平凡的（c）当满足Douglas型条件时Willmore泛函的光滑极小元的存在性.
2011-12-08 math.DG
Isothermic constrained Willmore tori in 3-space
我们发现，均匀的和2叶Delaunay环面在3球提供了唯一的等温约束Willmore环面在3空间Willmore能量低于$8π$。特别地，每个Willmore能量低于$8π$且非矩形共形类的约束Willmore环面是非退化的。
2019-03-28 math.DG
Minimizers of Generalized Willmore Functionals
我们引入了广义Willmore泛函的概念，其动机是广义相对论的霍金能量和膜的弯曲能。详细讨论了弯曲能量的一个例子。利用Y. Chen和J.Li，我们给出了具有有界面积和Willmore能量的分支、浸入、缠绕、分层曲面的一个紧性结果。这使我们能够证明存在的面积约束极小的广义Willmore泛函类闹鬼，分支，沉浸泡树直接极小化。在这里，一个闹鬼的，分层的表面介绍，以占沿最小化过程中的冒泡和消失的组件。同样，我们得到的存在面积和体积限制，最小的，封闭的膜所讨论的弯曲能量。此外，我们还证明了A. Mondino和T. Willmore曲面的Rivière可以推广到广义Willmore曲面的情形。特别地，这意味着广义Willmore泛函的临界点是光滑的远离许多点。
2019-09-06 math-ph math.AP math.DG
A note on Willmore minimizing Klein bottles in Euclidean space
我们表明，劳森的双极表面$\tildeτ_{3,1}$是赤球极平面投影后的唯一极小浸没克莱因瓶在其共形类。我们猜想，它实际上是唯一的极小浸入克莱因瓶到$\mathbb{R}^n$，$n\geq 4$，其存在的作者和P. Breuning证明在以前的文件。
2017-02-28 math.AP math.DG
Existence of minimizing Willmore Klein bottles in Euclidean four-space
设$K$为克莱因瓶。我们证明了在欧氏$n$ -空间中所有浸没的克莱因瓶之间的Willmore能量的下确界是由光滑嵌入的克莱因瓶获得的，其中$n\geq 4$。在欧氏四维空间中有三个不同的浸入克莱因瓶的正则同伦类，每个都包含一个嵌入。一个是由它包含刚才提到的极小化的性质所表征的。对于其他两个正规同伦类，我们证明了Willmore能量是有界的从下面的$8π$。我们给出了这两类极小元的分类。特别地，我们证明了欧氏四维空间中存在无穷多个不同的嵌入克莱因瓶，它们的欧拉正规数为$-4$或$+4$，能量为$8π$ .即使我们允许周围空间的共形变换，曲面也是不同的。由于它们都是同伦类中的极小化器，所以它们是Willmore曲面。
2016-09-13 math.AP math.DG
Energy quantization for constrained Willmore surfaces
本文针对面积、体积和总平均曲率约束下的Willmore曲面，在共形结构有界时建立能量量子化，并证明能量阈值下的强紧性，从而得出两个已知问题最小化子的强紧性。
2025-05-26 math.AP math.DG
On the Uniqueness of Clifford Torus with Prescribed Isoperimetric Ratio
Marques-Neves定理断言在所有环面（即亏格1）闭曲面中，Clifford环面具有最小的Willmore能量$\int H^2 \, dA$。由于Willmore能量是不变的M{<$}bius变换，因此可以证明存在一个单参数族，直到同素性，亏格为1的Willmore极小元。这是一个自然的猜想，这样的极小是唯一的，如果规定其等周比。在这篇文章中，我们表明，这个猜想可以减少到一个多项式递归的正性问题。
2020-03-29 math.CO math.DG
Critical weak immersed Surfaces within Sub-manifolds of the Teichmüller Space
证明了环面的面积、Willmore能量、框架能量等各种能量的临界点都是环面的。在Teichmüller空间的光滑子流形内演化的可能分支浸入等满足相应的约束Euler Lagrange方程。在亏格至多为2或子流形不与超椭圆点的子空间相交的条件下，我们导出环面的Willmore能量或框架能量的临界点是光滑解析曲面，可能远离孤立的分支点.利用作者以前工作中的一个紧性结果，我们可以得出结论：Teichmüller空间的每个闭子流形，包括点，在前面的假设下，都是满足共形约束Willmore方程的可能分支光滑Willmore极小元.
2013-07-20 math.DG
Global minimizers for the doubly-constrained Helfrich energy: the axisymmetric case
自从Canham和Helfrich的开创性工作以来，涉及曲率依赖泛函的变分公式，如经典的Willmore泛函，已被证明对生物膜的形状分析有用。我们解决极小的Canham-Helfrich功能定义在闭曲面封闭一个固定的体积和具有固定的表面积。通过限制注意轴对称曲面，我们证明了全局极小的存在性。
2012-07-23 math.AP math.DG
On the minimization of the Willmore energy under a constraint on total mean curvature and area
受细胞膜模型启发，本文研究在给定总平均曲率、面积和亏格约束下定向闭曲面类中 Willmore 泛函的极小化问题，利用已有方法证明了大类约束下光滑极小子的存在性，并分析了单位球附近的能量渐近行为及轴对称曲面性质。
2024-03-21 math.AP math.DG
On the Willmore energy of flat $n$-tori in $\mathbb{R}^N$ and Chen's conjecture for $n$-tori
Fujian Normal University（福建师范大学）；Beihang University（北京航空航天大学）
本文证明了平坦 $n$-环面 Willmore 能量的尖锐下界，并确认 Clifford $n$-环面为唯一极小化子，从而证实 Chen 猜想；但 $n\geq3$ 时该猜想对一般浸入环面不成立。
2026-09-30 math.DG
Rigidity and non-rigidity results for conformal immersions
本文用$n\ge 4$证明了$\mathbb{R}^n$中Willmore泛函在所有射影平面间的极小元的定量刚性结果。我们还构造了一个明确的反例，相应的刚性结果余维1，通过显示，一个Enneper表面可能会分裂的过程中的爆破。对于具有足够大Willmore能量的球的共形浸入，我们构造了一个定量刚性结果的显式反例，这补充了最近在[LaNg13]中获得的刚性结果。
2015-06-05 math.AP math.DG
On the Canham Problem: Bending Energy Minimizers for any Genus and Isoperimetric Ratio
Mondino-Scharrer的工作的基础上，我们表明，在封闭的，光滑的嵌入表面中的$\mathbb{R}^3$属$g$和给定的等周比$v$，存在一个最小的弯曲能量$\mathcal{W}$。我们通过将$g+1$小悬链桥粘贴到$(g+1)$ -穿孔球$\mathbb{S}^2$上的线性化Willmore方程$Δ(Δ+2)φ=0$的奇异解的偶图上来构造亏格$g$的比较曲面，其中具有任意小的等周比$v\in (0, 1)$和$\mathcal{W} < 8π$。
2021-04-20 cond-mat.soft math.AP math.DG
Connected surfaces with boundary minimizing the Willmore energy
对于给定的光滑闭曲线族$γ^1,...,γ^α\subset\mathbb{R}^3$，我们考虑了寻找具有边界$γ=γ^1\cup...\cupγ^α$的弹性\emph{connected}紧致曲面$M$的问题.这是通过最小化适当类别的竞争对手的Willmore能量$\mathcal{W}$来实现的。虽然面积泛函的直接最小化可能导致的限制是断开的，我们证明了，如果问题的下确界是$<4π$，存在一个连接的紧凑极小的$\mathcal{W}$类整数可求长曲率varifolds与指定的边界条件。这是通过证明具有一致有界Willmore能量的边界的有界变分的变分收敛意味着它们的支撑在Hausdorff距离上的收敛来完成的。因此，在边界条件的小扰动导致不存在面积最小化的连接表面的情况下，我们的最小化过程模型的最佳弹性连接紧凑的广义曲面的存在与这样的边界数据。我们还研究了最优连通曲面的直径是任意大的渐近制度。在适当的有界性假设下，我们证明了这种曲面的重标度收敛于圆球。微扰和渐近制度的研究是由显着的情况下，弹性表面连接两个平行的圆位于任何可能的距离彼此。我们使用的主要工具是曲率varifolds的单调性公式，我们扩展到varifolds与边界，连同其后果的结构上的varifolds有界Willmore能源。
2019-11-13 math.DG math.OC
Global existence for the Willmore flow with boundary via Simon's Li-Yau inequality
本文利用修改后的 Simon 的 Li-Yau 不等式和几何测度论工具，证明了初始能量低于特定阈值的带 Dirichlet 边界数据的圆柱旋转曲面 Willmore 流的全局存在性，并改进了平稳问题中 Willmore 极小化子的存在性结果。
2024-02-16 math.AP math.DG
On a new conformal functional for simplicial surfaces
本文引入了一个光滑的二次共形泛函及其加权形式$$W_2=\sum_e β^2(e)\quad W_{2,w}=\sum_e (n_i+n_j)β^2(e),$$，其中$β(e)$是网格中与$e=(ij)$共享边的三角形外接圆的外交角，$n_i$是顶点$i$的价.除了最小化局部共形离散Willmore能量的平方$W$之外，该函数还最小化角度的局部差异$β$。我们研究了非平凡拓扑的单纯球面和单纯曲面的极小元。观察到几个显著的事实。特别地，对于大多数随机生成的单纯多面体，$W_2$和$W_{2,w}$的极小元是内接多面体.我们还展示了一些应用在几何处理，例如，一个保形变形的曲面的圆形球体。本文用二次优化理论对观测到的一些现象作了部分理论解释。
2015-05-29 math.DG
Higher-dimensional Willmore energy as holographic entanglement entropy
本文证明五维全息 CFT 的纠缠熵普适项 F(A) 等价于加倍 RT 曲面上的四维推广威尔莫能量，并证明圆球并非其全局极小化子。
2024-12-30 gr-qc hep-th math.DG
